Wzory na kolokwia i egzamin Rozkłady jednowymiarowe: Rozkłady

Wzory na kolokwia i egzamin
Rozkłady jednowymiarowe:
1. Rozkład jednopunktowy skupiony w punkcie a: P (X = a) = 1; EX = a; V X = 0
2. Rozkład Bernoulliego (dwumianowy) z parametrami n i p:
n k
P (X = k) =
p (1 − p)n−k , SX = {0, 1, . . . , n}, EX = n · p, V X = n · p · (1 − p)
k
3. Rozkład geometryczny z parametrem p: P (X = k) = (1 − p)k−1 p, SX = {1, 2, . . . }, EX =
1
p
Własność braku pami˛eci: P (X > n + m| X > n) = (1 − p)m = P (X > m)
4. Rozkład Poissona z parametrem λ > 0: P (X = k) = e−λ
n k
λk
Dla dużych n:
p (1 − p)n−k ' e−λ ·
k
k!
1
b−a
0
(
5. Rozkład jednostajny na przedziale [a; b]: f (x) =
EX =
a+b
2 ,
VX =
SX = {0, 1, . . . }, EX = V X = λ
,
x ∈ [a; b]
,
x∈
/ [a; b]
,

0

 x−
a
F (x) =
 b−a

1
,
x<a
,
a6x<b ,
,
x>b
2
(b−a)
12
6. Rozkład wykładniczy z parametrem λ > 0: f (x) =
EX =
λk
k! ,
λe−λx
0
,
,
x>0
,
x<0
F (x) =
0
1 − e−λx
,
,
1
1
, VX = 2
λ
λ
7. Rozkład normalny (Gaussa) z parametrami m i σ 2 : f (x) = √
(x − m)2
1
exp −
2σ 2
2π · σ
EX = m, V X = σ 2
X ∼ N (m, σ 2 ) −→ FX (b) = Φ
b−m
σ
, Φ - dystrybuanta rozkładu N (0, 1), Φ(−x) = 1 − Φ(x).
Rozkłady dwuwymiarowe:
1. Rozkład jednostajny w obszarze D: f (x, y) =
m1
m2
0
1
|D|
c11
,
c12
, (x, y) ∈
/D
, (x, y) ∈ D
c12
m1
σ12
=N
,
c22
m2
ρσ1 σ2
ρσ1 σ2
2. Rozkład normalny N (m, C) = N
σ22
1
c22 (x − m1 )2 − 2c12 (x − m1 )(y − m2 ) + c11 (y − m2 )2
f (x, y) = 2π√1detC exp − 2 detC
:
Twierdzenia Graniczne:
Centralne Twierdzenie Graniczne Lindeberga-Levy’ego
(Xk )nk=1 - ciag
˛ niezależnych zmiennychP
losowych o takim samym rozkładzie takich, że EXk = m, V Xk = σ 2
n
dla każdego k = 1, . . . , n. Niech Sn = k=1 Xk . Wtedy dla dowolnego a ∈ R
Sn − n · m
√
P
6 a ≈ Φ(a) dla dużych n .
σ· n
Twierdzenie Moivre’a-Laplace’a (Xk )nk=1 - ciag
˛ niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie takim, że
P (Xk = 1) = p dla każdego k = 1, . . . n, to
!
Sn − n · p
P p
6 a ≈ Φ(a) dla dużych n .
n · p · (1 − p)
1
x<0
,
x>0
Wyznaczanie kwartyli z szeregu rozdzielczego: (Q2 = xmed )
hQi
Qi = x0 +
nQ i
NQi −
k−1
X
!
ni
,
i=1
gdzie: x0 - lewy kraniec przedziału, w którym znajduje si˛e i-ty kwartyl; hQi - długość przedziału, w którym
Pk−1
znajduje si˛e i-ty kwartyl; nQi - liczność przedziału, w którym znajduje si˛e i-ty kwartyl;
i=1 ni - suma
liczności wszystkich przedziałów poprzedzajacych
˛
przedział, w którym znajduje si˛e i-ty kwartyl;
NQ1 =
n/4
(n + 1)/4
,
,
dla n parzystego
dla n nieparzystego
NQ3 =
(3n)/4
3(n + 1)/4
, NQ2 =
,
,
n/2
(n + 1)/2
,
,
dla n parzystego
,
dla n nieparzystego ,
dla n parzystego
dla n nieparzystego .
Regresja liniowa Y wzgl˛edem X: y = ax + b
- na podstawie
wylosowanej próby:
Pn
Pn
Pn
(yk − ȳ)xk
(x
−
x̄)(yk − ȳ)
k
k=1 (xk − x̄)yk
k=1
P
P
=
= Pk=1
, b = ȳ − ax̄
a=
n
n
n
2
2
2
(x
−
x̄)
(x
−
x̄)
k=1 k
k=1 k
k=1 (xk − x̄)
P
n
2
n
( k=1 (xk − x̄)(yk − ȳ))
1 X
Pn
bład
˛ oszacowania:
(yk − ȳ)2 −
;
n−1
(n − 1) k=1 (xk − x̄)2
k=1
- gdy znany jest rozkład wektora (X, Y ):
cov(X, Y )
, b = EY − aEX
a=
VX
cov 2 (X, Y )
.
bład
˛ oszacowania: V Y −
VX
2