docPobierz pdf - Prószyński i S-ka
download 
Reklamacja Transkrypt
Pobierz pdf - Prószyński i S-ka
Niezwykłe liczby Fibonacciego W serii ukazały się: w 2012 roku: Richard Dawkins Ian Stewart Günter Nimtz Astrid Haibel Ian Stewart John D. Barrow Shing-Tung Yau Steve Nadis Leon Lederman Dick Teresi David A. Weintraub Brian Greene Ian Sample Samolubny gen Dlaczego prawda jest piękna. O symetrii w matematyce i fizyce Przestrzeń czasu zerowego. Tunelowanie kwantowe i prędkości nadświetlne Stąd do nieskończoności. Przewodnik po krainie dzisiejszej matematyki Księga wszechświatów Geometria teorii strun. Ukryte wymiary przestrzeni Boska cząstka. Jeśli Wszechświat jest odpowiedzią, jak brzmi pytanie? Ile lat ma wszechświat. Wielkie pytanie i wielka podróż ku odpowiedzi Ukryta rzeczywistość. W poszukiwaniu wszechświatów równoległych Peter Higgs. Poszukiwania boskiej cząstki w 2013 roku: Lisa Randall Paul Davies Leon Lederman Christopher Hill Frank Close Stephen Oppenheimer Bruce Rosenblum Pukając do nieba bram. Jak fizyka pomaga zrozumieć wszechświat Milczenie gwiazd. Poszukiwania pozaziemskiej inteligencji Zrozumieć niepojęte. Fizyka kwantowa i rzeczywistość Zagadka nieskończoności. Kwantowa teoria pola na tropach porządku Wszechświata Pożegnanie z Afryką. Jak człowiek zaludniał świat… Zagadka teorii kwantów. Zmagania fizyki ze świadomością w 2014 roku: Lawrence M. Krauss Wszechświat z niczego. Dlaczego istnieje raczej coś niż nic Jim Baggott Higgs. Odkrycie boskiej cząstki Alfred S. Posamentier Ingmar Lehmann Niezwykłe liczby Fibonacciego Piękno natury i potęga matematyki Posłowie: H erbert A. Hauptmann laureat Nagrody Nobla Przełożyli Bogumił Bieniok i Ewa L. Łokas Tytuł oryginału The Fabulous Fibonacci Numbers Copyright © 2007 by Alfred S. Posamentier and Ingmar Lehmann Published 2007 by Prometheus Books All rights reserved Projekt okładki Prószyński Media Ilustracja na okładce Zbigniew Larwa / Fot. magpie11/iStockphoto.com Redaktor serii Adrian Markowski Redakcja Anna Kaniewska Korekta Anna Kaniewska Łamanie Jacek Kucharski ISBN 978-83-7961-072-3 Warszawa 2014 Wydawca Prószyński Media Sp. z o.o. 02-697 Warszawa, ul. Rzymowskiego 28 www.proszynski.pl Druk i oprawa Spis treści Podziękowania Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . 9 . . . . . . . . . . . . . . 11 Rozdział 1.Historia liczb Fibonacciego i ich podstawowe właściwości . . . . . . . . . . . . . . 17 Rozdział 2.Liczby Fibonacciego w przyrodzie . . . . . . . . . . . . . . 64 Rozdział 3.Liczby Fibonacciego a trójkąt Pascala . . . . . . . . . . . . . . 84 Rozdział 4.Liczby Fibonacciego a złoty stosunek . . . . . . . . . . . . . . 114 Rozdział 5.Liczby Fibonacciego w ułamkach łańcuchowych . . . . . . . . . . . . . . 175 Rozdział 6.Mieszanka zastosowań ciągu Fibonacciego . . . . . . . . . . . . . . 191 Rozdział 7.Ciąg Fibonacciego w sztuce i architekturze . . . . . . . . . . . . . . 252 Rozdział 8. Ciąg Fibonacciego w muzyce . . . . . . . . . . . . . . 296 Rozdział 9.Słynny wzór Bineta pozwalający obliczyć wybrany wyraz ciągu Fibonacciego . . . . . . . . . . . . . . 320 Rozdział 10.Ciąg Fibonacciego a fraktale . . . . . . . . . . . . . . 334 Posłowie Herbert A. Hauptman . . . . . . . . . . . . . . 357 Dodatek A. Lista pierwszych pięciuset wyrazów ciągu Fibonacciego . . . . . . . . . . . . . . 372 Dodatek B. Dowody . . . . . . . . . . . . . . 384 Bibliografia Indeks . . . . . . . . . . . . . . 404 . . . . . . . . . . . . . . 406 Barbarze za wsparcie, cierpliwość i inspirację. Dzieciom i wnukom: Davidowi, Lisie, Danny’emu, Maxowi i Samowi, przed którymi przyszłość wciąż stoi otworem. Pamięci ukochanych rodziców, Alice i Ernesta, którym nigdy nie zabrakło wiary w moje możliwości. Alfred S. Posamentier Żonie i towarzyszce życia, Sabine, bez której wsparcia i cierpliwości nie zdołałbym poświęcić się pracy nad tą książką. Dzieciom i wnukom: Maren, Claudii, Simonowi i Miriam. Ingmar Lehmann Podziękowania Autorzy pragną podziękować profesorowi Stephenowi Jablonsky’emu z City College of New York (CUNY) za pomoc w zaprezentowaniu niebywałych zależności opisanych liczbami ciągu Fibonacciego, jakie pojawiają się w muzyce – od teorii kompozycji po prawidła rządzące konstruowaniem instrumentów. Bez wszechstronnej wiedzy profesora Jablonsky’ego ta część książki nie powstałaby. Profesor Ana Lucía B. Dias dała nam wgląd w materiały poświęcone znaczeniu liczb Fibonacciego w teorii fraktali, za co jesteśmy jej niezmiernie wdzięczni. Nasz drogi przyjaciel dr Herbert A. Hauptman, pierwszy matematyk uhonorowany Nagrodą Nobla (w 1985 roku w dziedzinie chemii), napisał fascynujące posłowie. Niebagatelne zwieńczenie naszych rozważań z jednej strony stanowi wyzwanie dla czytelnika, z drugiej przedstawia pewne fakty, które mimo wszystko mogą być dla niego zaskoczeniem. W czasie jednej z rozmów James S. Tisch, inny z naszych przyjaciół, wprowadził nas w kwestię zastosowań liczb Fibonacciego na polu ekonomii. Przygotowane przez niego podwaliny wystarczyły, abyśmy zdołali pokonać samodzielnie dalszą drogę, dzięki czemu na kartach tej książki znajdziesz także wywody dotyczące właśnie tej dziedziny. Za to pragniemy mu serdecznie podziękować. 10 Niezwykłe liczby Fibonacciego Dr Lehmann pragnie też wspomnieć o sporadycznych konsultacjach z Tristanem Vincentem, który pomógł mu wyrazić myśli w języku angielskim. Wspólnie pragniemy podziękować profesorowi Andreasowi Fillerowi z Pädagogische Hochschule w Heidelbergu (Niemcy), Heino Hellwigowi z Uniwersytetu Humboldta w Berlinie oraz Hansowi-Peterowi Lüdtkemu z Heinrich-Hertz Gymnasium w Berlinie za cenne uwagi, którymi dzielili się z nami w czasie prac nad książką. Popularność tytułu zależy zazwyczaj od dwóch rodzajów działań: starannego przewodnictwa i opieki nad rozwojem projektu, za które pragniemy podziękować Lindzie Greenspan Regan, gdyż bez jej nieustannych rad książka ta nie byłaby tak przystępna dla ogólnego odbiorcy, oraz uważnej redakcji tekstu, za którą odpowiedzialna była Peggy Deemer – jak zawsze wywiązała się z postawionego przed nią zadania wyśmienicie, co biorąc pod uwagę złożoność tematu, stanowiło nie lada wyczyn. Oczywiście pragniemy podziękować też Barbarze i Sabine za zachętę, cierpliwość i wsparcie w czasie pracy nad książką. Wprowadzenie Niezwykłe liczby Fibonacciego W oddalonym od zgiełku świata zakątku austriackich Alp znajduje się porzucona wieki temu kopalnia soli. Przy wejściu do niej umieszczono kamień węgielny z napisem „anno 1180”. Widniejące na nim liczby oznaczają datę założenia kopalni. Ale coś jest nie w porządku. Uczeni ustalili bowiem, że cyfry arabskie (które stosujemy na co dzień) zostały opublikowane po raz pierwszy dopiero w 1202 roku. Wtedy właśnie Leonardo z Pizy (Leonardo Pisano) , znany jako Fibonacci, wydał nowatorską pracę Liber abaci, czyli „Księgę obliczeń”. Pierwszy jej rozdział rozpoczął następująco: Dziewięć indyjskich* cyfr to: 9 8 7 6 5 4 3 2 1. Za ich pomocą, oraz przy użyciu znaku 0, zwanego przez Arabów zephirum**, można zapisać każdą, dowolnie wybraną liczbę. *Mianem cyfr indyjskich Fibonacci określał symbole wprowadzone przez uczonych hinduskich, zwane powszechnie cyframi arabskimi. **To łacińskie słowo pochodzi od arabskiego sifr oznaczającego pustkę, próżnię (przyp. tłum.). 12 Niezwykłe liczby Fibonacciego To pierwsza w krajach Zachodu oficjalna definicja stosowanego powszechnie do dziś dziesiątkowego systemu liczbowego. Wydaje się jednak, że system ten znany był już w połowie X wieku w Hiszpanii, gdzie miał się pojawić z Arabami i został przez nich wprowadzony na tamtych ziemiach. W odróżnieniu od wielu innych wybitnych twórców, którzy wsławili się jednym dziełem – tu można by wymienić Georg es’a Bizeta (1838–1875), kompozytora opery Carmen, Engelberta Humperdincka (1854–1921), z jego operą Jaś i Małgosia, czy J.D. Salingera (1919–2010), autora powieści Buszujący w zbożu – Fibonacci zapisał się na kartach historii matematyki nie tylko jako odkrywca ciągu liczbowego, który dziś nazywamy jego imieniem. Nie sposób przecenić wpływ, jaki wywarł na rozwój matematyki świata zachodniego, niewątpliwie był też jednym z najwybitniejszych uczonych swoich czasów. A mimo to nieśmiertelność zapewnił sobie, opisując problem rozmnażania się królików, który doprowadził go do znanego dziś na całym świecie ciągu liczbowego. Fibonacci był poważnym matematykiem, który szkolił się w tej trudnej dziedzinie wiedzy od czasów młodości – najpierw w Bugii, mieście położonym na śródziemnomorskim wybrzeżu Afryki, założonym przez kupców z Pizy. W czasie licznych podróży po Bliskim Wschodzie spotkał wielu matematyków, z którymi chętnie wchodził w dysputy. W ten sposób poznał metody matematyczne Euklidesa (IV w. p.n.e.), a następnie wykorzystał je, by przedstawić matematykę w krajach europejskich. Rozbudował je o wygodny system liczbowy, algorytmy obliczeniowe oraz metody algebraiczne, a także o kilka własnych koncepcji, w tym między innymi ułamki. W szkołach Toskanii bardzo szybko zaczęto wykładać arytmetykę zgodnie z sugestiami Fibonacciego. Uczeni toskańscy porzucili liczydła – urządzenia pozwalające wykonywać obliczenia na zestawie koralików naciągniętych na sznurki – i przestali zapisywać wyniki rachunków za pomocą liczb rzymskich. Tym samym matematyka mogła wreszcie wypłynąć na szerokie wody, bowiem zapis rzymski nie Wprowadzenie 13 pozwalał stosować bardziej złożonych metod obliczeniowych. Pierwsza, rewolucyjna praca Fibonacciego oraz następne jego dzieła zmieniły na zawsze matematykę w krajach Europy Zachodniej. Niestety, dziś nikt nie pamięta już o wielu ważnych dokonaniach Fibonacciego. W dwunastym rozdziale Liber abaci, w którym przedstawił do rozwiązania szereg problemów matematycznych, znalazło się zadanie poświęcone zagadnieniu rozmnażania się królików. Choć zostało ono sformułowane niezbyt zręcznie, wnioski wynikające z przedstawionego rozwiązania doprowadziły do rozwinięcia wielu wiekopomnych idei. To właśnie zaważyło na losach dzieła Fibonacciego i przesądziło o sławie autora. Z danych dotyczących rozmnażania się królików, przedstawionych na stronie 27 (rysunek 1.2), wynika, że zliczana co miesiąc liczebność populacji królików jest opisana ciągiem liczb: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377,… Układ ten nazywamy dziś ciągiem Fibonacciego. Być może zastanawiasz się, dlaczego akurat ten układ liczb miałby być wyjątkowy, wystarczy jednak przyjrzeć się im nieco uważniej, by zauważyć, że można ciągnąć go w nieskończoność. Każdy kolejny wyraz jest bowiem sumą dwóch poprzednich (tj. 1+1 = 2, 1+2 = 3, 2+3 = 5 i tak dalej). Oczywiście, samo w sobie nie jest to może imponujące, ale przekonasz się niebawem, że żadne inne liczby znane matematyce nie występują tak powszechnie, jak liczby ciągu Fibonacciego. Pojawiają się w geometrii, algebrze, teorii liczb i wielu innych dziedzinach matematyki. Ale, co bardziej zaskakujące i znaczące, liczby Fibonacciego odnajdujemy także w przyrodzie, na przykład liczba spiral sporofili szyszki sosnowej jest zawsze liczbą ciągu Fibonacciego. Podobną zależność obserwujemy dla przylistków ananasa. Wydaje się, że ciąg Fibonacciego pojawia się we wszystkich aspektach przyrody – należące do niego liczby opisują rozmieszczenie gałęzi na drzewach niektórych gatunków, ale też podają liczbę przodków w każdym pokoleniu trutni. Gdzie nie spojrzymy, tam znajdujemy liczby Fibonacciego. W książce tej zbadamy dokładniej wiele zjawisk, w których udaje się odnaleźć ślad ciągu Fibonacciego, co – mamy nadzieję – zachęci 14 Niezwykłe liczby Fibonacciego cię do prowadzenia poszukiwań na własną rękę i wskazywania kolejnych obszarów, gdzie liczby Fibonacciego mogą znaleźć zastosowanie. Jednocześnie postaramy się pokazać, możliwie przystępnie, ale nie pobieżnie, jakie niezwykłe cechy charakteryzują ten ciąg. Jego związek z wieloma, często odległymi od sobie, dziedzinami matematyki pozwala szukać dziś zastosowań dla tych liczb w zagadnieniach tak pozornie niezwiązanych z matematyką, jak reguły rządzące rynkiem papierów wartościowych. Chcielibyśmy, aby ta książka stała się dla ciebie wprowadzeniem w fascynujący świat liczb Fibonacciego. Najpierw przedstawimy ścieżkę rozwoju słynnego ciągu, można powiedzieć, że zapoznamy cię z jego historią, a potem dostarczymy dowodów jego pojawiania się w różnych dziedzinach nauki, na przykład opowiemy o najpiękniejszej z zależności geometrycznych, tak zwanym złotym podziale odcinka. Okazuje się, że wyniki dzielenia przez siebie kolejnych wyrazów ciągu Fibonacciego zbliżają się do wartości nazywanej właśnie złotą liczbą (złotym stosunkiem)*: φ = 1,6180339887498948482045868343656… Im dalszymi wyrazami ciągu posłużymy się w tych obliczeniach, tym wynik będzie bliższy wartości złotej liczby. Spójrz na przykład obliczeń prowadzonych dla pary stosunkowo małych liczb Fibonacciego: A teraz zobacz, jak zmieni się wynik, gdy weźmiemy dwa nieco większe sąsiadujące ze sobą wyrazy ciągu: *Złoty podział przedstawimy odpowiednio starannie (dając przy tym dostatecznie dużo przykładów stosowania go w geometrii i sztuce), by czytelnik mógł bez trudu ocenić jego wagę i znaczenie, a co za tym idzie, znaleźć związek z ciągiem Fibonacciego. Złotą liczbę często oznacza się grecką literą ϕ (phi – wym. fi). Wprowadzenie 15 * a potem parę jeszcze dalej położonych sąsiadów: Zauważ, ze coraz większe współczynniki zdają się zbliżać do faktycznej wartości złotej liczby φ, na przykład: ** Porównaj ostatni wynik z wartością złotej liczby: φ = 1,6180339887498948482045868343656… O samym złotym podziale i jego niezwykłych właściwościach opowiemy osobno w odpowiednim czasie. To nie przypadek, że proporcja ta pojawia się w architekturze i sztuce. Gdyby ująć fasadę ateńskiego Partenonu w prostokąt, otrzymalibyśmy w ten sposób tak zwany złoty prostokąt, czyli figurę, której boki pozostają do siebie w stosunku równym właśnie złotej liczbie. Złoty prostokąt pojawia się zresztą w wielu dziełach sztuki. Na przykład na słynnym obrazie Adam i Ewa średniowiecznego niemieckiego malarza Albrechta Dürera (1471–1528) postacie pierwszych ludzi zajmują właśnie powierzchnię wyznaczoną złotym prostokątem. Co ciekawe, liczby Fibonacciego nie budziły większego zainteresowania (nikt też nie myślał o nadawaniu im specjalnej nazwy), dopóki badaniem ich nie zajął się w połowie XIX wieku francuski matematyk *Nawiasy, w które ujęto ostatnich szesnaście cyfr wyniku, oznaczają, że cyfry te powtarzają się w nieskończoność w takiej właśnie kolejności (jest to ułamek okresowy). **Czterdziesty wyraz ciągu Fibonacciego to 102334155, a czterdziesty pierwszy to 165580141. 16 Niezwykłe liczby Fibonacciego Édouard Lucas (1842–1891). Lucas zaczął zastanawiać się, jak zachowywałyby się liczby Fibonacciego, gdyby ich ciąg brał początek nie od dwóch jedynek, ale od jedynki i trójki. Stosując taką samą zasadę konstruowania ciągu jak Fibonacci (dodając do siebie dwa poprzednie wyrazy, by uzyskać następny), Lucas stworzył nowy zestaw liczb i porównał go z ciągiem Fibonacciego. Tak zwane liczby Lucasa to 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123,… W dalszych rozdziałach poznasz ich związek z liczbami Fibonacciego. W zasadzie trudno wskazać dziedzinę, w której nie pojawiałyby się liczby tego niezwykłego ciągu, znamy mnóstwo zastosowań dla nich i im pochodnych. Postaramy się przedstawić tu nie tylko ciekawostki matematyczne, ale też bardziej poważne sposoby wykorzystania liczb Fibonacciego, które, jak wierzymy, zainteresują zarówno laików, jak i czytelników obytych już nieco z matematyką. Jesteśmy przekonani, że te wspaniałe liczby wzbudzą zachwyt i w tobie. Wierzymy, że dostrzeżesz ich piękno i zapragniesz szukać ich śladów w otaczającym cię świecie na własną rękę. Staraliśmy się zaprezentować zebrany materiał w taki sposób, by zainteresować każdego, ale zawsze staraliśmy się mieć na względzie przede wszystkim przeciętnego odbiorcę (czytelników o większym zacięciu matematycznym zachęcamy do zapoznania się z zawartością dodatku B, w którym zawarliśmy dowody twierdzeń przedstawionych w poszczególnych rozdziałach książki). Przede wszystkim zaś chcieliśmy zaprezentować czytelnikom potęgę i piękno matematyki.
