Sto lat teorii ruchów Browna

FOTON 91, Zima 2005
12
Sto lat teorii ruchów Browna
Paweł F. Góra
Instytut Fizyki UJ
Rok 1905 był rokiem prawdziwie cudownym, annus mirabilis, dla fizyki. W roku tym ukazały się cztery bardzo ważne
prace Alberta Einsteina: dwie kładące podstawy pod szczególną teorię względności, praca wyjaśniająca efekt fotoelektryczny, za którą Einstein otrzymał Nagrodę Nobla w roku 1921,
oraz praca tłumacząca mechanizm odpowiedzialny za ruchy
Browna1. Rok później niezależne wytłumaczenie tego ostatniego zjawiska podał także Polak, Marian Smoluchowski2. Wyja- Marian Smoluchowski
śnienie pochodzenia i właściwości ruchów Browna stanowiło
(1872–1917)
rozwiązanie pewnego starego, prawie osiemdziesięcioletniego
problemu – rzecz godna uwagi, nikt jednak nie spodziewał się, że podane rozwiązanie będzie miało zupełnie przełomowe znaczenie dla całej fizyki. Tak się jednak
stało, my zaś spróbujemy powiedzieć, dlaczego tak się stało.
Ruchy Browna biorą swą nazwę od nazwiska szkockiego botanika, Roberta Browna. Brown był w swoim
czasie człowiekiem bardzo znanym i cenionym, jednak
nie za to, z czego słynie dzisiaj, ale za swoje prace nad
klasyfikacją roślin Nowego Świata. Otóż w trakcie tych
badań Brown w 1827 roku zaobserwował, iż pyłki roślin
w zawiesinie wodnej, które obserwował pod mikroskopem, wykonują gwałtowne, bardzo nieregularne, zygzakowate ruchy. Ruchy takie obserwowano już przed Brownem, jednak ponieważ zawsze obserwowano cząsteczki
Robert Brown (1773–1858) materii organicznej, przyczyny tych ruchów upatrywano
w jakiejś tajemniczej „sile życiowej”. Brown jednak nie
zadowolił się takim wytłumaczeniem, które od biedy pasować by mogło do żywych pyłków. Stwierdził mianowicie, że zupełnie takie same ruchy wykonują nie
tylko pyłki żywe, ale także pyłki obumarłe oraz drobne cząsteczki zawiesiny nieorganicznej (nawiasem mówiąc, Brown używał w tym celu sproszkowanych ka1
A. Einstein, Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte
Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen, Ann. Phys. 17, 549–560
(1905).
2
M. von Smoluchowski, Zur kinetischen Theorie der Brownschen Molekularbewegung und der Suspensionen, Ann. Phys. 21, 756–780 (1906).
FOTON 91, Zima 2005
13
wałków słynnego egipskiego sfinksa, co nie miało wpływu na wynik badań, ale
dobrze oddaje klimat umysłowy ówczesnej epoki), ruchy te musiały mieć zatem
jakąś przyczynę fizyczną. Ale jaką? Brown stwierdził tylko – na ile jego wyposażenie laboratoryjne wystarczało – że ruchy nie są powodowane ani przez prądy
(przepływy) w cieczy, ani nie są pochodzenia konwekcyjnego, ani też nie są spowodowane parowaniem rozpuszczalnika.
Przyczyna opisanych przez Roberta Browna ruchów pozostawała więc zagadką, jedną z wielu obserwacji naukowych,
które nie miały swojego wytłumaczenia, ale które, w co nikt
nie wątpił, kiedyś takie wytłumaczenie znajdzie, i choć problem ten nie wydawał się jakoś szczególnie ważny, wiele osób
próbowało go rozwiązać. Po pierwsze zatem, potwierdzono
obserwacje Browna, iż ani prądy w cieczy, ani konwekcja, ani
parowanie nie były przyczyną tych ruchów. Dalej, jako możliwe przyczyny wyeliminowano skład chemiczny, kształt naczyAlbert Einstein
nia i wpływ warunków zewnętrznych. Wreszcie, po sformuło(1879–1955)
waniu przez Boltzmanna i Maxwella tzw. teorii kinetycznej
próbowano ruchy Browna opisać w jej języku, a więc przez podanie, jak zmienia
się prędkość cząstek brownowskich w czasie. Wszystkie te próby zawiodły.
Choć z dzisiejszego punktu widzenia usiłowania te mają tylko znaczenie historyczne, fakt, iż ludzie je podejmowali, i to z mizernym skutkiem, miał w czasach Einsteina i Smoluchowskiego kolosalne znaczenie, przygotował bowiem
grunt dla przyjęcia zaproponowanego przez nich, iście rewolucyjnego rozwiązania, a trzeba pamiętać, iż pozostałe osiągnięcia Einsteina z owego cudownego
roku, szczególna teoria względności i pojęcie fotonu, były przez długie lata kontestowane przez czołowych fizyków tamtej epoki.
Jakież było więc rozwiązanie zaproponowane przez Einsteina i Smoluchowskiego? Stwierdzili oni, iż ruch cząstek brownowskich wywoływany jest przez
zderzenia z cząsteczkami rozpuszczalnika. Cząsteczki te wykonują bezładne ruchy, będące przejawem ich energii termicznej – temperatura jest pewną miarą
intensywności tego ruchu. Cząsteczki rozpuszczalnika są zbyt małe, aby można
było je bezpośrednio obserwować, natomiast cząsteczki zawiesiny, choć maleńkie
z naszego punktu widzenia, są w porównaniu z cząsteczkami rozpuszczalnika
prawdziwymi olbrzymami, co pozwala na ich bezpośrednią obserwację. Wyjaśnienie to brzmi być może banalnie w dniu dzisiejszym, wcale jednak nie było
banalne sto lat temu. Choć dziś może wydawać się to nam dziwne lub nawet zdumiewające, sto lat temu hipoteza atomistyczna, hipoteza, iż materia ma budowę
ziarnistą, że nie da się jej dzielić w nieskończoność w sposób ciągły, nie była
powszechnie akceptowana. Wręcz przeciwnie, niektórzy badacze traktowali ją
tylko jako niepotwierdzoną hipotezę roboczą, inni zaś, w tym postacie tak wybitne, jak Wilhelm Ostwald (laureat Nagrody Nobla z chemii w roku 1909) i Ernest
FOTON 91, Zima 2005
14
Mach, gwałtownie ją zwalczali3. Tymczasem Albert Einstein i Marian Smoluchowski twierdzili, że ruch cząstek zawiesiny jest bezpośrednim dowodem na
istnienie cząstek rozpuszczalnika i, co więcej, że badając cząstki brownowskie,
można wiele wywnioskować o naturze cząstek rozpuszczalnika. Einstein i Smoluchowski dostarczyli też ilościowego narzędzia do opisu ruchów Browna: stwierdzili mianowicie, że średni kwadrat przesunięcia cząstki brownowskiej, <x2>,
powinien być proporcjonalny do czasu trwania obserwacji, współczynnik proporcjonalności zaś jest ściśle związany z tzw. współczynnikiem dyfuzji. Wnioski te
pozwoliły na wykonanie wielu szczegółowych pomiarów, zwłaszcza zaś na doświadczalne wyznaczenie tzw. stałej Avogadra. W kilka lat po ukazaniu się prac
Einsteina i Smoluchowskiego pomiary takie przeprowadził francuski fizyk JeanBaptiste Perrin, za co w 1926 roku został uhonorowany Nagrodą Nobla.
Warto wspomnieć, iż Einstein wcale nie chciał podać wyjaśnienia ruchów
Browna, nie to było jego celem. Einstein niezbyt dobrze znał fakty doświadczalne
dotyczące ruchów Browna. Celem Einsteina było podanie związku pomiędzy
współczynnikiem dyfuzji a temperaturą, co mu się udało, a że był człowiekiem
prawdziwie genialnym, wymyślił też, jak powinny wyglądać mikroskopowe ruchy
cieplne. Smoluchowski przeciwnie, doskonale znał fakty dotyczące ruchów
Browna i planował ich wyjaśnienie. Jak zresztą wynika z zachowanej korespondencji pomiędzy Marianem Smoluchowskim a Albertem Einsteinem, Smoluchowski otrzymał swoje wyniki jeszcze przed Einsteinem, natomiast zdecydował się na
ich publikację dopiero pod wrażeniem, jakie wywarła na nim praca Einsteina.
Omawiane tu prace Einsteina i – zwłaszcza – Smoluchowskiego odpowiedziały też na wiele innych pytań. Po pierwsze, podały mikroskopowe wytłumaczenie
zjawiska dyfuzji (cząstki substancji dyfundującej są „przepychane” na skutek
zderzeń z cząsteczkami rozpuszczalnika); po drugie, zawierały wyprowadzenie
równania różniczkowego opisującego ten proces, zwanego dziś równaniem dyfuzji4; po trzecie wreszcie, tłumaczyły, dlaczego poprzednie próby opisu ruchów
Browna w języku prędkości zawiodły. Smoluchowski zauważył, że obserwowane
pod mikroskopem przemieszczenia cząstek brownowskich są wynikiem bardzo
wielu zderzeń z cząsteczkami rozpuszczalnika, że są uśrednionym efektem bardzo
wielu takich zderzeń. Dziś wiemy, że zderzeń tych jest tak dużo, że średni czas
pomiędzy dwoma kolejnymi zderzeniami jest o wiele krótszy od najmniejszych
odcinków czasu, jakie obecnie (na początku XXI wieku!) potrafimy mierzyć,
a skoro tak, to ani w czasach Browna, ani w czasach Einsteina i Smoluchowskie3
Nic też dziwnego, że Einstein, który Macha wysoce cenił, zaraz przesłał mu odbitkę
swojej pracy.
4
Równanie to, wynikające z heurystycznych praw sformułowanych pierwotnie przez
niemieckiego fizjologa A. Ficka, było już wówczas znane, ale nieznane było jego wyprowadzenie na podstawie praw bardziej fundamentalnych.
FOTON 91, Zima 2005
15
go, ani nawet obecnie nie możemy dwu kolejnych zderzeń zaobserwować – każde
dwa kolejno zaobserwowane zygzaki trajektorii cząstki brownowskiej będą rozdzielone mnóstwem innych zygzaków, które umknęły naszej uwadze. Skoro tak,
to można założyć, iż jakieś zderzenie zachodzi w każdej chwili, a zatem że trajektoria cząstki brownowskiej ma załamanie, zygzak, w każdym punkcie i że jest
całkowicie przypadkowa. Prędkość cząstki jest nieokreślona w momencie,
w którym wykonuje ona gwałtowny zakręt – można oczywiście podawać prędkość
średnią, ta jednak ma niewielkie znaczenie z punktu widzenia fundamentalnego
opisu ruchu.
Punkt ten wymaga szczególnej uwagi. Używana powszechnie w czasach
Smoluchowskiego – i stosowana z powodzeniem do dzisiaj w opisie bardzo wielu
zagadnień – mechanika newtonowska przewiduje, iż trajektoria każdej cząsteczki,
każdego „punktu materialnego”, daje się opisać za pomocą pewnego równania
różniczkowego, do sformułowania którego potrzeba i wystarcza wskazać siły
działające na cząsteczkę w każdej chwili. Jest to, w gruncie rzeczy, esencja tzw. II
zasady dynamiki Newtona. Siły te mogą być zmienne, mogą zależeć zarówno od
czasu, jak i od aktualnego położenia cząsteczki; jeśli jednak zmiany te będę ciągłe,
otrzymana trajektoria będzie gładka – być może bardzo skomplikowana, ale gładka, przy czym „gładkość” oznacza tu dobrze zdefiniowane pojęcie matematyczne.
Jest to absolutny kanon fizyki, przez wielu traktowany jako nienaruszalna świętość. Tymczasem według Smoluchowskiego trajektoria cząsteczki brownowskiej
nie była gładka, miała mnóstwo zygzaków, ba, miała zygzak w każdym punkcie,
co w języku matematycznym oznacza, iż nie była nigdzie różniczkowalna. To
była prawdziwa rewolucja, odejście od ustalonego i uznanego paradygmatu –
rzecz w tym, iż to podejście dawało wyniki zgodne z eksperymentem, podczas
gdy wszystkie inne nie. Wspomniane wcześniej równanie dyfuzji nie opisuje trajektorii pojedynczej cząsteczki, ale zbiorowe, uśrednione zachowanie całego
mrowia cząsteczek, na przykład kropli atramentu wpuszczonej do naczynia
z wodą lub cukru, którym słodzimy herbatę5. Z punktu widzenia obserwatora
zewnętrznego to nie losy pojedynczej cząsteczki, ale zbiorowe losy całego zespołu
rozpuszczanych cząsteczek są ważne. Choć trajektoria pojedynczej cząsteczki,
składająca się z samych zygzaków, może być dziwaczna, to zbiorowe zachowanie
bardzo wielu cząsteczek daje się opisywać w sposób całkiem „przyzwoity”, jeśli
tylko zgodzimy się nie zwracać uwagi na bardzo drobne szczegóły. W tym właśnie tkwi istota podejścia probabilistycznego.
Tak więc przemieszczenia cząsteczek brownowskich opisujemy jako proces
losowy. Prace Einsteina i Smoluchowskiego stały się jednym z kamieni węgielnych, na których oparty jest dziś tak ważny dział matematyki, jak rachunek praw5
Jest to standardowy przykład i tylko dlatego go używam, osobiście uważam bowiem,
iż herbata bez cukru jest o wiele lepsza.
FOTON 91, Zima 2005
16
dopodobieństwa i teoria procesów stochastycznych. Modelowanie stochastyczne
stało się dziś bardzo ważnym narzędziem w wielu dziedzinach nauki i techniki, od
fizyki, poprzez projektowanie konstrukcji, aż do biologii, ekologii i nauk społecznych. Bez prac Einsteina i Smoluchowskiego nawet i to nie byłoby możliwe.
Einstein i Smoluchowski sformułowali też prawo, znane dzisiaj jako twierdzenie fluktuacyjno-dysypacyjne, głoszące, iż opory ruchu (lepkość) na poziomie
molekularnym wynikają z cieplnego ruchu cząsteczek. Nieco później Marian
Smoluchowski wykazał, że parametry opisujące każdy dostatecznie duży (makroskopowy), ale skończony, układ fizyczny w równowadze termodynamicznej muszą się zmieniać w czasie w sposób, który dziś nazywamy „białym szumem gaussowskim” – ruchy Browna są zatem konieczną cechą każdego fizycznego układu
makroskopowego w stanie równowagi.
Skoro ruchy Browna, a raczej wywołujące je fluktuacje termodynamiczne, są
powszechne, musimy nauczyć się z nimi żyć. Szumy termiczne na ogół przeszkadzają – to one są odpowiedzialne za zakłócenia na liniach telekomunikacyjnych,
za błędy pomiarowe, za straty przy przesyłaniu energii itd. – są jednak sytuacje,
w których bez szumów cały znany nam świat by się zawalił. Okazuje się bowiem,
że szumy mogą niekiedy wywierać wpływ konstruktywny: mogą podtrzymywać
sygnały, które pod nieobecność szumów wygasłyby, mogą wzmacniać, nie osłabiać, sygnały (jest to tzw. rezonans stochastyczny), wreszcie szumy są ważne dla
zrozumienia przebiegu wielu bardzo ważnych reakcji biochemicznych, bez których życie organicznie w postaci, jaką dziś znamy, nie byłoby możliwe. Obecność
szumów termicznych należy brać także pod uwagę przy projektowaniu nanorobotów i motorów molekularnych, które od lat są przedmiotem marzeń fantastów,
a od pewnego czasu także przedmiotem prac poważnych naukowców. Nanoroboty
miałyby na przykład być wstrzykiwane do krwi człowieka, podróżować po całym
ciele i naprawiać napotkane mikrouszkodzenia. Trzeba jednak pamiętać, iż
w środowisku, w którym nanoroboty miałyby pracować, przez cały czas odbywa
się bezustanny, termiczny ruch cząsteczek. Jeśliby nanorobota powiększyć do
rozmiarów ludzkich, siłę fluktuacji także należałoby wzmocnić; proste wyliczenia
pokazują, że fluktuacje termiczne osiągnęłyby wówczas prędkość huraganu. Projektowanie nanorobotów i motorów molekularnych jest zatem zadaniem tak trudnym jak projektowanie urządzenia, które miałoby bezbłędnie działać w czasie
huraganu Katrina6; ba, które energię Katriny umiałoby obrócić na swoją korzyść!
A jednak natura sobie z tym radzi, zaprojektowała bowiem wiele naturalnych
motorów molekularnych, na przykład kinezyny, czyli białka poruszające się po
błonach wewnątrzkomórkowych. I tak oto po raz kolejny okazuje się, że nauka
jest jedna, niepodzielna: zrozumienie działania wielu mechanizmów biochemicz6
Tak nazwano huragan, który zatopił Nowy Orlean w sierpniu 2005.
FOTON 91, Zima 2005
17
nych byłoby niemożliwe, gdyby nie rozwój tego działu fizyki teoretycznej, który
zapoczątkowany został pracami Einsteina i Smoluchowskiego sprzed stu lat.
Marian Smoluchowski uważany jest za najwybitniejszego polskiego fizyka,
jego prace są po dziś dzień często cytowane, a pewne ważne równanie używane
w fizyce nazywa się dziś równaniem Smoluchowskiego. Jego imię nosi Instytut
Fizyki UJ, najwyższe zaś wyróżnienie przyznawane przez Polskie Towarzystwo
Fizyczne nosi miano Medalu Smoluchowskiego. Jak pisaliśmy wyżej, Jean-Baptiste
Perrin, który do wyznaczenie liczby Avogadra używał teorii opracowanej przez
Einsteina i Smoluchowskiego, otrzymał Nagrodę Nobla w roku 1926. Albert Einstein otrzymał Nagrodę Nobla w roku 1921. Ba, nawet wielki oponent hipotezy
atomistycznej, Wilhelm Ostwald, otrzymał Nagrodę Nobla. Szkoda, że w gronie
noblistów brakuje Smoluchowskiego. Niestety, Marian Smoluchowski, profesor
Uniwersytetów Lwowskiego i Jagiellońskiego, zmarł na dyzenterię w roku 1917
w wieku zaledwie 45 lat, gdy na świecie szalała Wielka Wojna i zanim znaczenie
prac Smoluchowskiego w pełni dotarło do świadomości fizyków. Być może gdyby Smoluchowskiemu dane było żyć dłużej – ale cóż, dziś możemy tylko gdybać.
W Krakowie, w Instytucie Fizyki UJ, ale także na AGH i w Instytucie Fizyki
Jądrowej, pracuje grupa fizyków zajmująca się tym właśnie działem fizyki i jego
zastosowaniami nie tylko w innych działach fizyki, ale także w biologii molekularnej, ekologii, matematyce finansowej i naukach społecznych.