Zadanie przygotowawcze do II etapu Szkolnego Konkursu

Zadanie przygotowawcze do II etapu Szkolnego Konkursu Matematycznego
(elementy kombinatoryki - ile jest cyfr, ile jest liczb; ważenia, pole prostokąta, metoda Gaussa, znaki rzymskie)
II etap odbędzie się 30 maja 2014r. (na 7 lekcji),
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
Konsultacje - 23 maja 2014r. ( na 7 lekcji)
Ile jest liczb dwucyfrowych, a ile trzycyfrowych?
Ile jest nieparzystych liczb dwucyfrowych?
Ile jest liczb dwucyfrowych, których obie cyfry są parzyste i różne?
Ile razy cyfra 9 występuje w liczbach od 1 do 100?
W albumie „Grudziądz na starej pocztówce” zamieszczono reprodukcje 108 pocztówek. Ile cyfr użyto do ich
ponumerowania? Która cyfra występuje najczęściej, a która najrzadziej?
Wszystkie numery stron pewnej książki mają razem 420 cyfr. Ile stron ma ta książka?
Ile jest liczb trzycyfrowych, w których zapisie występuje cyfra 0?
Ile jest liczb czterocyfrowych podzielnych przez 111?
Marta wypisała liczby od 1 do 1 000 000. Ile cyfr napisała?
Ile różnych ciężarów można zważyć na wadze szalkowej, mając do dyspozycji po jednym odważniku 1 kg, 3 kg
i 9 kg ( odważniki można umieszczać na obu szalkach)
Jedna z dziewięciu kulek na pozór jednakowych, jest cięższa od pozostałych, które mają jednakową wagę. W
jaki sposób można ją wykryć za pomocą dwóch ważeń na wadze szalkowej bez odważników?
Z ośmiu na pozór jednakowych monet jedna jest fałszywa i wiadomo, że jest lżejsza. Jak przy użyciu wagi
szalkowej bez odważników, za pomocą dwóch ważeń znaleźć fałszywą?
Znajdź prostokąt, którego obwód wynosi 20, a pole 21.
Prostokątna działka ma wymiary 15mx20m. Dom ma stać co najmniej 3 m od granicy działki. Jaka jest
powierzchnia tej części działki, na której można zbudować dom?
Długość prostokąta o polu równym 48 łokciom kwadratowym jest trzy razy większa od jego szerokości. Jakie
są wymiary tego prostokąta?
Dany jest kwadrat o boku długości 3 cm. Prostokąt ma pole dwa razy większe od pola tego kwadratu, a
szerokość dwa razy mniejszą od jego boku. Jaką długość ma ten prostokąt?
17. Znajdź długość boku kwadratu, którego wierzchołkami są środki boków kwadratu o polu 8 cm 2 .
18. Obwód prostokąta zbudowanego z dwudziestu jednakowych kwadratów wynosi 126. Jakie może być pole
tego prostokąta?
19. Podaj przykład prostokąta, którego obwód i pole wyrażają się tą samą liczbą.
20. Prostokątny sad ma wymiary 30m x 15m. Rosną w nim drzewa, posadzone w równych rzędach. Odległość
między sąsiednimi drzewami w rzędzie, odległość między sąsiednimi rzędami oraz odległość skrajnych drzew
od płotu wynosi 2,5 m. Ile drzew rośnie w tym sadzie?
21. Oto anegdota z życia sławnego matematyka niemieckiego Carla Gaussa. Karolek, gdy ukończy 7 lat, rozpoczął
naukę w szkole początkowej. Na jednej lekcji matematyki nauczyciel podyktował zadanie:” Znaleźć sumę
wszystkich liczb od 1 do 100”. Jakież było jego zdziwienie, gdy już po minucie mały Karolek zgłosił się
z rozwiązaniem.
Oto jak rozumował młody Gauss:
1,
2,
3, ………50
100, 99, 98,…….51
101, 101, 101,…..101
Składniki sumy 1+2+3+……..+98+99+100 połączył w pary: (1+100) + (2+99) + (3+98)+…+(50+51). W każdej
parze suma wynosi 101, a takich par jest 50. Wobec tego poszukiwana suma wynosi 50 · 101 = 5050.
Stosując metodę Gaussa, oblicz sumy liczb:
a) Od 1 do 10,
b) Od 1 do 1000,
c) Od 1 do 10 000
d) Od 1 do 101
22. Liczby przedstawione znakami rzymskimi zapisz cyframi arabskimi:
CLV=
MDLVII=
DCLXXII=
XCVI=
MCMI=
MCMXLIX=
CXCIV=
MMII=
DCCXC=
23. Wpisz za pomocą cyfr arabskich liczby zapisane w systemie rzymskim. Różnice odpowiednich liczb z dwóch
pierwszych prostokątów powinny zgadzać się z liczbami w prostokącie trzecim.
24. Za pomocą znaków rzymskich zapisz liczby i wpisz je do diagramu ( Przykład: 2020 = MMXX, wpisz MMXX
poziomo 1)
25. Z trzech monet jedna jest fałszywa i lżejsza od pozostałych. Mamy wagę szalkową bez odważników. Ile
ważeń potrzeba do wykrycia tej monety?
26. Z trzech monet jedna jest fałszywa ( cięższa lub lżejsza). Mamy do dyspozycji wagę szalkową bez
odważników. Ile potrzeba ważeń, aby tę fałszywą monetę wykryć i określić, czy jest lżejsza czy cięższa?
27. Z 23 monet jedna jest fałszywa i lżejsza od pozostałych. Mamy wagę szalkową bez odważników. Ile ważeń
pozwoli wykryć fałszywą monetę?
28. Mając do dyspozycji wagę szalkową i jeden odważnik 1 kg przy pomocy jak najmniejszej liczby ważeń
odmierzyć 13 kg cukru.