Maksyminowe strategie immunizacji portfela

Transkrypt

Alina Kondratiuk-Janyska
Maksyminowe strategie
immunizacji portfela
rozprawa doktorska
Promotor:
dr hab. Leszek Zaremba
Katedra Metod Ilościowych
Wyższa Szkoła ZarządzaniaThe Polish Open University
Wydział Fizyki Technicznej,
Informatyki i Matematyki Stosowanej
Politechnika Łódzka
Łódź 2006
Spis treści
Wstęp
2
Preliminaria
6
1 Dolne oszacowania maksyminowej zmiany wartości portfela
9
2 Uodpornienia portfela obligacji bez opcji wcześniejszego wykupu i
ryzyka niewykupienia
15
2.1
Strategie typu DD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
2.2
Model wielomianowy wolny od arbitrażu . . . . . . . . . . . . . .
19
2.3
Badania empiryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
3 Uodpornienia portfela obligacji z ryzykiem niewykupienia
30
4 Różne kryteria wyboru portfela obligacji
37
4.1
Kryterium maksyminowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
4.2
Kryterium bayesowskie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
4.3
Kryterium Γ-maksyminowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
4.4
Kryterium Markowitza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
Spis literatury
46
Wstęp
Ważnym zagadnieniem dla inwestorów jest zarządzanie ryzykiem stóp procentowych i
kontrolowanie zmian przyszłych wartości w strumieniach pieniężnych. Rozważmy sytuację, kiedy inwestor ma zaciągnięty dług L PLN, który musi spłacić w momencie m,
przy czym inwestor dysponuje w chwili obecnej pewną kwotą B PLN mniejszą niż L
PLN. Pojawia się naturalne pytanie jak ją zainwestować, by w chwili spłaty zobowiązania posiadać pieniądze na jego pokrycie i czy kwota B PLN jest dostatecznie duża,
aby można było z niej spłacić dług w chwili m. Idealnym rozwiązaniem byłoby, gdyby
kwota B PLN reprezentująca na przykład wartość obecną portfela aktywów wystarczyła do spłaty długu w przyszłości bez względu na zachowanie się stóp procentowych.
Jeśli na rynku byłaby dostępna odpowiednia ilość obligacji zerokuponowych wygasających w terminie horyzontu inwestycji, to taki portfel spełniałby powyższe kryterium.
Zazwyczaj jednak inwestor musi podjąć decyzję wyboru obligacji kuponowych, czyli
musi się zmierzyć, obok ryzyka wartości, z ryzykiem reinwestycji.
Właśnie strategia immunizacyjna pozwala na konstrukcję optymalnego portfela.
Według niej, portfel powinien być tak zbudowany, że jeśli stopy procentowe wzrosną,
to straty wynikające ze spadku cen instrumentów finansowych będą w pełni rekompensowane wyższymi niż przewidywano dochodami z reinwestycji strumieni pieniężnych
pojawiających się przed końcem horyzontu inwestycyjnego. Jeśli natomiast stopy procentowe spadną, to dodatkowe dochody ze sprzedaży instrumentów po cenie wyższej
od zaplanowanej powinny być nie mniejsze niż straty z reinwestowania aktywów według stóp niższych od prognozowanych. Portfel aktywów skonstruowany w ten sposób
nazywa się portfelem idealnie uodpornionym.
Pierwsze prace dotyczące uodpornienia opierały się na definicji średniego okresu
(ang. average period) sformułowanego przez Hicksa (1939) i wyrażonego przez elastyczność wartości instrumentu finansowego względem zmian czynnika dyskontującego oraz
2
Wstęp
na pojęciu czasu trwania (ang. duration) zdefiniowanego przez Macaulaya (1938) jako
średnia ważona terminów wypłat dochodów. Średni okres Hicksa jest równy czasowi
trwania Macaulaya. Niezależnie od siebie Samuelson (1948) i Redington (1952) określili sposoby zabezpieczenia się przed zmianą stóp procentowych wprowadzając pojęcie
portfela idealnie uodpornionego. Dowiedli, że jeśli czasy trwania Macaulaya aktywów
i pasywów są równe, to portfel jest zabezpieczony przeciwko niewielkim zmianom stóp
procentowych. Przyjęli założenie, że krzywa terminowej struktury stóp procentowych
jest płaska, a jej zmiany są równoległymi przesunięciami.
Pomimo tych rezultatów, praktycy i teoretycy nie rozwijali tego zagadnienia. Dopiero praca Fishera i Weila (1971), w której uogólniono wcześniejsze wyniki formułując
warunki, przy których portfel jest idealnie uodporniony przeciw równoległym zmianom
stóp procentowych dla dowolnej terminowej struktury stóp procentowych, zapoczątkowała lawinę badań w tym kierunku. Główny rezultat pracy Fishera i Weila (1971)
mówi, że portfel jest idealnie uodporniony, jeśli czas trwania Fishera-Weila portfela
jest równy długości planowanego okresu inwestycyjnego. Uogólnienienie wyników Fishera i Weila (1971) można znaleźć w pracy Montrucchio i Peccati (1991), gdzie dowiedziono, że jeśli zbiór K zaburzeń stóp procentowych zawiera wszystkie funkcje k takie,
Rm
że t → exp (
t
k(s)ds) jest funkcją wypukłą, to każdy portfel z dopasowanym czasem
trwania do długości horyzontu inwestycyjnego jest idealnie uodporniony.
Teoria, w której rozważa się idealne uodpornienie portfela nosi nazwę klasycznego
podejścia (zobacz Fabozzi, 1993, Panjer, 1998). Klasyczne podejście rozwijano dla różnych modeli zachowań stóp procentowych, w tym także stochastycznych (patrz np.:
Cox, Ingersoll i Ross, 1979, Khang, 1979, Bierwag i Kaufman, 1977, Bierwag, 1987,
Chambers, Carleton i McEnally, 1988, Prisman i Shores, 1988, Crack i Nawalkha, 2000).
Wobec różnych założeń co do kształtu struktury stóp procentowych, a także charakteru jej przekształceń (na przykład addytywnych, multiplikatywnych) powstały różne
miary na bazie czasu trwania Macaulaya (patrz na przykład Rządkowski i Zaremba,
2000, Shiu, 1987, Reitano, 1991, 1992, Zaremba, 1998, Zaremba i Smoleński, 2000ab).
Jednakże Ingersoll, Skelton i Weil (1978) zarzucili klasycznemu podejściu, że klasy
zachowań stóp procentowych są wąskie, przez co model jest niezgodny z warunkami
równowagi na rynku finansowym, a klasyczne strategie immunizacyjne dopuszczają arbitraż, czyli gwarantują inwestorowi zysk bez ryzyka. Zaczęto zatem rozszerzać klasy
zaburzeń i poszukiwać nowego podejścia w sformułowaniu problemu.
3
Wstęp
Pionierska praca Fonga i Vasička (1984) proponuje, by dopuścić możliwość poniesienia straty w chwili rozliczenia, a jako strategię immunizacyjną zastosować maksymalizację dolnego oszacowania na względną zmianę końcowej wartości portfela. Fong i
Vasiček (1984) przyjęli założenie o dowolnym kształcie funkcji zmian stóp procentowych
z ograniczoną i ciągłą pochodną oraz rozważyli portfel z dopasowanym czasem trwania Fishera-Weila. Wykazali, że dolne oszacowanie względnej zmiany wartości portfela
można przedstawić w postaci iloczynu dwóch czynników: kontrolowanego i poza kontrolą inwestora. Czynnik, na który ma wpływ inwestor jest związany ze strukturą portfela i funkcjonuje w literaturze jako miara M 2 . Nawalkha i Chambers (1996), Balbás i
Ibáñez (1998), Balbás, Ibáñez i López (2002), Nawalkha, Soto i Zhang (2003) w swoich
pracach rozwinęli to podejście i uzyskali różne dolne oszacowania na względną zmianę
końcowej wartości portfela, co doprowadziło do uzyskania różnych strategii minimalizujących stratę inwestora lub równoważnie maksymalizujących jego zysk. Przegląd
współczesnego stanu wiedzy można znaleźć na przykład w książce Nawalkhi i Chambersa (1999) oraz Jackowicza (1999).
Ponieważ inwestor zabezpiecza się przed najgorszym scenariuszem rozwoju sytuacji
na rynku, więc budując optymalny portfel ma do rozwiązania problem maksyminowy.
W większości przypadków nie istnieją jego jawne rozwiązania i dlatego poszukuje się
dolnych oszacowań na wartość maksyminową. W niniejszej rozprawie opierając się na
podejściu Fonga i Vasička, Nawalkhi i Chambersa, Balbása i Ibáñeza uzyskano różne
dolne ograniczenia względnej zmiany wartości końcowej portfela rozważając różne typy
obligacji wchodzące w jego skład. Zawarto również empiryczne badania ilustrujące
praktyczne zastosowanie uzyskanych rezultatów. W końcowej części pracy przedstawiono jawne rozwiązania problemu uodpornienia w różnych modelach wolnych od arbitrażu. Zaproponowano przy tym nowe kryteria wyboru portfela.
Preliminaria mają za zadanie wprowadzić czytelnika w omawianą problematykę
oraz zapoznać z oznaczeniami i pojęciami występującymi w dalszej części pracy.
W rozdziale 1 przedstawiono nową strategię uodpornienia portfela obligacji bez
opcji wykupu przysługującej emitentowi (ang. noncallable) i wolnych od ryzyka niewykupienia przez emitenta obligacji (ang. default free). Strategia polega na minimalizacji
miary, która jest liniową kombinacją luki czasu trwania i miary rozrzutu przy różnych
klasach zaburzeń chwilowej terminowej stopy procentowej (ang. instantaneous forward
rate). Ponadto uogólniono nierówności Fonga i Vasička (1984), Nawalkhi i Chambersa
4
Wstęp
(1996) oraz Balbása i Ibáneza (1998).
W rozdziale 2 rozważono innowacyjne klasy zaburzeń chwilowej terminowej stopy
procentowej i zaproponowano dwie strategie uodpornienia portfela. Pierwszą z nich
łączącą czas trwania Fishera-Weila z miarą M-Absolute zdefiniowaną przez Nawalkhę i Chambersa porównano empirycznie ze strategiami Fishera-Weila oraz Nawalkhi
i Chambersa. Druga strategia polega na minimalizacji kombinacji liniowej czasu trwania, miary M-Absolute i miary M 2 Fonga i Vasička. Następnie uogólniono uzyskane
rezultaty rozważając model wielomianowy zachowań stóp procentowych.
Głównym celem rozdziału 3 jest przedstawienie nowej definicji czasu trwania portfela obligacji bez opcji wcześniejszego wykupu przysługującej emitentowi (ang. noncallable) i obarczonych ryzykiem niewykupienia przez emitenta obligacji (ang. defaultable). W szczególności, jeśli portfel składa się z obligacji bez ryzyka niewykupienia,
to jego czas trwania staje się czasem trwania Fishera-Weila. Dla rozważonego portfela
zaproponowano strategię uodpornienia.
Rozdział 4 poświęcono analizie wolnych od arbitrażu modeli uodpornienia portfela
obligacji pod kątem porównania rezultatów z wynikami uzyskanymi w klasycznym podejściu. Rozważono model trzyokresowy i podano jawne rozwiązania problemu uodpornienia przy różnych kryteriach optymalizacyjnych takich jak: kryterium maksyminowe,
bayesowskie, gamma-maksyminowe, Markowitza. Przy pewnych kryteriach otrzymano,
że wszystkie strategie inwestowania są optymalne. Kryterium Markowitza nie generuje
powyższej anomalii i ponadto, stosując je otrzymano, że optymalnym portfelem jest
portfel z dopasowanym czasem trwania.
Powyższe rozważania dotyczą problemu spłaty pojedynczego zobowiązania. Naturalnym rozszerzeniem badań jest przypadek wielu zobowiązań rozważany np.: w pracach Gajka (2005), Gajka i Ostaszewskiego (2004), czy Hürlimanna (2002). Oczywiście
temat nie jest wyczerpany, wymaga dalszego zgłębiania teoretycznego jak i szerokich
badań empirycznych. O wadze problemu uodpornienia świadczy powszechne stosowanie przez praktyków strategii immunizacyjnych. Prisman i Tian (1993) podają, że na
początku lat 90-tych aktywa amerykańskich funduszy emerytalnych o wartości 100 miliardów dolarów miały postać zimmunizowanych portfeli.
W tym miejscu pragnę podziękować prof. dr hab. Lesławowi Gajkowi za uwagi,
które stały się inspiracją do dalszych badań.
5
Preliminaria
Wprowadźmy oznaczenia:
• [0, T ] jest przedziałem czasu, gdzie chwila t = 0 oznacza chwilę tworzenia portfela,
czyli moment zakupu obligacji.
• m jest momentem spłaty zobowiązania takim, że 0 < m < T .
• f (t, s) jest chwilową terminową stopą procentową (ang. instantaneous forward
interest rate) na przedziale czasu [t, s], to znaczy jeśli zainwestujemy jednostkę
Rs
w chwili t, to otrzymamy w chwili s wartość exp(
t
f (t, u)du). Zbiór chwilowych
terminowych stóp procentowych {f (t, s) : 0 < t ¬ s} generuje losową strukturę
stóp procentowych zdefiniowaną na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P). W
chwili t = 0, funkcja s → f (0, s) jest deterministyczna.
• Ct jest strumieniem pieniężnym wypłat z portfela obligacji w chwilach t ¬ T (t =
t1 , . . . , tN ). Zakładamy, że dla dowolnego t, Ct 0, czyli wykluczamy krótką
sprzedaż.
• V (0) jest wartością portfela liczoną na chwilę m przy bieżącej strukturze terminowej f (0, s).
• k(s) jest funkcją zaburzenia chwilowej terminowej stopy procentowej.
• V (k) jest wartością portfela liczoną na chwilę m, jeśli pojawiło się zaburzenie
k(s).
•
(m)
Ct
=
Ct exp(
Rm
f (0,u)du)
t
V (0)
jest wartością względną wypłaty Ct w odniesieniu do
całego portfela liczoną na chwilę m.
6
Preliminaria
W klasycznym podejściu do problemu uodpornienia portfela poszukuje się takiego
składu portfela, dla którego
inf
k∈K
V (k)−V (0)
V (0)
0,
gdzie K jest klasą zaburzeń chwilowej terminowej stopy procentowej.
Cel pracy
W modelu arbitrażowym uodpornienie polega na rozważeniu możliwości poniesienia
straty przez inwestora, przy czym portfel optymalny to taki, że
inf
k∈K
V (k)−V (0)
V (0)
→ max,
gdzie K jest klasą zaburzeń chwilowej terminowej stopy procentowej. Jednak podanie
rozwiązania tego problemu jest trudne, a czasami niemożliwe. Dlatego poszukuje się
dolnego ograniczenia na względną zmianę wartości portfela zależącego tylko od jego
składu. Następnie proponuje się jako strategię postępowania dobór obligacji w chwili
t = 0 spośród dostępnych na rynku, tak aby dolne ograniczenie było maksymalne.
W pionierskiej pracy, Fong i Vasiček (1984) założyli, że funkcja zaburzenia chwilowej
terminowej stopy procentowej należy do klasy
KF V = {k :
dk(t)
dt
¬ λ, 0 ¬ t ¬ T },
gdzie λ jest dodatnią liczbą. Dowiedli, że jeśli wykluczymy krótką sprzedaż i czas trwania portfela obligacji jest równy momentowi spłaty zobowiązania m (mówimy wtedy o
dopasowanym czasie trwania), to
inf
k∈KF V
V (k)−V (0)
V (0)
− λ2 M 2 ,
gdzie czas trwania jest zdefiniowany w twierdzeniu 1 oraz M 2 =
P
t (t
(m)
− m)2 Ct
jest
miarą rozrzutu. Konsekwencją powyższej nierówności, z punktu widzenia inwestora,
jest następujący problem optymalizacyjny:
wybierz portf el z dopasowanym czasem trwania, który minimalizuje M 2 .
To podejście zostało poddane krytyce na przykład w pracy Bierwaga, Fooladiego i
Robertsa (1993), gdzie dowiedziono, że portfel zawierający obligacje wygasające w
7
Preliminaria
chwili m jest lepiej uodporniny niż ten z minimalną M 2 .
Nawalkha i Chambers (1996) badali zaburzenia należące do klasy
KN CH = {k : k1 ¬ k(t) ¬ k2 , 0 ¬ t ¬ T },
gdzie k1 , k2 są liczbami rzeczywistymi i udowodnili, że
inf
k∈KN CH
gdzie M A =
P
t
(m)
|t − m|Ct
V (k)−V (0)
V (0)
−k3 M A ,
i k3 = max |k1 ||k2 |. Strategia dla inwestora polega na
wyborze portf ela, który minimalizuje M A .
Balbás i Ibánez (1998) rozważyli klasę
KBI = {k : |k(t2 ) − k(t1 )| ¬ λ, 0 ¬ t1 < t2 ¬ T },
w której dla portfela z dopasowanym czasem trwania prawdziwa jest nierówność
inf
k∈KBI
gdzie Ñ =
P
t
(m)
|t − m|Ct
V (k)−V (0)
V (0)
− λ2 Ñ ,
. Zauważmy, że Ñ = M A . Strategia inwestowania to
dobór portf ela z dopasowanym czasem trwania, który minimalizuje Ñ .
8
Rozdział 1
Dolne oszacowania maksyminowej
zmiany wartości portfela
W tym rozdziale zamieszczono główne rezultaty pracy Kondratiuk-Janyska i Kałuszka
(2004a). Inwestor konstruując portfel ponosi ryzyko związane z reinwestowaniem dochodów z wypłat uzyskanych przed chwilą m. Rozważmy taką sytuację, że w chwili
t = 0 nie ma wystarczającej ilości obligacji zerokuponowych m-letnich, by pokryć zobowiązanie w chwili m, natomiast w chwili pierwszej wypłaty z portfela jest to już
możliwe. Zatem inwestor sprzedaje w chwili t1 portfel, a za otrzymaną kwotę nabywa
(m − t1 )-letnie obligacje zerokuponowe. Załóżmy, że struktura terminowa stóp procentowych ulega addytywnemu zaburzeniu przed pierwszą wypłatą z portfela, choć
analogiczne rozumowanie można przeprowadzić dla innych zachowań. Wówczas
V (k) =
X
Z
Ct exp(
t
m
f (1, s)ds) =
t
X
t
Z
Ct exp(
m
(f (0, s) + k(s))ds).
t
Niech A będzie funkcjonałem, czyli odwzorowaniem działającym z przestrzeni liniowej tych wszystkich funkcji określonych na przedziale [0, T ], nazwanych w pracy
zaburzeniami struktury terminowej stóp procentowych, w zbiór liczb rzeczywistych i
niech A mierzy przeciętny poziom zaburzenia struktury terminowej stóp procentowych
oraz posiada własność, że A(0) = 0. Zdefiniujmy klasę zaburzeń
K(W, a) = {k;
Z
t
m
(k(s) − A(k))ds ¬ W (t), 0 ¬ t ¬ T, |A(k)| ¬ a},
(1.1)
gdzie 0 ¬ a ¬ ∞ i W jest nieujemną, wypukłą funkcją, taką że W (m) = 0. Przyjmuje
się, że ∞ · 0 = 0.
9
1. Dolne oszacowania maksyminowej zmiany wartości portfela
W dowodach wszystkich twierdzeń pojawiających się w pracy korzysta się z nierówności
Jensena (patrz Durrett, 1996).
Fakt 1. Niech f : (a, b) → R, −∞ ¬ a < b ¬ ∞, będzie dowolną funkcją wypukłą,
X zmienną losową o wartościach z przedziału (a, b), dla której istnieją EX i Ef (X).
Wówczas zachodzi nierówność
Ef (X) f (EX).
Twierdzenie 1. Dolne oszacowanie zmiany wartości portfela w chwili rozliczenia wy-
nosi
V (k)−V (0)
V (0)
k∈K(W,a)
inf
exp(−a|m − D| − M W ) − 1,
(1.2)
gdzie
• D=
(m)
P
t
• MW =
tCt
P
t
jest czasem trwania Fishera-Weila,
(m)
Ct
W (t).
Dowód. Zauważmy, że
V (k)−V (0)
V (0)
=
(m)
X
Ct
X
Ct
Z
t
t
=
m
exp(
(m)
k(s)ds) − 1
m
Z
exp(A(k)(m − t) +
t
t
(k(s) − A(k))ds) − 1.
(m)
(m)
Ponieważ wykluczono krótką sprzedaż, więc ciąg Ct1 , . . . , CtN jest rozkładem prawdopodobieństwa na przedziale [0, T ]. Korzystając z nierówności Jensena otrzymujemy
V (k)−V (0)
V (0)
exp(A(k)
X
(m)
Ct
(m − t) +
t
X
(m)
Ct
Z
t
= exp(A(k)(m − D) −
X
(m)
Ct
Z
t
m
t
(k(s) − A(k))ds) − 1
t
m
(k(s) − A(k))ds) − 1.
Korzystając z definicji klasy K(W, a)
V (k)−V (0)
V (0)
k∈K(W,a)
inf
exp( inf
k∈K(W,a)
(A(k)(m − D)) −
X
(m)
Ct
W (t)) − 1
t
= exp(−a|m − D| − M W ) − 1. Z podanego oszacowania wynika strategia inwestowania:
wybierz portf el, który minimalizuje a|m − D| + M W .
Zauważmy, że M W jest miarą rozrzutu, ponieważ
10
(1.3)
• na mocy wypukłości W i z nierówności Jensena (przyjmując f = W )
MW =
X
(m)
Ct
X
W (t) W (
t
(m)
tCt
) 0,
t
• jeśli W jest ściśle wypukła, to miara M W jest równa 0 wtedy i tylko wtedy, gdy
portfel składa się z obligacji zerokuponowych o terminie zapadalności w chwili
m.
Z (1.3) wynika, że im większa jest wartość a, tym mniejsza powinna być różnica między
m, a D nazywana luką czasu trwania. Jeśli natomiast a = ∞, wówczas podejście (1.3)
jest równoważne strategii:
wybierz portf el, który minimalizuje M W .
Przedyskutujemy teraz szczególne przypadki klasy K(W, a) zdefiniowanej wzorem (1.1):
1. Rozważmy klasę
Ka (w) = {k; k(t2 ) − k(t1 ) ¬ w(t2 − t1 ), 0 ¬ t1 ¬ t2 ¬ T, |k(m)| ¬ a},
gdzie 0 ¬ a ¬ ∞, w = w(t) jest niemalejącą i nieujemną funkcją taką, że
w(0) = 0. Zauważmy, że Ka (w) zawiera również wszystkie równoległe zaburzenia przyjmujące wartości nie większe niż a. Klasa Ka (w) zawiera się w klasie
K(W, a) przy A(k) = k(m) i W (t) =
R |t−m|
0
w(s)ds. Z twierdzenia 1 otrzymujemy
oszacowanie
(0)
inf V (k)−V
V (0)
k∈Ka (w)
exp(−a|m − D| −
X
(m)
Ct
t
Z
|t−m|
0
w(s)ds) − 1
i strategię dla inwestora
zbuduj portf el, który minimalizuje a|m − D| +
X
(m)
Ct
Z
t
|t−m|
w(s)ds.
0
Jeśli w = 0 i uda się stworzyć portfel z czasem trwania równym momentowi
pokrycia zobowiązania, to inf k∈Ka (w)
V (k)−V (0)
V (0)
0 i portfel jest idealnie uodpor-
niony bez względu na charakter zmian struktury terminowej.
Ciekawą funkcją jest w(t) = λtp dla λ > 0 i dowolnego p ∈ (0, 12 ), ponieważ realizacje procesu Browna są funkcjami ciągłymi w sensie Höldera z wykładnikiem p
11
dla 0 < p <
1
2
(patrz np.: Durret, 1996, str. 379). Prowadzi to do następującego
problemu
minimalizuj
a|m −
n
X
q i Di | +
i=1
przy warunkach
n
X
n
X
qi M i
i=1
qi Pi = C, qi 0, i = 1, 2, . . . , n,
i=1
gdzie qi oznacza ilość i-tej obligacji w portfelu, Pi jest ceną rynkową i-tej obligacji
w chwili t = 0, C zdyskontowaną na chwilę 0 wartością zobowiązania L, Di =
1
L
P
t
(m)
tcit
i Mi =
λ
(p+1)L
P
(m)
t
|t − m|p+1 cit , to czas trwania i miara rozrzutu,
odpowiednio, i-tej obligacji. Ten przypadek jest szczegółowo rozważany w pracy
Balbása i Ibáñeza (1998) z konkluzją, że najlepsze miary rozrzutu to takie, że
0 ¬ p ¬ 1.
2. Kolejna klasa stanowi rozszerzenie klasy rozważanej przez Fonga i Vasička (1984).
Niech A(k) := k(m) i niech
KF∗ V (a) = {k;
Z
t
m
(k(s) − k(m))ds ¬ λ2 (t − m)2 , 0 ¬ t ¬ T, λ > 0, |k(m)| ¬ a}.
Zauważmy, że KF∗ V (a) = K( λ2 (t − m)2 , a). Z twierdzenia 1 mamy:
inf
∗ (a)
k∈KF
V
V (k)−V (0)
V (0)
exp(−a|m − D| − λ2 M 2 ) − 1
oraz dla portfeli z dopasowanym czasem trwania
inf
∗ (a)
k∈KF
V
V (k)−V (0)
V (0)
exp(− λ2 M 2 ) − 1.
(1.4)
Ponadto klasa KF V rozważana przez Fonga i Vasička (1984) zawiera się w klasie
KF∗ V (∞). Istotnie, dla dowolnego k ∈ KF V
Z
s
jeśli s m to k(s) − k(m) =
s
jeśli s < m to k(s) − k(m) =
Z
m
m
k 0 (t)dt ¬ λ(s − m),
k 0 (t)dt λ(s − m).
Stąd dla dowolnego t,
Z
t
m
(k(s) − k(m)) ¬ λ2 (t − m)2 ,
k ∈ KF∗ V (∞) = K( λ2 (t − m)2 ).
Ponieważ exp x 1+x i KF V ⊂ KF∗ V (∞), więc nierówność (1.4) jest uogólnieniem
nierówności Fonga i Vasička (1984).
12
3. Teraz podamy uogólnienie nierówności Balbása i Ibáñeza (1998). Niech A(k) =
= 21 (inf 0¬t¬T k(t) + sup0¬t¬T k(t)). Zdefiniujmy następującą klasę funkcji
∗
KBI
= {k;
Z
t
m
(k(s) − A(k))ds ¬ λ2 |m − t|, 0 ¬ t ¬ T, λ > 0}.
∗
Oczywiście KBI
= K( λ2 |m−t|, ∞). Pokażemy teraz, że klasa KBI rozważana przez
∗
Balbása i Ibáñeza (1998) zawiera się w klasie KBI
. Dla dowolnego k ∈ KBI
jeśli t m to k(t) ¬ A(k) +
λ
2
jeśli t ¬ m to k(t) A(k) −
λ
2
i
Z
m
Z
m
t
i
t
k(s)ds A(k)(m − t) − λ2 (t − m),
k(s)ds A(k)(m − t) − λ2 (m − t).
Dla każdego 0 ¬ t ¬ T otrzymujemy
Z
m
t
k(s)ds A(k)(m − t) − λ2 |m − t|,
∗
co dowodzi tezy, że KBI ⊂ KBI
. Z twierdzenia 1 otrzymujemy nierówność praw-
dziwą dla portfeli, dla których czas trwania jest równy chwili spłaty zobowiązania
postaci
inf
∗
k∈KBI
V (k)−V (0)
V (0)
exp(− λ2 Ñ ) − 1.
(1.5)
∗
Z faktu, że KBI ⊂ KBI
i exp x 1 + x, nierówność (1.5) jest uogólnieniem
nierówności Balbása i Ibáñeza (1998).
4. Aby poprawić nierówność Nawalkhi i Chambersa (1996) należy zmodyfikować
klasę (1.1) i rozważyć
KN CH (W, a) = {k;
Z
t
m
(k(s) − A)ds ¬ W (t)},
gdzie A jest dowolną liczbą rzeczywistą, W jest funkcją nieujemną i wypukłą
taką, że W (m) = 0. W konsekwencji twierdzenie 1 ulega modyfikacji.
Twierdzenie 2.
inf
k∈KN CH (W,a)
gdzie M W =
P
t
(m)
Ct
V (k)−V (0)
V (0)
exp(A(m − D) − M W ) − 1,
W (t).
13
Dowód. Dowód jest analogiczny jak w twierdzeniu 1.
Twierdzenie 2 implikuje strategię inwestowania
zminimalizuj A(D − m) + M W .
(1.6)
Rozważmy teraz klasę
∗
KN
CH (A, B) = {k;
Z
t
m
(k(s) − A)ds ¬ B|t − m|, 0 ¬ t ¬ T },
gdzie A = 12 (k1 + k2 ) i B = 12 (k2 − k1 ) i k1 < k2 . Zauważmy, że klasa KN CH ⊂
∗
∗
KN
CH (A, B) = KN CH (B|t − m|, ∞). Istotnie, dla dowolnego k ∈ KN CH
Z
t
jeśli t m to k(t) ¬ k2 = A + B, czyli
t
jeśli t < m to k(t) k1 = A − B, czyli
Z
co daje
Rt
m (k(s) − A)ds
m
m
(k(s) − A)ds ¬ B(t − m),
(k(s) − A)ds ¬ B(m − t),
¬ B|m − t| dla dowolnego t. Z twierdzenia 2 otrzymujemy
zatem, że
inf
∗
k∈KN
CH (A,B)
gdzie M A =
P
t
(m)
Ct
V (k)−V (0)
V (0)
exp(A(m − D) − BM A ) − 1,
(1.7)
|t − m|. A ponadto, ponieważ A(m − t) − B|t − m|
− max (|k1 |, |k2 |)|t − m| dla wszystkich t, więc
inf
∗
k∈KN
CH (A,B)
V (k)−V (0)
V (0)
exp(−k3 M A ) −k3 M A ,
gdzie k3 = max (|k1 |, |k2 |), co dowodzi, że nierówność (1.7) jest uogólnieniem
nierówności Nawalkhi i Chambersa (1996).
14
Rozdział 2
Uodpornienia portfela obligacji bez
opcji wcześniejszego wykupu i
ryzyka niewykupienia
Ten rozdział jest oparty na wynikach opublikowanych w pracy Kondratiuk-Janyska i
Kałuszka (2004b). Sytuacja na rynku i scenariusz postępowania inwestora jest taki sam
jak w rozdziale 1.
Równoległe przesunięcia struktury terminowej zakładane w klasycznym modelu odgrywają w rzeczywistości znaczącą rolę (patrz Ilmanen, 1992). Choć podejście Fonga
i Vasička jest nowatorskie, ponieważ rozważyli oni zaburzenie jako dowolną funkcję z
pewnej klasy, to zarówno niewielkie zmiany jak i duże równoległe przesunięcia struktury
terminowej są tak samo prawdopodobne. Nawalkha i Chambers wykluczyli duże wartości równoległych ruchów. Dlatego też, aby wziąć pod uwagę wszystkie możliwe wartości
zaburzeń równoległych, ale z odpowiednimi wagami proponujemy stochastyczny model
zachowań struktury terminowej stóp procentowych. Załóżmy, że k(s, ω) jest mierzalnym procesem stochastycznym na przestrzeni (Ω, F, P) i uśrednione zaburzenie (patrz
założenie (i) poniżej) jest zmienną losową o wartości przeciętnej µ oraz że funkcje
zaburzeń odchylają się od swojej średniej wartości o nie więcej niż stała λ z prawdopodobieństwem 1.
15
2. Uodpornienia portfela obligacji bez opcji wcześniejszego wykupu i ryzyka
niewykupienia
2.1
Strategie typu DD
Załóżmy, że:
(i)
1
T
RT
0
k(s)ds jest zmienną losową z wartością oczekiwaną µ.
RT
1
T
(ii) |k(t) −
0
k(s)ds| ¬ λ dla każdego t 0, gdzie λ jest nieujemną liczbą rzeczy-
wistą.
Rozważana przez nas klasa chwilowych terminowych stóp procentowych zawiera wszystkie równoległe przesunięcia, a z drugiej strony duże wartości przeciętnego zaburzenia
są mało prawdopodobne, co wynika z reguły 3σ.
Twierdzenie 3. Dolne ograniczenie na wartość przeciętną zmiany końcowej wartości
portfela przy założeniach (i) − (ii) wyraża się wzorem
(0)
E V (k)−V
exp(µG − λM A ) − 1,
V (0)
(2.1)
gdzie
• G = m − D jest luką czasu trwania,
• D=
P
(m)
t
• MA =
tCt
P
t
jest czasem trwania Fishera-Weila dla portfela,
(m)
|m − t|Ct
Dowód. Połóżmy δ =
V (k)−V (0)
V (0)
1
T
RT
0
=
jest miarą M-Absolute Nawalkhi i Chambersa.
k(s)ds. Przypomnijmy, że
X
(m)
Ct
X
(m)
Ct
t
=
Z
exp(
t
m
k(s)ds) − 1
exp(δ(m − t) +
t
Z
t
m
(k(s) − δ)ds) − 1.
(2.2)
Z założenia (ii) wynika, że k(s) − δ −λ dla t ¬ m, stąd
Z
t
m
(k(s) − δ)ds −λ(m − t) dla t ¬ m.
(2.3)
Jeśli t > m, to k(s) − δ ¬ λ. W konsekwencji
Z
t
m
(k(s) − δ)ds = −
Z
t
m
(k(s) − δ)ds −λ(t − m) dla t > m.
16
(2.4)
niewykupienia
Z (2.3) i (2.4) mamy
Z
m
t
(k(s) − δ)ds −λ|t − m| dla t 0.
(2.5)
Ze wzorów (2.2) i (2.5) otrzymujemy
V (k)−V (0)
V (0)

X
(m)
Ct
exp δ(m − t) − λ|m − t| − 1.
(2.6)
t
Stosując nierówność Jensena i korzystając z założenia (i) mamy
(0)
E V (k)−V

V (0)
(m)
E exp δ(m − t) − λ|m − t| − 1
(m)
exp (m − t)Eδ − λ|m − t| − 1
X
Ct

X
Ct
=
X
(m)
Ct
(2.7)
t
t
exp (m − t)µ − λ|m − t| − 1.
t
(m)
(m)
Zauważmy, że ciąg Ct1 , . . . , CtN definiuje rozkład prawdopodobieństwa na przedziale
(m)
[0, T ] ponieważ Ct
0i
P
t
(m)
Ct
= 1. Stosując ponownie nierówność Jensena otrzy-
mujemy
(0)
E V (k)−V
exp(µG − λM A ) − 1,
V (0)
co kończy dowód.
Jako wniosek z twierdzenia 3 otrzymujemy następującą strategię, którą nazwiemy DD
strategią jako skrót od angielskiego określenia Duration-Dispersion:
wybierz portf el, który maksymalizuje µG − λM A .
(2.8)
Uwaga 1. Jeśli µ jest nieznanym parametrem, to
(0)
inf
E V (k)−V
exp(−λM A ) − 1
V (0)
µ
przy warunku, że G = 0. Dlatego inwestor powinien budować swój portfel według
strategii
minimalizacja M A przy ograniczeniu D = m.
(2.9)
W wielu teoretycznych rozważaniach zakłada się, że funkcja zaburzenia struktury
terminowej stóp procentowych jest procesem gaussowskim. Jeśli badania empiryczne
potwierdzają tezę, że przeciętne zaburzenie
1
T
RT
0
k(s)ds ma rozkład normalny z warto-
ścią oczekiwaną µ i wariancją σ 2 , wówczas strategię (2.8) można zmodyfikować zastępując założenie (i), założeniem
17
niewykupienia
(i∗ )
1
T
RT
0
k(s)ds jest zmienną losową o rozkładzie normalnym z wartością oczekiwaną
µ i wariancją σ 2 0 (jeśli σ 2 = 0, to brak losowości). Zarówno wartość oczekiwana jak i wariancja mogą zależeć od T .
Twierdzenie 4. Jeżeli spełnione są założenia (i∗ ) − (ii), to
(0)
E V (k)−V
exp(µG + 12 σ 2 M 2 − λM A ) − 1
V (0)
(2.10)
gdzie
• M2 =
P
t (m
(m)
− t)2 Ct
jest miarą Fonga i Vasička,
• G i M A są zdefiniowane w twierdzeniu 1.
Dowód. Analogiczne rozumowanie jak w dowodzie twierdzenia 3 daje nam nierówność
(2.6). Na mocy założenia (i∗ ) zmienna losowa δ ma rozkład normalny z wartością
oczekiwaną µ i wariancją σ 2 tak więc E exp(δa) = exp(µa + σ 2 a2 /2) dla każdego a ∈ R.
Uwzględniając ten fakt mamy
(0)
E V (k)−V

V (0)
X
(m)
Ct
exp µ(m − t) + 12 σ 2 (m − t)2 − λ|m − t| − 1.
t
(m)
Dalej dowód przebiega analogicznie jak dowód twierdzenia 3. Ponieważ Ct
P
t
(m)
Ct
(m)
0 i
(m)
= 1, ciąg Ct1 , . . . , CtN generuje rozkład prawdopodobieństwa na przedziale
[0, T ]. Stąd i z nierówności Jensena dostajemy, że
(0)
E V (k)−V
exp(µG + 12 σ 2 M 2 − λM A ) − 1,
V (0)
co kończy dowód.
Jako wniosek z twierdzenia 4 otrzymujemy zmodyfikowaną DD strategię postępowania
dla inwestora:
wybierz portf el, który maksymalizuje µG + 12 σ 2 M 2 − λM A .
(2.11)
Uwaga 2. Jeśli µ jest nieznanym parametrem, to inwestor powinien wybrać portfel,
który
maksymalizuje 21 σ 2 M 2 − λM A przy ograniczeniu D = m.
18
(2.12)
niewykupienia
Zauważmy, że jeśli σ = 0 wówczas strategia wyboru portfela polega na doborze jego
składników tak, aby
zminimalizować M A przy ograniczeniu D = m.
Rozwiązaniem powyższego problemu jest portfel typu bullet tzn. portfel generujący
strumienie pieniężne skupione wokół jednego punktu w czasie, u nas m. Z drugiej
strony, jeśli λ = 0, to mamy strategię:
wybierz portf el, który maksymalizuje M 2 przy ograniczeniu D = m.
Wiadomo, że portfel typu barbell, czyli generujący strumienie pieniężne skupione wokół dwu punktów w czasie, skrajnie położonych w stosunku do m, ma maksymalną
wartość M 2 (Zaremba, 1998, Zaremba i Smoleński, 2000a). Jednakże powyższy rezultat różni się od wyniku Fonga i Vasička (1984) ponieważ oni proponują minimalizować
M 2 przy warunku D = m. Natomiast nasz wynik jest bliski wynikowi uzyskanemu w
klasycznym podejściu do problemu uodpornienia wykorzystującym rozwinięcie w szereg Taylora końcowej wartości portfela w punkcie m przy założeniu płaskiego przebiegu
stóp procentowych i ich równoległych ruchów.
2.2
Model wielomianowy wolny od arbitrażu
W twierdzeniach 3 i 4 zakłada się, że nieznana funkcja zaburzenia jest rozwinięta w
szereg przy czym brany jest pod uwagę pierwszy wyraz rozwinięcia, który mierzy średni
poziom zaburzenia. Zakłada się, że jest on zmienną losową. Reszta jest oszacowana
przez stałą λ. Powstaje pytanie jak zmienia się rozwiązanie problemu uodpornienia,
jeśli weźmiemy pod uwagę dalsze wyrazy z rozwinięcia w szereg funkcji zaburzenia
stóp procentowych. Niech a1 (t), . . . , ad (t) będą znanymi funkcjami. Zdefiniujmy klasę
zaburzeń:
S = {k; k(t) =
d
X
δi ai (t), 0 ¬ t ¬ T, dla pewnych rzeczywistych δ1 , . . . , δd } (2.13)
i=1
(patrz Rządkowski i Zaremba, 2000). Szczególne przypadki klasy (2.13) rozważane w
literaturze, to:
19
niewykupienia
a) model wielomianowy
d
X
k(t) =
δi ti−1 ,
(2.14)
i=1
(patrz Chambers, Carleton i McEnally, 1988, Prisman i Shores, 1988, Crack i
Nawalkha, 2000),
b) model wielokrotnych zaburzeń
d
X
k(t) =
δi Ii (t),
(2.15)
i=1
gdzie Ii (t) = 1 dla t ∈ [τi−1 , τi ), i Ii (t) = 0 w przeciwnym razie oraz 0 = τ0 <
τ1 < . . . < τd = T (patrz Reitano, 1991),
c) model Khanga
k(t) = δ ln(1+αt)
gdzie α ∈ R+
αt
(2.16)
(patrz Khang, 1979).
Wprowadzimy teraz następującą klasę zaburzeń:
∗
S = {k; k(t) =
d
X
δi ai (t) + (t), 0 ¬ t ¬ T }
(2.17)
i=1
i założymy, że
(iii) (δ1 , . . . , δd ) jest wektorem losowym o wartości oczekiwanej (µ1 , . . . , µd ).
(iv) |(t)| ¬ λ dla wszystkich t 0.
Twierdzenie 5. Przy założeniach (iii)-(iv), otrzymujemy że
(0)
E V (k)−V
V (0)
d
X
exp(
µi Gi − λM A ) − 1
i=1
gdzie
• Gi =
P
t
(m)
Ct
Rm
t
ai (s)ds jest i-tą luką czasu trwania dla i = 1, . . . , d,
20
(2.18)
niewykupienia
• M A jest zdefiniowane w twierdzeniu 3.
Dowód. Dowód przebiega analogicznie jak w twierdzeniu 3. Oczywiście
V (k)−V (0)
V (0)
X
=
(m)
Ct
exp(
t
d
X
δj
j=1
m
Z
aj (s)ds +
t
Z
m
t
k(s) −
d
X
δj aj (s) ds) − 1.
j=1
Z założenia (iv)
V (k)−V (0)
V (0)

X
(m)
Ct
exp(
t
d
X
δj
Z
m
aj (s)ds − λ|m − t|) − 1.
t
j=1
Stosując nierówność Jensena otrzymujemy
(0)
E V (k)−V

V (0)
(m)
X
Ct
X
(m)
Ct
t

t
exp(E
d
X
Z
m
δj
j=1
t
d
X
m
δj
Z
E exp(
j=1
d
X
exp(
t
aj (s)ds − λ|m − t|) − 1
aj (s)ds − λ|m − t|) − 1
µi Gi − λM A ) − 1,
i=1
co kończy dowód.
Twierdzenie analogiczne do twierdzenia 4 wymaga następującego założenia:
(ii∗ ) (δ1 , . . . , δd ) jest wektorem losowym o rozkładzie normalnym z wektorem wartości
oczekiwanych (µ1 , . . . , µd ) i macierzą kowariancji Σ = (σij ).
Twierdzenie 6. Przy założeniach (iii∗ ) − (iv), mamy
d
X
(0)
E V (k)−V
exp(
V (0)
i=1
µi G i +
1
2
d
X
σij Mij2 − λM A ) − 1,
(2.19)
i,j=1
gdzie
• Gi =
P
• Mij2 =
t
(m)
Ct
P
t
Rm
t
(m)
Ct
ai (s)ds jest i-tą luką czasu trwania dla i = 1, . . . , d,
Rm
t
ai (s)ds
Rm
t
aj (u)du jest zmodyfikowaną miarą Fonga i Vasička,
• M A jest zdefiniowane w twierdzeniu 3.
21
niewykupienia
Dowód. Dowód przebiega jak w twierdzeniu 5. Korzysta się z faktu, że
E exp(b1 X1 + . . . + bd Xd ) = exp(µbT + 12 bΣbT )
dla b = (b1 , . . . , bd ), jeśli (X1 , . . . , Xd ) ma wielowymiarowy rozkład normalny z wektorem wartości oczekiwanych µ = (µ1 , . . . , µd ) i macierzą kowariancji Σ = (σij ).
Twierdzenie 6 implikuje następującą strategię inwestowania:
wybierz portf el, który maksymalizuje
d
X
µi G i +
1
2
i=1
d
X
σij Mij2 − λM A ,
(2.20)
i,j=1
która jest uogólnieniem strategii (2.11). Jest ona również łatwa do implementacji, ponieważ prowadzi do liniowego problemu optymalizacyjnego przy liniowych ograniczeniach.
Przykład 1. Weźmy pod uwagę model wielomianowy (2.14). Poważnym ograniczeniem tego modelu jest to, że jeśli d 6= 1, to nie istnieje portfel bez krótkiej sprzedaży,
co wynika z faktu, że wariancja zmiennej losowej jest nieujemna, a równa się 0 tylko
wtedy, gdy rozkład prawdopodobieństwa jest skupiony w jednym punkcie. Natomiast
zauważmy, że rozwiązanie problemu (2.20) zawsze istnieje. W modelu wielomianowym,
gdzie ai (t) = ti−1 dla i = 1, . . . , d:
Gi = 1i (mi − Di ) dla i = 1, . . . , d,
i Di =
P
t
(m) i
Ct
t jest zdefiniowane w twierdzeniu 5. Elementarne przekształcenia pro-
wadzą do
Mij2 =
1
(mi+j
ij
− mi Dj − mj Di + Di+j ) dla wszystkich i, j.
Przyjmując µ1 = µ2 = . . . = µd = 0 w twierdzeniu 6 otrzymujemy strategię:
wybierz portf el, który maksymalizuje
1
2
d
X
σij Mij2 − λM A .
i,j=1
2
Kładąc d = 1 dostajemy M11
= m2 − 2mD + D2 = M 2 i strategia sprowadza się do
strategii (2.11) z µ = 0.
22
niewykupienia
2.3
Badania empiryczne
W tym podrozdziale testuje się empirycznie efektywność różnych strategii postępując
według scenariusza zaproponowanego w pracy Nawalkhi i Chambersa (1996). Zakładamy, że dostępnych jest 31 różnych obligacji wypłacającyh z dołu roczne kupony przy
7 okresach wygaśnięcia (1, 2, 3, . . . , 7) i 5 różnych stopach kuponów (6%, 8%, 10%,
12%, 14%) dla każdego okresu wygaśnięcia. Ceny obligacji są wyznaczane na podstawie
danych dotyczących zwrotów obligacji zero kuponowych dostarczonych przez McCullocha i Kwona, a wcześniej już wykorzystywanych między innymi w pracach Nawalkhi
i Chambersa (1996), Nawalkhi, Soto i Zhanga (2003) oraz Christiansena (2003). Zakłada się, że inwestor ma pokryć swoje zobowiązanie za 4 lata. 31 grudnia 1951 roku
konstruuje się trzy portfele według:
• strategii (2.8) rozwiązując problem maksymalizacji funkcji
J
X
ni pi
Di
I0
J
X
ni pi = I0 , ni 0 dla wszystkich i = 1, 2 . . . , J,
µ(
− m) − λ
i=1
przy ograniczeniach
J
X
ni pi
MiA
I0
(2.21)
i=1
i=1
gdzie J=31 jest liczbą dostępnych obligacji, I0 jest początkową kwotą inwestycji,
pi oznacza cenę i-tej obligacji, ni jest ilością i-tej obligacji w portfelu oraz Di ,
MiA są odpowiednio czasem trwania oraz miarą M-Absolute i-tej obligacji,
• strategii M − Absolute (Nawalkha i Chambers, 1996)
J
X
minimalizując
ni pi
MiA
I0
(2.22)
i=1
przy warunkch
J
X
ni pi = I0 , ni 0 dla wszystkich i = 1, 2 . . . , J,
i=1
• tradycyjnej strategii Fishera-Weila (Nawalkha i Chambers, 1996)
minimalizując
J
X
(pi ni )2
(2.23)
i=1
przy ograniczeniach
J
X
i=1
23
ni pi
Di
I0
= m,
J
X
i=1
ni pi = I0 .
niewykupienia
Rozwiązania problemów (2.21), (2.22) i (2.23) zostały wyznaczone przy użyciu Microsoft Excel 2000 Solver.
Oczywiście nie można dać jednoznacznej odpowiedzi, która ze strategii jest najlepsza
ponieważ przeanalizowany scenariusz jest jednym z wielu. Natomiast widać, że implementacja strategii (2.8) przez inwestora jest możliwa. Na podstawie przeprowadzonych
badań widać, że strategia (2.8) nie jest obojętna na parametry rynku µ, λ. Ponieważ
zmienność stóp procentowych jest inna w latach ’50 i ’60 od zmienności w latach ’70 i ’80
tak więc podzielono otrzymane wyniki na 2 grupy: 1951-1970 i 1967-1986 (patrz Tabela
3.1 i 3.2). Przyjmując, jako kryterium optymalności wartość bezwzględną sumy różnic
oraz sumę ujemnych odchyłek pomiędzy wartościami otrzymanymi stosując strategie
(2.21), (2.22) i (2.23), a wartością idealnego portfela widać, że strategia (2.8) jest lepsza niż strategia (2.23) i gorsza od (2.22). Jednak w praktyce inwestor, jeśli ma więcej
pieniędzy niż wynosi jego zobowiązanie, to nadwyżkę umieszcza w banku, w przeciwnym razie musi pożyczyć pieniądze, aby spłacić swój dług. Dlatego proponuje się nowe
kryterium oceny strategii (2.21), (2.22) i (2.23) polegające na analizie stanu konta bankowego, na który wpłacane są nadwyżki bądź, z którego pożyczane są pieniądze. Przyjmuje się okresy rozliczeniowe od roku 1955 do roku T , gdzie T = 1962, 1970, 1978, 1986
(patrz wykresy 1-4). Zakłada się, że stopa procentowa oszczędności i jest w granicach
od 0% do 8% na przedziale [1955, T ], a stopa pożyczki jest równa i + 3%. Ten przykład pokazuje, że strategia (2.22) jest zdecydowanie lepsza niż strategia (2.23) oraz
czasami lepsza od strategii (2.21). Jednakże przy obliczaniu stanu konta użyto teoretycznych wartości stóp procentowych. Zatem powstaje pytanie jak zmienią się wnioski,
jeśli użyjemy realnych stóp (podanych przez McCullocha i Kwona). Rozważono, więc
konto ze stanem początkowym z końca roku 1955 (patrz Tabela 3.1). Następnie, jeśli ta
wielkość jest dodatnia, to jest kapitalizowana czynnikiem 1 + it , a jeśli jest ujemna, to
1 + it + 3%, gdzie it jest roczną stopą procentową podaną przez McCullocha i Kwona w
chwili t. Ta zakumulowana wartość jest dodawana do odchylenia wartości portfela na
koniec roku 1956 (patrz Tabela 3.1). Procedura jest powtarzana do końca roku 1986.
Rezultaty są przedstawione na wykresie 5. W trakcie badań empirycznych zauważono,
że poddając takim samym kryteriom oceny strategię (2.11) rezultaty są bardzo bliskie
do otrzymanych dla (2.8).
24
niewykupienia
Tablica 2.1: Odchylenia Realnych Wartości od Wartości Idealnych w Latach 1951-70 w
Alternatywnych Strategiach
Okres
Cel
Strat. (4.23)
Strat. (4.22)
Strat. (4.21)
1951-55
1.09055
- 0.00615
- 0.00112
- 0.00252
1952-56
1.09825
- 0.00642
- 0.00147
- 0.00188
1953-57
1.08898
0.00089
0.00071
0.00251
1954-58
1.08676
0.00743
0.00243
0.00331
1955-59
1.12183
- 0.00752
0.00143
0.00002
1956-60
1.15984
0.01216
- 0.00094
0.00160
1957-61
1.11918
0.00445
0.00381
0.00408
1958-62
1.16193
- 0.00151
- 0.00037
- 0.00407
1959-63
1.21327
- 0.00896
- 0.00620
- 0.00665
1960-64
1.14129
- 0.00234
- 0.00061
- 0,00145
1961-65
1.16077
- 0.00459
- 0.00131
- 0.00052
1962-66
1.14747
0.00252
0.00199
0.00260
1963-67
1.17473
0.00354
0.00173
0.00375
1964-68
1.17746
0.00208
0.00419
0.00464
1965-69
1.22336
- 0.00678
0.00233
0.00501
1966-70
1.21808
0.02245
0.00678
0.00950
Suma odchyleń wartości bezwględnych
0.09979
0.03743
0.05411
- 0.04427
- 0.01202
- 0.01709
Suma ujemnych odchyleń
25
niewykupienia
Tablica 2.2: Odchylenia Realnych Wartości od Wartości Idealnych w latach 1967-86 w
Alternatywnych Strategiach
Okres
Cel
Strat. (4.23)
Strat. (4.22)
Strat. (4.21)
1967-71
1.26319
0.01709
0.00440
0.00525
1968-72
1.29600
- 0.00680
0.00095
- 0.00678
1969-73
1.37537
- 0.02751
- 0.01178
- 0,01440
1970-74
1.26587
- 0.00348
- 0.00219
- 0.00042
1971-75
1.23560
0.02415
0.00313
0.00450
1972-76
1.27476
0.01369
0.00242
0.00289
1973-77
1.30567
- 0.01146
0.00034
- 0.00291
1974-78
1.33434
- 0.03743
- 0.00368
- 0.00768
1975-79
1.33771
- 0.01697
- 0.00390
0.00144
1976-80
1.26592
0.00421
0.01115
0.01828
1977-81
1.34291
0.02042
0.01448
0.02245
1978-82
1.43838
0.02970
0.01670
0.02541
1979-83
1.49900
0.01704
0.01494
0.01471
1980-84
1.62671
0.01764
- 0.00117
- 0.01401
1981-85
1.73090
- 0.01827
- 0.02611
- 0.02804
1982-86
1.50212
- 0.01478
- 0.00424
- 0.01136
Suma odchyleń wartości bezwględnych
0.28064
0.12158
0.18053
- 0.14534
- 0.05307
- 0.08560
Suma ujemnych odchyleń
26
niewykupienia
Stan konta bankowego, na które wpłacane są zyski lub z którego pożyczane są pieniądze
postępując według różnych strategii inwestowania w zależności od stopy procentowej
Wykres 1. Okres 1955-1962
0,004
0,002
0
0%
1%
2%
3%
4%
5%
-0,002
-0,004
Strategia (3.23)
Strategia (3.22)
27
Strategia (3.21)
6%
7%
8%
niewykupienia
0,025
0,015
0,005
0%
1%
2%
3%
4%
5%
6%
7%
8%
6%
7%
8%
-0,005
-0,015
Strategia (3.23)
Strategia (3.22)
Strategia (3.21)
0,03
0,01
0%
1%
2%
3%
4%
5%
-0,01
-0,03
-0,05
-0,07
Strategia (3.23)
Strategia (3.22)
28
Strategia (3.21)
niewykupienia
0,1
0,05
0
0%
1%
2%
3%
4%
5%
6%
7%
8%
-0,05
-0,1
Strategia (3.23)
Strategia (3.22)
Strategia (3.21)
0,12
0,1
0,08
0,06
0,04
0,02
0
1955
1960
1965
1970
Strategia (3.23)
Strategia (3.22)
1975
-0,02
-0,04
-0,06
-0,08
29
Strategia (3.21)
1980
1985
Rozdział 3
Uodpornienia portfela obligacji z
ryzykiem niewykupienia
Wyniki prezentowane w tym rozdziale opublikowano w pracy Kondratiuk-Janyska i
Kałuszka (2005a). Choć znaczna część literatury jest poświęcona obligacjom pozbawionych ryzyka niewykupienia, na rynku pojawia się coraz większa ilość obligacji obarczonych tych ryzykiem (ang. defaultable). Dopasowanie klasycznego modelu uodpornienia portfela zawierającego obligacje uwzględniające ryzyko niedotrzymania warunków
przez emitenta (ang. default risk) stało się celem szeregu prac. Bierwag i Kaufman
(1988) zdefiniowali czas trwania dla obligacji z ryzykiem niewykupienia zakładając
przy tym płaską strukturę terminową. Fooladi, Roberts i Skinner (1997) wyprowadzili
ogólny wzór na dopasowany czas trwania w modelu Jonkharta struktury terminowej
(Jonkhart, 1979). Jacoby (2003), Jacoby i Roberts (2003) uogólnili wcześniejsze wyniki
podając model wyceny korporacyjnych obligacji kuponowych. Jednak, żadna z prac nie
rozważa zmiany wartości portfela z obligacjami obarczonymi ryzykiem niewykupienia.
Dlatego nasze zainteresowanie objęło ten kierunek badań. Wprowadźmy oznaczenia
wykorzystywane w dalszej części rozdziału:
• pit oznacza prawdopodobieństwo warunkowe przetrwania okresu t dla i-tego emitenta pod warunkiem, że przeżył on t − 1 okresów,
• cit jest kwotą, jaką uzyskamy z i-tej obligacji w chwili t, jeśli jej emitent przeżyje
okres t; zakładamy, że cit 0,
(m)
Rm
• cit = cit exp(
t
f (0, u)du) jest kwotą liczoną na chwilę m, jaką uzyskamy z i-tej
30
3. Uodpornienia portfela obligacji z ryzykiem niewykupienia
obligacji w chwili t, jeśli emitent przeżyje okres t,
• Fit (s(t)) wyraża wysokość kwoty, jaką i-ty emitent wypłaci w chwili t + s w przypadku, gdy w chwili t nie pokrył on swoich zobowiązań; s(t) 0 jest opóźnieniem
czasowym takim, że t + s(t) ¬ T ,
(m)
• Fit (s(t)) = Fit (s(t)) exp(
Rm
t+s(t)
f (0, u)du) wyraża wielkość kwoty liczonej na
chwilę m, jaką i-ty emitent wypłaci w chwili t + s, jeśli w chwili t nie pokrył on
swoich zobowiązań,
• k(t, s) :=
Rs
t
[f (t ∧ s, u) − f (0, u)]du, gdzie a ∧ b = min(a, b).
Dla uproszczenia zapisu przyjmujemy, że każda kwota uzyskiwana z portfela w chwili
t < m jest reinwestowana w obligacje zerokuponowe wygasające w chwili m. Zakładamy ponadto, że zmiany struktury terminowej są niezależne od ryzyka niedotrzymania warunków przez emitenta (Fooladi, Roberts i Skinner, 1997, Jacoby, 2003, Jacoby
i Roberts, 2003b). Wówczas wartość przeciętna i-tej obligacji w chwili m równa się
Vi (k) = E
X
Z
m
Z
m
[cit exp(
+ Fit (s(t)) exp(
= E
X
f (t ∧ m, u)du)pit
t
t
t+s(t)
f ((t + s(t)) ∧ m, u)du)(1 − pit )]
Y
piτ
τ <t
(m)
(m)
[cit exp(k(t, m))pit + Fit (s(t)) exp(k(t + s(t), m))(1 − pit )]
t
Y
piτ
τ <t
(3.1)
(patrz Fooladi, Roberts i Skinner, 1997), wzór (1)), gdzie
Q
τ <1
piτ := 1 oraz suma
wzięta jest po wszystkich wartościach τ ze zbioru {1, 2, . . . , t − 1}. W szczególności dla
k(t, m) = 0, czyli gdy nie ma zaburzenia struktury terminowej
Vi (0) =
X
(m)
(m)
[cit pit + Fit (s(t))(1 − pit )]
t
Y
piτ
τ <t
dla każdego t. Oznaczmy przez q = (q1 , . . . , qn ) portfel inwestora złożony z qi obligacji.
W chwili m mamy pokryć zobowiązanie sprzedając portfel obligacji, z którego przeciętnie uzyskujemy wartość
Pn
i=1 qi Vi (k)
przy zaburzeniu k. Będziemy tak dobierać skład
portfela, aby dolne oszacowanie
inf 1
k∈K L
n
X
qi Vi (k)
i=1
31
było jak największe, gdzie K = {k : k(t, s) =
klasą zaburzeń, L =
Pn
i=1 qi Vi (0)
Rs
t
[f (t ∧ s, u) − f (0, u)]du, s, t 0} jest
jest zobowiązaniem płatnym w chwili m. Zakładamy
teraz, że struktura terminowych stóp procentowych {f (t, s), s t 0} jest polem
losowym (Kimmel, 2002) spełniającym następujące założenie:
(iv) Dla dowolnego 0 ¬ t ¬ m
supst |f (t, s) − f (0, s) − δ(t)| ¬ λ,
gdzie {δ(t), t 0} jest procesem stochastycznym o średniej µ(t), a 0 ¬ λ < ∞
jest ustaloną liczbą.
Postać procesu δ zależy od wiedzy i preferencji inwestora. My proponujemy, aby
δ(t) =
1
T −t
Z
T
t
(f (t, s) − f (0, s))ds,
co oznacza, że δ(t) jest średnią wartością zaburzenia na przedziale [t, T ]. Wobec powyższych założeń wprowadzimy teraz zmodyfikowaną definicję czasu trwania portfela.
Definicja 1. Zmodyfikowanym czasem trwania portfela obligacji q = (q1 , q2 , . . . , qn )
dostosowanym do ryzyka ich niewykupienia nazywamy wielkość
D(q) =
=
Pn
i=1 qi
P
t [tµ(t
Pn
i=1 qi
(m)
(m)
∧ m)cit pit + (t + s(t))µ((t + s(t)) ∧ m)Fit (s(t))(1 − pit )]
P
t [µ(t
∧
(m)
m)cit pit
+ µ((t + s(t)) ∧
(m)
m)Fit (s(t))(1
− pit )]
Q
τ <t
Q
τ <t
piτ
piτ
.
(3.2)
Zauważmy, że jeśli przyjmiemy, że µ(t) jest funkcją stałą, to
D(q) =
1
L
n
X
i=1
qi
X
(m)
(m)
[tcit pit + (t + s(t))Fit (s(t))(1 − pit )]
t
Y
piτ ,
τ <t
ponieważ
L=
n
X
i=1
qi Vi (0) =
n
X
qi
i=1
(m)
W przypadku, gdy pit = 1, Fit
X
(m)
(m)
[cit pit + Fit (s(t))(1 − pit )]
t
Y
piτ .
τ <t
= 0 dla wszystkich i, t, czyli gdy portfel składa się
tylko z obligacji wolnych od ryzyka niewykupienia wówczas
D(q) =
1
L
n
X
qi
i=1
jest czasem trwania Fishera-Weila.
32
X
t
(m)
tcit
Definicja 2. Zmodyfikowaną miarą M-Absolute portfela obligacji q = (q1 , q2 , . . . , qn )
dostosowaną do ryzyka ich niewykupienia nazywamy liczbę
M (q) =
1
L
n
X
qi
X
(m)
(m)
[|m − t|cit pit + |m − t − s(t)|Fit (s(t))(1 − pit )]
t
i=1
Y
piτ .
(3.3)
τ <t
Jeśli w portfelu są tylko obligacje bez ryzyka niewykupienia, to (3.3) ma postać
M (q) =
1
L
n
X
qi
i=1
X
(m)
|m − t|cit .
t
Jest to definicja miary M-Absolute wprowadzonej przez Nawalkhę i Chambersa (1996).
Twierdzenie 7. Przy założeniu (iv) spełniona jest następująca nierówność
1
k∈K L
inf
n
X
qi Vi (k) exp(−λM (q) + (m − D(q)) LLµ ),
(3.4)
i=1
gdzie
• K = {k : k(t, s) =
Rs
t
(f (t ∧ s, u) − f (0, u))du, s, t 0},
• D(q), M (q) są zdef iniowane odpowiednio w (3.2) i (3.3),
• Lµ =
Pn
i=1 qi
P
t [µ(t
(m)
(m)
∧ m)cit pit + µ((t + s(t)) ∧ m)Fit (s(t))(1 − pit )]
Dowód. Połóżmy
n
XX
C0 (t, q) =
qi (m)
c pit
L0 it
s¬t i=1
C1 (t, q) =
n
XX
(m)
qi
F (s(t))(1
L1 it
Y
Q
τ <t
piτ .
piτ ,
τ <t
− pit )
Y
piτ ,
τ <t
s¬t i=1
gdzie
L0 =
n
XX
t
(m)
qi cit pit
Y
piτ ,
L1 =
τ <t
i=1
n
XX
t
Oczywiście
L0 + L1 =
n
X
(m)
qi Fit (s(t))(1 − pit )
Y
piτ .
τ <t
i=1
qi Vi (0) = L.
i=1
Ponieważ wykluczono krótką sprzedaż, więc dla dowolnego q = (q1 , q2 , . . . , qn ) funkcje
t → C0 (t, q) oraz t → C1 (t, q) są dystrybuantami pewnych miar prawdopodobieństwa
na przedziale [0, T ]. Stąd i ze wzoru (3.1) otrzymujemy
1
L
n
X
i=1
qi Vi (k) = E
Z
0
T
exp(k(t, m))dC0 (t, q) LL0
+E
Z
0
T
exp(k(t + s(t), m))dC1 (t, q) LL1 .
(3.5)
33
F Z założenia (iv) wynika, że f (t, s) − f (0, s) − δ(t) −λ dla dowolnego t ¬ m oraz
s t. Zatem
Z
k(t, m) − δ(t)(m − t) =
m
(f (t, s) − f (0, s) − δ(t))ds
t
−λ(m − t) dla t ¬ m.
(3.6)
Ponadto f (m, s) − f (0, s) − δ(m) ¬ λ dla s m. Stąd dla t > m
k(t, m) − δ(m)(m − t) =
m
Z
(f (m, s) − f (0, s) − δ(m))ds
t
= −
t
Z
m
(f (m, s) − f (0, s) − δ(m))ds
−λ(t − m) dla t ¬ m.
(3.7)
Podsumowując, ze wzorów (3.6) i (3.7) oraz z nierówności Jensena wynika, że
E
Z
T
0
E
exp(k(t, m))dC0 (t, q)
Z
T
exp (δ(t ∧ m)(m − t) − λ|m − t|) dC0 (t, q)
0
E exp
exp
T
Z
T
δ(t ∧ m)(m − t)dC0 (t, q) − λ
Z
T
Eδ(t ∧ m)(m − t)dC0 (t, q) − λ
Z
0
Z
T
0
0
0
!
|m − t|dC0 (t, q)
!
|m − t|dC0 (t, q)
(3.8)
Analogicznie
E
Z
T
0
Z
exp(k(t + s(t), m))dC1 (t, q) exp
− λ
Z
0
T
Eδ((t + s(t)) ∧ m)(m − t − s(t))dC1 (t, q)
!
T
0
|m − t − s(t)|dC1 (t, q)
(3.9)
Z (3.5), (3.8) i (3.9) mamy
1
L
n
X
qi Vi (k)
L0
L
+
L1
L
exp
T
Z
T
µ(t ∧ m)(m − t)dC0 (t, q) − λ
0
i=1
− λ
Z
exp
0
Z
0
Z
0
T
|m − t|dC0 (t, q)
µ((t + s(t)) ∧ m)(m − t − s(t))dC1 (t, q)
!
T
|m − t − s(t)|dC1 (t, q) .
34
!
Ponieważ L0 + L1 = L, więc z nierówności Jensena mamy
1
L
n
X
Z
qi Vi (k) exp
0
i=1
T
Z
+
0
− λ
Z
T
µ(t ∧ m)(m − t)dC0 (t, q) LL0
µ((t + s(t)) ∧ m)(m − t − s(t))dC1 (t, q) LL1
T
|m −
0
t|dC0 (t, q) LL0
−λ
Z
0
T
|m − t −
s(t)|dC1 (t, q) LL1
!
.
Korzystając z (3.2) i (3.3) dostajemy
1
k∈K L
inf
n
X
Z
qi Vi (k) exp −λM (q) + (m − D(q))(
i=1
+
Z
0
co kończy dowód.
T
0
T
µ(t ∧ m)dC0 (t, q) LL0
!
µ((t + s(t)) ∧ m)dC1 (t, q) LL1 ) ,
Strategia uodpornienia portfela polega na wyborze takiego wektora q = (q1 , q2 , . . . , qn )
P
spośród dopuszczalnych i spełniających ograniczenie budżetowe L =
i qi Vi (0),
który
maksymalizuje prawą stronę nierówności (3.4). Rozważmy teraz przypadki szczególne:
1. Załóżmy, że µ(t) := µ w założeniu (iv). Wówczas
1
k∈K L
inf
n
X
qi Vi (k) exp(−λM (q) + (m − D(q))µ),
i=1
gdzie D(q) i M (q) dane są, odpowiednio, wzorami (3.2) i (3.3). W tym przypadku,
strategia uodpornienia polega na
maksymalizacji (m − D(q))µ − λM (q) przy warunku L =
n
X
qi Vi (0). (3.10)
i=1
2. Jeśli µ(t) ≡ µ jest nieznane, to wówczas uodpornienie portfela polega na
minimalizacji M (q) przy warunkach D(q) = m, L =
n
X
qi Vi (0).
(3.11)
i=1
W tym przypadku optymalny portfel minimalizuje miarę M-Absolute w klasie
wszystkich portfeli z dopasowanym czasem trwania, które mają zadaną wartość
oczekiwaną L w chwili m. Jeśli ponadto λ := 0, to należy przyjąć D(q) = m
co implikuje fakt, że portfel jest idealnie uodporniony ze względu na wartość
oczekiwaną wypłaty.
35
Uważna analiza dowodu wykazuje, że założenie (iv) można zastąpić następującym
słabszym założeniem
(iv∗ ) y(t, m) y0 (t, m) + δ(t) − λ dla dowolnego t ¬ m oraz y(m, t) y0 (m, t) +
δ(m) + λ dla t > m, gdzie y(t, s) =
Rm
1
s−m t
1 Rs
s−t t
F (t, s)ds dla t, s oraz y0 (t, m) =
F (0, s)ds. Oczywiście y(t, s) jest stopą zwrotu do terminu wykupu (yield
to maturity) na przedziale (t, s), a y0 (t, s) jest stopa zwrotu do terminu wykupu
obliczą przy założeniu, że nie zmieni się struktura terminowa stóp procentowych.
Przykład 2. Rozważmy sytuację, w której inwestor ma zobowiązanie w wysokości
1,000,000$ w chwili m = 2. Aby spłacić swój dług w chwili t = 0 chce kupić obligacje.
Dla uproszczenia załóżmy, że na rynku są dostępne obligacje roczne bez ryzyka i 3letnie obarczone ryzykiem niewykupienia, roczne stopy kuponowe wynoszą, odpowiednio, 10% i 6%, wartość nominalna jest taka sama i wynosi 1000$. Ponadto zakładamy,
że odsetki wypłacone przed chwilą m są reinwestowane w roczne ogołocone obligacje
(strippedbonds, strips). Przewiduje się, że ryzyko niedotrzymania warunków przez emitenta 3-letnich obligacji w drugim roku wynosi 0, 01, przy czym emitent zobowiązuje
się wypłacić należne kupony w wysokości 80$ z każdej obligacji w chwili t = 4. Inwestor
chce skonstruować tak swój portfel, aby w chwili t = 2 uzyskać z niego największą z
najmniejszych przeciętnych wartości. Wektor q = (q1 , q2 ) oznacza liczbę zakupionych
jednostek obligacji w chwili t = 0. Niech struktura terminowa będzie płaska, stopa
zwrotu do terminu wykupu wynosi 4% i µ(t) = µ = 0, 2%, a λ = 3%. Łatwo sprawdzić,
że dla rocznej obligacji V1 (0) = 1144 i dla 3-letniej V2 (0) = 1141.77,
D(q) =
1144q1 +3241.85q2
,
106
M (q) =
1144q1 +1083q2
.
106
Wówczas zgodnie ze strategią (3.10), portfel q = (874.126, 0) jest optymalny. Jeśli
parametr µ jest nieznany, to stosując strategię (3.11) inwestor powinien zakupić portfel
q = (398.88, 476.16).
36
Rozdział 4
Różne kryteria wyboru portfela
obligacji
Ten rozdział powstał na podstawie publikacji Kondratiuk-Janyska i Kałuszka (2005b).
W modelu 3-okresowym poszukuje się jawnych rozwiązań problemu uodpornienia portfela proponując różne kryteria optymalności. Rozważmy model, w którym w chwili
t = 0 można kupić dowolną liczbę rocznych i trzyletnich obligacji zerokuponowych
typu def aultable i noncallable.
Oznaczmy przez
• a1 , a3 kwoty wydane na zakup obligacji, odpowiednio, rocznych i trzyletnich w
chwili t = 0,
• f (0, s) chwilową stopę terminową w chwili t = 0,
• f (1, s) chwilową stopę terminową w chwili t = 1,
• ki =
R i+1
i
(f (1, s) − f (0, s))ds, gdzie i = 1, 2 zaburzenie chwilowej stopy procen-
towej
• A1 = a1 exp
R2
0
f (0, s)ds, A3 = a3 exp
R2
0
f (0, s)ds - wartości a1 , a3 na chwilę 2.
Oczywiście
A1 + A3 = L,
(4.1)
gdzie L jest zobowiązaniem inwestora lub równoważnie
a1 + a3 = L exp(−
37
Z
0
2
f (0, s)ds).
4. Różne kryteria wyboru portfela obligacji
Wartość portfela sprzedanego w chwili t = 2 zależy od strategii reinwestowania przyjętej
w chwili t = 1, ponieważ struktura terminowa stóp procentowych ciągle się zmienia.
Rozważmy następujący sposób postępowania w t = 1. Zakładamy, że inwestor w chwili
t = 1 sprzedaje swój portfel i całą kwotę reinwestuje w roczne obligacje zerokuponowe.
Wówczas w chwili t = 2 otrzyma kwotę
V (k) =
Z
1
Z
3
f (0, s)ds) + a3 exp(
= A1 exp(
(f (1, s) − f (0, s))ds) + A3 exp(−
0
Z 2
1
0
Z
f (0, s)ds −
= [a1 exp(
Z
3
f (1, s)ds)] exp(
1
3
2
Z
2
f (1, s)ds)
1
(f (1, s) − f (0, s))ds)
= A1 ek1 + A + 3−k2 .
(4.2)
W klasycznej teorii uodpornienia zakłada się, że zaburzenia struktury terminowej są
płaskie to znaczy f (1, s) = f (0, s) + dla dowolnego s, gdzie jest dowolną liczbą
rzeczywistą. Wówczas wartość portfela w chwili t = 2 wynosi
V (k) = A1 e + A3 e−
i portfel jest idealnie uodporniony na zmianę stóp procentowych, jeśli V 0 (k) = 0, czyli
gdy A1 = A3 . Jest to strategia, w której czas trwania portfela obligacji liczony w chwili
t = 0 jest równy 2 a liczony w t = 1 wynosi 1. Jednak założenie o płaskim przebiegu
zaburzeń struktury terminowej prowadzi do możliwości arbitrażu, co jest sprzeczne zarówno ze współczesną teorią finansów jak i z danymi empirycznymi. Przyjmiemy zatem,
że zaburzenia k1 , k2 mogą być różne. Pojawia się jednak problem jak je modelować.
Jest wiele możliwych modeli i tylko badanie empiryczne mogą rozstrzygnąć, który jest
bliższy rzeczywistości. Poniżej podamy kilka modeli zaburzeń stóp procentowych wraz
z różnymi kryteriami optymalnego wyboru portfela.
4.1
Kryterium maksyminowe
Informacja o k1 i k2 sprowadza się do ustalenia podzbiorów, w których zaburzenia
mogą się znaleźć. Na przykład załóżmy, że |k1 | ¬ 1 , |k2 | ¬ 2 . Wówczas maksyminowe
kryterium wyboru polega na rozwiązaniu prostego problemu optymalizacyjnego:
max min V (k) = max(A1 e−1 + A3 e−2 ) = max (A1 (e−1 − e−2 ) + Le−2 ).
Ai
k1 ,k2
0¬A1 ¬L
Ai
W szczególności
38
(4.3)
1. jeśli 2 > 1 , to maksyminowy portfel ma postać A1 = L, A3 = 0,
2. jeśli 2 < 1 , to A1 = 0, A3 = L tworzy portfel maksyminowy,
3. jeśli 1 = 2 , to dowolny portfel jest maksyminowy.
Stosując podejście (4.3), gdy 2 > 1 w chwili t = 2 otrzymamy ze sprzedaży portfela
kwotę Le−1 , ponieważ
max min V (k) = Le−1 < L.
Ai
k1 ,k2
W przeciwnym razie będzie to suma Le−2 . Widać zatem, że takie postępowanie nie
zabezpiecza portfela w sposób idealny. Gdyby inwestor chciał mieć takie zabezpieczenie
to musiałby zainwestować więcej niż L exp(−
R2
0
(f (0, s)ds) w chwili t = 0. Podejście
maksyminowe zabezpiecza przed największymi stratami w przypadku realizacji najbardziej niekorzystnego scenariusza dla inwestora. Jeśli 1 6= 2 to największe straty
inwestor ponosi gdy k1 = −1 , k2 = 2 , jednak takie zaburzenia pojawiają się rzadko.
Kryterium maksyminowe może prowadzić do problemów optymalizacyjnych, dla
których trudno jest rozwiązać. Załóżmy, że zaburzenia mają postać
k12 + k22 ¬ 2 .
Kryterium maksyminowe ma postać
max
min (A1 ek1 + A3 e−k2 ).
A1 +A3 =L k12 +k22 ¬2
Aby znaleźć rozwiązanie używa się nierówności ex 1 + x do aproksymacji z dołu
funkcji V lub nierówności Jensena. Na przykład korzystając z nierówności Jensena
mamy
A1 ek1 + A3 e−k2 = L( AL1 ek1 +
A3 −k2
e )
L
3 k2
L exp( A1 k1 −A
)
L
zakładając, że A1 , A3 0. Zatem
max
A1 +A3 =L
A1 ,A3 0
min (A1 ek1 + A3 e−k2 ) L exp( A max
+A =L
k12 +k22 ¬2
1
3
A1 ,A3 0
min (A1 k1 − A3 k2 )).
k12 +k22 ¬2
Stosując nierówność Cauchyego-Schwartza
q
q
A1 k1 − A3 k2 − A21 + A23 k12 + k22
39
otrzymujemy
max
A +A =L
1
3
A1 ,A3 0
min
(A1 ek1 + A3 e−k2 ) L exp(− L1
2
2
2
k1 +k2 ¬
min
A +A =L
1
3
A1 ,A3 0
A21 + A23 2max
2
k1 +k2 ¬2
q
k12 + k22 )
q
A21 + (L − A1 )2 )
= L exp(− L1 min
=
q
0¬A1 ¬L
√
L
L exp( L 2 ) = L exp(− √2 ).
Podsumowując, jeśli inwestor w chwili t = 1 sprzedaje swój portfel i za otrzymane
pieniądze zakupuje roczne obligacje wygasające w chwili t = 2, to
min V (k) L exp(− √2 ).
max
(4.4)
k12 +k22 ¬2
A1 +A3 =L
A1 ,A3 0
Równość w nierówności (4.4) jest osiągalna wtedy i tylko wtedy, gdy A1 = A3 =
L
2
co oznacza, że istnieje rozwiązanie problemu maksyminowego i jest nim portfel z
dopasowanym czasem trwania.
4.2
Kryterium bayesowskie
Załóżmy, że wektor (k1 , k2 ) jest wektorem losowym o znanym rozkładzie prawdopodobieństwa o gęstości f . Wówczas portfelem bayesowskim nazwiemy taki portfel, dla
którego
Z
∞
−∞
Z
∞
−∞
V (k)f (k1 , k2 )dk1 dk2 → max ,
A1 ,A3
gdzie V (k) jest dane wzorem (4.2).
Przykład 3. Załóżmy, że wektor losowy (k1 , k2 ) ma dwuwymiarowy rozkład normalny
z wektorem wartości oczekiwanych (µ1 , µ2 ) i wariancjami σi2 = Varki , dla i = 1, 2.
Wówczas
Z
∞
−∞
Z
∞
−∞
V (k)f (k1 , k2 )dk1 dk2 = A1 Eek1 + A3 Ee−k2 .
Ponieważ EecX = exp(cµ +
c2 σ 2
)
2
(4.5)
jeśli X ∼ N (µ, σ) i c ∈ R więc wyznaczenie portfela
bayesowskiego polega na rozwiązaniu zadania
max (A1 Eek1 + A3 Ee−k2 ) =
A +A =L
1
3
A1 ,A3 0
=
max (A1 exp(µ1 +
A +A =L
1
3
A1 ,A3 0
max (A1 exp(µ1 +
0¬A1 ¬L
Jeśli
40
σ12
)
2
σ12
)
2
+ A3 exp(−µ2 +
σ22
))
2
+ (L − A1 ) exp(−µ2 +
σ22
)).
2
1. µ1 + µ2 <
σ22 −σ12
,
2
to A1 = 0, A3 = L będzie portfelem bayesowskim,
2. µ1 + µ2 >
σ22 −σ12
,
2
to A1 = L, A3 = 0 będzie portfelem bayesowskim,
3. µ1 + µ2 =
σ22 −σ12
,
2
to każdy portfel będzie portfelem bayesowskim.
W szczególności, gdy k1 ∼ N (0, σ) i k2 ∼ N (0, σ) to kryterium bayesowskie nie wyróżnia żadnego z portfeli. Aby znaleźć jawną postać portfeli bayesowskich trzeba znać
jawne wzory na momenty wykładnicze. Dla wielu rozkładów takie wzory istnieją.
Przykład 4. Załóżmy, że eki ∼ Γ(α, β) dla i = 1, 2. Wówczas
Eecki =
Z
0
∞
α
β
xc Γ(α)
xα−1 e−βx dx =
Γ(α+c)
,
Γ(α)β c
gdy α + c > 0. Wtedy
A1 +A3 =L
A1 ,A3 0
=
=
Γ(α−1)
max (A1 Γ(α+1)
+ A3 Γ(α)β
−1 )
Γ(α)β
A1 +A3 =L
A1 ,A3 0
β
max (A1 αβ + A3 α−1
)
A1 +A3 =L
A1 ,A3 0
max (A1 ( αβ −
0¬A1 ¬L
β
)
α−1
β
+ L α−1
)
dla α > 1, β > 0. Jeśli
1. α(α − 1) < β 2 , to A1 = 0, A3 = L będzie portfelem bayesowskim,
2. α(α − 1) > β 2 , to A1 = L, A3 = 0 będzie portfelem bayesowskim,
3. α(α − 1) = β 2 , to każdy portfel będzie portfelem bayesowskim.
Przykład 5. Jeślli ki ma rozkład jednostajny na przedziale (a, b), to Eecki =
ecb −eca
c(b−a)
dla dowolnego c ∈ R. Z (4.5) otrzymujemy problem
A1 +A3 =L
A1 ,A3 0
=
b
a
−b −e−a
−e
max (A1 eb−a
+ A3 e
A1 +A3 =L
A1 ,A3 0
b
a
−e
max (A1 ( eb−a
−
0¬A1 ¬L
a−b
e−b −e−a
)
a−b
)
−b −e−a
+ Le
a−b
).
Jeśli
1. eb + e−b < ea + e−a , to A1 = 0, A3 = L będzie portfelem bayesowskim,
2. eb + e−b > ea + e−a , to A1 = L, A3 = 0 będzie portfelem bayesowskim,
3. eb + e−b = ea + e−a , to każdy portfel będzie portfelem bayesowskim.
Ponadto, gdy ki ma rozkład jednostajny na przedziale (−a, a), to każdy portfel jest
bayesowski.
41
4.3
Kryterium Γ-maksyminowe
Podobnie jak w kryterium bayesowskim zakładamy, że wektor (k1 , k2 ) jest losowy, ale
jego rozkład jest znany z pewną dokładnością na przykład wartość oczekiwana rozkładu należy do pewnego przedziału. Portfel Γ-maksyminowy znajdujemy rozwiązując
problem
max min
(Ai ) γ∈Γ
ZZ
V (k)fγ (k1 , k2 )dk1 dk2 ,
(4.6)
gdzie parametr γ wyraża niepewność co do rozkładu wektora (k1 , k2 ).
Przykład 6. Jeśli k1 ∼ N (µ1 , 1), k2 ∼ N (µ2 , 1), |µ1 | ¬ i |µ2 | ¬ , to wyznaczenie
portfela Γ-maksyminowego w zbiorze Γ = {(µ1 , µ2 ) : |µi | ¬ , dla i = 1, 2} sprowadza
się do rozwiązania zadania
max (A1 eµ1 + A3 e−µ2 ) = max (A1 e− + (L − A1 )e− ) = e− L,
0¬A1 ¬L
A1 +A3 =L
A1 ,A3 0
co implikuje, że dowolny portfel jest Γ-maksyminowy. Ponadto, w przypadku gdy |µ1 | ¬
oraz |µ2 | ¬ , to portfelami Γ-maksyminowymi będą portfele A1 = 0, A3 = L i
A1 = L, A3 = 0.
4.4
Kryterium Markowitza
Zastosujemy kryterium Markowitza w problemie uodpornienia portfela obligacji.
min VarV (k) przy warunku EV (k) αL, gdzie 0 < α ¬ 1.
(Ai )
(4.7)
Załóżmy, że (k1 , k2 ) ma dwuwymiarowy rozkład normalny z wektorem wartości oczekiwanych (µ1 , µ2 ) i wariancjami σ 2 = Varki , dla i = 1, 2 oraz współczynnikiem korelacji
ρ. Wówczas
k1
−k2
EV (k) = E(A1 e + A3 e
µ1
) = (A1 e
−µ2
+ A3 e
σ2
)e 2 ,
VarV (k) = A21 Varek1 + 2A1 A3 Cov(ek1 , e−k2 ) + A23 Vare−k2 .
Ponadto
2
2
2
2
Varek1 = Ee2k1 − (Eek1 )2 = e2µ1 +2σ − e2µ1 +σ = e2µ1 +σ (eσ − 1),
42
(4.8)
Cov(ek1 , e−k2 ) = Eek1 −k2 − Eek1 Ee−k2 .
Ponieważ k1 − k2 ∼ N (µ1 − µ2 , 2(1 − ρ)σ 2 ), więc
Cov(ek1 , e−k2 ) = exp(µ1 − µ2 +
2(1−ρ)σ 2
)
2
− exp(µ1 − µ2 + σ 2 )
2
2
= exp(µ1 − µ2 )(e(1−ρ)σ − eσ ).
(4.9)
Z (4.8) i (4.9) dostajemy
2
2
2
2
2
2
VarV (k) = A21 e2µ1 +σ (eσ − 1) + 2A1 A3 eµ1 −µ2 (e(1−ρ)σ − eσ ) + A23 e−2µ2 +σ (eσ − 1)
i problem (4.7) sprowadza się do problemu
2
2
2
2
2
2
min A21 e2µ1 +σ (eσ − 1) + 2A1 A3 eµ1 −µ2 (e(1−ρ)σ − eσ ) + A23 e−2µ2 +σ (eσ − 1)
Ai
σ2
L
2 ,
przy ograniczeniach A1 eµ1 + A3 e−µ2 αe−
A1 + A3 = L, A1 , A3 0,
lub równoważnie
2
2
2
min A21 e2µ1 (eσ − 1) + 2A1 (L − A1 )eµ1 −µ2 (e−ρσ − 1) + (L − A1 )2 e−2µ2 (eσ − 1)
0¬A1 ¬L
µ1
przy ograniczeniach A1 e
−µ2
+ (L − A1 )e
αe
−
σ2
L
2 .
Globalne minimum jest osiągane w punkcie
2
A∗1 =
2µ1
jeśli (e
−2µ2
+e
σ2
2
L(e−2µ2 (eσ − 1)) − eµ1 −µ2 (e−ρσ − 1)
(e2µ1 + e−2µ2 )(eσ2 − 1) − 2(e−ρσ2 − 1)eµ1 −µ2
−ρσ 2
)(e − 1) − 2(e
µ1 −µ2
− 1)e
>0i
σ2
−
∗ −µ2
+ (L − A1 )e
αe 2 L.
A∗1 = L. Zauważmy, że jeśli
A∗1 eµ1
W przeciwnym razie jest osiągane w punkcie A∗1 = 0 lub
µ1 = −µ2 to należy znaleźć minimum trójmianu kwadratowego
2
2
min (A21 + (L − A1 )2 )(eσ − 1) + 2A1 (L − A1 )(e−ρσ − 1)
0¬A1 ¬L
µ1
przy ograniczeniach e
Minimum jest osiągane w punkcie A∗1 =
L
2
αe
−
σ2
2 .
niezależnie od wartości współczynnika ko-
relacji ρ, co oznacza, że tylko portfel z dopasowanym czasem trwania jest optymalny.
43
Przedstawione wyniki w podrozdziałach 4.2, 4.3, 4.4 są prawdziwe również dla modelu wielomianowego
f (1, s) = f (0, s) +
d
X
δk ak (s),
k=1
gdzie współczynniki δk są zmiennymi losowymi i ak (s) są znanymi funkcjami. Wówczas
k1 =
d
X
δk
Z
k=1
2
1
ak (s)ds,
k2 =
d
X
δk
Z
k=1
2
3
ak (s)ds,
przez co widoczna będzie struktura zależności między k1 i k2 , ponieważ oba zaburzenia są liniowymi funkcjami wektora δ1 , . . . , δd . Oczywiście problem kryterium wyboru
portfela pozostaje otwarty. Poza omówionymi, proponujemy rozwijać dalsze badania
biorąc pod uwagę np. kryteria:
• minimalizacja prawdopodobieństwa straty,
min P (V (k) ¬ L),
(Ai )
(4.10)
• minimalizacja maksymalnego prawdopodobieństwa straty,
min max Pγ (V (k) ¬ L),
(Ai ) γ∈Γ
(4.11)
gdzie zbiór Γ mierzy nieokreśloność miary P ,
• maksymalizacja przeciętnej użyteczności końcowej wartości portfela,
max Eu(V (k)) = max
(Ai )
(Ai )
ZZ
u(V (k))f (k1 , k2 )dk1 dk2 ,
(4.12)
gdzie u : R → R jest funkcją użyteczności,
• minimalizacja przeciętnego kwadratowego odchylenia
min E(L − V (k))2 ,
(Ai )
(4.13)
• minimalizacja przeciętnego semi-odchylenia albo przeciętnego kwadratu semiodchylenia
min E((L − V (k))2+ ,
min E(L − V (k))+ ,
(Ai )
(Ai )
gdzie a2+ = [max(0, a)]2 .
44
(4.14)
Kryteria (4.10) i (4.11) wymagają znajomości rozkładu zmiennej losowej V (k). Niestety, standardowe założenie, że k1 , k2 mają rozkład normalny prowadzi do trudnego
problemu wyznaczenia rozkładu kombinacji dwóch rozkładów lognormalnych. Kryteria (4.12) i (4.13) wydają się być najbardziej obiecujące ponieważ mogą dawać jawne
rozwiązania.
45
Literatura
[1] Balbás, A., Ibáñez, A. When can you immunize a bond portfolio?, Journal of
Banking & Finance 22 (1998), 1571–1594.
[2] Balbás, A., Ibáñez, A., López, S. Dispersion measures as immunization risk measures, Journal of Banking & Finance 26 (2002), 1229–1244.
[3] Bierwag, G.O. Duration Analysis: Managing Interest Rate Risk, Ballinger, Cambridge, MA (1987).
[4] Bierwag, G.O., Fooladi, I., Roberts, G.S. Designing an immunized portfolio: Is
M-squared the Key?, Journal of Banking & Finance 17 (1993), 1147–1170.
[5] Bierwag, G.O., Kaufman G.G. Duration of non-default free securities, Financial
Analysts Journal July/Aug (1988), 39-46.
[6] Bierwag, G.O., Kaufman, G.G. Coping with the risk of interest rate fluctuations:
a note, Journal of Business 50 (1977), 364–370.
[7] Chambers, D.R., Carleton, W.T., McEnally R.W. Immunizing default-free bond
portfolios with duration vector, Journal of Financial and Quantitative Analysis 23
(1988), 89–1104.
[8] Christiansen, C. Testing the expectations hypothesis using long-maturity forward
rates, Economics Letters (2003), 175–180.
[9] Cox, J.C., Ingersoll, J.E., Ross, S.A. Duration and the measurement of basis risk,
Journal of Business, 56 (1979), 51–61.
[10] Crack, T.F., Nawalkha, S.K. Interest rate sensitivities of bond risk measures, Financial Analysts Journal 1 (2000), 34–43.
46
Spis literatury
[11] Durrett, R. Probability: Theory and Examples, Duxbury Press, Belmont Second
edition, 1996.
[12] Fabozzi, F.I. Bond Markets, Analysis and Strategies, Prentice Hall. Englewood
Cliffs. Second edition (1993).
[13] Fong, H. G., Vasicek, O. A. A risk minimizing strategy for portfolio immunization,
Journal of Finance 39 (1984), 1541–1546
[14] Ilmanen, A. How well does duration measure interest rate risk?, The Journal of
Fixed Income 4 (1992), 43–51.
[15] Fisher, L. Weil, R.L. Coping wiyh risk of interest rate fluctuations: returns to
bondholders from naive and optimal strategies, Journal of Bussiness 44 (1971),
408–431.
[16] Fooladi, I.J., Roberts G.S., Skinner, F. Duration for bonds with default risk, Journal of Banking and Finance 21 (1997), 1–16.
[17] Gajek, L. Axiom of solvency and portfolio immunization under random interest
rates, Insurance Mathematics and Economics 36 (2005), 317–328.
[18] Gajek, L., Ostaszewski, K. Financial Risk Management for Pension Plans, Elsevier, Amsterdam (2004).
[19] Hicks, J.R. Value and Capital, Clarendon Press, Oxford (1939).
[20] Hürlimann, W. On immunization, stop-loss order and the maximum Shiu measure,
Insurance Mathematics & Economics 31 (2002), 315–325.
[21] Ilmanen, A. How well does duration measure interest rate risk? The Journal of
Fixed Income 1 (1992), 43–51.
[22] Ingersoll, J.E., Skelton, J., Weil, R.L. Duration forty years later Journal of Financial and Quantitive Analysis (1978), 627–650.
[23] Jackowicz K. Zarządzanie ryzykiem stopy procentowej. Metoda duracji, PWN,
Warszawa (1999).
47
Spis literatury
[24] Jacoby, G. A duration model for defaultable bonds, Journal of Financial Research
26 (2003), 129–146.
[25] Jacoby, G., Roberts, G.S. Default- and call-adjusted duration for corporate bonds,
Journal of Banking and Finance 27 (2003), 2297–2321.
[26] Jonkhart, M.J.L. On the term structure of interest rates and the risk of default,
Journal of Banking and Finance 3 (1979), 253–262.
[27] Khang, Ch. Bond immunization when short-term rates fluctuate more than longterm rates, Journal of Financial and Quantitative Analysis (1979), 1085–1089.
[28] Kimmel, R.L. Modeling the term structure of interest rates: A new approach, Journal of Financial Economics (2002), 1–41.
[29] Kondratiuk-Janyska, A., Kaluszka, M. On duration-dispersion strategies for portfolio immunization, Acta Universitatis Lodziensis. Folia Oeconomica 177 (2004a),
191–202
[30] Kondratiuk-Janyska, A.Kaluszka, M. On risk minimizing strategies for default-free
bond portfolio immunization, Applicationes Mathematicae 31 (2004b), 259–272.
[31] Kondratiuk-Janyska, A., Kałuszka, M. How to immunize a defaultable bond portfolio?, Forecasting Financial Markets: Theory and Applications, Wydawnictwo
Uniwersytetu Łódzkiego, Łódź (2005a), 97–106
[32] Kondratiuk-Janyska, A., Kaluszka, M. Bond portfolio immunization in arbitrage
free models, Acta Universitatis Lodziensis. Folia Oeconomica (2005b), przyjęta do
druku.
[33] Khang, Ch. Bond immunization when short-term rates fluctuate more than longterm rates, Journal of Financial and Quantitative Analysis (1979), 1085–1089.
[34] Macaulay, F. Some theoretical problems suggested by the movement of interest
rates, bond yields, and stock prices in the US since 1856, New York: National
Bureau of Economic Research (1938).
[35] Montrucchio, L., Peccati, L. A note on Shi-Fisher-Weil immunization theorem,
Insurance: Mathematics and Economics 10 (1991), 125–131.
48
Spis literatury
[36] McCulloch, J.H., Kwon, H-Ch. U.S. Term Structure Data, 1947-1991, Ohio State
University Working Paper # 93-6 (March, 1993) dostępny na stronie
http://www.econ.ohio-state.edu/jhm/ts/mcckwon/mccull.htm
[37] Nawalkha, S. K., Chambers, D. R. An improved immunization strategy: M Absolute, Financial Analysts Journal 52 (1996), 69–76.
[38] Nawalkha, S.K. (Editor), Chambers, D.R. (Editor) Interest Rate Risk Measurement and Management, Institutional Investor, Inc., New York (1999).
[39] Nawalkha, S.K., Soto, G. M., Zhang, J. Generalized M -vector models for hedging
interest rate risk, Journal of Banking & Finance 27 (2003), 1581–1604.
[40] Panjer, H. H. (Editor) Financial Economics with Applications to Investment. Insurance and Pensions, The Actuarial Foundation (1998).
[41] Prisman, E. Z., Shores, M. R. Duration measures for specific term structure estimations and applications to bond portfolio immunization, Journal of Banking and
Finance 12 (1988), 493–504.
[42] Prisman, E. Z., Tian, Y. Duration Measures, Immunization, and Utility Maximization, Journal of Banking & Finance 17 (1993), 689–707.
[43] Redington, F.M. Review of the principle of life-office valuations, Journal of the
Institute of Actuaries 18 (1952), 286–340.
[44] Reitano, R. R. Multivariate duration analysis, Transactions of the Society of Actuaries 43 (1991), 335–376, 393–428 (with discussion).
[45] Reitano, R.R. Non-parallel yield curve shifts and immunization, Journal of Portfolio Analysis (1992), 36–43.
[46] Rządkowski, G., Zaremba, L.S. New formulas for immunizing durations, Journal
of Derivatives (2000), 28–36.
[47] Samuelson, P.A. The effects of interest rates increases on the banking system,
American Economic Review 35 (1945), 16–27.
49
Spis literatury
[48] Shiu, E.S.W. On the Fisher-Weil immunization theorem, Insurance: Mathematics
and Economics 6 (1987), 259–266.
[49] Zaremba, L.S. Construction of a k- immunization strategy with the highest convexity, Control and Cybernetics 27 (1998), 135-144.
[50] Zaremba, L.S., Smoleński, W. Optimal portfolio choice under a liability constraint,
Annals of Operations Research 97 (2000a), 131-141.
[51] Zaremba, L.S., Smoleński, W. How to find a bond portfolio with the highest convexity in a class of fixed duration portfolios, Bulletin PAN, Technical Sciences 48
(2000b), 279–286.
50
Spis konferencji, na których
prezentowano wyniki zawarte w
pracy
1. Ogólnopolskie Seminarium z Matematyki Finansowej i Ubezpieczeniowej, Ustronie k. Wieruszowa, 25-27 kwietnia 2003,Uodparnianie portfela obligacji.
2. II Ogólnopolska Konferencja, Prognozowanie rynków finansowych, Łódź, 15-16
maja 2003, O duracyjno-dyspersyjncyh strategiach uodparniania portfela.
3. 3rd Annual Conference Forecasting Financial Markets and Economic Decisionmaking, Łódź, 6-8 maja 2004, How to immunize a defaultable bond portfolio?.
4. 4th Annual Conference Forecasting Financial Markets and Economic Decisionmaking, Łódź, 12-14 maja 2005, Bond portfolio immunization in arbitrage free
models.
5. 2nd International Conference of Applied Mathematics Plovdiv, Bulgaria, August
12 - 17, 2005, Assets/Liabilities Portfolio Immunization As An Optimization Problem.
6. 5th Annual Conference Forecasting Financial Markets and Economic Decisionmaking, Łódź, 11-13 maja 2006, Immunization in general term structure model
of interest rates.
7. III Ogólnopolska konferencja naukowa, Zarządzanie Ryzykiem Finansowym w
Ubezpieczeniach, Łódź 4-6 wrzesień 2006 r, Strategie immunizacji portfela obligacji.
51

Maksyminowe strategie immunizacji portfela

Transkrypt

Podobne dokumenty

Portfel rentierski po polsku

Matematyka ubezpieczeń majątkowych

Portfel męski Vittorini - czarny

ZAKRES CZYNNOŚCI

Matematyka finansowa

Centrum Medyczne Promed ul. Rozrywka 24 a 31

OFERTA PUBLICZNA OBLIGACJI Zarząd HB Reavis Finance PL 2