Modelowanie numeryczne dyfuzji zanieczyszczeń

Modelowanie numeryczne dyfuzji zanieczyszczeń w jeziorze.
Tadeusz Kwater, Paweł Krutys, Robert Pękala
Uniwersytet Rzeszowski, Instytut Techniki, 35-959 Rzeszów, al. Rejtana 16c
In the paper the mathematical model of distributed
concentration in reservoir waters with diffusion phenomena is presented. The model consists of partial differential
equations with boundary conditions. In this model concentrations can represent various pollutions. The numerical solution of the model with stability condition is proposed too.
Simulations were carried out for different values of model
parameters to investigate object behaviors. Calculations
were done for boundary conditions according to natural
cases. In the paper the algorithm of solution partial differential equation is proposed. This mathematical represents
pollution state of lakes.
układu monitorującego i sterującego jakością wody w tego
typu obiektach.
Model matematyczny z uwzględnieniem dyfuzji
Wprowadzenie.
gdzie: x – stężenie D – współczynnik dyfuzji w ośrodku
izotropowym, δ – gęstość źródła wewnętrznego, określająca
intensywność generowania lub zanikania przenoszonego
czynnika.
W przypadkach, gdy prędkość wody jest zerowa
zagadnienie przepływu adwekcyjno-dyfuzyjnego można
sprowadzić do równania o stałych współczynnikach w
następującej postaci:
Model matematyczny rozprzestrzeniania się stężeń w
jeziorze wymaga uwzględnienia zjawiska dyfuzji.
Stężeniami tymi zwykle są substancje zanieczyszczające, a nadmiar ich może doprowadzić do degradacji
życia wodnego w jeziorze. Podstawową miarą ilości tych
substancji jest współczynnik definiujący ich koncentrację
lub ładunek określający całkowitą masę zanieczyszczenia w
objętości wody. Najczęściej stosowanymi parametrami
jakości wody są dwa wskaźniki tj. BZT- biochemiczne zapotrzebowanie tlenu i RT- poziom rozpuszczonego tlenu w
wodzie. Wartości tych wskaźników określa się na podstawie
równań Streetera i Phelpsa uwzględniających tylko zmianę
tych stężeń w czasie – równania różniczkowe zwyczajne
[1]. Jezioro jako obiekt wymaga uwzględnienia zmian tych
wskaźników nie tylko w czasie ale także wzdłuż dodatkowych współrzędnych przestrzennych. Zatem równania
różniczkowe opisujące te w/w współrzędne przechodzą w
równania różniczkowe cząstkowe.
W artykule zaproponowano opis matematyczny zjawisk związanych z rozprzestrzenianiem się stężenia BZT dla
jeziora, kolejno rozbudowując model o współrzędne przestrzenne tj: długość i szerokość, ponadto podano algorytm
rozwiązywania równań modelu matematycznego zanieczyszczonego jeziora. Model ten w postaci równań różniczkowych cząstkowych otrzymano z rozwiązania równań
uwzględniając długość, szerokość zbiornika wraz ze
zmieniającymi się stężeniami zgodnie z upływającym
czasem.
Dysponując modelem matematycznym rozkładu zanieczyszczeń możemy przy pomocy symulacji numerycznych, jak i rozwiązywania równań różniczkowych cząstkowych wpływać na zmiany wskaźnika zanieczyszczenia
BZT w określonych warunkach i określonym czasie, unikając w ten sposób bardzo pracochłonnych i kosztownych
badań obiektu rzeczywistego[2]. Zagadnienia przedstawione w artykule stanowią początkowy etap opracowania
84
Jednym z procesów przenoszenia dowolnych substancji
w wodzie jest działanie dyfuzji. Dyfuzja jest procesem
przenoszenia czynnika w kierunku zmniejszającej się jego
koncentracji zgodnie z I prawem dyfuzji Ficka [3]. W oparciu o twierdzenie Gaussa-Ostrogradzkiego [4] wspomniane
zjawiska można opisać następującym równaniem:
∂x
− div(D grad x) + δ = 0
∂t
∂x ∂  ∂x 
− D
+δ =0,
∂t ∂z  ∂z 
(1)
(2)
gdzie: D – współczynnik dyfuzji,
Równanie (2), uzupełnia się o dodatkowy składnik
ze względu na możliwość wystąpienia reakcji poszczególnych stężeń w ośrodku wodnym. Przyjmując rozważane
równanie można ostatecznie zapisać w postaci:
∂x
∂  ∂x 
−
D
 + Bx + δ = 0
∂t ∂z  ∂z 
(3)
w którym, macierz B określa szybkość reakcji stężeń, zaś x
jest uśrednionym w przekroju poprzecznym stężeniem[5].
Oznacza to, że jezioro jest opisane jednym wymiarem przestrzeni tj. długością. Zatem równanie (3) jest modelem matematycznym rozkładu stężeń. Takie podejście
stanowi duże uproszczenie charakteryzujące się abstrakcyjnym wymiarem jeziora. Jednak interpretacja zjawisk jest
najłatwiejsza.
Rozważając opis dwuwymiarowy tj. długość, szerokość, równanie (3) jest następujące:
∂x  ∂ 2 x
∂ 2x 
−  D 2 + D 2  + Bx + δ = 0 ,
∂t  ∂z 1
∂z 2 
(4)
gdzie: z1, z2 – współrzędne przestrzenne, x – stężenie
uśrednione na głębokości.
Технічні вісті 2008/1(27), 2(28)
Równanie (4) stanowi model matematyczny rozkładu stężenia x dla obiektu dwuwymiarowego w przestrzeni. Kolejny trzeci wymiar tj. głębokość uwzględnia się
uzupełniając równanie (4) o dodatkowy następujący
∂ 2x
D 2
∂z 3
, z3 – współrzędna głębokości.
składnik:
Równanie (4) uzupełnia się o następujące warunki
graniczne:
x ( z 1 , t 0 ) = f p1 ( z 1 )
(5a)
x (z 2 , t 0 ) = f p 2 (z 2 )
(5b)
x (0, t ) = f b (t ) ,
(5c)
w których funkcje fp1, fp2 są znane dla odpowiednich współrzędnych. Interpretację geometryczną warunków granicznych pokazano na Rys.1.
Rys.2. Idea rozwiązań równań różniczkowych cząstkowych.
Podobnie postępuje się dla modelu rozbudowanego o
dodatkowe współrzędne przestrzenne. Badania symulacyjne
prowadzono tylko z uwzględnieniem stężenia BZT. Zapewnienie zgodności i stabilności rozwiązania wymaga przyjęcia odpowiednich odległości węzłów w obszarze rozwiązania. Wybór właściwego kroku dyskretyzacji wzdłuż
zmiennej przestrzennej zależy od współczynnika dyfuzji.
Natomiast, aby określić wartości dt w powiązaniu z dz należy uwzględnić regułę dyfuzyjnej liczby Couranta [4]:
dt ≤
dz 2
2D
(6)
gdzie: D – współczynnik dyfuzji.
W symulacjach numerycznych przyjęto następujące
parametry modelu matematycznego D=10-10÷5*10-9 [m2/s].
Wybrane rezultaty symulacyjne
Rys.1. Obszar przestrzenno-czasowy w modelu.
Funkcje fp1, fp2 w warunku początkowym (5a,b)
mogą wystąpić na dolnych krawędziach prostokąta
oznaczających granice przestrzenne obiektu. Podobnie
mogą wystąpić funkcje f(t) w warunkach brzegowych (5c)
w początkach lub końcach obszaru przestrzennego (pionowe krawędzie prostopadłościanu).
W badaniach użyto metodę elementów skończonych
dla zmiennej przestrzennej oraz jawna metodę rzędu
pierwszego dla zmiennej czasowej. W badaniach symulacyjnych przyjęto, że funkcje w warunkach granicznych są
znane. Winny one odzwierciedlać rzeczywiste warunki,
stąd niekiedy należy je wyznaczyć. Dla modelu opisanego
równaniem (3) ideę takiego postępowania przedstawia
Rys2.
W przeprowadzonych badaniach przyjęto trzy
współrzędne przestrzenne, reprezentującą długość i szerokość odcinka rzeki. Zatem wszystkie wspomniane zjawiska opisywane są w trójwymiarowym obszarze z1, z2 oraz t.
Przyjmując odpowiednią dyskretyzację w dziedzinie czasu,
długości i szerokości otrzymuje się rozwiązania w węzłach
siatki. Dla modelu opisanego równaniem (4) przykład siatki
rozwiązań podano na Rys.1.
W eksperymentach symulacyjnych rozważano obiekt
opisany równaniem (4) o różnych wartościach parametrów
przestrzenno-czasowych. Z uwagi iż nie można przedstawić
globalnego rozwiązania rozważanego modelu, wykonano
przekroje płaszczyznami wynikającymi z przyjętych parametrów przestrzenno-czasowych.
Dla ustalonej długości l1=4*dz1 rozkład stężenia przedstawia Rys.3.
Технічні вісті 2008/1(27), 2(28)
85
Stężenie [mg/l]
Stężenie [mg/l]
t2
t1
Czas [h]
Szerokość [m]
Długość [m]
Rys.3. Rozkład stężenia na długości l1.
Symulując rozkład stężeń w ciągu 1h,otrzymano nierównomierny rozkład stężeń wzdłuż szerokości obiektu.
Podobna sytuacja wystąpiła, gdy obserwacji dokonano
wzdłuż długości (0.01[m])Rys.4.
Rys.6. Rozkład BZT wzdłuż długości 0.1[m] dla czasu
( t1=10[h] oraz t2=30[h]).
Zjawisko dyfuzji zachodzi dopóty, dopóki nie nastąpi
równomierny rozkład stężeń w całym obszarze przestrzeni.
Podsumowanie
Stężenie [mg/l]
W artykule zaproponowano model matematyczny
zbiornika wodnego- jeziora z uwzględnieniem zjawiska
dyfuzji. Równania modelu w postaci równań różniczkowych cząstkowych rozwiązano przy użyciu metod numerycznych. W badaniach rozważano zjawiska względem
współrzędnych przestrzennych oraz czasu. Dla obszarów
rzeczywistych, aby zminimalizować obliczenia należy zwiększać krok dyskretyzacji spełniając warunek stabilności
algorytmu rozwiązań.
Czas [h]
Długość [m]
Rys.4. Rozkład stężenia wzdłuż długości
(dla szerokości l2=1*dz2).
Na Rys.4. widoczny jest wpływ niezerowych
warunków brzegowych. Prędkość rozprzestrzenianie się
stężenia BZT z uwzględnieniem dyfuzji wynosi ok.0.01[m]
w ciągu 1[h].
Stężenie [mg/l]
t1
t2
[1] Т. Кватер: Моделі контролю та діагностики узагальнених
динамічних системв нейромережному середовищі Дисертаціa
док. Тех. Hаук, Державний науково-дослідний інститут інформаційної інфраструктури Львів-2006
[2] Bjorck A. Dahlquist G.: Metody numeryczne, PWN, Warszawa 1993r.
[3]Zarzycki R.: Wymiana ciepła i ruch masy w inżynierii środowiska, WNT Warszawa 2005r.
[4]Szymkiewicz R.: Modelowanie matematyczne przepływów w
rzekach i kanałach, PWN, Warszawa 2000
[5] T. Kwater, R. Pękala, P.Krutys: Modelowanie numeryczne zjawisk w przepływach zanieczyszczonych z uwzględnieniem dyfuzji
„Modelowanie i Symulacja” MIS-5 Kościelisko, 23-27 czerwca
2008r.
Autorzy: dr inż Tadeusz Kwater, dr Robert Pękala, mgr Paweł
Krutys, Uniwersytet Rzeszowski, Instytut Techniki, Zakład
Elektrotechniki i Informatyki, ul. Rejtana 16 A, 35-959 Rzeszów,
E-mail:
[email protected],
[email protected],
[email protected]
[m]długości 0.01[m] dla
Rys.5. RozkładDługość
BZT na
różnych chwil czasowych ( t1 = 0.5[h], t2=1[h]).
86
Технічні вісті 2008/1(27), 2(28)