Rozdzia l 9. Logika klasyczna

Rozdzial 9. Logika klasyczna
§1. Logika klasyczna zdefiniowana aksjomatycznie
Logika klasyczna `CL jest zdefiniowana na standardowym jȩzyku zdaniowym
przez aksjomatykȩ: CL = (I − {(¬2)}) ∪ {(¬3)}, gdzie regula (¬3) jest postaci:
(¬3) ¬α ∨ α
lub przez aksjomatyki: I ∪ {(¬3)}, ba̧dź I ∪ {(¬4)}, gdzie (¬4) jest postaci:
(¬4) ¬¬α → α.
Bowiem po pierwsze, (¬2) jest regula̧ konsekwencji `CL :
α → ¬α,
¬α → ¬α (H0),
(¬α → ¬α) → ((α → ¬α) → ((¬α ∨ α) → ¬α)) (∨3),
¬α ∨ α (¬3),
¬α (M P ),
zatem na mocy twierdzenia o dedukcji (naturalnie spelnionego dla konsekwencji
`CL ) mamy: `CL (α → ¬α) → ¬α. Wynika sta̧d, iż (¬2) ∈ R(`CL ), co dalej,
z określenia aksjomatyki CL implikuje, że I ⊆ R(`CL ). Tak wiȩc, na mocy
Tw.5.11(1) i Tw.5.14: `I ⊆ `CL . Ponieważ (¬3) ∈ CL, czyli wedlug Tw.5.12:
(¬3) ∈ R(`CL ), wiȩc również I ∪ {(¬3)} ⊆ R(`CL ), zatem mamy: `I∪{(¬3)} ⊆
`CL . Po drugie, z określenia zbioru regul CL mamy: CL ⊆ I ∪ {¬3)}. Zatem
(Tw.5.11(1)): `CL ⊆ `I∪{(¬3)} . Ostatecznie, `I∪{(¬3)} = `CL .
Po trzecie, (¬4) jest regula̧ logiki `CL :
¬¬α,
¬¬α → (¬α → α) (¬1),
¬α → α (M P ),
α → α (H0),
(¬α → α) → ((α → α) → ((¬α ∨ α) → α)) (∨3),
¬α ∨ α (¬3),
α (M P ).
Zatem z twierdzenia o dedukcji: `CL ¬¬α → α. Wobec tego: I ∪ {(¬4)} ⊆
R(`CL ), czyli `I∪{(¬4)} ⊆ `CL . Z drugiej strony, aby wykazać, że `CL ⊆
`I∪{(¬4)} wystarcza dowieść, że (¬3) jest regula̧ konsekwencji `I∪{(¬4)} . Rzeczywiście, cia̧g:
¬¬(¬α ∨ α) → (¬α ∨ α) (¬4),
¬¬(¬α ∨ α) (I13),
¬α ∨ α (M P ),
jest uzasadnieniem dla faktu: `I∪{(¬4)} ¬α ∨ α. Ostatecznie, `I∪{(¬4)} = `CL .
§1. Logika klasyczna zdefiniowana aksjomatycznie
2
Spójniki →, ∧, ∨ sa̧ w logice klasycznej identycznie charakteryzowane jak w
logice intuicjonistycznej, tzn. odpowiednio tak jak w Tw.8.2. W szczególności
uogólnijmy charakterystykȩ koniunkcji nastȩpuja̧co:
Twierdzenie 9.1: Dla dowolnych formul β, α1 , α2 , . . . , αn : {α1 ∧ α2 ∧ . . . ∧
αn } `CL β wtw {α1 , α2 , . . . , αn } `CL β, gdzie α1 ∧ α2 ∧ . . . ∧ αn = (. . . (α1 ∧
α2 ) ∧ . . .) ∧ αn .
Dowód: Prosty dowód indukcyjny ze wzglȩdu na ilość koniunktów pomijamy. 2
Również prawdziwy jest odpowiednik Tw.8.3:
Twierdzenie 9.2: Dla dowolnych X ⊆ L : X jest `CL −sprzeczny wtw dla
pewnej α ∈ L, X `CL α oraz X `CL ¬α.
Naturalnie odpowiednik Tw.8.4:
Twierdzenie 9.3: Dla dowolnych X ⊆ L, α ∈ L : X `CL ¬α wtw X ∪ {α}
jest `CL −sprzeczny.
jest prawdziwy, lecz pelniej klasyczna̧ negacjȩ charakteryzuje
Twierdzenie 9.4: Dla dowolnych X ⊆ L, α ∈ L : X `CL α wtw X ∪ {¬α}
jest `CL −sprzeczny.
Dowód: (⇒): Zalóżmy, że X `CL α. Wówczas na mocy warunku (2) definicji
konsekwencji otrzymujemy: X ∪ {¬α} `CL α. Ponieważ wedlug warunku (1)
definicji konsekwencji: X ∪ {¬α} `CL ¬α, wiȩc na mocy Tw.9.2, zbiór X ∪ {¬α}
jest `CL −sprzeczny.
(⇐): Zalóżmy, że X ∪ {¬α} jest `CL −sprzeczny. Wówczas oczywiście
X ∪ {¬α} `CL α. Zatem na mocy twierdzenia o dedukcji: X `CL ¬α → α.
Niech wiȩc α1 , . . . , αn , ¬α → α bȩdzie dowodem formuly ¬α → α ze zbioru X
na gruncie regul z CL. Wówczas cia̧g α1 , . . . , αn , ¬α → α, α → α (H0), ¬α ∨
α (¬3), (¬α → α) → ((α → α) → ((¬α ∨ α) → α)) (∨3), α (M P ), jest dowodem
formuly α ze zbioru X na gruncie regul z CL. Ostatecznie, X `CL α. 2
Zauważmy, że w ogólności warunek: X ∪ {¬α} jest `I −sprzeczny, nie implikuje faktu: X `I α, np. zbiór formul {¬¬p, ¬p} jest `I −sprzeczny (por.
Tw.8.3), lecz nie jest prawda̧, że {¬¬p} `I p, bo 6`I ¬¬p → p.
Twierdzenie o niesprzeczności dla `CL : Zbiór formul jest `CL −niesprzeczny wtw każdy jego skończony podzbiór jest `CL −niesprzeczny.
Dowód: Analogiczny jak twierdzenia o niesprzeczności dla logiki `I . 2
§2. Pewne zwia̧zki miȩdzy logikami klasyczna̧ i intuicjonistyczna̧
3
Lemat fundamentalny dla `CL : Dla dowolnych X ∈ RM ax(`CL ), α, β ∈ L:
(∧) α ∧ β ∈ X wtw α ∈ X oraz β ∈ X,
(∨) α ∨ β ∈ X wtw α ∈ X lub β ∈ X,
(¬) ¬α ∈ X wtw α 6∈ X,
(→) α → β ∈ X wtw α 6∈ X lub β ∈ X.
Dowód: Warunki (∧), (∨) dowodzi siȩ identycznie jak w dowodzie lematu fundamentalnego dla `I .
Dla (¬)(⇒): Zalóżmy, że ¬α, α ∈ X. Niech γ bȩdzie formula̧, ze wzglȩdu
na która̧ teoria X jest maksymalna. Ponieważ X jest zamkniȩty na reguly
(¬1), (M P ), wiȩc w szczególności ¬α → (α → γ) ∈ X, zatem γ ∈ X, co jest
niemożliwe.
Dla (¬)(⇐): Zalóżmy, że α 6∈ X. Ponieważ X jest zamkniȩty na regulȩ (¬3),
wiȩc ¬α ∨ α ∈ X. Zatem wedlug warunku (∨) : ¬α ∈ X lub α ∈ X, co wobec
zalożenia implikuje: ¬α ∈ X.
Dla (→)(⇒): Dziȩki temu, iż X jest zamkniȩty na (M P ).
Dla (→)(⇐): Zalóżmy, że α 6∈ X. Wówczas z warunku (¬) : ¬α ∈ X
Ponieważ z (¬1) mamy: ¬α → (α → β) ∈ X oraz X jest zamkniȩty na (M P ),
wiȩc α → β ∈ X. Przypuśćmy, że β ∈ X. Ponieważ β → (α → β) ∈ X (X jest
zamkniȩty na (H1)), wiȩc α → β ∈ X. 2
§2. Pewne zwia̧zki miȩdzy logikami klasyczna̧ i intuicjonistyczna̧
Na podstawie rozważań na pocza̧tku niniejszego rozdzialu jest oczywiste, że
`I ⊆ `CL oraz `I 6= `CL .
Twierdzenie Gliwienki: ∀α ∈ L (`CL α ⇒ `I ¬¬α).
Dowód: Zauważmy, że gdy α jest aksjomatem jednej z regul aksjomatycznych
(należa̧cych do CL ∩ I) (H1), (H2), (∧1), (∧2), (∧3), (∨1), (∨2), (∨3), (¬1), to
`I ¬¬α, bo `I α → ¬¬α oraz zbiór tez logiki intuicjonistycznej jest zamkniȩty
na (M P ). Ponadto `I ¬¬(¬α ∨ α). Również, latwo to sprawdzić, dla dowolnych formul α, β ∈ L zachodzi: {¬¬α, ¬¬(α → β)} `I ¬¬β, tzn. regula̧
konsekwencji `I jest: ¬¬α, ¬¬(α → β)/¬¬β. Te trzy fakty świadcza̧ o tym,
że dowolny dowód α1 , α2 , . . . , αn , α formuly α z pustego zbioru formul wedlug
regul z CL można przeksztalcić w dowód: ¬¬α1 , ¬¬α2 , . . . , ¬¬αn , ¬¬α formuly
¬¬α z pustego zbioru formul wedlug regul z I. 2
Wniosek 1: ∀α ∈ L (`CL ¬α wtw `I ¬α).
Dowód: (⇐): Oczywisty, bo `I ⊆ `CL .
(⇒): Zalóżmy, że `CL ¬α. Wówczas, na mocy twierdzenia Gliwienki:
`I ¬¬¬α. Lecz, co latwo sprawdzić, dla dowolnej formuly α zachodzi:
`I ¬¬¬α → ¬α. Zatem, biora̧c pod uwagȩ (M P ) otrzymujemy: `I ¬α. 2
Wniosek 2: Dla dowolnej formuly α : {α} jest `I −sprzeczny wtw {α} jest
`CL −sprzeczny.
§3. Adekwatność ze wzglȩdu na semantykȩ waluayjna̧
4
Dowód: (⇒): Oczywisty, bo `I ⊆ `CL .
(⇐): Przypuśćmy, że {α} jest `CL −sprzeczny. Wówczas na mocy Tw.9.3:
`CL ¬α. Zatem wedlug Wniosku 1: `I ¬α, co na podstawie Tw.8.4 implikuje:
{α} jest `I −sprzeczny. 2
Twierdzenie 9.5: Dla dowolnego X ⊆ L : X jest `CL −sprzeczny wtw X
jest `I −sprzeczny.
Dowód: (⇐): Oczywisty.
(⇒): Zalóżmy, że X jest `CL −sprzeczny. Wówczas na mocy twierdzenia
o niesprzeczności dla `CL , istnieje skończony Y ⊆ X taki, że Y jest `CL
−sprzeczny. Polóżmy Y = {α1 , . . . , αn }. Wedlug Tw.9.1: {α1 ∧ . . . ∧ αn } jest
`CL −sprzeczny. Zatem na mocy Wniosku 2: {α1 ∧. . .∧αn } jest `I −sprzeczny.
Ponieważ odpowiednik Tw.9.1 dla konsekwencji `I jest prawdziwy (identyczny
do dowodu Tw.9.1 jest jego dowód), wiȩc zbiór {α1 , . . . , αn } jest `I −sprzeczny,
tzn. Y jest `I −sprzeczny i w konsekwencji X jest `I −sprzeczny. 2
§3. Adekwatność ze wzglȩdu na semantykȩ waluacyjna̧
Semantyczna wersja logiki klasycznej: |=cl , zostala zdefiniowana w Przykladzie 5.2. Dla dowolnych X ⊆ L, α ∈ L:
→
X |=cl α wtw ∀v ∈ V alcl ( v (X) ⊆ {1} ⇒ v(α) = 1),
gdzie V alcl jest zbiorem wszystkich waluacji klasycznych, a wiȩc funkcji v :
L −→ {0, 1} spelniaja̧cych dla dowolnych α, β ∈ L warunki:
v(¬α) = 1 wtw v(α) = 0,
v(α ∧ β) = 1 wtw v(α) = v(β) = 1,
(v(α ∨ β) = 0 wtw v(α) = v(β) = 0,
(v(α → β) = 0 wtw v(α) = 1 oraz v(β) = 0.
Sprawdzaja̧c fakt, że wszystkie elementy zbioru CL sa̧ regulami konsekwencji
|=cl otrzymujemy:
Twierdzenie o przystosowaniu dla `CL : `CL ⊆ |=cl .
Aby dowieść twierdzenia o pelności aksjomatyki CL wzglȩdem semantyki
waluacyjnej V alcl sformulujmy najpierw:
Lemat glówny: Dla dowolnej teorii X ∈ RM ax(`CL ), funkcja charakterystyczna vX teorii X jako podzbioru zbioru L, tzn. przeksztalcaja̧ca zbiór wszystkich
formul L w {0, 1} określona nastȩpuja̧co: vX (α) = 1, gdy α ∈ X oraz vX (α) = 0,
gdy α 6∈ X, jest klasyczna̧ waluacja̧ (tzn. należy do V alcl ).
Dowód: Niech X ∈ RM ax(`CL ). Naturalnie dla funkcji vX zachodzi zwia̧zek:
∀α ∈ L (vX (α) = 1 wtw α ∈ X).
§4. Metalogiczne twierdzenia dla logiki klasycznej
5
Niech α ∈ L. Wówczas vX (¬α) = 1 wtw ¬α ∈ X wtw α 6∈ X wtw v(α) = 0,
na mocy lematu fundamentalnego dla `CL , warunek (¬).
Analogicznie, korzystaja̧c z warunku (∧) tego lematu, sprawdzamy warunek
dla koniunkcji: vX (α ∧ β) = 1 wtw α ∧ β ∈ X wtw α ∈ X oraz β ∈ X wtw
vX (α) = 1 oraz vX (β) = 1.
Warunki dotycza̧ce alternatywy i implikacji wykazujemy analogicznie. 2
Twierdzenie o pelności: |=cl ⊆ `CL .
Dowód: Zalóżmy, że dla jakichś X ⊆ L, α ∈ L zachodzi: X 6`CL α. Na
mocy lematu Lindenbauma, niech Y ∈ RM ax(`CL ) bȩdzie taki, że X ⊆ Y oraz
→
α 6∈ Y . Wówczas vY (X) ⊆ {1} oraz vY (α) = 0, zaś wedlug lematu glównego
vY ∈ V alcl . Dowodzi to tego, iż X 6|=cl α. 2
§4. Metalogiczne twierdzenia dla logiki klasycznej
Powiemy, że zbiór formul X jest spelnialny, gdy dla pewnej waluacji v ∈
→
V alcl , v (X) ⊆ {1}, czyli ∀β ∈ X, v(β) = 1. Formula α jest spelnialna, gdy
zbiór {α} jest spelnialny.
W dalszym cia̧gu opuszczamy symbol ”`CL ” w sformulowaniach `CL −niesprzeczny, `CL −sprzeczny.
Twierdzenie 9.6: Nastȩpuja̧ce warunki sa̧ równoważne:
(i) slabe twierdzenie o adekwatności: ∀α ∈ L (`CL α wtw |=cl α),
(ii) dla dowolnej α ∈ L (6`CL ¬α wtw α jest spelnialna),
(iii) dla dowolnej α ∈ L (α jest niesprzeczna wtw α jest spelnialna),
(iv) skończony zbiór formul jest niesprzeczny wtw jest on spelnialny.
Dowód: (i) ⇒ (ii): Zalóżmy (i). Niech α ∈ L. Wówczas 6`CL ¬α wtw 6|=cl ¬α
wtw dla pewnej v ∈ V alcl : v(¬α) = 0 wtw dla pewnej v ∈ V alcl : v(α) = 1
wtw α jest spelnialna.
(ii) ⇒ (i): Zalóżmy (ii). Wówczas na podstawie (M P ) i tez: `CL α →
¬¬α, `CL ¬¬α → α oraz z (ii) otrzymujemy: `CL α wtw `CL ¬¬α wtw ¬α nie
jest spelnialna wtw ∀v ∈ V alcl : v(¬α) = 0 wtw ∀v ∈ V alcl : v(α) = 1 wtw
|=cl α.
(ii) ⇔ (iii): Warunek: 6`CL ¬α jest na mocy Tw.9.3 równoważny wyrażeniu:
α jest niesprzeczna.
(iii) ⇒ (iv): Zalóżmy (iii). Niech X = {α1 , . . . , αn }. Wówczas na mocy
Tw.9.1 i (iii) : X jest niesprzeczny wtw α1 ∧ . . . ∧ αn jest niesprzeczna wtw
α1 ∧ . . . ∧ αn jest spelnialna wtw X jest spelnialny.
(iv) ⇒ (iii): Warunek (iii) jest szczególnym przypadkiem warunku (iv) –
gdy zbiór, o którym mowa w (iv) jest 1-elementowy. 2
§4. Metalogiczne twierdzenia dla logiki klasycznej
6
Twierdzenie 9.7: Nastȩpuja̧ce warunki sa̧ równoważne:
(i) silne twierdzenie o adekwatności: ∀X ⊆ L ∀α ∈ L (X `CL α wtw
X |=cl α),
(ii) zbiór formul jest niesprzeczny wtw jest on spelnialny.
Dowód: (i) ⇒ (ii): Zalóżmy (i). Wówczas zbiór formul X jest niesprzeczny
wtw ∃α ∈ L : X 6`CL α wtw ∃α ∈ L : X 6|=cl α wtw dla pewnej v ∈ V alcl :
→
v (X) ⊆ {1} wtw X jest spelnialny.
(ii) ⇒ (i): Zalóżmy (ii). Wówczas na mocy Tw.9.4: X `CL α wtw X ∪{¬α}
jest sprzeczny wtw X ∪ {¬α} nie jest spelnialny.
→
(⇒): Zalóżmy, że X `CL α oraz że v (X) ⊆ {1}. Wówczas na mocy rozumowania powyżej otrzymujemy: X ∪ {¬α} nie jest spelnialny, sta̧d v(¬α) = 0,
zatem v(α) = 1, co dowodzi, że X |=cl α.
(⇐): Zalóżmy że X 6`CL α. Wówczas na mocy rozumowania powyżej mamy:
→
X ∪ {¬α} jest spelnialny, zatem dla pewnej v ∈ V alcl : v (X) ⊆ {1} oraz
cl
v(¬α) = 1, czyli v(α) = 0, co dowodzi tego, iż X 6|= α. 2
Twierdzenie o zwartości: Zbiór formul jest spelnialny wtw każdy jego skończony podzbiór jest spelnialny.
Twierdzenie 9.8: Silne twierdzenie o adekwatności implikuje twierdzenie o
zwartości.
Dowód: Zalóżmy silne twierdzenie o adekwatności w wersji (ii) z Tw.9.7.
Wówczas, na mocy twierdzenia o niesprzeczności, dla dowolnego zbioru formul
X : X jest spelnialny wtw X jest niesprzeczny wtw każdy jego skończony
podzbiór jest niesprzeczny wtw każdy jego skończony podzbiór jest spelnialny.
2
Twierdzenie 9.9: Slabe twierdzenie o adekwatności wraz z twierdzeniem o
zwartości implikuja̧ silne twierdzenie o adekwatności.
Dowód: Zalóżmy twierdzenie o zwartości oraz slabe twierdzenie o adekwatności
w wersji (iv) z Tw.9.6. Wówczas na mocy twierdzenia o niesprzeczności otrzymujemy silne twierdzenie o adekwatności w wersji (ii) z Tw.9.7: zbiór X jest
niesprzeczny wtw każdy jego skończony podzbiór jest niesprzeczny wtw każdy
jego skończony podzbiór jest spelnialny wtw X jest spelnialny. 2
Twierdzenie 9.10: Relacja konsekwencji |=cl jest elementem maksymalnym
w zbiorze czȩściowo uporza̧dkowanym < Cons(L) − {`L }, ⊆> wszystkich strukturalnych konsekwencji na jȩzyku L = (L, ∧, ∨, →, ¬), różnych od konsekwencji
sprzecznej.
Dowód: Zalóżmy, że |=cl nie jest maksymalna w < Cons(L)−{`L }, ⊆>. Zatem
dla pewnej strukturalnej konsekwencji ` =
6 `L zachodzi: |=cl ⊆ ` oraz |=cl 6= `.
Niech wiȩc dla pewnych X ⊆ L, α ∈ L : X 6|=cl α oraz X ` α. Istnieje wiȩc
waluacja v0 ∈ V alcl taka, że ∀β ∈ X, v0 (β) = 1, oraz v0 (α) = 0.
§5. Semantyka algebraiczna dla logiki klasycznej
7
Niech e : V ar −→ L bȩdzie podstawieniem określonym nastȩpuja̧co:
∀q ∈ V ar, e(q) = p → p, gdy v0 (q) = 1 oraz e(q) = ¬(p → p), gdy v0 (q) = 0,
gdzie p jest ustalona̧ zmienna̧ zdaniowa̧. Wówczas dla dowolnej γ ∈ L zachodzi:
v0 (γ) = 1 ⇒ ∀v ∈ V alcl , v(e(γ)) = 1,
v0 (γ) = 0 ⇒ ∀v ∈ V alcl , v(e(γ)) = 0.
Zatem ∀β ∈ X, |=cl β oraz formula e(α) nie jest spelnialna, tzn. jest
→
`CL −sprzeczna. Konsekwentnie, e (X) ⊆ {γ ∈ L : |=cl γ} ⊆ {γ ∈ L : ` γ}.
→
Lecz e (X) ` e(α), bo ` jest strukturalna, zatem {γ ∈ L : ` γ} ` e(α), na mocy
warunku (2) definicji konsekwencji, co z kolei daje wynik: e(α) ∈ {γ ∈ L : ` γ}
(bo {γ ∈ L : ` γ} ∈ T h(`)). Sta̧d inkluzja: {e(α)} ⊆ {γ ∈ L : ` γ}. Lecz
zbiór {e(α)} jest `CL −sprzeczny. Zatem zbiór tez {γ ∈ L : ` γ} logiki `
jest `CL −sprzeczny. Wobec zwia̧zku: `CL = |=cl ⊆ ` ostatecznie otrzymujemy: zbiór {γ ∈ L : ` γ} jest ` −sprzeczny, co oznacza, iż ` = `L , a to jest
niemożliwe. 2
§5. Semantyka algebraiczna dla logiki klasycznej
Niech Mcl bȩdzie klasa̧ wszystkich matryc m = < (A, ∧, ∨, →, −), {1} >
takich, że (A, ∧, ∨, →, −) jest algebra̧ Boole’a oraz 1 jest jedynka̧ tej algebry.
Twierdzenie o przystosowaniu: `CL ⊆ |=Mcl .
Dowód: Ponieważ dowolna algebra Boole’a jest algebra̧ Heytinga, wiȩc w
dowodzie twierdzenia o przystosowaniu dla aksjomatyki I wykazano tym samym,
że każda regula ze zbioru CL − {(¬3)} jest regula̧ logiki |=Mcl . Natomiast fakt,
że (¬3) jest regula̧ tej logiki jest zupelnie oczywisty, skoro w dowolnej algebrze
Boole’a, dla dowolnego jej elementu x : −x ∨ x = 1. 2
Lemat fundamentalny algebraiczny dla `CL : Dla dowolnej teorii Y ∈
T h(`CL ):
(i) relacja ρ określona na L nastȩpuja̧co: < α, β > ∈ ρ wtw α → β ∈ Y ,
jest zwrotna i przechodnia,
(ii) relacja ≈Y określona na L jak nastȩpuje: α ≈Y β wtw α → β, β → α ∈
Y , jest relacja̧ równoważności oraz relacja ≤ określona na zbiorze ilorazowym
L/≈Y nastȩpuja̧co: [α] ≤ [β] wtw α → β ∈ Y , jest czȩściowo porza̧dkuja̧ca,
(iii) dla dowolnej β ∈ L : [β] = Y wtw β ∈ Y , tzn., Y /≈Y = {Y },
(iv) zbiór czȩściowo uporza̧dkowany < L/ ≈Y , ≤> jest algebra̧ Boole’a, z
nastȩpuja̧cymi operacjami, kresu dolnego: [α] ∧ [β] = [α ∧ β], kresu górnego:
[α] ∨ [β] = [α ∨ β], relatywnego pseudo-uzupelnienia: [α] → [β] = [α → β],
uzupelnienia: −[α] = [¬α], w której jedynka̧ jest zbiór Y , zaś zerem klasa abstrakcji: [¬α ∧ α], dowolna α ∈ L.
Dowód: Niech Y ∈ T h(`CL ). Warunki (i), (ii), (iii) dowodzi siȩ identycznie jak
dla lematu fundamentalnego algebraicznego dla implikacyjnej logiki Hilberta.
Dla (iv): Wykazanie, że zbiór czȩściowo uporza̧dkowany < L/≈Y , ≤> jest
krata̧ implikatywna̧ z operacjami ∧, ∨, → określonymi w lemacie, przebiega iden-
§5. Semantyka algebraiczna dla logiki klasycznej
8
tycznie jak w dowodzie lematu fundamentalnego algebraicznego dla `I . Ponadto, na mocy (I6) (jako tezy logiki `CL ) mamy: ¬α ∧ α → β ∈ Y , zatem
wedlug (ii) : [¬α ∧ α] ≤ [β] dla dowolnej formuly β. Zatem [¬α ∧ α] = 0
(element najmniejszy w < L/≈Y , ≤>), sta̧d również
(1) [¬α] ∧ [α] = 0.
Z drugiej strony, na mocy (¬3) mamy:
(2) ¬α ∨ α ∈ Y ,
zaś wedlug (H1): dla dowolnej formuly β : (¬α ∨ α) → (β → (¬α ∨ α)) ∈ Y ,
co dziȩki (M P ) implikuje: β → (¬α ∨ α) ∈ Y . Wobec (ii) otrzymujemy:
[β] ≤ [¬α ∨ α], czyli
(3) [¬α ∨ α] = 1 (element najwiȩkszy w < L/≈Y , ≤>).
Z (3) mamy również:
(4) [¬α] ∨ [α] = 1.
Wobec faktu, że każda krata implikatywna jest dystrybutywna (Tw.2.5) oraz
Tw.1.28 z (1) i (4) otrzymujemy: [¬α] = −[α].
Ponadto z (2) na mocy (iii) mamy natychmiast: [¬α ∨ α] = Y , co wraz z
(3) implikuje wynik: Y = 1. 2