Wykład 3 i 4 - Zakład Biofizyki

r. akad. 2012/2013
Mechanika kwantowa
wykład III-IV
Podstawy Procesów
i Konstrukcji Inżynierskich
Mechanika kwantowa
Zakład
Biofizyki
Zakład
Biofizyki
1
Mechanika kwantowa
Falowa natura materii
Zarówno fale elektromagnetyczne (fotony) jaki i elektrony lub inne obiekty
mikroświata, w jednych zjawiskach mogą zachowywać się jak fala, a w innych jak cząstka
tzn. wykazują zarówno własności falowe jak i korpuskularne
λX
Doświadczenie Thomsona:
dyfrakcja elektronów na cienkiej
folii polikrystalicznej
Doświadczenie Davissona-Germera:
falowe własności elektronów
Zakład Biofizyki
Doświadczenie Sterna:
dyfrakcja atomów wodoru i helu
na kryształach fluorku litu i
chlorku sodu
2
Mechanika kwantowa
Równanie de Broglie’a i Einsteina
Poniższe równania wiążą cechy falowe z korpuskularnymi:
Ef =mf c2
Ef =hν
hv= mf c2
równanie de Broglie’a –
wiąże długość fali z pędem
Zakład Biofizyki
3
Mechanika kwantowa
Zasada komplementarności
cechy falowe i korpuskularne uzupełniają się wzajemnie, dając
pełny opis danego obiektu
w danym pomiarze stosuje się tylko jeden model, zatem w tych
samych warunkach nie można stosować obu modeli
dany obiekt fizyczny, rejestrowany w wyniku pewnego rodzaju
oddziaływania, zachowuje się jak cząstka w tym sensie, że jest
zlokalizowany (posiada określoną wielkość, kształt i masę), natomiast
kiedy porusza się – zachowuje się jak fala, która nie jest zlokalizowana,
lecz rozciąga się w przestrzeni
Zakład Biofizyki
4
Mechanika kwantowa
Zasada nieokreśloności
(Zasada nieoznaczoności Heisenberga)
Nie można z dowolnie dużą dokładnością określić obu
wielkości występujących w równaniu tj. pędu i położenia lub
energii i czasu; iloczyn nieokreśloności obu wielkości nie może
być mniejszy od ħ/2 (ħ – h/2π)
h
∆ x∆ p ≥
2
h
∆ E∆ t ≥
2
ħ
jest ona wynikiem dwoistości materii
mało istotna w makroskali
h
∆ x∆ υ ≥
2m
Zakład Biofizyki
Ze wzrostem masy nieoznaczoność staje się mniejsza;
dla ciał makroskopowych nieoznaczoność zanika i
zarówno położenie jak i prędkość ciała mogą być
określone dokładnie
5
Mechanika kwantowa
Zasada nieokreśloności
cd.:
bardzo ważna dla rozważania cząstek elementarnych
Doświadczenie Bohra – wyznaczanie
położenia elektronu
Aby zaobserwować elektron należy go
oświetlić. Fotony oddziałują z cząstką
powodując jej odrzut w wyniku
zjawiska Comptona
Zasada nieoznaczoności odnosi się do
samego procesu pomiaru i wyraża
fakt, że pomiędzy obserwatorem a
obiektem istnieje zawsze pewne oddziaływanie. Nie ma sposobu na
uniknięcie tego oddziaływania lub na uwzględnienie go przed pomiarem.
Zakład Biofizyki
6
Mechanika kwantowa
Paczki fal
Fala materii związana z poruszającym się elektronem składa się z
nieskończonych ciągów falowych. Amplituda takiej fali jest modulowana tak,
że różni się od zera tylko w obszarze przestrzeni w pobliżu cząstki, której ruch
opisuje. Fala materii ma więc postać grupy fal (paczek fal) poruszających się z
tą samą prędkością co rozważana cząstka.
ω ≡ (ω1 + ω 2 ) / 2
∆ω ≡ (ω 2 − ω 1 ) / 2
S (t ) = cos(ω + ∆ω )t + cos(ω − ∆ω )t
korzystając ze związku
S (t ) = 2 cos(∆ωt ) cos ω t = A(t ) cos ω t
otrzymamy
gdzie
cos A + cos B = 2 cos( A−2 B ) cos( A+2 B )
A( t ) = 2 cos(∆ωt )
Zakład Biofizyki
funkcja modulująca (obwiednia)
7
Mechanika kwantowa
Paczki fal- prędkość grupowa
Prędkość paczki fal lub funkcji modulującej nazywa się prędkością grupową
Fala będąca sumą dwóch fal o zbliżonych długościach fali:
y( x , t ) = cos[(ω + ∆ω )t − ( k + ∆k ) x ] + cos[(ω − ∆ω )t − ( k + ∆k ) x ]
gdzie
k = 2π / λ
korzystając ze związku
otrzymamy
średnia liczba falowa
cos A + cos B = 2 cos( A−2 B ) cos( A+2 B )
y( x , t ) = 2 cos[(∆ω )t − ( ∆k ) x ] cos(ω t − k x )
A( x , t ) = 2 cos[(∆ωt − ( ∆k ) x ]
x ∆ω
lub, gdy
(∆ ω t − ∆ k x ) = 0
=
t
∆k
funkcja modulująca
dω
υg =
dk
Zakład Biofizyki
osiąga maksimum gdy
prędkość grupowa
8
Mechanika kwantowa
Paczki fal- prędkość grupowa
Ze związku de Broglie’a wynika, że dla wszystkich cząstek
p=
h 2π
h
k = hk
=
2π λ
2π
gdzie
h=
h
2π
k=
2π
λ
E = hf = h 2πf = hω
Podstawiając powyższe równania do
otrzymamy
υg = υ
Zakład Biofizyki
(hk ) 2
hω =
2m
E = p 2 / 2m
różniczkujemy po k
dω hk p
=
= =υ
dk m m
Oznacza to, że prędkość grupy fal materii jest
równa prędkości cząstki, której ruch opisuje.
9
Mechanika kwantowa
Funkcja falowa
własności falowe cząstki (lub innego obiektu) w mechanice kwantowej opisuje funkcja
falowa Ψ. Jest to w ogólnym przypadku zespolona funkcja współrzędnych przestrzennych
oraz czasu: Ψ(x,y,z,t)
funkcja falowa opisuje prawdopodobieństwo, że jeśli pomiar nastąpił w chwili t to cząstka
znajduje się pomiędzy x i x+dx. Prawdopodobieństwo znalezienia cząstki określa kwadrat
modułu funkcji falowej
∗
Ψ Ψ= Ψ
2
Funkcja gęstości prawdopodobieństwa
napotkania elektronu atomu wodoru dla
pierwszych liczb kwantowych n=1,2,3, z l=0,1,2
Zakład Biofizyki
10
Mechanika kwantowa
Funkcja falowa cd.:
wielkość
Ψ = ∆p / ∆V nazywamy gęstością
prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w chwili t w pewnym punkcie
przestrzeni, w otoczeniu którego wybrano element objętości ∆V
2
wielkość
∫Ψ
2
dV = p
V
gdzie ∆V jest małą objętością w przestrzeni, jest równa
prawdopodobieństwu znalezienia cząstki w chwili t w objętości ∆V
prawdopodobieństwo tego, że cząstka znajduje się „gdziekolwiek”
w przestrzeni wynosi 1.
∫Ψ
2
dV = 1
∞
Warunek powyższy nosi nazwę warunku normalizacji a funkcję Ψ
spełniającą ten warunek nazywamy funkcją unormowaną
Zakład Biofizyki
11
Mechanika kwantowa
Równanie Schrödingera
Funkcję falową Ψ dla danej cząstki
otrzymujemy
rozwiązując
równanie
różniczkowe
nazywane
równaniem
Schrödingera.
Równanie
nazywamy
stacjonarnym, jeśli energia potencjalna
cząstki nie zależy od czasu.
2m
d Ψ
= − 2 [ E − U ( x)]Ψ
2
dx
h
2
Erwin SCHRÖDINGER
(1887 – 1961), fizyk austriacki
Rozwiązaniem tego równania jest możliwe tylko dla pewnych wartości
energii En, które nazywamy wartościami własnymi, a odpowiadające
funkcje Ψn nazywamy funkcjami własnymi.
Zakład Biofizyki
12
Mechanika kwantowa
Przejście cząstek przez bariery potencjału
Rozpraszanie cząstki – próg potencjału
I
U
E
I
I
Uo
0
KLASYCZNIE
x
Cząstka o energii E poruszająca się w obszarze x<0 dozna działania
opóźniającej siły w punkcie x=0
. Działanie to spowolni
cząstkę (wyhamuje) i wejdzie ona w obszar x>0. Jej całkowita energia
pozostanie stała.:
Zakład Biofizyki
13
Mechanika kwantowa
Przejście cząstek przez bariery potencjału
Rozpraszanie cząstki – próg potencjału
I
KWANTOWO
U
E<Uo
II
Uo
0
Obszar I
Rozwiązanie równania ma postać
padającej i odbitej fali de Broglie’a
Ψ1 ( x) = Ae ik1x − Be − ik1x
x
gdzie
A – amplituda fali padającej, B – amplituda fali odbitej
Obszar II
h2 d 2
−
Ψ ( x) + U o Ψ ( x) = EΨ ( x)
2
2m dx
Rozwiązanie równania ma postać
Zakład Biofizyki
Ψ2 ( x) = Ce ik 2 x − De −ik 2 x
gdzie
14
Mechanika kwantowa
Przejście cząstek przez bariery potencjału
Rozpraszanie cząstki – próg potencjału
I
KWANTOWO
U
E<Uo
II
Uo
0
x
Współczynnik odbicia
Dla E<Uo wszystkie cząstki zostają odbite od bariery potencjalnej w postaci schodka
Zakład Biofizyki
15
Mechanika kwantowa
Przejście cząstek przez bariery potencjału
Rozpraszanie cząstki – próg potencjału
U
I
II
KWANTOWO
E>Uo
Uo
0
Obszar I
Rozwiązanie równania ma postać
padającej i odbitej fali de Broglie’a
Ψ1 ( x) = Ae ik1x − Be − ik1x
x
gdzie
A – amplituda fali padającej, B – amplituda fali odbitej
Obszar II
Rozwiązanie
h2 d 2
−
Ψ ( x) + U o Ψ ( x) = EΨ ( x)
2
2m dx
ik x
− ik x
równania ma postać Ψ2 ( x ) = Ce 2 − De 2
gdzie
Jeżeli cząstka pada na barierę potencjału z lewej strony (z obszaru 1, to nie ma w obszarze II
źródeł rozpraszania stąd należy przyjąć D=0
Zakład Biofizyki
16
Mechanika kwantowa
Przejście cząstek przez bariery potencjału
Rozpraszanie cząstki – próg potencjału
U
I
II
KWANTOWO
E>Uo
Uo
0
x
Współczynnik odbicia
Współczynnik przejścia
Zakład Biofizyki
17
Mechanika kwantowa
Przejście cząstek przez bariery potencjału
Bariera potencjału o skończonej szerokości
I
KWANTOWO
U
II
III
Uo
0
L
x
Obszar I
Obszar II
h2 d 2
−
Ψ ( x) + U o Ψ ( x) = EΨ ( x)
2m dx 2
Obszar III
Zakład Biofizyki
18
Mechanika kwantowa
Cząstka w jamie (studni) potencjału
Jeśli energia potencjalna jest równa zeru w obszarze [0,L] a poza nim U0.
(U0 →∞) to taki kształt energii nazywamy jamą (studnią) potencjału.
Równanie Schrödingera ma w tym wypadku postać (U(x)=0)
h2 d 2
−
Ψ ( x ) = EΨ ( x )
2
2m dx
Zakład Biofizyki
19
Mechanika kwantowa
Cząstka w jamie (studni) potencjału
Funkcja falowa cząstki jest superpozycją fali
rozchodzącej się w prawo i w lewo.
Ψ ( x ) = Be ikx − Be − ikx = B(e ikx − e − ikx )
korzystając z
e ikx − e − ikx
sin kx =
2i
otrzymamy
Funkcja Ψ(x) misi spełniać warunki brzegowe:
Ψ ( L) = O ⇔ kL = nπ ⇒ k n = n
Ψ ( 0) = 0
oraz
A = 2 Bi
Ψ ( L) = 0
π
L
W studni potencjału powinna mieścić
się całkowita liczba połówek fal
Ψn ( x ) = A sin( nπ / L) x
Zakład Biofizyki
Ψ( x ) = A sin kx
1
L = n( λ )
2
dla n=1,2,3,…
20
Mechanika kwantowa
Cząstka w jamie (studni) potencjału cd.:
Odpowiadające tym funkcjom pędy:
pn = hk n = n
πh
L
Tym wartościom pędu odpowiadają następujące energie kinetyczne:
pn2
En =
2m
En = n
2 2
π
h
2
2mL
Najmniejsza wartość energii wynosi π2ħ2/(2mL2) (dla n=1) nosi nazwę energii zerowej
a odpowiadająca tej energii funkcja falowa jest dokładnie polówką fali sinusoidalnej
Zakład Biofizyki
21
Mechanika kwantowa
Studnia potencjału o skończonej głębokości
Poziomy energetyczne oraz trzy fale stojące najniższego rzędu (odpowiadające energiom E1,
E2, E3) dla elektronu w studni potencjału o szerokości 10-10m. Linia ciągła-poziomy studni
potencjału o głębokości 800eV; linia przerywana-nieskończenie głęboka studnia potencjału
Zakład Biofizyki
22
Mechanika kwantowa
Oscylator harmoniczny
klasycznie oscylatorem harmonicznym nazywamy cząstkę o masie m
wykonującą jednowymiarowy ruch pod wpływem sprężystej siły F=-kx, gdzie k
jest współczynnikiem sprężystości
w ujęciu klasycznym energia potencjalna takiej cząstki wynosi
U(x) =
kx2
2
=
mω 2 x 2
2
w mechanice
kwantowej
zagadnienie
oscylatora
harmonicznego
rozwiązujemy równaniem Schrödingera; jako energię potencjalną wstawiamy
2
mωkl x 2
U(x) =
2
d 2Ψ
2m
1
2 2
=
−
(E
−
mω
kl x )Ψ
2
2
dx
h
2
Proponowane rozwiązanie
Ψ(x) = e
− ax 2
d 2Ψ
− ax 2
2 2 − ax 2
= −2ae
+ 4a x e
2
dx
Zakład Biofizyki
23
Mechanika kwantowa
Oscylator harmoniczny
( −2a + 4a x )e
2
2
− ax 2
2m
1
2 2
− ax 2
= − 2 (E − mωkl x )e
h
2
Porównujemy współczynniki przy x2
2 2
m
ω
mωkl
4a 2 = 2 kl → a =
h
2h
Porównujemy wyrazy stałe
wówczas
Ψ1 ( x ) = e
2mE
− 2a = − 2
h
1
E = hω kl
2
− ( m ω kl / 2 h ) x 2
Fala następnego rzędu ma postać:
Ψ2 ( x ) = xe
Zakład Biofizyki
− ( m ω kl / 2 h ) x 2
Z energią własną:
3
E = hω kl
2
24
Mechanika kwantowa
Oscylator harmoniczny
Różnica pomiędzy dwoma przyległymi poziomami wynosi
E 2 − E 1 = hω
Uogólniając, wzór na wartości własne ma postać:
1
E n = ( n − )hω kl
2
W fizyce klasycznej energia cząstki może mieć każda wartość nie
wyłączając zera. W teorii kwantowej możliwe są tylko dozwolone
wartości energii
Zakład Biofizyki
25
Mechanika kwantowa
Zastosowania
Reakcja fuzji termojądrowej, jądra
deuteru i trytu łączą się, powstaje
jądro helu, neutron i wydzielana jest
energia
Fuzja jądrowa będąca źródłem energii Słońca
zachodzi w dużym stopniu dzięki zjawisku
tunelowemu. Zjawisko to umożliwia pokonanie
bariery odpychania kulombowskiego jąder
atomów w temperaturze niższej, niż wynikałoby
to z praw termodynamiki. Efekt tunelowy
stwarza również nadzieje na obniżenie
temperatury fuzji przeprowadzanej w sposób
kontrolowany.
Źródło: Wikipedia
Zakład Biofizyki
26
Mechanika kwantowa
Zastosowania
Dzięki zjawisku tunelowemu następuje
emisja cząstek α w procesie rozpadu
promieniotwórczego masywnych jąder
atomowych.
Rozpad α
Źródło: www.libray.thinkquest.org
Zakład Biofizyki
27
Mechanika kwantowa
Zastosowania
We współczesnej technice na zjawisku tunelowym oparte jest funkcjonowanie
wielu półprzewodnikowych elementów elektronicznych (np. dioda tunelowa)
oraz urządzeń takich jak skaningowy mikroskop tunelowy.
DIODA
DIODA TUNELOWA
Źródło: www.marekwierzbicki.cba.pl
Zakład Biofizyki
28