Ćwiczenie nr 1. Ustalony i nieustalony dwuwymiarowy przepływ

Ćwiczenie nr 1.
Ustalony i nieustalony dwuwymiarowy przepływ ciepła.
Celem ćwiczenia jest prezentacja i wykorzystanie zaawansowanego środowiska
programowania - Visual Studio 6.0, przeznaczonego do tworzenia aplikacji dla systemu
Windows 95/98/NT. Na podstawie prostego zadania polegającego na rozwiązaniu
zagadnienia ustalonego i nieustalonego przepływu ciepła w prostokątnej płycie,
przedstawione zostanie zastosowanie klas MFC (Microsoft Foundation Class) do stworzenia
mechanizmów pozwalających na swobodną kontrolę parametrów analizowanego zagadnienia.
Wymagana wiedza z zakresu:
ü znajomość systemu Windows NT oraz programowania w języku C++
ü aproksymacja przestrzenna metodą różnic centralnych
ü metoda niejawna całkowania w czasie
ü rozwiązywanie układów równań liniowych metodami numerycznymi
1. Sformułowanie zagadnienia.
Model matematyczny zjawiska przepływu ciepła dany jest następującym równaniem:
ρ ⋅ cp ⋅
∂  ∂T  ∂  ∂T  ∂  ∂T 
∂T
 + k ⋅
= k ⋅

 + k ⋅
∂t ∂x  ∂x  ∂y  ∂y  ∂z  ∂z 
(1)
gdzie:
T = T ( x, y, z , t )
ρ = ρ ( x, y, z , T )
k = k ( x, y , z , T )
cp
 temperatura
 gęstość
 przewodność cieplna
 pojemność cieplna właściwa
W przypadku dwuwymiarowym, gdy rozkład temperatury jest wyłącznie funkcją czasu oraz
zmiennych przestrzennych (x,y), przy założeniu k = const oraz ρ = const , równanie (1) po
uwzględnieniu (∂T/∂z = 0) sprowadza się do postaci:
∂T
k
=
∂t ρ ⋅ c p
 ∂ 2T ∂ 2T 
⋅  2 + 2 
∂y 
 ∂x
(2)
Poprawne sformułowanie zagadnienia brzegowo-początkowego danego powyższym
równaniem wymaga określenia warunków początkowych – rozkładu temperatury w chwili
czasu t = 0 oraz postawienia warunków brzegowych na brzegu δΩ obszaru
obliczeniowego Ω.
Pełny opis matematyczny rozważanego zagadnienia z warunkami brzegowymi typu Dirichleta
dany jest następującymi związkami:

 ∂ 2T ∂ 2T 
∂T
k


x
,
y
∈
Ω
,
t
>
0
:
=
⋅
+

∂t ρ ⋅ c p  ∂x 2 ∂y 2 


T ( x, y, t = 0) = T0 ( x, y )
 x, y ∈ Ω , t = 0 :


 x, y ∈ δΩ , t > 0 : T ( x, y, t ) = Tbi , i = 1K 4

2. Metoda rozwiązania.
Dyskretyzaja przestrzenna równania (2) metodą różnic centralnych II rzędu na siatce
obliczeniowej (Rys.1) dla węzła (i,j) sprowadza je do następującej postaci:
∂T
k
=
∂t ρ ⋅ c p
 Ti +1, j − 2Ti , j + Ti −1, j Ti , j +1 − 2Ti , j + Ti , j −1 

+
⋅ 
2
2
∆
∆
x
y


Rys. 1. Siatka obliczeniowa
(3)
2.1 Zagadnienie ustalone.
W przypadku ustalonego przepływu ciepła (∂T/∂t = 0) równanie (3) sprowadza się do
postaci:
k
ρ ⋅ cp
 Ti +1, j − 2Ti , j + Ti −1, j Ti , j +1 − 2Ti , j + Ti , j −1 
 = 0
⋅ 
+
∆x 2
∆y 2


(4)
Sformułowanie analogicznych równań dla wszystkich wewnętrznych węzłów siatki
obliczeniowej oraz uwzględnienie warunków brzegowych tworzy zamknięty liniowy układ
równań, którego rozwiązaniem jest poszukiwany rozkład temperatury w płycie. Przykładowy
układ równań dla siatki obliczeniowej przedstawionej na Rys.2 dany jest związkami (5).
Rys.2 Siatka obliczeniowa.
(5a)
A⋅T = B
⇓
2
2
+
∆x 2 ∆y 2
1
−
∆x 2
0
−
−
0
2
2
+ 2
2
∆x
∆y
1
−
∆x 2
2
2
+
2
∆x
∆y 2
0
0
1
∆y 2
0
1
∆y 2
0
1
∆x 2
−
−
−
1
∆x 2
1
∆y 2
0
−
0
2
2
+
∆x 2 ∆y 2
1
−
∆x 2
0
0
1
− 2
∆y
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
−
0
0
0
0
0
1
∆y 2
0
0
0
0
1
∆y 2
0
0
1
∆y 2
0
0
−
−
1
∆x 2
0
2
2
+
2
∆x
∆y 2
1
−
∆x 2
2
2
+
∆x 2 ∆y 2
0
0
1
∆y 2
0
1
∆y 2
−
0
−
−
1
∆x 2
1
∆y 2
−
0
−
0
2
2
+ 2
2
∆x
∆y
1
−
∆x 2
0
1
∆y 2
0
−
1
∆x 2
2
2
+
∆x 2 ∆y 2
1
−
∆x 2
TA
T
+ D2
2
∆y
∆x
TA
∆y 2
TA
T
+ B2
2
∆y
∆x
TD
∆x 2
T2,2
T3,2
T4,2
0
T2,3
0
0
⋅ T3,3 =
T4,3
1
TB
− 2
T2,4
∆y
∆x 2
T3,4
TD
T
0
+ C2
2
T4,4
∆x
∆y
1
TC
−
∆x 2
∆y 2
2
2
TC
T
+ 2
+ B2
2
2
∆x
∆y
∆y
∆x
0
(5b)