wyniki l2

Transkrypt

wyniki l2

MINISTERSTWO EDUKACJI
NARODOWEJ
Leszek Wiatr
Wykorzystywanie teorii błędów do opracowywania
pomiarów geodezyjnych 311[10].Z1.07
Poradnik dla ucznia
Wydawca
Instytut Technologii Eksploatacji – Państwowy Instytut Badawczy
Radom 2007
„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”
Recenzenci:
dr inŜ. BoŜena Wasielewska
mgr inŜ. Sylwia Mikulska
Opracowanie redakcyjne:
mgr inŜ. Barbara Kapruziak
Konsultacja:
mgr Małgorzata Sienna
Poradnik stanowi obudowę dydaktyczną programu jednostki modułowej 311[10].Z1.07
„Wykorzystywanie teorii błędów do opracowywania wyników pomiarów geodezyjnych”,
zawartej w modułowym programie nauczania dla zawodu technik geodeta.
Wydawca
Instytut Technologii Eksploatacji – Państwowy Instytut Badawczy, Radom 2007
1
SPIS TREŚCI
1.
2.
3.
4.
Wprowadzenie
Wymagania wstępne
Cele kształcenia
Materiał nauczania
4.1. Wykorzystywanie teorii błędów do opracowywania wyników pomiarów
4.1.1. Materiał nauczania
4.1.2. Pytania sprawdzające
4.1.3. Ćwiczenia
4.1.4. Sprawdzian postępów
4.2. Wyrównanie metodą pośredniczącą
4.2.3. Ćwiczenia
4.3. Wyrównanie spostrzeŜeń metodą warunkową
4.3.3. Ćwiczenia
5. Sprawdzian osiągnięć
6. Literatura
2
3
5
6
7
7
7
27
27
28
29
29
50
50
51
52
52
60
61
62
63
68
1. WPROWADZENIE
Poradnik będzie Ci pomocny w przyswajaniu wiedzy o wykorzystaniu teorii błędów do
opracowywania wyników pomiarów geodezyjnych.
W poradniku znajdziesz:
− wymagania wstępne, czyli wykaz umiejętności jakie powinieneś mieć juŜ ukształtowane,
abyś bez problemów mógł korzystać z poradnika,
− cele kształcenia, czyli wykaz umiejętności, jakie ukształtujesz podczas pracy
z poradnikiem,
− materiał nauczania, czyli wiadomości teoretyczne niezbędne do opanowania treści
jednostki modułowej,
− zestaw pytań, abyś mógł sprawdzić, czy juŜ opanowałeś określone treści,
− ćwiczenia, które pomogą Ci zweryfikować wiadomości teoretyczne oraz ukształtować
umiejętności praktyczne,
− sprawdzian postępów i osiągnięć - przykładowy zestaw zadań. Zaliczenie testu
potwierdzi opanowanie materiału całej jednostki modułowej.
Wykorzystanie teorii błędów jest zagadnieniem sprawiającym trudności w zrozumieniu
i opanowaniu materiału przez przyszłych geodetów. W związku z tym, przy omawianiu
poszczególnych zagadnień, w poradniku zastosowano szereg róŜnorodnych przykładów, aby
wprowadzić Cię na właściwy tok myślenia.
3
311[10].Z1
Mapa sytuacyjno-wysokościowa
311[10].Z1.01
Stosowanie instrumentów geodezyjnych
311[10].Z1.02
Opracowywanie mapy sytuacyjnej
311[10].Z1.03
Aktualizacja mapy sytuacyjnej na podstawie
pomiarów terenowych
311[10].Z1.04
Opracowywanie przekrojów podłuŜnych
i poprzecznych
311[10].Z1.05
Wykonywanie mapy warstwicowej
311[10].Z1.06
Stosowanie rachunku współrzędnych
w obliczeniach geodezyjnych
311[10].Z1.07
Wykorzystywanie teorii błędów do
opracowywania pomiarów geodezyjnych
311[10].Z1.08
Projektowanie, pomiar i wyrównanie
szczegółowej osnowy geodezyjnej
311[10].Z1.09
Wykonywanie pomiarów sytuacyjnych
i sytuacyjno-wysokościowych
311[10].Z1.10
Sporządzenie mapy
sytuacyjno-wysokościowej na podstawie
pomiarów terenowych
311[10].Z1.11
Stosowanie technologii GPS w pomiarach
geodezyjnych
Schemat układu jednostek modułowych
4
2. WYMAGANIA WSTĘPNE
−
−
−
−
−
−
−
−
−
Przystępując do realizacji programu jednostki modułowej powinieneś umieć:
posługiwać się podstawowymi pojęciami z zakresu pomiarów geodezyjnych,
stosować podstawowe zasady rachunku prawdopodobieństwa,
stosować zasady zaokrąglania i zapisu liczb,
stosować działania na liczbach przybliŜonych (reguły Kryłowa-Bradisa),
obliczać pochodne funkcji najczęściej występujących w zadaniach geodezyjnych,
przeliczać kąty wyraŜone w stopniach, gradach lub radianach,
korzystać z róŜnych źródeł informacji,
obsługiwać komputer,
współpracować w grupie.
5
3. CELE KSZTAŁCENIA
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
W wyniku realizacji programu jednostki modułowej powinieneś umieć:
rozróŜnić źródła błędów i dokonać ich podziału,
scharakteryzować rodzaje błędów występujących w pomiarach geodezyjnych,
określić zadania rachunku wyrównawczego,
posłuŜyć się podstawową wiedzą z zakresu rachunku wyrównawczego,
określić miary charakteryzujące dokładność pomiarów,
zastosować prawo przenoszenia się błędów średnich Gaussa,
wyrównać spostrzeŜenia bezpośrednie jednakowo dokładne,
wyrównać spostrzeŜenia bezpośrednie niejednakowo dokładne,
wyrównać pary spostrzeŜeń,
wyrównać spostrzeŜenia pośredniczące,
zastosować metodę warunkową,
wyrównać spostrzeŜenia zawarunkowane,
wyrównać spostrzeŜenia metodami ścisłymi z wykorzystaniem komputerowych,
programów obliczeniowych.
6
4. MATERIAŁ NAUCZANIA
4.1.
Wykorzystywanie teorii
wyników pomiarów
błędów
do
opracowywania
Źródła błędów spostrzeŜeń
Wyniki pomiarów geodezyjnych zwane takŜe obserwacjami lub częściej spostrzeŜeniami
(L1, L2, …Ln) nigdy nie są bezbłędne, lecz stanowią jedynie wartości przybliŜone pewnych
nieznanych wartości prawdziwych wielkości mierzonych. SpostrzeŜenia obarczone są
licznymi błędami wynikającymi z niedoskonałości przyrządów pomiarowych, zmysłów
obserwatora oraz zmienności warunków atmosferycznych i środowiskowych podczas
wykonywania pomiarów.
W zaleŜności od źródeł powstawania i charakteru ich wpływu na rezultat pomiaru moŜna
dokonać podziału błędów na trzy grupy:
a) błędy grube tzw. omyłki, które spowodowane są niedyspozycją lub nieuwagą
obserwatora. Typowym przykładem błędu grubego jest zapisanie błędnej ilości pełnych
przyłoŜeń taśmy. Zastąpienie ręcznego notowania obserwacji w dziennikach
pomiarowych przez elektroniczny zapis danych pomiarowych znacznie zmniejsza
prawdopodobieństwo popełnienia błędów grubych.
Błędy grube muszą być bezwzględnie wyeliminowane z materiału obserwacyjnego przed
przystąpieniem do wyrównania.
b) błędy systematyczne, które powstają wskutek działania ustalonych prawidłowości
w określonych warunkach pomiaru.
Źródła tych błędów mogą wynikać z następujących przyczyn:
– instrumentalnych,
spowodowanych
wadami
instrumentów
(przymiarów,
niwelatorów, teodolitów, dalmierzy itp.)
– osobowych, związanymi ze stałymi nawykami obserwatora np. błędu celowania
– środowiskowych, wynikających z działania znanych praw związanych z określonymi
warunkami pomiaru np. nieuwzględnienie temperatury, ciśnienia atmosferycznego
czyrefrakcji atmosferycznej.
Błędy systematyczne są przewaŜnie stałe co do znaku i wartości liczbowej np. błąd
miejsca zera podczas pomiaru kątów pionowych. Błędy systematyczne usuwamy
z wyników obserwacji w miarę ich ujawniania
c) błędy przypadkowe, które mają charakter losowy i w przeciwieństwie do błędów grubych
i systematycznych są niemoŜliwe do wyznaczenia i wyeliminowania ze względu na ich
losową zmienność co do wartości liczbowej jak i znaku.
Błędy te występują w róŜnym nasileniu i wynikają z mniej lub bardziej znanych przyczyn
trudnych do ścisłego określenia takich jak: niedoskonałość instrumentu i wzroku
obserwatora zmienne warunki atmosferyczne czy oświetleniowe. Podczas pomiarów
prawdopodobieństwo popełnienia błędów przypadkowych ze znakami plus i minus jest
jednakowe.
Rodzaje błędów:
Błąd prawdziwy „ε” jest to róŜnica między wartością pomierzoną „L0” i wartością
prawdziwą spostrzeŜenia „X”:
7
ε = Lo – X
czyli
X = Lo – ε
W równaniu tym znana jest tylko wartość pomierzona, poniewaŜ wartość prawdziwa
wielkości mierzonej jest z reguły nieznana, zatem nie jest takŜe znany błąd prawdziwy
spostrzeŜenia. W praktyce geodezyjnej dąŜymy do uzyskania wartości najbliŜszych wartości
prawdziwej. Będzie to wartość najbardziej prawdopodobna, otrzymana z wyrównania
spostrzeŜeń.
Błąd pozorny spostrzeŜenia „-v” jest to róŜnica pomiędzy wartością pomierzoną
i wartością wyrównaną spostrzeŜenia „Lw”.
-v = Lw – Lo
Poprawka wyrównawcza „v” jest to wielkość równa błędowi pozornemu, lecz
z przeciwnym znakiem. Wartość poprawki „v” naleŜy dodać do spostrzeŜenia „Lo” aby
otrzymać jego wartość wyrównaną „Lw”
Lo + v = Lw
Zadania rachunku wyrównawczego
KaŜdy pomiar jakiejkolwiek wielkości niewiadomej zawsze jest obciąŜony większym lub
mniejszym błędem przypadkowym. Dlatego teŜ, jeŜeli do wyznaczenia jakiejkolwiek
wielkości pojedynczej czy większej liczby niewiadomych, związanych znanymi funkcyjnymi
zaleŜnościami z pośrednio mierzonymi wielkościami, wykonamy więcej spostrzeŜeń niŜ to
jest niezbędne dla jednoznacznego wyznaczenia niewiadomych, to na ogół nie otrzymamy
jednoznacznego rozwiązania zadania. Wykorzystując wyniki bezpośrednich pomiarów
kaŜdorazowo otrzymamy inny wynik dla szukanej wielkości, wyniki będą jednak zbliŜone do
siebie. W związku z tym powstaje zagadnienie ustalenia na podstawie wyników
bezpośrednich spostrzeŜeń, takich wartości niewiadomych, które byłyby najbardziej
prawdopodobne. W tym celu naleŜy wyniki obserwacji tak między sobą uzgodnić, aby
dawały jednoznacznie najbardziej prawdopodobne rozwiązanie. Uzgodnienie to nosi ogólną
nazwę rachunku wyrównawczego i polega na tym, Ŝe do wyników bezpośrednich spostrzeŜeń
naleŜy obliczyć takŜe poprawki „v”, aby wielkości poprawione dały jednoznaczny układ
wartości niewiadomych.
Podstawy rachunku wyrównawczego.
Błędy przypadkowe moŜna uznać za zdarzenia losowe, do których stosuje się zasady
rachunku prawdopodobieństwa i teorii błędów. Prawdopodobieństwo wystąpienia błędów
przypadkowych zostało ustalone przez niemieckiego matematyka i geodetę C. F. Gaussa
(1777–1855) w postaci prawa błędów Gaussa-Laplace’a, a wykresem jest krzywa
prawdopodobieństwa popełnienia błędu przypadkowego zwana krzywą de Moivre’a-Gaussa
(rys. 1), gdzie φ(ε) jest funkcją określającą zmiany prawdopodobieństwa pojawienia się błędu
„εi”.
8
Rys. 1. Krzywa prawdopodobieństwa popełnienia błędu przypadkowego ε [opracowanie własne]
−
−
−
−
−
Z krzywej prawdopodobieństwa wynikają następujące wnioski:
najbardziej prawdopodobne jest pojawienie się błędu przypadkowego „ε” równego zero,
prawdopodobieństwo błędów o tej samej wartości bezwzględnej, lecz z róŜnymi znakami
jest jednakowe,
prawdopodobieństwo błędu mniejszego jest większe niŜ prawdopodobieństwo błędu
większego,
zwiększenie dokładności pomiaru powoduje zmniejszenie prawdopodobieństwa
pojawienia się błędów o duŜych wartościach liczbowych,
przy zwiększeniu liczby spostrzeŜeń „n” suma błędów przypadkowych [ε] dąŜy do zera.
Zgodnie z załoŜeniami Gaussa funkcja rozkładu błędów przypadkowych osiąga
maksimum (największą wiarygodność) przy spełnieniu warunku
[εε] = minimum
Najbardziej wiarygodne byłoby, gdyby poprawki „vi” były równe błędom prawdziwym „εi”
z przeciwnym znakiem
[vv] = minimum
Miary dokładności spostrzeŜeń
Błędy za pomocą, których charakteryzuje się dokładność obserwacji mogą być
następujące:
− błąd absolutny „ma” przypadający na całą nieznaną wielkość
− błąd względny „mw” przypadający na jednostkę mierzonej wielkości, czyli stosunek
błędu absolutnego do mierzonej wielkości „d”. Błąd ten wyraŜamy za pomocą ułamka
z jednością w liczniku i stosujemy tylko przy charakteryzowaniu dokładności pomiaru
długości lub powierzchni
ma
mw = d
9
−
błąd średni pojedynczego spostrzeŜenia „m” obliczony na podstawie błędów
prawdziwych
[εε]
n
m=
gdzie „n” jest liczbą błędów prawdziwych, a więc i liczbą spostrzeŜeń. Wobec braku
moŜliwości określenia błędów prawdziwych wzór ten jest rzadko stosowany.
W przypadku, gdy błędy prawdziwe nie są znane, średni błąd pojedynczego
spostrzeŜenia, obliczamy na podstawie błędów pozornych „v”
[vv]
m = n −1
−
błąd graniczny „g”, którego nazwa pochodzi stąd, Ŝe jego przekroczenie jest mało
prawdopodobne. Błąd ten wyznacza największą wartość błędu dopuszczalnego dla
danego pomiaru i przyjmowany jest zwykle, jako trzykrotna wartość błędu średniego
g=3m
W praktyce przyjmuje się , Ŝe „g” znajduje się w przedziale
2m ≤ g ≤ 3 m
Przykład 1
Długość boku poligonowego zmierzono 4-krotnie taśmą stalową uzyskując wyniki:
L1 = 195,46 m
L2 = 195,48 m
L3 = 193,50 m
L4 = 195,45 m
Oblicz błąd średni i graniczny, jeŜeli za długość prawdziwą przyjmiemy długość
zmierzoną tachimetrem elektronicznym, wynoszącą L = 195,456 m
εi = Li – L
ε1 =L1 – L = 195,46 – 195, 456 = 0,004 m
ε2 =L2 – L = 195,48 – 195, 456 = 0,024 m
ε3 =L3 – L = 195,50 – 195, 456 = 0,044 m
ε4 =L4 – L = 195,45 – 195, 456 = –0,006 m
[εε]
n
m=
0,004 2 + 0,024 2 + 0,044 2 + (− 0,006 )
m=±
4
m = ±0,024 [m]
g = 3 .m
g = ±0,075 [m]
2
JeŜeli błędy prawdziwe poszczególnych spostrzeŜeń nie przekraczają błędu granicznego,
to wówczas spostrzeŜenia te bierzemy do wyrównania. JeŜeli błąd dowolnego spostrzeŜenia
jest większy od błędu granicznego to wówczas spostrzeŜenia tego nie uwzględniamy przy
wyrównaniu.
10
Przykład 2
Pomierzyliśmy długość L = 200 m ze średnim błędem m = ±2 cm. Oblicz błąd względny
tej długości.
m
mw =
L
mw =
±2cm
±2cm
1
=
=±
= ±0, 0001
200m 20000cm
10000
m w = 100ppm
(parts per million)
Własności średniej arytmetycznej i błędów pozornych
Obserwacje L1, L2, …Ln otrzymane w wyniku pomiarów tej samej wielkości, stanowiącej
niewiadomą, nazywamy spostrzeŜeniami bezpośrednimi. NiezaleŜnie od zwiększania liczby
pomiarów „n”, nieznana wartość prawidłowa „X” tej wielkości nie daje się określić.
Poszukujemy, zatem jej najbardziej prawdopodobną wartość „x” spełniającą związek:
x = Li + vi
Uwzględniając zasadę, Ŝe [vv] = min., otrzymujemy:
[vv] = (x–L1)2+(x–L2)2+…+(x–Ln)2 = n.x2–2x.[L]+[LL]
Otrzymana funkcja przedstawia funkcję typu y = ax²+bx+c, minimum tej funkcji występuje
−b
[L] .
dla wartości x min =
. PoniewaŜ a = n, b = − 2. [L], więc x =
2a
n
Najbardziej prawdopodobną wartością dla spostrzeŜeń L1, L2, …Ln jest średnia arytmetyczna,
czyli suma spostrzeŜeń podzielona przez liczbę pomiarów. Dla uniknięcia duŜych liczb
średnią arytmetyczną moŜemy obliczać za pomocą wartości przybliŜonej „xo”
[∆L]
x = xo + n
Wielkość „xo” moŜe mieć dowolną wartość, jednak dla wygody obliczeń najprościej jest
przyjąć jako „xo” najmniejsze ze spostrzeŜeń. Wielkości ∆L stanowią róŜnicę pomiędzy
kolejnymi spostrzeŜeniami a wartością „xo”
∆Li = Li – xo
Po wyznaczeniu średniej arytmetycznej obliczamy poprawki poszczególnych spostrzeŜeń
vi = x – Li
PoniewaŜ suma poprawek spełnia zaleŜność [v] = n.x – [L], to podstawiając do równania
[L] , otrzymamy [v] = 0.
wartość x =
n
Oceny dokładności pomiaru i wielkości wyrównanych dokonujemy przez obliczenie
średniego błędu pojedynczego spostrzeŜenia
[vv]
m = ± n −1
11
oraz średniego błędu średniej arytmetycznej „mx”
[vv]
m = ± n ⋅ (n-1)
x
Przykład 3
Długość boku zmierzono siedmiokrotnie. Oblicz wartość najprawdopodobniejszą
zmierzonej długości, średni błąd pojedynczego pomiaru oraz średni błąd
najprawdopodobniejszej długości.
Dane z pomiaru:
L1 = 195,45 m
L2 = 195,42 m
L3 = 193,47 m
L4 = 195,40 m
L5 = 195,39 m
L6 = 195,50 m
L7 = 193,46 m
Przyjmujemy wartość przybliŜoną (najlepiej przyjąć najmniejszą z wartości) L0 = 195,39 m.
Wartość najprawdopodobniejszą obliczymy ze wzoru:
∆Li
L w = L0 +
n
∆Li = Li − L 0
L w = 195.39 +
0.36
= 195, 44m
7
Obliczenie wartości poprawek do spostrzeŜeń:
v1 = Lw – L1 = 195,44 – 194,45 = –0,01
v2 = Lw – L2 = 195,44 – 194,42 = + 0,02
v3 = Lw – L3 = 195,44 – 194,47 = –0,03
v4 = Lw – L4 = 195,44 – 194,40 = + 0,04
v5 = Lw – L5 = 195,44 – 194,39 = + 0,05
v6 = Lw – L6 = 195,44 – 194,50 = –0,06
v7 = Lw – L7 = 195,44 – 194,46 = –0,02
Teoretyczna suma poprawek powinna równać się zero.
[v] = –0,01
Na skutek zaokrąglenia wartości najprawdopodobniejszej suma [v] ≠ 0, ale jest zbliŜona do zera.
Średni błąd pojedynczego pomiaru
m=±
[vv]
n-1
[vv] = 0,0095
n=7
12
m=±
0, 0095
= ±0, 04m
6
Średni błąd najprawdopodobniejszej długości
mL = ±
[vv]
n ⋅ (n-1)
0, 0095
7 ⋅ (7 − 1) = ±0, 015m
mL = ±
Wyrównana długość boku wyniesie
Lw = 195,44m ± 0,015 m
lub
Lw = 195,44m ± 15 mm
Prawo przenoszenia się błędów
PoniewaŜ wielkości obserwowane nie są bezbłędne, więc funkcje tych wielkości są takŜe
obarczone błędami. Przy rozwiązywaniu zadań geodezyjnych często zachodzi potrzeba
określenia dokładności funkcji wielkości obserwowanych.
Do wyznaczenia średniego błędu funkcji wielkości obserwowanych, niezaleŜnych od siebie,
których błędy średnie są znane, stosuje się sformułowane przez C.F. Gaussa prawo
przenoszenia się błędów średnich
2
mF =
2
 ∂F

 ∂F
  ∂F

⋅ m1  + 
⋅ m2  +⋅⋅⋅ + 
⋅ mn 

 ∂L1
  ∂L2

 ∂Ln

2
gdzie:
mF – błąd średni funkcji,
Li – wielkość obserwowana,
mi – średni błąd wielkości obserwowanej,
∂F
– pochodna cząstkowa funkcji względem ustalonej wielkości obserwowanej.
∂L
Błąd średni funkcji obserwacji jest równy pierwiastkowi z sumy kwadratów pochodnych
cząstkowych pomnoŜonych przez odpowiadające im średnie błędy zmiennych niezaleŜnych.
Wagę funkcji wyraŜa się wzorem
2
2
2
 ∂F  1
1  ∂F  1  ∂F  1
=
 ⋅
 ⋅ +
 ⋅ +... + 
pF  ∂L1  p1  ∂L2  p2
 ∂Ln  pn
13
Tabela 1. Zestawienie pochodnych funkcji najczęściej występujących w zadaniach geodezyjnych [opracowanie
własne]
Lp.
Nazwa funkcji
Funkcja
Pochodna
1
Stała
y=c
y’ = 0
2
Niewiadoma
y=x
y’ = 1
3
Potęga
y = xn
y’ = n . xn-1
4
Iloczyn liczby i potęgi
y = axn
y’ = n.a.xn-1
5
Pierwiastek
6
7
Suma lub róŜnica
Iloczyn
8
Iloraz
=
y= x
y’ 2 x
y = f ’(x)±g’(x)
’
y = f ‘(x).g(x)+f(x).g’(x)
’
y = f(x)±g(x)
y = f(x)⋅g(x)
y=
f (x)
g(x)
y=
=
y’
f ' (x) ⋅ g(x) − f (x) ⋅ g ' (x)
g 2 (x)
1
x
9
Odwrotność
10
11
Sinus
Cosinus
y = sinx
y = cosx
12
Tangens
y = tgx
13
Cotangens
y = ctgx
14
Arcus sinus
y = arc sinx
15
Arcus cosinus
y = arc cosx
16
Arcus tangens
y = arc tgx
17
Arcus cotangens
y = arc ctgx
18
ZłoŜona
y = g[f(x)]
gdzie f(x) = u
1
=−
1
x2
y’
y’ = cosx
y’ = -sinx
1
= 1 + tg 2 x
2
y cos x
1
= − 2 = −(1 + ctg 2 x)
sin x
y’
1
=
1− x2
y’
1
=−
1− x2
y’
1
=
2
y’ 1 + x
1
=−
1+ x2
y’
’
=
y’ = g’(u) . f ’(x)
Przykład 4
Działka budowlana ma kształt trapezu (rys. 2). Pomierzono w niej dwa boki równoległe
(a i b) oraz wysokość (h). Oblicz powierzchnię działki oraz jej błąd średni.
Rys. 2. Działka w kształcie trapezu [opracowanie własne]
14
Dane uzyskane z pomiaru:
a = 10,00 m ±0,15 m
b = 15,00 m ±0,20 m
h = 5,00 m ±0,10 m
Powierzchnia działki (funkcja spostrzeŜeń)
a+b
P=
⋅h
2
10m + 15m
P=
⋅ 5m = 62, 50m 2
2
Średni błąd powierzchni obliczamy ze wzoru
 ∂P 
 ∂P 
 ∂P 
m p = ±   ⋅ m a2 +   ⋅ m 2b +   ⋅ m 2h
 ∂a 
 ∂b 
 ∂h 
2
2
2
gdzie:
∂P h
=
∂a 2
∂P h
=
∂b 2
∂P a + b
=
∂h
2
Podstawiając wyliczone pochodne cząstkowe do wzoru, otrzymamy
h
h
a+b
2
m p = ±   ⋅ m a2 +   ⋅ m b2 + 
 ⋅ mh
2
2
 2 
2
2
2
m p = ± 2.52 ⋅ 0,152 + 2.52 ⋅ 0, 22 + 12.52 ⋅ 0,12 = ±1, 4m 2
P = 62,5 m2±1,4 m2
Przykład 5
Działka ma kształt kwadratu o długości boku 30 m. Z jaką dokładnością musimy
pomierzyć bok kwadratu, aby błąd obliczonej powierzchni działki nie przekraczał 2 m2?
Powierzchnia działki (funkcja spostrzeŜeń)
P = a2
 ∂P 
m p = ±   ⋅ m a2
 ∂a 
2
15
∂P
= 2a
∂a
m p = ±2a ⋅ m a
poniewaŜ
stąd
m p ≤ 2m 2
ma ≤ ±
to
m p ≤ ±2a ⋅ ma
mp
2a
2m 2
ma ≤ ±
2 ⋅ 30m
m a ≤ ±0, 03m
Odp. Bok kwadratu naleŜy pomierzyć co najmniej z dokładnością ±3 cm.
Przykład 6
Działka ma kształt trójkąta prostokątnego (rys. 3). Obliczyć długość przeciwprostokątnej
„c” mając dane przyprostokątne „a” i „b”, oraz podać z jakim błędem średnim „mc” jest ona
obliczona.
Rys. 3. Działka w kształcie trójkąta [opracowanie własne]
a = 120,00 m ±0,06 m
b = 50,00 m ±0,02 m
Długość przeciwprostokątnej (funkcja spostrzeŜeń)
c = a 2 + b2
c = 1202 + 502 = 130m
Średni błąd długości przeciwprostokątnej „mc” wyniesie
 ∂c 
 ∂c 
m c = ±   ⋅ m a2 +   ⋅ m b2
 ∂a 
 ∂b 
∂c
1
a
a
=
⋅ 2a =
=
2
2
2
2
∂a 2 a + b
c
a +b
2
2
∂c
1
b
b
=
⋅ 2b =
=
2
2
2
2
∂b 2 a + b
c
a +b
16
2
2
a
b
m c = ±   ⋅ m a2 +   ⋅ m b2
c
c
2
2
 120 
 50 
2
2
mc = ± 
 ⋅ 0, 06 + 
 ⋅ 0, 02 = ±0, 06m
130
130




c = 130,00 m ±6 cm
Przykład 7
Zmierzono odległość „d” pomiędzy punktami A i B oraz kąt nachylenia terenu „α”
(rys. 4). Obliczyć odległość „do”, czyli odległość zredukowaną do poziomu odcinka A-B, oraz
określić błąd średni tej odległości.
Rys. 4. Pomiar odległości skośnej [opracowanie własne]
d = 280.00 m ±0,06 m
α = 2°15'±1'
Odległość „do” zredukowana do poziomu (funkcja spostrzeŜeń):
do = d. cos α
do = 280m . cos2°15' = 279,78 m
 ∂d 
 ∂d 
m d0 = ±  0  ⋅ m d2 +  0  ⋅ mα2
 ∂d 
 ∂d 
2
2
∂d 0
∂d = cos α
∂d 0
∂d = −d ⋅ sin α
ρ ' = 3438'
m 
m d0 = ± ( cos α ) ⋅ m + ( −d ⋅ sin α ) ⋅  α' 
 ρ 
2
m d0 = ±
( cos 2 15 )
' 2
(
)
' 2
⋅ 0,06 + −280 ⋅ sin 2 15
2
2
2
2
d
 1' 
⋅
' 
 3438 
m d0 = ±0, 06m
do = 279,78m ±0,06m = 279,78m ±6cm
17
2
SpostrzeŜenia bezpośrednie jednakowo dokładne, niejednakowo dokładne, pary
spostrzeŜeń
SpostrzeŜenia jednorodne wykonane tym samym przyrządem i metodą pomiaru,
w identycznych warunkach środowiska, przez tego samego obserwatora noszą nazwę
spostrzeŜeń bezpośrednich jednakowo dokładnych. Wszystkie te spostrzeŜenia L1, L2,…Ln
mają charakter spostrzeŜeń typowych, a więc charakteryzują się jednakowymi błędami
średnimi
m1 = m2 = … = mn = m
Wyniki pomiarów, dla których nie jest spełnione jedno z wcześniej wymienionych
załoŜeń (ten sam przyrząd metoda pomiaru, identyczne warunki środowiska, ten sam
obserwator) nazywamy spostrzeŜeniami bezpośrednimi niejednakowo dokładnymi. Dla
zróŜnicowania dokładności tych spostrzeŜeń przypisujemy kaŜdemu z nich pewną dodatnią
i niemianowaną liczbę „p” zwaną wagą, określającą stopień naszego zaufania do danej
obserwacji. SpostrzeŜenia dokładniejsze uzyskują większą wagę niŜ spostrzeŜenia uzyskane
z pomiaru mniej dokładnego.
Szczególnym spostrzeŜeniem pośród pomiarów niejednakowo dokładnych jest
spostrzeŜenie o wadze równej jedności (nie musi występować w danym zbiorze obserwacji),
które nosi nazwę spostrzeŜenia typowego a średni błąd „mo” tego spostrzeŜenia nazywamy
średnim błędem jednostkowym. Wszystkie spostrzeŜenia jednakowo dokładne są
spostrzeŜeniami typowymi, a więc ich wagi są równe jedności.
W pomiarach geodezyjnych bardzo często mamy do czynienia z obserwacjami znacznej
liczby jednorodnych wielkości o róŜnych wartościach, z których kaŜdą mierzymy dwukrotnie.
Taką formę pomiaru nazywamy pomiarem parami. JeŜeli dysponujemy znaczną liczbą
jednorodnych wielkości, mierzonych dwukrotnie (parami), to moŜemy obliczyć średnie błędy
takich spostrzeŜeń, przy czym rozróŜniamy pomiary parami jednakowo i niejednakowo
dokładne.
Średnie błędy spostrzeŜeń
Głównymi zadaniami procesów wyrównania są:
− określenie najbardziej prawdopodobnych wartości wyników pomiaru (spostrzeŜeń),
− określenie najbardziej prawdopodobnych wartości szukanych wielkości (niewiadomych),
− dokonanie oceny dokładności materiału obserwacyjnego i wielkości wyrównanych.
Dla poszczególnych rodzajów spostrzeŜeń będzie to wyglądało następująco:
a) spostrzeŜenia bezpośrednie jednakowo dokładne L1, L2, …, Ln
– określenie najbardziej prawdopodobnej wartości „x” mierzonej wielkości
[L]
x= n
– określenie najbardziej prawdopodobnych wartości spostrzeŜeń
Li = x - vi
– dokładność pojedynczego spostrzeŜenia tzw. średni błąd pojedynczego spostrzeŜenia
[vv]
m = ± n-1
–
dokładność wielkości wyrównanej tzw. średni błąd średniej arytmetycznej
[vv]
m = ± n ⋅ (n − 1)
x
18
b) spostrzeŜenia bezpośrednie niejednakowo dokładne L1, L2, …, Ln
Wagi obserwacji niejednakowo dokładnych są odwrotnie proporcjonalnie do kwadratów
ich błędów średnich
1 1 1
1
p1 : p 2 : p3 ...p n = 2 : 2 : 2 : ... 2
m1 m 2 m3
mn
Dla i-tego spostrzeŜenia oraz spostrzeŜenia typowego moŜemy napisać proporcje
1 1
pi : p 0 = 2 : 2
mi m0
m02
.
mi2
określenie najbardziej prawdopodobnej wartości „x” mierzonej wielkości dokonujemy przy
pomocy średniej arytmetycznej ogólnej (waŜonej). Średnia arytmetyczna ogólna jest równa
sumie iloczynów spostrzeŜeń i odpowiadających im wag podzielonej przez sumę wag
[ pL] = p1L1 +p 2 L2 +…+p n Ln
x=
p1 +p 2 +…+p n
[p]
PoniewaŜ, po = 1, więc pi =
−
Podobnie jak w przypadku zwykłej średniej arytmetycznej do obliczenia średniej ogólnej
moŜna wykorzystać wartość przybliŜoną „x0”
[ p ⋅ ∆L]
x = x0 +
[ p]
−
−
określenie najbardziej prawdopodobnych wartości spostrzeŜeń Li = x – vi
dokładność typowego spostrzeŜenia (po = 1) tzw. średni błąd „m0” typowego spostrzeŜenia
m0 = ±
−
n-1
dokładność wartości wyrównanej tzw. średni błąd „mx” średniej arytmetycznej ogólnej
m x =±
−
[ pvv ]
[ pvv]
[ p] ( n-1)
dokładność i-tego spostrzeŜenia tzw. średni błąd „mi” pojedynczego spostrzeŜenia
mi =±
[ pvv]
pi × ( n-1)
c)
pary spostrzeŜeń
– określenie najbardziej prawdopodobnej wartości „x” mierzonej wielkości dokonuje
się przy wielkości średniej lub średniej arytmetycznej ogólnej.
L'
L'' L'
L''
L' L''
JeŜeli pomiary naszych wielkości dały wyniki 1 i 1 , 2 i 2 , …, n , n to róŜnice
pomiędzy pierwszym a drugim pomiarem wynoszą
L' L''
d1 = 1 - 1
L' L''
d2 = 2 - 2
…………
L' L''
dn = n - n
19
Gdyby obserwacje nie były obciąŜone Ŝadnymi błędami przypadkowymi ani
systematycznymi, to róŜnice te byłyby wszystkie równe zeru. W rzeczywistości jednak
wyniki pomiarów bezpośrednich są obciąŜone błędami przypadkowymi, więc otrzymane
róŜnice „d” moŜemy uwaŜać za błędy prawdziwe wyznaczenia róŜnicy dwóch obserwacji.
– dokładność róŜnicy spostrzeŜeń tzw. średni błąd róŜnicy
md =
–
n
n – liczba par spostrzeŜeń
dokładność pojedynczego pomiaru wykonanego parami tzw. średni błąd pojedynczego
pomiaru
m=
–
[ dd ]
md
=
2
2n
dokładność podwójnego pomiaru dowolnej pary danego szeregu spostrzeŜeń tzw. błąd
średni średniej arytmetycznej
mL =
–
[ dd ]
m 1
=
2 2
[ dd ]
n
dla pomiarów niejednakowo dokładnych błąd róŜnicy spostrzeŜeń
md =
[ pdd ]
n
oraz średni błąd typowego spostrzeŜenia
m0 =
[ pdd ]
2n
Przykład 8
Wyznacz najprawdopodobniejszą wartość długości odcinka AB, pomierzonego
czterokrotnie z jednakową dokładnością.
L1 = 154,152m
L2 = 154,147m
L3 = 154,155m
L4 = 154,150m
1.
Algorytm stepowania:
Określenie najbardziej prawdopodobnej wartości „Lw”
[ L]
Lw =
n
Lw =
154,152 + 154,147 + 154,155 + 154,150
4
L w = 154,151m
2.
Obliczenie poprawek dla poszczególnych spostrzeŜeń
20
3.
vi = Lw – Li
v1 = 154,151 – 154,152 = −0,001m
v2 = 154,151 – 154,147 = +0,004m
v3 = 154,151 – 154,155 = −0,004m
v4 = 154,151 – 154,150 = +0,001m
[v] = v1+v2+v3+v4 = 0
4.
Obliczenie średniego błędu pojedynczego spostrzeŜenia
m=
[ vv]
n −1
[ vv] = v12 + v22 + v32 + v42
[ vv] = 0, 000034
m=
5.
[0, 000034] = ±0, 003m
3
Obliczenie średniego błędu wyrównanej długości odcinka AB
mL = ±
mL = ±
[ vv]
n ( n − 1)
0, 000034
= ±0, 002m
4 ( 4 − 1)
Lw = 154,151m ±0,002m
Przykład 9
Pomierzyliśmy kąt trzema teodolitami: pierwszym ze średnim błędem m1 = ±30”, drugim
ze średnim błędem m2 = ±20”, trzecim ze średnim błędem m3 = ±10”. Jakie są wagi tych
spostrzeŜeń?
PoniewaŜ, nie mamy tutaj podanego średniego błędu typowego spostrzeŜenia, więc jedno
ze spostrzeŜeń przyjmujemy za typowe.
1. m1 = m0 = ±30"
p1 = 1
( )
( )
( 30 )
=
(10 )
30"
m 02
p2 = 2 =
m2
20"
m2
p3 = 02
m3
2.
2
2
= 2, 25
" 2
" 2
m2 = m0 = ±20"
=9
p2 = 1
21
( )
( )
( 20 )
=
(10 )
20"
m 02
p1 = 2 =
m1
30"
m2
p3 = 02
m3
3.
2
2
=
4
9
" 2
" 2
=4
m3 = m0 = ±10"
( )
( )
(10 )
=
( 20 )
10"
m2
p1 = 02 =
m1
30"
m2
p 2 = 02
m2
p3 = 1
2
2
=
1
9
=
1
4
" 2
" 2
Otrzymujemy w ten sposób trzy układy wag, które są sobie równowaŜne i moŜemy dowolny
układ wag uwzględniać w obliczeniach.
Przykład 10
Wyznacz najprawdopodobniejszą wartość kąta ABC, który pomierzono czterokrotnie
teodolitami o róŜnej dokładności (rys. 5).
Rys. 5. Pomiar kąta [opracowanie własne]
Wyniki uzyskane z pomiaru:
α1 = 44°15’20”±20”
α2 = 44°14’58”±10”
α3 = 44°15’05”±5”
α4 = 44°15’10”±15”
1.
Ustalenie wag poszczególnych spostrzeŜeń.
Przyjmujemy średni błąd typowego spostrzeŜenia mo= 10” i w związku z tym p2 = 1
( )
( )
(10 )
=
(5 )
10''
m 02
p1 = 2 =
m1
20''
m2
p3 = 02
m3
2
2
= 0, 25
'' 2
'' 2
=4
22
( )
( )
10''
m 02
p4 = 2 =
m4
15''
2
2
= 0, 44
2.
Określenie wartości przybliŜonej kąta.
Przyjmujemy jako przybliŜoną wartość mierzonego kąta, najmniejszą wartość uzyskaną
z pomiaru.
α0 = α2 = 44°14’58”
3.
Określenie najbardziej prawdopodobnej wartości pomierzonego kąta
α w = α0 +
[ p ⋅ ∆α ]
[ p]
∆α1 = α1 − α 0 = 44o15' 20" − 44o14'58" = +22"
∆α 2 = α 2 − α 0 = 44o14'58" − 44o14'58" = 0"
∆α 3 = α 3 − α 0 = 44o15'05" − 44o14'58" = +7"
'
"
∆α 4 = α 4 − α 0 = 44o1510
− 44o14'58" = +12"
0, 25 ⋅ 22" + 4 ⋅ 7" + 0.44 ⋅12
0, 25 + 1 + 4 + 0, 44
o
'
"
α w = 44 14 58 + 6,8" = 44o15'04,8"
α w = 44o14'58" +
4.
Określenie poprawek dla poszczególnych spostrzeŜeń
vi = αw – αi
o
'
"
o
'
"
v1 = 44 15 04,8 − 44 15 20 = −15,2”
o
'
"
o
'
"
v2 = 44 15 04,8 − 44 14 58 = +6,8”
o
'
"
o
'
"
v3 = 44 15 04,8 − 44 15 05 = −0,2”
o
'
"
o
'
"
v4 = 44 15 04,8 − 44 1510 = −5,2”
5.
Kontrola obliczenia średniej arytmetycznej.
[pv] = 0
[pv] = 0,25.(−15,2” ) + 1.(6,8” ) − 4.(0,2” ) − 0,44.(−5,2” )
[pv] = − 0,1
6.
Określenie średniego błędu typowego spostrzeŜenia
m0 = ±
[ pvv ]
n −1
[ pvv] = 116,12(")
m0 = ±
2
116,12
= ±6, 2"
4 −1
23
7.
Określenie średniego błędu pojedynczego spostrzeŜenia
mi = ±
m1 = ±
pi (n − 1)
116,12
= ±12, 4"
0, 25 ⋅ (4 − 1)
m2 = ±
116,12
= ±6, 2"
1 ⋅ (4 − 1)
m3 = ±
116,12
= ±3,1"
4 ⋅ (4 − 1)
m4 = ±
8.
[ pvv]
116,12
= ±9, 4"
0, 44 ⋅ (4 − 1)
Określenie średniego błędu wyrównanej wartości kąta
mα = ±
mα = ±
[ pvv]
[p](n − 1)
116,12
= ±2, 6"
5, 69 ⋅ (4 − 1)
αw = 44°15’04,8” = ±2,6”
Przykład 11
Wyznacz najprawdopodobniejszą wartość pięciu odcinków pomierzonych parami
z jednakową dokładnością (rys. 6)
Rys. 6. Pomiar długości boków w pięciokącie [opracowanie własne]
24
Tabela 2. Wyniki pomiarów [opracowanie własne]
Odcinek
Wyniki pomiarów
l1
207,85
1−2
202,31
2−3
204,42
3−4
214,38
4−5
206,72,
5−1
1.
2.
l2
207,90
202,28
204,49
214,31
205,78
Określenie najbardziej prawdopodobnej wartości długości odcinków (średnie arytmetyczne)
207,85 + 207, 90
1− 2 =
= 207, 785
2
2−3 =
202,31 + 202, 28
= 202, 295
2
3−4 =
204, 42 + 204, 49
= 204, 445
2
4−5 =
214,38 + 214,31
= 214,345
2
5 −1 =
206, 72 + 205, 78
= 205, 750
2
Określenie błędów prawdziwych wyznaczenia róŜnicy dwóch obserwacji
d1−2 = l1 − l 2 = −0, 05m
d 2−3 = l1 − l 2 = +0, 03m
d 3− 4 = l1 − l 2 = −0, 07m
d 4−5 = l1 − l 2 = +0, 07m
d 5−1 = l1 − l 2 = −0, 06m
3.
Określenie błędu średniego róŜnicy
md = ±
[ dd ]
n
[dd ] = 0, 0168
md = ±
4.
0, 0168
= ±0,058m
5
Określenie średniego błędu pojedynczego pomiaru.
m=
md
=±
2
[dd ]
2n
25
m=±
5.
0, 0168
= ±0, 041m
2⋅5
Określenie średniego błędu średniej arytmetycznej
mL =
m
1
=± ⋅
2
2
[dd ]
n
1 0, 0168
= ±0, 029m
mL = ± ⋅
2
5
Określenie średniego błędu dla podwójnego pomiaru kaŜdego odcinka.
Błędy te obliczamy podstawiając do powyŜszych wzorów n = 1 a zamiast [dd]
odpowiednie dd.
– błąd średni róŜnicy jednej pary
6.
md = ±
[ dd ] = ±d
1
m d1 = ±0, 05m
m d2 = ±0, 03m
m d3 = ±0, 07m
m d4 = ±0, 07m
m d5 = ±0, 06m
–
błąd średni jednego pomiaru
m=±
[ dd ] = ±
2 ⋅1
m1 = ±0, 035m
m 2 = ±0, 021m
m3 = ±0, 050m
m 4 = ±0, 050m
m5 = ±0, 042m
–
d
2
błąd średni średniej arytmetycznej (wartości wyrównanej)
1 [ dd ]
d
=±
2
1
2
m L1 = ±0, 025m
mL = ±
m L2 = ±0, 015m
m L3 = ±0, 035m
m L4 = ±0, 035m
m L5 = ±0, 030m
26
1 − 2 = 207, 785 ± 0, 025m
2 − 3 = 202, 295 ± 0, 015m
3 − 4 = 204, 445 ± 0, 035m
4 − 5 = 214, 345 ± 0, 035m
5 − 1 = 205, 750 ± 0, 030m
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
Odpowiadając na pytania, sprawdzisz, czy jesteś przygotowany do wykonania ćwiczeń.
Jak określamy błędy spostrzeŜeń w zaleŜności od źródła powstawania?
Co to jest błąd prawdziwy spostrzeŜenia?
Co jest zadaniem rachunku wyrównawczego?
Na czym opierają się podstawy rachunku wyrównawczego?
Jak określimy błędy za pomocą, których charakteryzuje się dokładność obserwacji?
Jak określamy średnią arytmetyczną?
Na czym polega prawo przenoszenia się błędów?
Co to są spostrzeŜenia bezpośrednie jednakowo dokładne?
Co to są spostrzeŜenia bezpośrednie niejednakowo dokładne?
Co to są pary spostrzeŜeń?
Jakie są główne zadania procesu wyrównania spostrzeŜeń?
Co to są wagi spostrzeŜeń?
Jak określamy średnią arytmetyczną ogólną?
4.1.3. Ćwiczenia
Ćwiczenie 1
Wyrównaj spostrzeŜenia bezpośrednie jednakowo dokładne.
Sposób wykonania ćwiczenia
4)
5)
6)
Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś:
odszukać w materiałach dydaktycznych spostrzeŜenia bezpośrednie jednakowo dokładne
i średnie błędy spostrzeŜeń bezpośrednich jednakowo dokładnych,
sformułować, w oparciu o wyniki pomiarów podane przez nauczyciela, temat ćwiczenia,
obliczyć wartość najbardziej prawdopodobną mierzonej wielkości przy pomocy średniej
arytmetycznej,
określić najbardziej prawdopodobne wartości spostrzeŜeń,
obliczyć średni błąd pojedynczego pomiaru,
obliczyć średni błąd najbardziej prawdopodobnej mierzonej wielkości.
−
−
−
WyposaŜenie stanowiska pracy:
kalkulator,
papier formatu A4,
„Poradnik dla ucznia”.
1)
2)
3)
27
Ćwiczenie 2
Wyrównaj spostrzeŜenia bezpośrednie niejednakowo dokładne.
5)
6)
7)
8)
odszukać w materiałach dydaktycznych spostrzeŜenia bezpośrednie niejednakowo
dokładne i średnie błędy spostrzeŜeń bezpośrednich niejednakowo dokładnych,
sformułować, w oparciu o wyniki pomiarów podane przez nauczyciela, temat ćwiczenia,
określić wagi spostrzeŜeń,
obliczyć najbardziej prawdopodobną wartość mierzonej wielkości przy pomocy średniej
arytmetycznej ogólnej (waŜonej),
określić najbardziej prawdopodobne wartości spostrzeŜeń,
obliczyć średni błąd typowego spostrzeŜenia,
obliczyć średni błąd średniej arytmetycznej ogólnej,
obliczyć średnie błędy poszczególnych spostrzeŜeń.
−
−
−
kalkulator,
papier formatu A4,
1)
2)
3)
4)
Czy potrafisz:
Tak
1) dokonać podziału błędów spostrzeŜeń w zaleŜności od źródła
powstawania?
2) zdefiniować błąd prawdziwy spostrzeŜenia?
3) określić zadanie rachunku wyrównawczego?
4) dokonać podziału błędów, za pomocą których charakteryzuje się
dokładność obserwacji?
5) obliczyć średnią arytmetyczną?
6) określić na czym polega prawo przenoszenia się błędów?
7) zdefiniować spostrzeŜenia bezpośrednie jednakowo dokładne?
8) zdefiniować spostrzeŜenia bezpośrednie niejednakowo dokładne?
9) zdefiniować pary spostrzeŜeń?
10) określić główne zadanie procesu wyrównania spostrzeŜeń?
11) zdefiniować wagi spostrzeŜeń?
12) określić średnią arytmetyczną ogólną?
28
Nie
4.2.
Wyrównanie metodą pośredniczącą
Ogólne zasady wyrównania metodą pośredniczącą.
Istnieje wiele zadań geodezyjnych, w których bezpośredniemu pomiarowi podlegają
wielkości słuŜące do rachunkowego (pośredniego) wyznaczenia innych przekształconych
wielkości, stanowiących niewiadome. SpostrzeŜenia L1, L2, …, Ln, które nie odnoszą się
bezpośrednio do wielkości szukanych, lecz słuŜą do wyznaczenia niewiadomych za pomocą
ustalonych związków, noszą nazwę spostrzeŜeń pośredniczących. Charakterystycznym
przykładem jest kątowe wcięcie wstecz, w którym bezpośrednio mierzy się kąty poziome
o wierzchołku w punkcie o nieznanych współrzędnych i ramionach przechodzących przez punkty
o znanych współrzędnych a następnie określa się współrzędne (Xs; Ys) punktu wcinanego „S”
(rys. 7).
Rys. 7. Kątowe wcięcie wstecz [opracowanie własne]
n = 2 ilość obserwacji
u = 2 ilość niewiadomych
Zadanie takie ma tylko jedno rozwiązanie, poniewaŜ zawiera dwie obserwacje niezbędne
do określenia dwóch niewiadomych (X, Y) i nie podlegają one wyrównaniu.
JeŜeli będziemy mogli pomierzyć kierunki do czterech punktów (rys. 8) to wówczas
otrzymamy obserwacje nadliczbowe nn
Rys. 8. Kątowe wcięcie wstecz z elementami nadliczbowymi [opracowanie własne]
29
n = 5 ilość obserwacji
u = 2 ilość niewiadomych
nn = n – u = 5 – 2 = 3 ilość obserwacji nadliczbowych
Do obliczenia współrzędnych (X, Y) moŜemy skorzystać z punktów ABC, ABD, ACD
lub BCD i otrzymać 4 niezaleŜne rozwiązania. Aby otrzymać jedno rozwiązanie musimy
zastosować rachunek wyrównawczy, w którym zakładamy, Ŝe funkcje F1, F2, …, Fn
zachodzące pomiędzy mierzonymi wartościami prawdziwymi spostrzeŜeń A1, A2, …, An
a prawdziwymi niewiadomymi X, Y, Z,… zachodzą takŜe między wartościami wyrównanymi
(najbardziej prawdopodobnymi) tych wielkości
Przykładem prostego zadania moŜe być wyrównanie kątów w przykładzie (rys. 9).
Rys. 9. Pomiar kątów na stanowisku „S” [opracowanie własne]
n=6
u=3
nn = 3
W tym przypadku występują trzy spostrzeŜenia nadliczbowe, poniewaŜ do wzajemnego
określenia połoŜenia czterech kierunków niezbędne jest pomierzenie trzech kątów np. kątów
1, 2, 3, których wartości prawdziwe będą stanowić niewiadome X, Y, Z. Pomiędzy
wartościami prawdziwymi spostrzeŜeń A1, A2, …, A6 a niewiadomymi moŜna napisać
następujące związki funkcyjne:
A1 = X
A2 = Y
A3 = Z
A4 = X+Y
A5 = Y+Z
A6 = X+Y+Z
PoniewaŜ nie znamy wartości prawdziwych Ai mierzonych wielkości, więc zastępujemy
je najprawdopodobniejszymi wartościami spostrzeŜeń wyrównanych „Li + vi” uzyskiwanych
w wyniku wyrównania.
30
Równania poprawek i równania normalne
Proces wyrównawczy dostarcza poprawek „vi”, które dodane do spostrzeŜeń powodują
spełnienie przez spostrzeŜenia wyrównane „Li + vi” i najprawdopodobniejsze wartości
niewiadomych „x,y,z,…”, tych samych funkcji „F1, F2, …, Fn”, które wiąŜą ze sobą wartości
prawdziwe spostrzeŜeń A1, A2, …, An z wartościami prawdziwymi niewiadomych X,Y,Z,…
Dla kaŜdego spostrzeŜenia, moŜna więc, napisać związki zwane równaniami obserwacyjnymi.
L1+v1 = F1 (x,y,z,…)
L2+v2 = F2 (x,y,z,…)
…………………………………..
Ln+vn = Fn (x,y,z,…)
Otrzymany układ „n” równań obserwacyjnych moŜemy przekształcić do układu „n” równań
poprawek (błędów) w postaci
v1 = F1 (x,y,z,…) – L1
v2 = F2 (x,y,z,…) – L2
……………………….
vn = Fn (x,y,z,…) – Ln
JeŜeli funkcje F1, F2, …, Fn mają charakter nieliniowy, to trzeba je doprowadzić do postaci
liniowej poprzez rozwinięcie funkcji na szereg Taylora (z odrzuceniem wyrazów rzędu
wyŜszego niŜ pierwszy). JeŜeli zamiast niewiadomych x,y,z,… będących przewaŜnie duŜymi
liczbami , wprowadzimy niewielkie liczbowo poprawki niewiadomych dx,dy,dz,…, które
spełniają zaleŜności:
x = xo + dx
y = yo + dy
z = zo + dz
to wówczas
 ∂F 
 ∂F 
 ∂F 
Fi ( x 0 , y 0 , z 0 ) +  i  dx +  i  dy +  i  dz
 ∂x 
 ∂z 
Fi ( x 0 + dx, y0 + dy, z 0 + dz) =
 ∂y 
Współczynniki przy niewiadomych dx, dy, dz są równe pochodnym cząstkowym funkcji
F1, F2,…Fn względem poszczególnych niewiadomych i jeŜeli oznaczymy je przez
 ∂Fi 
  = a i
 ∂x 
 ∂Fi 
  = bi
 ∂y 
 ∂Fi 
  = ci
 ∂z 
a wyrazy wolne równań powstające jako róŜnice przybliŜonych wartości funkcji Fi (xo, yo, zo)
oraz spostrzeŜeń Li oznaczymy przez
Fi (xo,yo,zo) – Li = li
to wówczas otrzymamy układ równań poprawek w postaci
v1 = a1.dx + b1.dy + c1.dz +…+ l1
v2 = a2.dx + b2.dy + c2.dz +…+ l2
..........................................................................
vn = an.dx + bn.dy + cn.dz +…+ ln
31
W układzie „n” równań błędów występuje „n+u” nieznanych poprawek „vi” oraz „u”
niewiadomych dx, dy, dz,…., a więc układu tego nie moŜna rozwiązać bez dodatkowego
warunku. Do określenia tych wielkości, jest, więc konieczne wprowadzenie zasady
najmniejszych kwadratów [vv]=min. dla spostrzeŜeń jednakowo dokładnych lub [pvv] = min.
dla spostrzeŜeń niejednakowo dokładnych. JeŜeli utworzymy funkcję Φ = [vv] to
Φ = [vv] = ( a1.dx + b1.dy + c1.dz +…+ l1)2+( a2.dx + b2.dy + c2.dz +…+ l2)2+( an.dx + bn.dy +
cn.dz +…+ ln)2
Po uporządkowaniu powyŜszego równania względem poszczególnych zmiennych oraz
wprowadzeniu symboli sumowych otrzymamy:
Φ = [vv] = [aa].dx2+2.[ab].dx.dy+2.[ac].dx.dy+2.[bc].dy.dz+2.[al]+[bb].dy2+…+[ll]
Warunkiem koniecznym dla osiągnięcia minimum przez funkcję Φ jest zerowanie się jej
wszystkich pochodnych cząstkowych względem poszczególnych zmiennych
∂ [ vv ]
=0
∂dx
∂ [ vv ]
=0
∂dy
∂ [ vv ]
∂dz
=0
np.
∂ [ vv ]
∂dx
=
2.[aa].dx + 2.[ab].dy + 2.[ac].dz +…+2.[al] = 0
Po zestawieniu pozostałych równań i podzieleniu ich przez 2 otrzymamy układ „u” liniowych
równań normalnych zawierających „u” niewiadomych.
[aa]dx + [ab]dy + [ac]dz + …+[al] = 0
[ab]dx + [bb]dy + [bc]dz + …+[bl] = 0
[ac]dx + [bc]dy + [cc]dz + …+[cl] = 0
……………………………………………………………
Układ równań normalnych jest układem symetrycznym i moŜna rozwiązać go za pomocą
wybranego algorytmu obliczeniowego np. algorytmu Gaussa (kolejna redukcja
niewiadomych) lub Banachiewicza (pierwiastek krakowianowy).
Metoda pośrednicząca
Po rozwiązaniu układu równań normalnych uzyskujemy wartości poprawek
niewiadomych dx, dy, dz, … które dodajemy do przybliŜonych wartości niewiadomych
xo, yo, zo,… i otrzymujemy najbardziej prawdopodobne (wyrównane) wartości niewiadomych
x, y, z,… Kolejnym etapem wyrównania jest obliczenie poprawek spostrzeŜeń „vi”
otrzymywanych z równań poprawek a następnie poprawienie spostrzeŜeń „Li” poprzez
dodanie do nich poprawek „vi”, co w efekcie daje wartości spostrzeŜeń wyrównanych.
Kontrola ogólna polega na obliczeniu zaleŜności
[al]dx +[bl]dy + [cl]dz + …+[ll] = [vv]
32
Kontrola generalna (ostateczna) polega na podstawieniu wartości niewiadomych do
równań obserwacyjnych i sprawdzeniu ich spełnienia. Końcowy etap wyrównania spostrzeŜeń
stanowi ocena dokładności, polegająca na obliczeniu średnich błędów obserwacji
niewiadomych i połoŜenia punktów.
Średni błąd pojedynczego spostrzeŜenia dla spostrzeŜeń jednakowo dokładnych obliczamy
ze wzoru
[vv]
±
n−u
m=
Dla określenia średniego błędu typowego spostrzeŜenia dla spostrzeŜeń niejednakowo
dokładnych posługujemy się wzorem
[pvv]
±
n−u
mo =
Dla określenia średnich błędów niewiadomych konieczne jest wyznaczenie tzw.
współczynników wagowych „Q”.
Jednym ze sposobów ich wyznaczenia jest rozwiązanie układu równań zwanych równaniami
wag. Łączna ilość tych równań wynosi „n2”, np. dla spostrzeŜeń jednakowo dokładnych
i trzech niewiadomych (u = 3) układ równań wag przyjmuje postać:
[aa]Q11 + [ab]Q12 + [ac]Q13 = 1
[ab]Q11 + [bb]Q12 + [bc]Q13 = 0
[ac]Q11 + [bc]Q12 + [cc]Q13 = 0
[aa]Q21 + [ab]Q22 + [ac]Q23 = 0
[ab]Q21 + [bb]Q22 + [bc]Q23 = 1
[ac]Q21 + [bc]Q22 + [cc]Q23 = 0
[aa]Q31 + [ab]Q32 + [ac]Q33 = 0
[ab]Q31 + [bb]Q32 + [bc]Q33 = 0
[ac]Q31 + [bc]Q32 + [cc]Q33 = 1
Średnie błędy poszczególnych niewiadomych określają wzory
Q11
mx = mo
Q 22
my = mo
Q33
mz = mo
Ocena dokładności osnów geodezyjnych opiera się przewaŜnie na wyznaczeniu po
wyrównaniu średnich błędów „mx” i „my” współrzędnych punktów wyznaczanych,
stanowiących niewiadome w metodzie pośredniczącej oraz średniego błędu połoŜenia punktu
obliczanego na podstawie wzoru
mp =
m 2x + m 2y
33
Przykład 12
Wyrównać metodą pośredniczącą jednakowo dokładne kąty pomierzone na pojedynczym
stanowisku pomiarowym S (rys. 10).
Tabela 3 Dane uzyskane z pomiaru
Nr kąta
Wartość kąta
1
41g 20c15cc
2
3
4
5
6
52g 32c31cc
58g14c 22cc
93g 52c 52cc
110g 46c 41cc
151g 66c 60cc
Rys. 10. Pomiar kątów na stanowisku „S” [opracowanie własne]
1.
Wybór niewiadomych i określenie ich wartości przybliŜonych:
∢1 = x
∢2 = y
∢3 = z
x 0 = 41g 20c 00cc
y 0 = 52g 32c 00cc
z 0 = 58g14c 00cc
2.
Zestawienie równań obserwacyjnych i równań błędów:
Równania obserwacyjne
L1 + v1 = x
L4 + v4 = x + y
L2 + v2 = y
L5 + v5 = y + z
L6 + v6 = x + y + z
L3 + v3 = z
34
v1 = x 0 + dx − L1
v 2 = y 0 + dy − L 2
v3 = z 0 + dz − L3
v 4 = x 0 + dx + y 0 + dy − L 4
v5 = y0 + dy + z 0 + dz − L5
v 6 = x 0 + dx + y 0 + dy + z 0 + dz − L6
v1 = dx − 15cc
v 2 = dy − 31cc
v3 = dz − 22cc
v 4 = dx + dy − 52cc
v5 = dy + dz − 41cc
v 6 = dx + dy + dz − 60cc
Tabela 4 Stabelaryzowane równania błędów
Nr
Współczynniki przy niewiadomych
poprawki
a
b
c
1
1
0
0
2
0
1
0
3
0
0
1
4
1
1
0
5
0
1
1
6
1
1
1
3.
Wyrazy
wolne [cc]
-15
-31
-22
-52
-41
-60
UłoŜenie układu równań normalnych i jego rozwiązanie za pomocą pierwiastka
krakowianowego:
[aa]dx + [ab]dy + [ac]dz + [al] = 0
[ab]dx + [bb] dy + [bc]dz + [bl] = 0
[ac]dx + [bc] dy + [cc]dz + [cl] = 0
3dx + 2dy +dz – 127 = 0
2dx + 4dy +2dz – 184 = 0
dx + 2dy +3dz – 123 = 0
1,73dx + 1,16dy + 0,58dz – 73,41 = 0
1,63dy + 0,81dz – 60,64 = 0
1,42dz – 22,04 = 0
dz = 15,52
dy = 29,49
dx = 17,46
4.
Określenie przyrostów niewiadomych:
dx = +17,5cc
dy = +29,5cc
dz = +15,5cc
35
5.
Obliczenie poprawek:
v1 = 17,5 − 15 = 2, 5cc
v 2 = 29,5 − 31 = −1, 5cc
v3 = 15, 5 − 22 = −6,5cc
v 4 = 17,5 + 29, 5 − 52 = −5cc
v5 = 29,5 + 15,5 − 41 = +4cc
v 6 = 17,5 + 29, 5 + 15, 5 − 60 = +2,5cc
6.
Kontrola ogólna:
[al]dx + [bl] dy + [cl]dz + [ll] = [vv]
(127 ⋅17.5) + ( −184 ⋅ 29,5) + ( −123 ⋅15,5) + 9655 = 98
[vv] = 98
98 = 98 c.n.d.
7.
Obliczenie niewiadomych:
x = x 0 + dx = 41g 20c 00cc + 17, 5cc = 41g 20c17,5cc
y = y 0 + dy = 52g 32c 00cc + 29, 5cc = 52g 32c 29,5cc
z = z 0 + dz = 58g14c 00cc + 15,5cc = 58g14c15, 5cc
8.
SpostrzeŜenia wyrównane:
L1 + v1 = 41g 20c15cc + 2, 5cc = 41g 20c17, 5cc
L 2 + v 2 = 52g 32c31cc − 1,5cc = 52g 32c 29,5cc
L3 + v3 = 58g14c 22cc − 6,5cc = 58g14c15, 5cc
L 4 + v 4 = 93g 52c 52cc − 5cc = 93g52c 47 cc
L5 + v5 = 110g 46c 41cc + 4cc = 110g 46c 45cc
L 6 + v 6 = 151g 66c 60cc + 2, 5cc = 151g 66c 62, 5cc
9.
Kontrola ostateczna:
L1 + v1 = x = 41g 20c17, 5cc
L 2 + v 2 = y = 52g 32c 29, 5cc
L3 + v3 = z = 58g14c15, 5cc
L 4 + v 4 = x + y = 93g52c 47 cc
L5 + v5 = y + z = 110g 46c 45cc
L 6 + v 6 = x + y + z = 151g 66c 62,5cc
10. Ocena dokładności:
średni błąd pojedynczego kąta
m=
[ vv]
n−u
=±
98
= ±5, 7 cc
6−3
36
równania wag:
3Q11 + 2Q12 + Q13 = 1
2Q11 + 4Q12 + 2Q13 = 0
Q11 + 2Q12 + 3Q13 = 0
3Q21 + 2Q22 + Q23 = 1
2Q21 + 4Q22 + 2Q23 = 1
Q21 + 2Q22 + 3Q23 = 1
3Q31 + 2Q32 + Q33 = 0
2Q31 + 4Q32 + 2Q33 = 0
Q31 + 2Q32 + 3Q33 = 1
Równania wag moŜemy zredukować przy pomocy algorytmu Gaussa do postaci:
[aa]Q11 + [ab]Q12 + [ac]Q13 = 1
[aa]Q21 + [ab]Q22 + [ac]Q23 = 0
[bb.1]Q22 + [bc.1]Q23 = 1
[aa]Q31 + [ab]Q32 + [ac]Q33 = 1
[bb.1]Q32 + [bc.1]Q33 = 1
[cc.2]Q33 = 1
Redukcja Gaussa I stopnia wygląda następująco:
[ab] ⋅ ab
[ ]
[ aa ]
[ab]
[ bc.1] = [ bc] − ⋅ [ac]
[aa ]
[ bb.1] = [ bb] −
a II stopnia tak:
[ bc.1] ⋅ bc.1
[ ]
[ bb.1]
[ac]
[ bc.1] ⋅ bc.1
[cc.2] = [ cc] − ⋅ [ac] −
[ ]
[ aa ]
[ bb.1]
[cc.2] = [ cc.1] −
obliczenia:
2
⋅ 2 = 2, 7
3
2
[ bc.1] = 2 − ⋅1 = 1,3
3
1
1,3
[cc.2] = 3 − ⋅1 − ⋅1,3 = 2, 04
3
2, 7
[ bb.1] = 4 −
3Q11 + 2Q12 + Q13 = 1
3Q21 + 2Q22 + Q23 = 1
2,7Q22 + 1,3Q23 = 1
37
3Q31 + 2Q32 + Q33 = 0
2,7Q32 + 1,3Q33 = 0
2,04Q33 = 1
Q33 = 0,49
Q = −0, 24
32
Q31 = 0
Q22 = 0,49
Q = 0, 08
21
Q11 = 0,28
średnie błędy niewiadomych
m x = m ⋅ Q11 = ±3, 0cc
m y = m ⋅ Q 22 = ±4, 0cc
m z = m ⋅ Q33 = ±4, 0cc
Wyrównane wartości kątów:
∢1 = 41g 20c17,5cc ± 3, 0cc
∢2 = 52g 32c 29,5cc ± 4, 0cc
∢3 = 58g14c15, 5cc ± 4, 0cc
Przykład 13.
Posługując się danymi uzyskanymi z pomiaru wyrównaj metodą pośredniczącą kąty
w czworoboku geodezyjnym, w którym długość zmierzonej bazy A-B jest znana (rys. 11).
Tabela 6. Dane uzyskane z pomiaru [opracowanie własne]
Pomierzone kierunki
1.
53o55’45”
2.
34o03’13”
3.
25o56’57”
4.
66o03’17”
5.
69o57’26”
6.
18o02’24”
7.
25o51’59”
8.
66o08’06”
38
Baza A-B = 1409,68 m
Rys. 11. Czworobok geodezyjny [opracowanie własne]
1.
Obliczenie współrzędnych przybliŜonych punktów C i D.
Przyjmujemy bok AB jako równoległy do osi y-ów i zakładamy, Ŝe współrzędne
punktów A i B wynoszą: XA = 2000,00; YA = 2000,00; XB = 2000,00; YB = 3409,68
i traktujemy je jako bezbłędne.
Przy takim załoŜeniu poszukujemy najprawdopodobniejszych współrzędnych punktów
C i D i obliczamy poprawki do pomierzonych kątów
1.1. Obliczenie współrzędnych przybliŜonych punktu C (rys. 12).
Rys. 12. Wcięcie w przód [opracowanie własne]
(X
C,
YC ) = f =
XA
1
YA X B YB
ctg4 −1 ctg1 (1,2)
uwaga: wzór słuszny dla trójkąta ABC oznaczonego w kierunku lewoskrętnym.
39
X C = f (1)
YC = f( 2)
f=
2000, 00
2000, 00 2000, 00
3409, 68
1
0, 444084763 −1
0, 728433087
XC = 3202,2674
YC = 2875,7714
Kontrolą obliczeń współrzędnych XC, YC jest policzenie kąta (2+3) z formy rachunkowej
prof. dr S. Hausbrandta.
∆X C −B ∆YC − B
tg ( 2 + 3) =
∆X C − A ∆YC −A 0
tg ( 2 + 3) =
−1202, 2674 +533, 9086
−1202, 2674 −875, 7714 0
tg ( 2 + 3)
∢ ( 2 + 3)
= 1,733176129
∢ ( 2 + 3) = 60O 00'58"
wyliczamy teŜ z trójkąta ABC
∢ ( 2 + 3)
= 180 – (1 + 4)
∢ ( 2 + 3) = 60O 00'58"
1.2. Obliczenie współrzędnych przybliŜonych punktu D (Rys.13).
Rys. 13. Wcięcie w przód [opracowanie własne]
(X
D,
YD ) = f =
XA
YA X B
YB
−1
ctg5 1
ctg8 (1,2)
uwaga: wzór słuszny dla trójkąta ABC oznaczonego w kierunku prawoskrętnym
X D = f (1)
YD = f ( 2)
40
f=
2000, 00
2000, 00 2000, 00
3409, 68
−1
0,364815984
1
0, 442408379
XD = 253,6701
YD = 2772,5910
kontrola
tg ( 6 + 7 ) =
tg ( 6 + 7 ) =
∆X A −D
∆X B−D
∆YA −D
∆YB−D 0
−1746, 3299 +772,5910
−1746, 3299 −637, 0890 0
tg ( 6 + 7 )
∢(6 + 7)
= 0,962582953
∢ ( 6 + 7 ) = 43O54' 28"
wyliczamy teŜ z trójkąta ABC
∢(6 + 7)
= 180 – (5+8)
∢ ( 6 + 7 ) = 43O54' 28"
2.
Obliczenie współczynników kierunkowych i wyrazów wolnych
JeŜeli mamy kąt α (rys. 14)
α
Rys. 14. Pomiar kąta na stanowisku S [opracowanie własne]
to wówczas, obliczenie małego przyrostu dα kąta α przy małej zmianie przyrostów
współrzędnych dxL, dyL, dxP, dyP, dxS, dyS, punktów wyznaczających ten kąt (punkty
L – lewe ramię, P – prawe ramię, S – wierzchołek kąta) obliczamy ze wzoru:
dα =
dx L dy L dx P
A L BL − A P
dy P
dx S
dyS
− BP −(A L − A P ) −(A L − A P ) 1
41
Współczynniki kierunkowe A i B z odpowiednimi wskaźnikami są funkcjami przyrostu
współrzędnych
∆x
A = ρ" ⋅ 2
∆x + ∆y 2
∆y
B = ρ" ⋅ 2
∆x + ∆y 2
∆x L = x L − x S
∆y L = y L − yS
∆x P = x P − x S
∆y P = y P − yS
∆x L
∆x + ∆y 2L
∆y
BL = ρ " ⋅ 2 L 2
∆x L + ∆y L
∆x
AP = ρ " ⋅ 2 P 2
∆x P + ∆y P
∆y
BP = ρ " ⋅ 2 P 2
∆x P + ∆y P
AL = ρ " ⋅
2
L
dα = α0 – αm
α0 – kąt obliczony ze współrzędnych
αm – kąt pomierzony
2.1. Obliczenie dla kąta 1 (rys. 15)
Rys. 15. Schemat pomiaru dla kąta 1 [opracowanie własne]
tg (1) =
−1202, 2674 +875, 7714
0
1409, 68
0
tg 1 = 1,372809675
o
'
"
arc tg 1 = 53 55 45, 00
∢1 = 53o55' 45, 00"
42
A L = 112, 09 A P = 0
BL = 81, 65 BP = 146,32
tg ( 2 ) =
2948,5973
−103,1804
−1202, 2674 −875, 7714 0
tg ( 2 ) = 0, 676203587
∢2 = 34o 04'00,11"
A L = −69,87 A P = −112, 09
BL = −2, 44
BP = −81, 65
tg ( 3) =
−1202, 2674
533,9186
−2948,5973 −103,1804 0
tg ( 3) = 0, 486648701
43
∢3 = 25o56'59, 31"
A L = −143, 30
BL = 63, 64
A P = −69,87
BP = −2, 44
tg ( 4 ) =
0
1409, 68
1202, 2674 −533,9186 0
tg ( 4 ) = 2, 251822503
'
∢4 = 66o 0317,
00"
AL = 0 AP = 143,30
BL = −146,32 BP = − 63,64
2.
3.
5. Obliczenie dla kąta 5 (rys. 19)
tg ( 5 ) =
−1746,3299 −637, 089
−1409, 68 0
0
44
tg ( 5 ) = 2, 741110125
∢5 = 69o57' 26, 05"
A L = −104, 24
AP = 0
BL = −38, 03 BP = −146,32
tg ( 6 ) =
2948,5973 103,1804
1246,3299
637, 089
tg ( 6 ) = 0,325665635
0
'
"
∢6 = 18o 0219,13
A L = 69,87
A P = 104, 24
BL = 2, 44
BP = 38, 03
tg ( 7 ) =
1746, 3299 −772,5910
2948,5973
103,1804
0
45
tg ( 7 ) = 0, 484908408
∢7 = 25o52'08,89"
A L = 98, 78
A P = 69,87
BL = −43, 70
BP = 2, 44
tg ( 8 ) =
0
1409, 68
−1746,3299 772,5910 0
tg ( 8) = 2, 260354961
∢8 = 66o 08'06, 00"
AL = 0
A P = −98, 78
BL = 146,32
BP = 43, 70
Tabela 7. Zestawienie danych do ułoŜenia równań poprawek [opracowanie własne]
α0
dx L dyL dx P dy P
dx S
Nr
AL
BL
kąta
αm
αα = α0 – αm
AP
BP
1
0
112,09
0
81,65
146,32
2
–12,89”
–69,87
–112,09
–2,44
–81,65
3
2,31”
–143,30
–69,87
63,64
–2,44
4
0
0
143,30
–146,32
–63,64
5
0
–104,24
0
–38,03
–146,32
dyS
− BP −(A L − A P ) −(A L − A P ) 1
A L BL − A P
dx C
dy C 0
0
0
0
112, 09 81.65 0 −146, 32 −112, 09 64, 67 1
dx D
dy D
0
0
0
0
dx c
dyc
−69,87 − 2, 44 112, 09 −81,65 −42, 22 −79, 21 1
dx D
dy D dx C
dy C
143,30 63, 64 69,87 2, 44 73, 43 −66, 08 1
0
0
dx C
dyC
0
0
0 − 146,32 −143,30 63, 64 143,30 82, 68 1
dx D
dy D
0
0
0
0
−104, 24 −38, 03 0 146, 32 104, 24 −108, 29 1
46
3.
6
–4,87”
69,87
104,24
2,44
38,03
7
9,89”
98,78
69,87
–43,70
2,44
8
0
0
–98,78
146,32
43,70
dx C
dy C
0
0
dx D
dy D
69,87 2, 44 −104, 24 −38, 03 34,37 35,95 1
0
0
dx C
dy C
dx D
dy D
98, 78 −43, 70 −69,87 −2, 44 −28,91 46,14 1
0
0
dx D
dy D
0
0
0 146,32 98, 78 −43, 70 −98, 78 −102, 62 1
UłoŜenie równań poprawek
Równania poprawek będą miały postać
vi = aidxC + bidyC + cidxD + didyD + dαi
v1 = 81,65dxC – 112,09dyC
v2 = – 79,21dxC + 42,22dyC – 2,44dxD + 69,87dyD – 12,89
v3 = – 66,08dxC – 73,43dyC + 2,44dxD – 69,87dyD + 2,31
v4 = 63,64dxC + 143,30dyC
v5 = – 38,03dxD + 104,24dyD
v6 = 2,44dxC – 69,87dyC + 35,95dxD – 34,37dyD – 4,87
v7 = – 2,44dxC + 69,87dyC +46,14dxD + 28,91dyD + 9,89
v8 = – 43,70dxD – 98,78dyD
Tabela 8. Stabelaryzowane równania poprawek [opracowanie własne]
Współczynniki przy niewiadomych
Wyrazy wolne
Nr
poprawki
a
b
c
d
dα [″]
–
1
81,65
0
0
0
112,09
2
– 79,21
42,22
– 2,44
69,87
– 12,89
3
– 66,08 – 73,43
2,44
– 69,87
2,31
4
63,64
143,30
0
0
0
5
0
0
– 38,03
104,24
0
6
2,44
– 69,87
35,95
– 34,37
– 4,87
7
– 2,44
69,87
46,14
28,91
9,89
8
0
0
– 43,70 – 98,97
0
4.
UłoŜenie układu równań normalnych i jego rozwiązanie
[aa] dxC + [ab] dyC + [ac] dxD + [ad] dyP + [adα] = 0
[ab] dxC + [bb] dyC + [bc] dxD + [bc] dyP + [bdα] = 0
[ac] dxC + [bc] dyC + [cc] dxD + [cd] dyP + [cdα] = 0
[ad] dxC + [bd] dyC + [cd] dxD + [dd] dyP + [ddα] = 0
21369,4698dxC + 1134,5061dyC + 7,1736dxD – 1071,7963dyD + 832,3577 = 0
1134,5061 dxC + 50037,1852dyC + 429,7893dxD + 12501,8391dyD + 317,4421 = 0
7,1736dxC + 429,7893dyC + 6789,1802dxD + 113,7121dyD + 318,3361 = 0
−1071,7963dxC + 12501,8391dyC + 113,7121dxD + 32421,9733dyD – 608,7222 = 0
47
Pierwiastek krakowianowy
146,1830dxC + 7,7609dyC + 0,0491dxD – 7,3319dyD + 5,6939 = 0
223,5552dyC + 1,9208dxD + 56,1774dyD + 1,2223 = 0
82,3741dxD + 0,0749dyD + 3,8326 = 0
170,9161dyD – 3,7207 = 0
dyD = 0,0218
dxD = − 0,0465
dyC = − 0,0105
dxC = − 0.0373
5.
Określenie przyrostów niewiadomych
dxC = −0,037
dyC = −0,010
dxD = −0,046
dyD = 0,022
6.
Obliczenie poprawek
v1 = 81, 65 ⋅ ( −0, 037 ) − 112, 09 ⋅ ( −0, 010 ) = −1,87"
v 2 = −79, 21⋅ ( −0, 037 ) + 42, 22 ⋅ ( −0, 010 ) − 2, 44 ⋅ ( −0, 046 ) + 69,87 ⋅ 0, 022 − 12,89 = −8, 74"
v3 = −66, 08 ⋅ ( −0, 037 ) − 73, 43 ⋅ ( −0, 010 ) + 2, 44 ⋅ ( −0, 046 ) − 69,87 ⋅ 0, 022 + 2,31 = 3,91"
v 4 = 63, 64 ⋅ ( −0, 037 ) + 143,30 ⋅ ( −0, 010 ) = −3,88"
v5 = −38, 03 ⋅ ( −0, 046 ) + 104, 24 ⋅ 0, 022 = 4, 04"
v6 = 2, 44 ⋅ ( −0,037 ) − 69,87 ⋅ ( −0, 010 ) + 35,95 ⋅ ( −0, 046 ) − 34,37 ⋅ 0, 022 − 4,87 = −6, 65"
v7 = −2, 44 ⋅ ( −0, 037 ) + 69,87 ⋅ ( −0, 010 ) + 46,14 ⋅ ( −0, 046 ) + 28,91⋅ 0, 022 + 9,89 = 7, 73"
v8 = −43, 70 ⋅ ( −0, 046 ) − 98, 78 ⋅ 0, 022 − 12,89 = −0,12"
7.
Kontrola ogólna
[adα]dxC + [bdα]dyC + [cdα]dxD + [ddα]dyD + [dαdα] = [vv]
832,3577 ⋅ ( −0, 0373 ) + 317, 4421 ⋅ ( −0, 0105 ) + 318,3361 ⋅ ( −0, 0465 ) +
+ ( −608, 7222 ) ⋅ 0, 0218 + 293, 0172 = 230,56
[vv] = 230,54
Zachodzi, więc równość w granicach dokładności obliczeń L ≈ P
8.
Obliczenie niewiadomych – współrzędnych wyrównanych.
X C = X 0 + dx C = 3202, 267 − 0, 037 = 3202, 230
YC = Y0 + dy C = 2875, 771 − 0, 010 = 2875, 761
X D = X 0 + dx D = 253, 670 − 0, 046 = 253, 624
YD = Y0 + dy D = 2772, 591 + 0, 022 = 2772, 613
48
9.
SpostrzeŜenia wyrównane
∢1 + v1 = 5355' 45" − 1,87" = 5355' 43,13"
'
"
∢2 + v 2 = 340313
− 8, 74" = 3403'04, 26"
∢3 + v3 = 2556'57" + 3, 91" = 2557 '00,91"
'
"
'
"
∢4 + v 4 = 660317
− 3,88" = 660313,12
∢5 + v5 = 6957 ' 26" + 4, 04" = 6957 '30, 04"
'
∢6 + v 6 = 1802' 24" − 6, 65" = 18 0217,
35"
'
"
∢7 + v 7 = 255159
+ 7, 73" = 2552'06, 73"
∢8 + v8 = 6608'06" − 0,12" = 6608'05,88"
10. Kontrola ostateczna
Tabela 9. Obliczenie wartości kątów z wyrównanych współrzędnych [opracowanie własne]
v
Nr
(z równań
αobl.
αm
αobl.−− αm
kąta
poprawek)
1.
5355' 45"
5355' 43,13"
−1,87"
−1,87"
2.
'
"
340313
3403'04, 26"
−8, 74"
−8, 74"
3.
2556'57"
2557 '00,91"
+3,91"
+3,91"
4.
'
"
660317
'
"
660313,12
−3,88"
−3,88"
5.
6957 ' 26"
6957 '30, 04"
+4, 04"
+4, 04"
6.
1802' 24"
'
"
180217,35
−6, 65"
−6, 65"
7.
'
"
255159
2552'06, 73"
+7, 73"
+7, 73"
8.
66 08'06"
6608'05,88"
−0,12"
−0,12"
11. Ocena dokładności
Średni błąd pomiaru kąta.
m=±
[ vv]
nn
nn – liczba spostrzeŜeń nadliczbowych
nn = n – u = 8 – 4 = 4
m=±
230,54
= ±7,59"
4
49
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Odpowiadając na pytania, sprawdzisz, czy jesteś przygotowany do wykonania ćwiczenia.
Co to są spostrzeŜenia pośredniczące?
Jak układamy równanie poprawek w metodzie pośredniczącej?
Jak układamy równanie normalne w metodzie pośredniczącej?
Z jakich etapów składa się wyrównanie spostrzeŜeń metodą pośredniczącą?
Czym róŜni się wyrównanie spostrzeŜeń jednakowo dokładnych od wyrównania
spostrzeŜeń niejednakowo dokładnych?
Do czego słuŜą współczynniki wagowe „Q”?
4.2.3. Ćwiczenia
Ćwiczenie 1
Posługując się danymi uzyskanymi z pomiaru wyrównaj metodą pośredniczącą kąty
w czworoboku geodezyjnym, w którym długość zmierzonej bazy jest znana.
Rysunek do ćwiczenia 1. Czworobok geodezyjny [opracowanie własne]
Tabela do ćwiczenia: Dane uzyskane z pomiaru [opracowanie własne]:
Nr kąta
Kąt
24o30’49”
79o12’28”
55o54’50”
24o21’54”
16o47’58”
82o55’20”
66o55’54”
13o20’45”
Długość pomierzonej bazy B103-104 zmienia się według wzoru: 1000m + nr dz. 100 m;
nr dz. – numer ucznia w dzienniku
50
1) odszukać w materiałach dydaktycznych rozdziały dotyczące metody pośredniczącej,
2) zapoznać się z przykładem „wyrównania sieci kątowej w postaci czworoboku
geodezyjnego” zamieszczonym poniŜej,
3) dokonać wyrównania w oparciu o wiedzę teoretyczną i przykład praktyczny.
−
−
−
papier formatu A4,
„Poradnik dla ucznia”,
kalkulator funkcyjny.
Czy potrafisz:
Tak
1)
2)
3)
4)
5)
zdefiniować spostrzeŜenia pośredniczące?
ułoŜyć równania poprawek?
ułoŜyć równania normalne?
wymienić etapy wyrównania spostrzeŜeń metodą pośredniczącą?
określić róŜnicę pomiędzy wyrównaniem spostrzeŜeń jednakowo
dokładnych a wyrównaniem spostrzeŜeń niejednakowo dokładnych?
6) określić do czego słuŜą współczynniki wagowe „Q”?
51
Nie
4.3.
Wyrównanie spostrzeŜeń metodą warunkową
Metoda warunkowa
SpostrzeŜeniami zawarunkowanymi nazywamy wyniki pomiarów geodezyjnych
odnoszące się do takich wielkości, których wartości prawdziwe muszą spełniać z góry
wiadome i ściśle określone równania matematyczne, zwane warunkami. W ramach
wyrównania spostrzeŜeń zawarunkowanych przyjmowane jest załoŜenie, Ŝe równania
warunkowe muszą spełniać nie tylko wartości prawdziwe mierzonych wartości, lecz takŜe
spostrzeŜenia wyrównane (L+v).
W postaci ogólnej równanie warunkowe moŜna przedstawić jako równość funkcji
spostrzeŜeń wyrównanych „f” i określanych wartości liczbowych „w”.
f1 (L1+v1,L2+v2,…Ln+vn) = w1
f2 (L1+v1,L2+v2,…Ln+vn) = w2
……………………………………………….
fr (L1+v1,L2+v2,…Ln+vn) = wr
W przypadku gdy funkcje f1,f2,,…fn są funkcjami nieliniowymi, naleŜy je doprowadzić
do postaci liniowej rozwijając funkcję na szereg Taylora z pominięciem wyrazów o potędze
wyŜszej niŜ pierwsza.
Do sprawdzenia obliczeń wykorzystujemy kontrolę ogólną
[ pvv ] = −[ w ⋅ k ]
Kontrola generalna wyrównania polega na sprawdzeniu spełnienia wyjściowych warunków
podstawiając do nich spostrzeŜenia wyrównane (L+v). Ocena dokładności spostrzeŜeń
zawarunkowanych polega na obliczeniu średniego błędu pojedynczego spostrzeŜenia „m”.
m=±
lub spostrzeŜenia typowego „
m0
[ vv]
r
”
m0 = ±
[ pvv ]
r
średnie błędy poszczególnych spostrzeŜeń niejednakowo dokładnych obliczamy ze wzoru:
m
mi = ± 0
pi
Równania warunkowe
Podczas układania równań warunkowych naleŜy przestrzegać następujących zasad:
a) liczba warunków „r” musi być równa liczbie spostrzeŜeń nadliczbowych „nn”,
b) warunki naleŜy układać tak, aby liczba zawartych w nich spostrzeŜeń była jak
najmniejsza, lecz jednocześnie w układzie równań warunkowych muszą wystąpić
wszystkie spostrzeŜenia danego zadania,
c) warunki muszą być niezaleŜne od siebie tzn. takie, aby Ŝadnego z nich nie moŜna było
wyliczyć z pozostałych równań warunkowych.
52
Prostymi przykładami równań warunkowych są:
a) przy wyrównaniu kątów zmierzonych na jednym stanowisku (rys. 24 ) mamy daną liczbę
„n” kątów pomierzonych oraz znaną liczbę „k” kierunków które mamy wyznaczyć. Do
wyznaczenia „k” kierunków trzeba wyznaczyć „k –1” kątów czyli liczba warunków „r”
równa się liczbie spostrzeŜeń nadliczbowych „nn”
r = nn
r = n – (k –1) = n –k +1
Przykład 14
UłóŜ równania warunkowe dla kątów mierzonych z jednego stanowiska
Rys. 23. Pomiar kątów na stanowisku do 4 kierunków [opracowanie własne]
n=6
k=4
r=6–4+1=3
Liczba równań warunkowych wynosi 3, są to:
o
1. ∢5 + ∢6 = 360
2. ∢1 + ∢2 = ∢5
3. ∢3 + ∢4 = ∢6
b) W siatkach niwelacyjnych z kaŜdego obwodu zamkniętego wynika, Ŝe suma róŜnic
wysokości równa się zero [h] = 0. W ciągach niwelacyjnych otwartych suma
poszczególnych róŜnic wysokości jest równa róŜnicy wysokości reperów
[h] = HRpA – HRpB
Ogólnie rzecz ujmując, w siatkach niwelacyjnych wysokość co najmniej jednego reperu jest
znana. Zatem do wyznaczenia kaŜdego następnego punktu potrzebna jest jedna róŜnica
wysokości, a do wyznaczenia „x” punktów potrzebnych jest „x” róŜnic wysokości. Liczba
warunków powinna spełniać poniŜszą równość:
r = nn = n – x
53
gdzie:
n – jest to liczba pomierzonych róŜnic wysokości
x – jest to liczba nieznanych reperów
Przykład 15
UłóŜ równania warunkowe dla siatki niwelacyjnej (rys. 24)
Rys. 24. Przykład siatki niwelacyjnej [opracowanie własne]
liczba pomierzonych róŜnic wysokości – 9
n=9
liczba nieznanych reperów – 4
x=4
r = nn = n – x = 9 – 4 = 5
1.
2.
3.
4.
5.
h3 + h6 – h2 = 0
h4 + h5 – h3 = 0
h1 + h4 + h5 = HB – HA
h1 + h3 + h8 = HC – HA
h1 + h2 + h7 = HD – HA
a)
przy wyrównaniu siatki triangulacyjnej musimy uwzględniać następujące warunki:
− warunek bazowy – kaŜda siatka musi mieć jedną bazę,
− warunek trójkątów – kaŜdy trójkąt z trzema pomierzonymi kątami daje warunek
sumy kątów równej 180°,
− warunek sinusów – wszędzie tam, gdzie do obliczenia długości boków stosujemy
twierdzenie sinusów , to mamy tyle warunków sinusowych ile twierdzeń
sinusowych,
− warunek horyzontu – suma kątów równa się 360° dla kątów zamykających horyzont
na stanowisku,
− warunek nawiązania azymutalnego – liczba nawiązań do dwóch boków
o znanych azymutach.
Łączna liczba warunków w siatkach triangulacyjnych jest sumą spostrzeŜeń
nadliczbowych wszystkich wymienionych warunków.
54
Liczba warunków „r” jest zawsze mniejsza od liczby spostrzeŜeń „n” poniewaŜ
w przeciwnym wypadku wielkości występujące w równaniach jako niewiadome, dałoby się
wyznaczyć na podstawie równań warunkowych.
Przykład 16
Wyrównaj metodą warunkową kąty pomierzone w trójkącie (rys. 25)
β
γ
α
Rys. 25. Pomiar kątów w trójkącie [opracowanie własne]
Dane:
α = 67015’25”
β = 78020’30”
γ = 34024’35”
1. UłoŜenie równań warunkowych
n=3
u=2
r=n–u=3–2=1
Mamy tutaj do czynienia z jedną obserwacją nadliczbową, a więc tylko z jednym
warunkiem
(α + v1) + (β + v2) + (γ + v3) = 180°
2. Obliczenie odchyłek
ωa = α + β + γ – 180°
ωa = −30 ”
3. Zestawienie równań poprawek
v1 + v2 + v3 – 30” = 0
poprawki
a
v1
+1
v2
+1
v3
+1
4.
Zestawienie równań poprawek wyraŜonych przez korelaty
vi = ai . ka
v1 = ka
v2 = ka
v3 = ka
5.
Zestawienie równań normalnych korelat
[aa] . ka + ωa = 0
3ka – 30” = 0
ka = 10”
ω
-30
55
6.
Obliczenie wartości poprawek wyraŜonych przez korelaty
v1 = 10”
v2 = 10”
v3 = 10”
7.
Kontrola ogólna
[vv] = 300
– [k . ω] = 300
[vv] = − [k . ω] 300 = 300
8.
SpostrzeŜenia wyrównane
α + v1 = 67015’35”
β + v2 = 78020’40”
γ + v3 = 34024’45”
9.
Kontrola generalna
(α + v1) + (β + v2) + (γ + v3) = 67°15’35” 180° + 78020’40” + 34°24’45” = 180°
10. Obliczenie średniego błędu spostrzeŜenia
m=±
m=±
[ vv]
r
300
= ±17,3"
1
Zastosowanie metody warunkowej
PoniewaŜ wyrównanie spostrzeŜeń wykonywane metodą pośredniczącą i warunkową
daje identyczne wyniki, więc istnieje problem ustalenia kryterium dokonania wyboru metody
wyrównania. Przy tradycyjnych metodach wykonywania obliczeń głównym kryterium
wyboru była liczba równań normalnych, niezbędnych do rozwiązania danego zadania.
W metodzie pośredniczącej liczba ta jest równa liczbie niewiadomych „u”, natomiast
w metodzie warunkowej ilość równań normalnych jest równa liczbie warunków „r”.
czyli
r=n–u
u=n–r
Biorąc pod uwagę kryterium liczby równań normalnych:
− wybieramy metodę pośredniczącą w przypadku gdy:
n
r> 2
−
wybieramy metodę warunkową gdy:
n
r< 2
Przy zastosowaniu współczesnej techniki obliczeniowej róŜnice w ilości równań
normalnych nie mają istotnego znaczenia dla procesu rachunkowego, dlatego w ramach
56
układania komputerowych programów obliczeniowych z reguły wykorzystuje się wyrównanie
metodą pośredniczącą, która zapewnia lepszą jednolitość i przejrzystość postępowania oraz
wygodniejszą ocenę dokładności.
Programy obliczeniowe do wyrównania spostrzeŜeń metodami ścisłymi
Wyrównania ścisłe osnów geodezyjnych moŜna wykonać metodą pośredniczącą lub
warunkową. Obie te metody zostały wcześniej omówione. Obecnie wyrównanie osnów tymi
metodami przeprowadzane jest z wykorzystaniem komputerowych technik obliczeniowych.
Najpopularniejszymi programami słuŜącymi do ścisłego wyrównania osnów są m.in. program
C-GEO stworzony przez firmę Softline z Wrocławia i GEONET stworzony przez
prof. dr hab. inŜ. R. Kadaja z Akademii Rolniczej w Krakowie. Programy te są stosowane
z wielkim powodzeniem w całej Polsce.
Przykład 17
Wyrównaj spostrzeŜenia metodą warunkową
Posługując się danymi uzyskanymi z pomiary wyrównaj metodą warunkową róŜnice
wysokości w siatce niwelacyjnej nawiązanej jednopunktowo (rys. 26).
Rys. 26. Siatka niwelacyjna [opracowanie własne]
Tabela 10. Dane uzyskane z pomiaru [opracowanie własne]
Nr ciągu
Długość ciągu [km]
RóŜnica wysokości [m]
1.
2,174
- 5,236
2.
2,192
+3,184
3.
2,235
-1,594
4.
2,850
+3,650
5.
2,953
+8,408
6.
2,989
-4,785
n=6
u=3
r = nn = n – u = 6 – 3 = 3
57
1.
UłoŜenie równań warunkowych
I (h1 + v1) + (h5 + v5) – (h2 + v2) = 0
II −(h1 + v1) + (h3 + v3) – (h4 + v4) = 0
III
(h2 + v2) + (h6 + v6) – (h3 + v3) = 0
2.
Obliczenie odchyłek
ωa = h1 + h5 – h2
ωb = − h1 + h3 – h4
ωc = h2 + h6 – h3
ωa = −5236 + 8408 – 3184 = −12 mm
ωb = 5236 – 1594 – 3650 = − 8mm
ωc = 3184 – 4785 + 1594 = −7mm
3.
Zestawienie równań poprawek.
I v1 – v2 + v5 – 12 = 0
II − v1 – v3 − v4 – 8 = 0
III v2 – v3 + v6 – 7 = 0
Tabela 11. Stabelaryzowane równania poprawek [opracowanie własne]
4.
Warunki
Poprawka
v1
v2
v3
v4
v5
v6
ω
I
a
+1
-1
0
0
+1
0
-12
II
b
-1
0
+1
-1
0
0
-8
III
c
0
+1
-1
0
0
+1
-7
Zestawienie równań poprawek wyraŜonych przez korelaty:
a
b
c
vi = i ⋅ k a + i ⋅ k b + i ⋅ k c
pi
pi
pi
dla ciągów niwelacyjnych wagi spostrzeŜeń przyjmujemy z zasady jako:
1
1
pi =
= Li
Li
⇒ pi
gdzie L – długość ciągu w km
v1 = 2,174.ka – 2,174. kb
v2 = - 2,191.ka + 2,193.kc
v3 = 2,235.kb – 2,235. kc
v4 = – 2,850. kb
v5 = 2,953.ka
v6 = 2,989.kc
5.
Zestawienie równań normalnych korelat
 aa 
 ab 
 ac 
 p  ⋅ k a +  p  ⋅ k b +  p  ⋅ k c + ω1 = 0
 
 
 
 ab 
 bb 
 bc 
 p  ⋅ k a +  p  ⋅ k b +  p  ⋅ k c + ω2 = 0
 
 
 
 ac 
 bc 
 cc 
 p  ⋅ k a +  p  ⋅ k b +  p  ⋅ k c + ω3 = 0
 
 
 
58
7,319k a − 2,174k b − 2,192k c − 12 = 0
−2,174k a + 7, 259k b − 2, 235k c − 8 = 0
−2,192k a − 2, 235k b + 7, 416k c − 7 = 0
6.
Rozwiązanie układu równań normalnych korelat przy pomocy pierwiastka krakowianowego:
2, 705k a − 0,804k b − 0,810k c − 4, 436 = 0
2,571k b − 1,123k c − 4, 4494 = 0
2,345k c − 6, 672 = 0
kc = 2,845
kb = 2,992
ka = 3,381
7.
Obliczenie wartości poprawek wyraŜonych przez korelaty:
v1 = 2,174.3,381 – 2,174.2,992 = 0,85
v2 = −2,192.3,381 + 2,192.2,845 = −1,17
v3 = 2,235.2,992 – 2,235.2,845 = 0,33
v4 = −2,850.2,992 = – 8,53
v5 = 2,953.3,381 = 9,98
v6 = 2,989.2,845 = 8,50
8.
Kontrola ogólna:
[pvv] = 84,44
−[k.ω] = 84,42
[pvv] = −[k.ω]
9.
SpostrzeŜenia wyrównane:
h1 + v1 = − 5236 + 0,850 = − 5235,15 mm
h2 + v2 = 3184 − 1,17 = 3182,83 mm
h3 + v3 = − 1594 + 0,33 = – 1593,67 mm
h4 + v4 = 3650 – 8,53 = 3641,47 mm
h5 + v5 = 8408 + 9,98 = 8417,98 mm
h6 + v6 = – 4785 + 8,50 = – 4776,50 mm
10. Kontrola ostateczna:
I (h1 + v1) + (h5 + v5) – (h2 + v2) = − 5235,15 + 8417,98 − 3182,83 = 0
II −(h1 + v1) + (h3 + v3) – (h4 + v4) = 5235,15 − 1593,67 – 3641,47 = 0,01
III (h2 + v2) + (h6 + v6) – (h3 + v3) = 3182,83 – 4776,50 + 1593,67 = 0
11. Obliczenie średniego błędu typowego spostrzeŜenia (dla ciągu o długości 1 km):
m0 = ±
m0 = ±
[ pvv]
r
[84, 44] = ±5, 31 mm
3
km
59
12. Obliczenie średnich błędów poszczególnych spostrzeŜeń:
mi =
m1 =
5, 31
= ±7,83mm
1
2,174
m2 =
5, 31
1
2,192
5, 31
1
2, 235
5,31
1
2,850
5,31
1
2,953
5,31
1
2, 989
m3 =
m4 =
m5 =
m6 =
m0
pi
= ±7,86mm
= ±7,94mm
= ±8,96mm
= ±9,12mm
= ±9,18mm
1.
2.
3.
4.
5.
Odpowiadając na pytania, sprawdzisz, czy jesteś przygotowany do wykonania ćwiczeń.
Co to są spostrzeŜenia warunkowe?
Jak układamy równania normalne?
Co to są korelaty i do czego słuŜą?
Jak układamy równania normalne korelat?
W jaki sposób wybieramy metodę wyrównania spostrzeŜeń?
60
4.3.3. Ćwiczenia
Ćwiczenie 1
Posługując się danymi uzyskanymi z pomiaru wyrównaj metodą warunkową róŜnice
wysokości w siatce niwelacyjnej nawiązanej wielopunktowo.
Rysunek do ćwiczenia 1. Siatka niwelacyjna [opracowanie własne]
Tabela do ćwiczenia: Dane uzyskane z pomiaru [opracowanie własne]
1
2
3
4
Nr ciągu
3,852
0,947
0,452
0,210
RóŜnica wysokości [m]
4,7
5,9
3,8
1,5
Długość [km]
5
0,487
2,7
6
2,909
3,1
7
1,724
2,0
Wysokości reperów nawiązania:
HA = 96,267m
HB = 95,599m
HC = 94,142m
Sposób wykonania ćwiczenia:
1) odszukać w materiałach dydaktycznych rozdziały dotyczące metody warunkowej,
2) zapoznać się z przykładem „wyrównanie metodą warunkową róŜnic wysokości
w siatce niwelacyjnej w celu wyznaczenia wysokości trzech reperów” zamieszczonym
poniŜej,
3) ustalić dane wyjściowe do wykonania ćwiczenia,
4) dokonać wyrównania w oparciu o wiedzę teoretyczną i przykład praktyczny.
−
−
−
kalkulator funkcyjny,
papier formatu A4,
61
Czy potrafisz:
Tak
1)
2)
3)
4)
5)
6)
zdefiniować spostrzeŜenia zawarunkowane?
ułoŜyć równania normalne przy wyrównaniu kątów?
ułoŜyć równania normalne w siatkach niwelacyjnych?
zdefiniować pojęcie korelaty?
ułoŜyć równania normalne korelat?
wybrać metodę wyrównania spostrzeŜeń?
62
Nie
5. SPRAWDZIAN OSIĄGNIĘĆ
INSTRUKCJA DLA UCZNIA
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Przeczytaj uwaŜnie instrukcję.
Podpisz imieniem i nazwiskiem kartę odpowiedzi.
Zapoznaj się z zestawem zadań testowych.
Test zawiera 20 zadań. Do kaŜdego zadania dołączone są 4 moŜliwości odpowiedzi.
Tylko jedna jest prawidłowa.
Udzielaj odpowiedzi na załączonej karcie odpowiedzi, stawiając w odpowiedniej rubryce
znak „x”. W przypadku pomyłki naleŜy błędną odpowiedź zaznaczyć kółkiem,
a następnie ponownie zakreślić odpowiedź prawidłową.
Zadania wymagają prostych obliczeń, które powinieneś wykonać przed wskazaniem
poprawnego wyniku.
Pracuj samodzielnie, bo tylko wtedy będziesz miał satysfakcję z wykonywanego zadania.
JeŜeli udzielenie odpowiedzi będzie Ci sprawiało trudność, wtedy odłóŜ jego rozwiązanie
i wróć do niego, gdy zostanie Ci wolny czas.
Na rozwiązanie testu masz 45 minut.
Powodzenia!
ZESTAW ZADAŃ TESTOWYCH
1.
Wyniki pomiarów geodezyjnych są
a) zawsze bezbłędne.
b) wartościami prawdziwymi mierzonych wielkości.
c) wartościami przybliŜonymi wielkości prawdziwych.
d) podstawą podziału błędów na trzy grupy.
2.
Błędy systematyczne powstają wskutek
a) nieuwagi obserwatora.
b) działania ustalonych prawidłowości w określonych warunkach pomiaru.
c) przyczyn trudnych do ścisłego określenia.
d) zbyt duŜej liczby pomiarów.
3.
Błędy przypadkowe są
a) moŜliwe do wyznaczenia na podstawie duŜej liczby obserwacji.
b) niemoŜliwe do wyznaczenia i wyeliminowania.
c) moŜliwe do wyznaczenia na postawie znajomości źródeł błędów.
d) stałe co do znaku i wartości liczbowej.
4.
Z przebiegu krzywej prawdopodobieństwa popełnienia błędu przypadkowego wynika, Ŝe
a) prawdopodobieństwo błędu większego jest większe niŜ prawdopodobieństwo błędu
mniejszego.
b) prawdopodobieństwo błędu mniejszego jest większe niŜ prawdopodobieństwo błędu
większego.
c) przy zmniejszaniu liczby spostrzeŜeń suma błędów przypadkowych dąŜy do zera.
d) prawdopodobieństwo błędów o tej samej wartości bezwzględnej lecz z róŜnymi
znakami jest równe zero.
63
5.
Błąd względny jest równy
a) błędowi średniemu.
b) błędowi granicznemu.
c) średniemu błędowi bezwzględnemu przypadającemu na całą mierzoną wielkość.
d) dwukrotnej wartości błędu średniego.
6.
Średnia arytmetyczna obliczona dla spostrzeŜeń jednakowo dokładnych jest równa
a) sumie spostrzeŜeń.
b) sumie spostrzeŜeń podzielonej przez liczbę pomiarów.
c) liczbie pomiarów.
d) wartości przybliŜonej mierzonej wielkości.
7.
Prawo przenoszenia się błędów średnich słuŜy do obliczania
a) błędu średniego funkcji obserwacji.
b) błędu względnego funkcji obserwacji.
c) pochodnych cząstkowych funkcji obserwacji.
d) błędów średnich bezpośrednio obserwowanych wielkości.
8.
Do obliczenia błędu średniego przewyŜszenia, korzystamy z funkcji h = d.tgα i wówczas
∂h
równa się
∂d
a) d.sinα.
b) tgα.
c) d.cosα.
d) d.
9.
Pomierzona przekątna działki w kształcie kwadratu wynosi 100m. JeŜeli przekątną
pomierzyliśmy z błędem ±0,1 m, to powierzchnię tej działki obliczymy z błędem
a) ±5 m2.
b) ±10 m2.
c) ±20 m2.
d) ±100 m2.
10. Na mapie zmierzono odległość pomiędzy dwoma punktami, przy czym błąd przyłoŜenia
podziałki wynosi ±0,1 mm a błąd odczytu ±0,15mm. Przy zmierzonej długości naleŜy
oczekiwać błędu
a) ±0,1 mm.
b) ±0,15 mm.
c) ±0,18 mm.
d) ±0,25 mm.
11. Do obliczania wartości kąta nachylenia terenu pomiędzy dwoma punktami, przy
pomierzonej poziomej odległości między nimi „d” i róŜnicy wysokości „h” stosujemy
h
wzór tgα = . Przy obliczaniu błędu średniego tego kąta korzystamy z funkcji
d
a) tgα.
b) ctgα,
c) arc tgα.
d) arc ctgα.
64
12. Średnia arytmetyczna ogólna obliczana dla spostrzeŜeń bezpośrednich niejednakowo
dokładnych jest równa sumie
a) spostrzeŜeń podzielonych przez sumę wag.
b) spostrzeŜeń podzielonej przez liczbę pomiarów.
c) iloczynów spostrzeŜeń i odpowiadających im wag podzielonej przez sumę wag.
d) iloczynów spostrzeŜeń i odpowiadających im wag podzielonej przez liczbę wag.
13. Przy pomiarach ciągów poligonowych, przyjmuje się najczęściej wagi odnoszące się do
boków jako
a) wprost proporcjonalne do długości boków.
b) odwrotnie proporcjonalne do długości ciągów.
c) równe liczbie przyłoŜeń taśmy na danym ciągu.
d) równe błędom średnim pomierzonych boków.
14. JeŜeli za spostrzeŜenie typowe przyjmiemy spostrzeŜenie o średnim błędzie ±3”, to waga
dla spostrzeŜenia o średnim błędzie ±1” wynosi
a) 9.
b) 6.
c) 3.
d) 1.
15. Mamy trzy spostrzeŜenia niejednakowo dokładne o średnich błędach m1 = ±2 cm,
m2 = ±1 cm, m3 = ±5 cm. SpostrzeŜeniom tym odpowiadają wagi
a) p1=0,25; p2=1; p3=0,04.
b) p1=6; p2=25; p3=1.
c) p1=4; p2=16; p3=0,5.
d) p1=0,5; p2=1; p3=0,1.
16. SpostrzeŜenia pośredniczące
a) odnoszą się bezpośrednio do szukanych wielkości.
b) słuŜą do wyznaczenia niewiadomych za pomocą ustalonych związków funkcyjnych.
c) słuŜą do wyznaczenia wartości prawdziwych mierzonych wielkości.
d) pozwalają określić ilość spostrzeŜeń nadliczbowych.
17. JeŜeli funkcja, którą się posługujemy przy wyrównywaniu spostrzeŜeń, nie jest funkcją
liniową to naleŜy rozwinąć ją na szereg
a) Taylora.
b) Maclaurina.
c) Taylora z odrzuceniem wyrazów rzędu wyŜszego niŜ pierwszy.
d) Maclaurina z odrzuceniem wyrazów rzędu wyŜszego niŜ pierwszy.
18. Liczba spostrzeŜeń nadliczbowych jest równa
a) liczbie spostrzeŜeń niezaleŜnych od siebie.
b) liczbie spostrzeŜeń niezbędnych do rozwiązania danego zadania geodezyjnego.
c) róŜnicy liczby spostrzeŜeń uzyskanych z pomiaru i liczby spostrzeŜeń niezaleŜnych
od siebie.
d) róŜnicy liczby spostrzeŜeń uzyskanych z pomiaru i liczby spostrzeŜeń niezbędnych
do rozwiązania danego zadania geodezyjnego.
65
19. Pomierzyliśmy 5 ciągów niwelacyjnych w celu wyznaczenia wysokości trzech nowych
reperów.
Siatka niwelacyjna nawiązana jednopunktowo [opracowanie własne]
Liczba warunków wynosi
a) 1.
b) 2.
c) 3.
d) 4.
20. Korelaty są to
a) poprawki do spostrzeŜeń.
b) wartości najbardziej prawdopodobne niewiadomych.
c) współczynniki nieoznaczone występujące jako dodatkowe niewiadome.
d) odchyłki, których suma jest równa zero.
66
KARTA ODPOWIEDZI
Imię i Nazwisko……………………………………………………………….
Wykorzystywanie teorii błędów do opracowania pomiarów geodezyjnych
Zakreśl poprawną odpowiedź znakiem X.
Nr
zadania
1
a
b
c
d
2
a
b
c
d
3
a
b
c
d
4
a
b
c
d
5
a
b
c
d
6
a
b
c
d
7
a
b
c
d
8
a
b
c
d
9
a
b
c
d
10
a
b
c
d
11
a
b
c
d
12
a
b
c
d
13
a
b
c
d
14
a
b
c
d
15
a
b
c
d
16
a
b
c
d
17
a
b
c
d
18
a
b
c
d
19
a
b
c
d
20
a
b
c
d
Odpowiedź
Punkty
Razem:
67
6. LITERATURA
1.
Adamczewski Z.: „Rachunek wyrównawczy w 15 wykładach”. Oficyna Wydawnicza
Politechniki Warszawskiej, Warszawa 2005
2. Adamczewski Z.: „Teoria błędów dla geodetów”. Oficyna Wydawnicza Politechniki
Warszawskiej, Warszawa 2005
3. Baran W.: „Teoretyczne podstawy opracowania wyników pomiarów geodezyjnych”.
PWN Warszawa 1999
4. Chojnicki W.: „Geodezyjny rachunek wyrównawczy w zadaniach”. PPWK, Warszawa
1968
5. Hausbrandt S.: „Rachunek wyrównawczy i obliczenia geodezyjne”. PPWK, Warszawa
1970
6. Jagielski A.: „Geodezja II”. Stabill, Kraków 2003
7. Sadownik T.: „Geodezja dla klasy IV”. PPWK, Warszawa 1980
8. Szczęsny J., Wysocki K.: „Matematyka dla techników geodezyjnych”. PWSZ, Warszawa
1964
9. Warchałowski E.: „Rachunek wyrównawczy dla geodetów”. PWN, Warszawa 1955
10. Wiśniewski Z.: „Rachunek wyrównawczy w geodezji z przykładami” Wydawnictwo
Uniwersytetu Warmińsko-Mazurskiego, Olsztyn 2005
68

wyniki l2

Transkrypt

Podobne dokumenty

Portal A Sp. z oo „Interaktywna platforma kompleksowego

Ferie pod hasłem: „Uczymy się aktywnie spędzać czas wolny”. W

Ćwiczenie nr 1. Ustalony i nieustalony dwuwymiarowy przepływ

20150325 informacja o wyborze PKT

Zawiadomienie o wyborze oferty9 elektronarzędzia