1.13. Metoda sił

1.14. METODA SIŁ
1.14.1. Wprowadzenie
Metoda sił jest prostą metodą rozwiązywania (obliczania reakcji podporowych oraz
wyznaczania sił przekrojowych) statycznie niewyznaczalnych (zewnętrznie i wewnętrznie)
układów prętowych. Istota metody polega na modyfikacji statycznie niewyznaczalnego
układu rzeczywistego, czyli pozbawieniu go tylu nadliczbowych więzów, ile wynosi
stopień jego statycznej niewyznaczalności. W otrzymanym w ten sposób układzie
statycznie wyznaczalnym, zwanym układem podstawowym, w miejsce myślowo
usuniętych więzów wstawiamy niewiadome siły, zwane siłami hiperstatycznymi albo
nadliczbowymi. Siły te są siłami uogólnionymi, czyli siłami skupionymi w przypadku
usunięcia więzów uniemożliwiających przesunięcie, natomiast momentami skupionymi w
przypadku usunięcia więzów uniemożliwiających obroty. Pozbawiając rozpatrywany układ
nadliczbowych więzów musimy pamiętać o tym, aby pozostał on geometrycznie
niezmienny. Ponieważ istnieje kilka możliwości wyboru układu podstawowego, to należy
wybrać ten, który zapewnia najmniejszą pracochłonność obliczeń. Należy podkreślić, że
wyniki obliczeń nie zależą od przyjętego układu podstawowego.
1.14.2. Układ równań kanonicznych metody sił
Rozpatrzmy zatem układ prętowy n krotnie statycznie niewyznaczalny. Pozbawiając ten
układ n nadliczbowych więzów dostajemy układ podstawowy, w którym w miejsce
usuniętych więzów wstawiamy siły hiperstatyczne X 1,K, X n . Ponieważ punkty, w których
usunięto więzy mogą się przemieszczać, zatem w każdym z tych punktów możemy
określić przemieszczenie uogólnione (przemieszczenie lub obrót), δ 1,K, δ n , na
kierunkach określonych przez usunięte więzy. Każde takie przemieszczenie jest funkcją sił
hiperstatycznych i zadanego obciążenia, czyli
δ i = δ i ( X 1,K, X n , P ), i = 1,K, n
(1)
Wykorzystując zasadę superpozycji możemy powyższą zależność zapisać w postaci
δ i = δ i (X 1 ) + K + δ i (X n ) + δ i (P )
= ∑ δ i (X j ) + δ i (P ),
n
(2)
i = 1,K, n
j =1
gdzie δ i (X j ) jest uogólnionym przemieszczeniem w punkcie
hiperstatyczną
i
wywołanym siłą
X j , natomiast δ i (P ) – przemieszczeniem w punkcie i
wywołanym
obciążeniem zewnętrznym.
Wykorzystując warunek zachowania kinematycznej zgodności układu rzeczywistego z
układem podstawowym, z którego wynika, że przemieszczenia uogólnione muszą być
równe zeru, otrzymujemy układ równań
∑ δ (X ) + δ (P ) = 0,
n
i
j
i = 1,K, n
i
(3)
j =1
z którego możemy wyznaczyć niewiadome wartości sił nadliczbowych. Poszczególne
równania powyższego układu są zsumowanymi przemieszczeniami na kierunkach
odrzuconych więzów.
Do obliczenia przemieszczeń występujących
wykorzystamy całkę Mohra (1.12.15) w postaci
δ i (X j ) =
M i × M (X j )
EI
w
powyższym
układzie
1
M i M (X j )dx,
EI ∫0
równań
l
=
M × MP
1
δ i (P ) = i
=
M i M P dx,
EI
EI ∫0
(4)
l
i, j = 1,K, n
gdzie M i jest momentem zginającym wywołanym siłą jednostkową X i = 1, M (X j ) –
momentem zginającym wywołanym siłą X j , M P – momentem zginającym wywołanym
obciążeniem zewnętrznym, natomiast EI jest sztywnością pręta przy zginaniu.
Liniowość funkcji M (X j ) , czyli
M (X j ) = M j X j
(5)
pozwala zapisać zależności (4) jako
δ i (X j ) =
Mi × M j
X j , δ i (P ) =
EI
Mi × MP
,
EI
i, j = 1,K, n
(6)
Podstawiając (6) do równań (3) dostajemy kanoniczny układ równań metody sił w
następującej postaci:
n
∑δ
ij
X j + δ iP = 0,
i = 1,K, n
(7)
j =1
gdzie δ ij jest uogólnionym przemieszczeniem w punkcie i wywołanym siłą jednostkową
X j = 1 przyłożona w punkcie
j , natomiast δ iP – przemieszczeniem w punkcie i
wywołanym obciążeniem zewnętrznym. Czyli pierwszy indeks przy symbolu oznaczającym
przemieszczenie określa jego miejsce i kierunek wyznaczony przez siłę X i , natomiast
drugi określa przyczynę wywołujący to przemieszczenie.
Współczynniki powyższego układu równań obliczamy ze wzorów
δ ij =
δ iP
Mi × M j
= δ ji
EI
M × MP
= i
, i, j = 1,K, n
EI
(8)
W przypadku konieczności uwzględnienia wpływu sił podłużnych na przemieszczenia
uogólnione układu prętowego powyższe wzory przyjmują postać
δ ij =
δ iP
Mi × M j
Ni × N j
= δ ji
EI
EA
M × M P N i × NP
= i
+
, i, j = 1,K, n
EI
EA
+
(9)
gdzie Ni jest siłą podłużną wywołaną siłą jednostkową przyłożoną w punkcie i , NP – siłą
podłużną wywołaną obciążeniem zewnętrznym, natomiast EA jest sztywnością pręta przy
rozciąganiu.
Układ równań kanonicznych metody sił możemy też zapisać w postaci macierzowej
[δ ]{X }+ {δ } = {0}
ij
j
iP
(10)
gdzie [δ ij ] jest macierzą podatności układu.
Przykład 1. Obliczyć reakcje oraz sporządzić wykresy sił przekrojowych w przypadku belki o schemacie
statycznym, wymiarach i obciążeniu jak na rys. P1.1.
Rys. P1.1
Dane: P, l, E, I
Szukane: H A,VA, M A,VB , T , M
Rozwiązanie:
Krok 1. Sprawdzamy stopień statycznej niewyznaczalności belki
Belka jest jednokrotnie statycznie niewyznaczalna, n = 1 , zatem układ równań kanonicznych metody sił (7)
sprowadza się do jednego równania w postaci
δ11X1 + δ1P = 0
Krok 2. Modyfikujemy układ rzeczywisty przez odrzucenie podpory B . Otrzymujemy w ten sposób układ
podstawowy w postaci belki utwierdzonej w punkcie A (nie jest to oczywiście jedna możliwości doboru
układu podstawowego). Następnie wstawiamy w miejsce odrzuconej podpory siłę hiperstatyczną X1 i
rysujemy wykresy momentów zginających M1 i MP (rys. P1.2)
Rys. P1.2
Krok 3. Korzystając ze wzorów (8) oraz (1.12.28) obliczamy potrzebne współczynniki równania
δ11 =
3
M1 × M1
l
(2 ⋅ l ⋅ l + 0 + 0 + 0) = l
=
EI
6EI
3EI
δ1P =
3
M1 × MP
l
(2 ⋅ Pl ⋅ l + 0 + Pl ⋅ l + 0) = − Pl
=−
EI
6EI
2EI
Krok 4. Obliczamy siłę hiperstatyczną i reakcje podporowe
Podstawiając powyższe współczynniki do równania metody sił dostajemy
X1 = −
δ1P
δ11
Pl 3
3P
= − 23EI =
2
l
3EI
−
Stąd
3P
= −VA
2
Pl
3P
M A = −Pl +
⋅l =
2
2
VB = X1 =
Krok 5. Sporządzamy wykresy siły poprzecznej i momentu zginającego (rys. P1.3)
Rys. P1.3
Przykład 2. Obliczyć reakcje oraz sporządzić wykresy sił przekrojowych w przypadku ramy o schemacie
statycznym, wymiarach i obciążeniu jak na rys. P2.1.
Rys. P2.1
Dane: P, l, E, I
Szukane: H A,VA, M A, HB ,VB , N,T , M
Rozwiązanie:
Krok 1. Sprawdzamy stopień statycznej niewyznaczalności ramy
Rama jest dwukrotnie statycznie niewyznaczalna, n = 2 , zatem układ równań kanonicznych metody sił (7)
przyjmie postać
δ11X1 + δ12 X 2 + δ1P = 0
δ 21X1 + δ 22 X 2 + δ 2P = 0
Krok 2. Modyfikujemy układ rzeczywisty, przyjmując jako układ podstawowy ramę podpartą przegubowo w
punkcie A oraz podpartą przegubowo-przesuwnie w punkcie B (jest to oczywiście jedna z wielu możliwości
doboru układu podstawowego). Do podpory B przykładamy nadliczbową (niewiadomą) siłę X 1 , natomiast
do podpory A – nadliczbowy (niewiadomy) moment zginający X 2 (rys. P2.2).
Rys. P2.2
Następnie rysujemy wykresy momentów zginających M1 , M2 i MP (rys. P2.3)
Rys. P2.3
Krok 3. Korzystając ze wzorów (8) oraz (1.12.28) obliczamy potrzebne współczynniki
M1 × M1
1 1
2
2l 3
= 2⋅
⋅ ⋅l ⋅l ⋅ l =
EI
EI 2
3
3EI
δ11 =
δ12 = δ 21 =
M1 × M2
1 1
2
1 
5l 2
= −  ⋅ 1 ⋅ l ⋅ l + 1⋅ l ⋅ l  = −
EI
EI  2
3
2 
6EI
δ 22 =
M 2 × M2
1
1
2 
4l
=
1⋅ l ⋅ 1 + ⋅ 1⋅ l ⋅ 1 =
EI
EI 
2
3  3EI
δ1P =
M1 × MP
1  1 Pl
2
l  Pl
3Pl l 
3Pl 3
=−
⋅
⋅
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
=
−
l
l
l
4




EI
EI  2 2
3
6 2
8 2 
8EI
δ 2P =
M2 × MP
1  1 Pl
2
l  Pl
3Pl  Pl 2
=
⋅
⋅
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅ 1 =
l
l
1
4


EI
EI  2 2
3
6 2
8
 2EI
Krok 4. Rozwiązujemy układ równań i obliczamy siły hiperstatyczne, oraz reakcje podporowe
Podstawiając powyższe współczynniki do układu równań metody sił dostajemy
2l 3
5l 2
3Pl 3
X1 −
X2 −
= 0 → 16lX1 − 20 X 2 − 9lP = 0
3EI
6EI
8EI
−
5l 2
4l
Pl 2
X1 +
X2 +
= 0 → −5lX1 + 8 X 2 + 3lP = 0
6EI
3EI
2EI
lub w postaci macierzowej
 16l
− 5l

− 20  X 1   4lP 
 =

8   X 2  − 3lP 
Rozwiązując powyższy układ równań otrzymujemy
X1 =
3P
,
7
X2 = −
3Pl
28
Zatem reakcje podporowe przyjmują następujące wartości:
HA =
4P
,
7
VA = VB =
HB = X 1 =
3P
7
P
28
MA = − X 2 =
3Pl
28
Krok 5. Sporządzamy wykresy sił podłużnych, poprzecznych i momentów zginających (rys. P2.4)
Rys. P2.4
Współrzędną xo punktu, w którym funkcja momentów zginających osiąga maksimum wyznaczamy z
warunku
4P
3P
7 = 7 → x = 4l
o
xo
l − xo
7
Zatem
4l  4P 4l 3Pl P 4l 1 4l 11Pl

Mmax = M  xo =  =
⋅ −
− ⋅ ⋅ ⋅
=
7
7 7
28
l 7 2 7
196

Krok 6. Sprawdzamy poprawność uzyskanych wyników
Sprawdzenie poprawności uzyskanych wyników polega na wykazaniu, że w przypadku tych punktów układu
rzeczywistego, których przemieszczenia są znane, obliczone wartości przemieszczeń są równe wartościom
tam występującym.
Przemieszczenie dowolnego punktu K układu rzeczywistego obliczamy ze wzoru
δK =
M1 × M
EI
gdzie M jest momentem zginającym w układzie rzeczywistym (statycznie niewyznaczalnym), natomiast
M1 – momentem zginającym w dowolnym układzie podstawowym (statycznie wyznaczalnym) od siły
jednostkowej przyłożonej w miejscu i kierunku poszukiwanego przemieszczenia.
Należy podkreślić, iż sprawdzeń tego typu jest wiele, gdyż do obliczeń możemy przyjąć różne układu
podstawowe. Sprawdzenie należy jednak przeprowadzać na innym układzie podstawowym, niż przy
wyznaczaniu niewiadomych sil hiperstatycznych.
Przyjmując jako układ podstawowy ramę podpartą przegubowo-przesuwnie w punkcie A oraz podpartą
przegubowo w punkcie B , wyznaczymy przemieszczenie poziome δ A podpory A w układzie rzeczywistym
(rys. P2.5).
Rys. P2.5
Wykorzystując wykres momentów zginających w układzie rzeczywistym M (rys. P2.4) oraz wykres
momentów zginających M1 od poziomej siły jednostkowej przyłożonej do podpory A (rys. P2.6)
otrzymujemy
Rys. P2.6
δA =
M1 × M
1  1 Pl
2
l  3Pl l Pl  Pl 3  1
1
=
⋅ l ⋅ l + 4 ⋅
⋅ −
⋅ l  =
+
=0
−
− ⋅
EI
EI  2 28
3
6
56 2 28  EI  84 84 
Z powyższego wzoru wynika, że uzyskane wyniki są poprawne, gdyż z uwagi na utwierdzenie ramy w tym
miejscu, punkt A nie może doznać przemieszczenia poziomego.
Przykład 3. Wyznaczyć reakcje w przypadku ramy z przykładu 2 przy innej modyfikacji układu rzeczywistego
(przy innym układzie podstawowym).
Jako układ podstawowy przyjmiemy tym razem ramę utwierdzoną w punkcie A . Przykładając w miejscu
odrzuconej podpory B nadliczbowe (niewiadome) siły X1 i X 2 (rys. P3.1)
Rys. P3.1
otrzymujemy wykresy momentów zginających M1 , M2 i MP jak na rys. P3.2.
Rys. P3.2
Następnie obliczamy potrzebne współczynniki
M1 × M1
1 1
2
l3
=
⋅ ⋅l ⋅l ⋅ l =
EI
EI 2
3
3EI
δ11 =
M1 × M2
1 1
l3
=
⋅l ⋅l ⋅l =
EI
EI 2
2EI
M 2 × M2
1
1
2 
4l
=
=
l ⋅ l ⋅ l + ⋅ l ⋅ l ⋅ l  =
EI
EI 
2
3  3EI
δ12 = δ 21 =
δ 22
δ1P =
M1 × MP
1 1 Pl
3
Pl 3
=−
⋅
⋅l ⋅ l = −
EI
EI 3 2
4
8EI
δ 2P =
M2 × MP
Pl 3
1 1 Pl
=−
⋅
⋅l ⋅l =
EI
EI 3 2
6EI
Podstawiając powyższe współczynniki do układu równań metody sił dostajemy
l3
l3
Pl 3
X1 +
X2 −
= 0 → 8 X1 + 12 X 2 − 3P = 0
3EI
2EI
8EI
l3
4l
Pl 2
X1 +
X2 −
= 0 → 6 X1 + 16 X 2 − 2P = 0
2EI
3EI
6EI
Rozwiązując powyższy układ równań otrzymujemy
X1 =
3P
,
7
X2 = −
3Pl
28
Wykorzystując powyższe siły hiperstatyczne w równaniach równowagi otrzymujemy następujące wartości
reakcji podporowych
HA =
4P
,
7
HB = X 1 =
VA = VB = − X 2 =
MA =
3P
7
P
28
3Pl
28
Są one identyczne, jak w przypadku układu podstawowego przyjętego w przykładzie 2, czyli potwierdzają
niezależność wyników obliczeń od przyjętego układu podstawowego.