Geometryczny ruch Browna

LISTA 3:
Geometryczny ruch Browna
Denicja. Geometrycznym ruchem Browna nazywamy rozwi¡zanie stochastycznego
równania ró»niczkowego
dS(t) = µS(t)dt + σS(t)dB(t),
S(0) = S0
gdzie µ, σ, S0 s¡ pewnymi staªymi. W zastosowaniach nansowych S(t) jest modelem
cen akcji. Staªa µ jest nazywana dryfem, a σ zmienno±ci¡.
Zadanie 1. Poka», »e geometryczny ruch Browna jest dany równaniem
X(t) = S0 exp
1 2
µ − σ t + σB(t) .
2
Zadanie 2. Sprawd¹, »e geometryczny ruch Browna speªnia wªasno±ci:
• cena w chwili aktualnej S(0) jest ustalona;
• cena S(t) jest zawsze dodatnia;
• stopa zysku w danym okresie zale»y wyª¡cznie od dªugo±ci tego okresu, tzn.
S(h)/S(0) ma ten sam rozkªad, co S(t + h)/S(t), h > 0;
• stopa zysku w ka»dym okresie jest niezale»na od przeszªo±ci, tzn. S(t+h)/S(t)
jest niezale»ne od historii do czasu t;
• cena akcji S(t) jest funkcj¡ ci¡gª¡.
S¡ to wªasno±ci, których oczekujemy od procesu cen akcji i które uzasadniaj¡ u»ywanie geometrycznego ruchu Browna.
Zadanie 3. Skorzystaj z przybli»enia eX ≈ 1+X dla X ≈ 0 aby uzyska¢ przybli»enie
geometrycznego ruchu Browna, sªuszne dla maªych zmian procesu (cen akcji). Jakie
stochastyczne równanie ró»niczkowe speªnia proces X = X(t)? Podaj dokªadny
rozkªad zmiennej X(t), podaj jego funkcj¦ ±redniej oraz autokowariancji.
Uwaga: Proces X(t) z tego zadania nazywamy arytmetycznym ruchem Browna.
Zadanie 4. Zmienna Y ma rozkªad log-normalny ln N (µ, σ2 ) gdy Y = eX , a X ma
rozkªad N (µ, σ 2 ).
a) Oblicz najpierw dystrybuant¦, a pó¹niej g¦sto±¢ rozkªadu ln N (µ, σ 2 ). Dystrybuant¦ rozkªadu log-normalnego wyra¹ za pomoc¡ dystrybuanty rozkªadu normalnego Φ(x).
b) Napisz wzór na funkcj¦ g¦sto±ci rozkªadu S(t) geometrycznego ruchu Browna i
oblicz dominant¦ S(t), czyli punkt, w którym g¦sto±¢ prawdopodobie«stwa tej
zmiennej przyjmuje warto±¢ maksymaln¡.
1
Zadanie 5. Korzystaj¡c ze znajomo±ci funkcji tworz¡cej momenty dla rozkªadu
normalnego, oblicz oczekiwan¡ warto±¢ cen MS (t) oraz ich rozrzut msdS (t).
Zadanie 6. Geometryczny ruch Browna jest cz¦sto stosowanym modelem rozwoju
populacji. Przy tym zastosowaniu µ jest staª¡ opisuj¡c¡ rozrodczo±¢, a σ intensywno±¢ losowych waha« populacji. Dla jakich warto±ci µ oraz σ populacja b¦dzie,
mówi¡c w sensie ±rednim, rosn¡¢, a dla jakich male¢?
Zagadnienie dodatkowe (nieobowi¡zkowe): skorzystaj z prawa iterowanego logarytmu
i okre±l zachowanie si¦ populacji w granicy t → ∞ w sensie "prawie na pewno".
Zadanie 7. Opcja binarna (binary
option ) jest instrumentem nansowym, który
zwraca zysk C , je±li warto±¢ akcji S przekroczy odpowiedni¡ warto±¢ w chwili T .
Oblicz oczekiwany zysk z opcji binarnej
(
C, S(T ) < K;
b(S, T ) =
0, S(T ) ≥ K.
Powiedz, czemu mo»e sªu»y¢ kupno tak zdeniowanej opcji.
Zadanie 8. Opcja kupna (call option ) jest instrumentem nansowym, który pozwala
kupi¢ akcj¦ S w momencie T za co najwy»ej K . Uzasadnij, »e zysk z tej opcji mo»na
zapisa¢ równaniem
c(S, T ) = max{S(T ) − K, 0}.
Oblicz oczekiwan¡ warto±¢ zysku i powiedz, czemu mo»e sªu»y¢ kupno tak zdeniowanej opcji.
Zadanie 9. Opcja sprzeda»y (put
option ) jest instrumentem nansowym, który
pozwala sprzeda¢ akcj¦ S w momencie T za co najmniej K . Uzasadnij, »e zysk z tej
opcji mo»na zapisa¢ równaniem
p(S, T ) = max{K − S(T ), 0}.
Oblicz oczekiwan¡ warto±¢ zysku i powiedz, czemu mo»e sªu»y¢ kupno tak zdeniowanej opcji.
2