Filo- Math nr 3(5)/2014 - Zespół Szkół Ogólnokształcących w

ZESPÓŁ SZKÓŁ OGÓLNOKSZTAŁCĄCYCH
W KAMIENNEJ GÓRZE
FILO– MATH
GAZETKA KOŁA MATEMATYCZNEGO
CZERWIEC 2014
NR
3 (5)/2014
CO W NUMERZE:
PRZEGLĄD MATEMATYKÓW:
Fibonacci…………………….……...................................
1
Ogłoszenie
Dzień otwartej szkoły ……………………………………………..
2
CIĄG FIBONACCIEGO
Co to takiego?……………...………….
Zastosowanie ciągu ……………………...
2
ZADANIA FIBONACCIEGO
Zadania .................................................................
GNOMON
Co to jest i do czego służy ?…………….……………..
Rozrywka
Konkurs wakacyjny …………….……………..
4
5
6
PRZEGLĄD MATEMATYKÓW.
FIBONACCI
Włoski matematyk epoki średniowiecza. Żył w latach 11751250. Wprowadził do Europy cyfry arabskie. Uważał 0 za
pierwszą liczbę naturalną. Dodawał i odejmował ułamki o różnych mianownikach sprowadzając je do wspólnego mianownika – znajdując najmniejsza wspólną wielokrotność mianowników.
Fibonacci 1175-1250
Dzień Otwartej Szkoły
W dniu 29.04.2014 r. w Zespole Szkół Ogólnokształcących odbył się Dzień Otwartej Szkoły. Uczniowie
klas trzecich gimnazjum mieli możliwość zwiedzenia szkoły, poznania atmosfery panującej w szkole, spotkania
z kolegami i koleżankami uczącymi się w Liceum Ogólnokształcącym. Zostały przygotowane trzy ścieżki tematyczne, którymi podążali uczniowie 7 szkół gimnazjalnych wraz z opiekunami. Uczniowie zostali podzieleni na
blok humanistyczno – przyrodniczy, matematyczno – przyrodniczy i blok dodatkowy prezentujący sale komputerowe, bibliotekę oraz prezentację związaną z projektem Lanterna Futuri.
W tegorocznej edycji Dnia Otwartej Szkoły prezentację gabinetu matematycznego podjęły się panie Sylwia Cierpikowska, Sylwia Gawerda i Jolanta Myśliwiec. Pod ich opieką uczniowie klasy II a liceum przygotowali
prezentację dotyczącą Fibonacciego oraz występowania ciągu Fibonacciego w przyrodzie.
Czym jest ciąg Fibonacciego?
Spośród wszystkich ciągów liczbowych,
które występują, jeden jest szczególnie
interesujący. Ciąg ten zawdzięcza swoją
nazwę matematykowi z Pizy, Leonardowi,
który pod nazwiskiem Fibonacci wydał w
1202 roku słynną księgę Liber Abaci. Ojciec
Leonarda nosił przydomek Bonacci, stąd
syn został Fibonaccim (filius Bonacci - syn
dobrotliwego) Liczby naturalne tworzące
ciąg o takiej własności, że kolejny wyraz (z
wyjątkiem dwóch pierwszych) jest sumą
dwóch poprzednich nazywa się liczbami
Fibonacciego i pojawiają się w tak wielu
sytuacjach, że wydaje się to niemożliwe.
Graficzny zapis
ciągu Fibonacciego
Liczby Fibonacciego są więc sumami liczb
z przekątnych w trójkącie Pascala
(rysunek powyżej).
Ciąg Fibonacciego to ciąg liczb określony
rekurencyjnie w sposób następujący:
F0 = 0
F1 = 1
Fn = Fn-1 + Fn-2, dla n ≥ 2
Początkowe wartości tego ciągu to:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,
233, ...
2
Ciąg Fibonacciego
Ciąg Fibonacciego ma zastosowanie w geometrii – pokrycie płaszczyzny kwadratami
będącymi n-tym wyrazem ciągu. Należy
do ulubionych ciągów spotykanych
w przyrodzie – można go odnaleźć w wielu
jej aspektach – zarówno w kształtach fizycznych struktur, jak i w przebiegu zmian
w strukturach dynamicznych.
Jeszcze jedną ciekawostką dotyczącą ciągu Leonarda z Pizy jest spirala Fibonacciego.
Najlepszym jej przykładem w przyrodzie
są muszle. Gdyby spojrzeć na muszlę łodzika (morskiego mięczaka) w przekroju:
widać, że ułożona jest spiralnie i zbudowana z szeregu komór, z których każda
następna jest większa od poprzedniej dokładnie o tyle, ile wynosi wielkość tej poprzedniej. Wynika to z faktu, że im są
większe, tym szybciej rosną.
Ciąg Fibonacciego jest przykładem przedziwnego splatania się matematyki z przyrodą.
Przypomnijmy sobie bowiem, że sam pomysł ciągu Fibonacciego powstał dzięki
idealizacji zjawiska przyrodniczego
(rozmnażanie królików), a następnie okazało się, że tak wymyślone pojęcie powraca do przyrody.
Przygotowali: Malwina Lebek-Andersz
Marlena Zarzycka
Jacek Wasilewski
Karolina Trojankowska
Klaudia Pres
3
Zadania Fibonacciego
3. Trzech mężczyzn znalazło sakiewkę
zawierającą 23 denary. Pierwszy po-
Prace Fibonacciego zawierają szereg mate-
wiedział do drugiego: Jeżeli dodam te
matycznych problemów:
pieniądze do swoich, to będę miał
dwa razy więcej od ciebie. Drugi podobnie zwrócił się do trzeciego: Ja
1. Dwa ptaki wylatują w tym samym momencie ze szczytów dwóch wież, odległych od siebie o 50 metrów. Wyso-
zaś, jeżeli wezmę te pieniądze, będę
miał trzy razy więcej od ciebie. W
kość jednej wieży wynosi 30 metrów, a
końcu trzeci powiedział do pierwsze-
drugiej 40 metrów. Lecąc z tą sama
go: Ja dodając te pieniądze do swoich
prędkością dolatują w tym samym mo-
będę miał cztery razy więcej niż ty. Ile
mencie do fontanny, usytuowanej na
denarów miał każdy z nich?
prostej pomiędzy dwiema wieżami (na
poziomie gruntu). W jakiej odległości
od podstawy każdej wieży znajduje się
fontanna?
2. Kupiec podczas swojej podróży handlowej do Wenecji podwoił tam swój początkowy kapitał, a następnie wydał 12
Przykład ciągu Fibonacciego
denarów. Potem udał się do Florencji,
gdzie znowu podwoił liczbę posiada-
3. Ile par królików może spłodzić jedna
nych denarów i wydał 12. Po powrocie
para w ciągu roku, jeśli
do Pizy po raz kolejny podwoił swój
- każda para rodzi nową parę w ciągu
majątek, wydał dwanaście denarów
miesiąca,
i ... został bez grosza. Ile denarów
- para staje się płodną po miesiącu,
miał na początku?
- króliki nie zdychają?
4
Mamy równanie A2 = x2 + B2 + 2Bx. Znamy wartości a i b, poszukujemy A i B.
Gnomon
B=
Co to jest gnomon i do czego
służy?
Jest to zacieniowana figura złożona z
dwóch prostokątów i kwadratu… Nic
wam to nie mówi jak na razie… W
skrócie wykorzystuje się go do rozwiązywania równań kwadratowych.
Zegar słoneczny, przykład gnomonu
,
=
,
Ostatecznie x = A – B =
=b+
=b+
–B=
,
−
,
Rozwiążemy przykład
+ 6x = 55
Wykreślmy kwadrat o boku x, dorysujmy prostokąty, których jeden z boków jest równy połowie
współczynnika przy x, czyli 3. Zacieniowaną figurę
na rysunku, utworzoną z kwadratu i dwóch prostokątów, greccy matematycy nazywali gnomonem.
Nasz gnomon x2 + 6x ma pole równe 55. Dopełniamy nasz gnomon do pełnego kwadratu, którego
bok ma długość x + 3. Pole całego kwadratu równe
jest 55 + 9 = 64. Otrzymujemy równanie (x + 3)2
= 64, skąd x + 3 = 8. Zostało oczywiście pominięte
nieznane wtenczas rozwiązanie ujemne, ostatecznie otrzymujemy x = 5.
Arabski sposób rozwiązywania równań kwadratowych:
Perski matematyk Alchwarizmi w dziele
Hisab al-dżabr wa-al mukabala czyli Sztuka
redukcji i przenoszenia zawarł swoje rozważania na temat rozwiązań równań liniowych i kwadratowych. Praca zawiera kompletne rozwiązania równań stopnia pierwszego i drugiego. Ponieważ nie uznawano
wówczas liczb ujemnych, równań kwadratowych były trzy rodzaje.
x2 + ax = b, x2 + b = ax, x2 = ax +
b,
A oto arabski sposób rozwiązywania równań kwadratowych x2 + ax = b
Gnomon jest to również jeden z najstarszych i najprostszych przyrządów astronomicznych, wykorzystywany między innymi w zegarach słonecznych. Taki właśnie zegar jest na terenie naszej szkoły. Najczęściej jest
to odpowiednio osadzony pręt (kolumna, pionowy słup
lub kijek wbity w ziemię), którego cień wskazuje położenie Słońca (deklinacja). Długość i kierunek cienia
gnomonu wyznaczają wysokość i azymut słońca. Gnomon był używany przez astronomów starożytnych do
oznaczania wysokości i zboczeń ciał niebieskich.
Kreślimy kwadrat o boku długości A,
wycinamy w rogu kwadrat o boku x. W
przeciwległym rogu kwadrat o największym
możliwym boku B. Kwadrat dopełniają dwa
prostokąty o bokach x i B.
Przygotowała
Kasia Gil
5
Konkurs wakacyjny
Redakcja gazetki Filo-math ogłasza konkurs fotograficzny dla uczniów gimnazjum i liceum.
Temat prac: izometrie w architekturze
Termin nadsyłania prac: 31.08.2014 r.
Adres na który można przysyłać prace: [email protected]
Dla autorów najlepszych prac przewidziane zostały nagrody.
Zapraszamy do udziału w konkursie i życzymy przyjemnego wypoczynku.
Redaktorzy: Jan Cieślik, Kasia Gil, Malwina Lebek
-Andersz, Marlena Zarzycka, Jacek Wasilewski,
Karolina Trojankowska, Klaudia Pres
Opieka merytoryczna: Danuta Ruchała
6