DYNAMIKA

DYNAMIKA
1. Wyznacz przyspieszenie z jakim poruszają się masy. Dane są: współczynnik tarcia k = 0,5; m = 1 kg; F = 36 N.
2. Oblicz z jakim przyspieszeniem zsuwa się z równi o kącie nachylenia 60 ciało, którego współczynnik tarcia o
podłoże jest równy 0,22.
3. Z górki o kącie nachylenia 30 i długości stoku 150 m zaczyna zjeżdżać na sankach dziecko. Oblicz
a) ile czasu będzie trwał zjazd i jaką prędkość uzyska dziecko u podnóża górki, jeśli współczynnik tarcia sanek o
śnieg jest równy 0,15; pomiń opory powietrza.
b) okazało się, uwzględniając opory powietrza, że dziecko osiągnęło maksymalną prędkość 14 m/s, po przebyciu 80 m
i dalej poruszało się ruchem jednostajnym. Oblicz współczynnik oporu* powietrza, średnie przyspieszenie na
odcinku 80 m i czas zjazdu. Przyjmij, że masa sanek z dzieckiem wynosiła 20 kg.
* Przyjmij, że siłę oporu powietrza może opisać wzór F= v, gdzie jest współczynnikiem oporu, a v prędkością
ciała.
4. Jakie musi być minimalne przyspieszenie a0 aby ciało:
a) zaczęło się wznosić w górę jeśli współczynnik tarcia jest równy 0.8 i =30
b) przestało się zsuwać po równi jeśli współczynnik tarcia jest równy 0.1 i =60 .
5. Znaleźć współczynnik tarcia między równią pochyłą i poruszającym się po niej ciałem, jeżeli wiadomo, że ciało
wznosząc się wzdłuż równi pochyłej z szybkością początkową 6 m/s przebywa drogę 2m. Kąt nachylenia równi jest
równy 30 .
6. Cienką i nierozciągliwą nić przerzucono przez blok nieruchomy. Na końcach tej nici zawieszono 2 ciężarki o masach
200 g i 400 g i puszczono. Jaką drogę przebędzie każdy z ciężarków w czasie 2 s? Założyć, że nić ślizga się po bloku
bez tarcia.
7. Ciężar o masie m podnoszony jest w górę za pomocą
8. Wyznaczyć wskazania dynamometrów A i B i
układu 2 bloków: ruchomego i nieruchomego.
przyspieszenia mas w układzie przedstawionym na
Znaleźć przyspieszenie ciężaru, jeżeli do końca nici
rysunku obok. Masy nici i bloków zaniedbać. m1=2kg,
przerzuconej przez blok nieruchomy przyłożona jest
m2=9kg.
siła F. Masy nici i bloków zaniedbać.
9. Oblicz przyspieszenia mas podanych w kg na rysunkach względem podłoża w sytuacjach przedstawionych na
rysunkach. Pozostałe dane podane są również na rysunkach:
10. Do dynamometru zawieszonego w windzie przymocowano ciężar o masie 5 kg. Winda wznosi się w górę. Znaleźć
przyspieszenie windy, zakładając że jest ono (co do wartości bezwzględnej) jednakowe podczas startu i hamowania,
jeżeli wiadomo, że wskazanie dynamometru podczas startu jest o 15 N większe niż podczas hamowania.
1
11. Jaki jest współczynnik tarcia opon o asfalt, jeśli samochód wypadł z zakrętu o promieniu 30 m przy prędkości 100
km/h? Narysuj i nazwij siły działające na samochód.
12. Współczynnik tarcia opon samochodu o asfalt jest równy 1. Samochód ten pokonuje zakręt po suchym asfalcie z
maksymalną prędkością 110 km/h. Z jaką prędkością samochód pokona ten sam zakręt po deszczu, gdy
współczynnik tarcia zmaleje o 40%? Narysuj i nazwij siły działające na samochód.
13. Poziomy krążek obraca się wokół pionowej osi przechodzącej przez jego środek. Na krążku tym leży ciężar w
odległości 10 cm od osi obrotu, Znaleźć współczynnik tarcia statycznego między ciężarem i krążkiem, jeżeli
wiadomo, że ciężarek zacznie się ślizgać po powierzchni krążka przy częstości obrotów 0.5 s-1.
14. Z jaką najmniejszą szybkością może jechać motocyklista po wewnętrznej stronie pionowej powierzchni walcowej o
promieniu 10 m, jeżeli współczynnik tarcia między oponami i powierzchnią ściany jest równy 0.5, a środek ciężkości
motocykla wraz z motocyklistą znajduje się w odległości 1m od ściany?
15. Kamień przywiązany do sznurka o długości L = 50 cm jest obracany ruchem jednostajnym w płaszczyźnie pionowej.
Obliczyć przy jakiej liczbie obrotów na sekundę sznurek pęknie, jeśli zrywa się on pod działaniem siły równej
dziesięciokrotnemu ciężarowi kamienia.
16. Dwie łódki o takiej samej masie 100 kg płyną jedna za drugą z prędkościami 2 m/s. W pewnej chwili z 1 łódki
przerzucono na drugą ciało o masie 5 kg z prędkością 6 m/s względem łódki a gdy spadło na łódkę odrzucono je z
powrotem z taką samą prędkością względem łódki. Wyznaczyć końcowe prędkości łódek
17. Dwie łódki o masach 150kg płyną naprzeciw siebie z prędkościami 3 m/s. W momencie mijania człowiek z 1 łódki
upuścił na drugą ciężar o masie 30 kg. Wyznaczyć prędkości końcowe łódek.
18. Na krawędzi murku o wysokości 2m leży klocek o masie 3 kg. W pewnej chwili w klocek uderzył pocisk o masie 20
g lecący poziomo z prędkością 50 m/s i utkwił w nim. W jakiej odległości od murku spadnie klocek?
19. Piłkę o masie 200g puszczono z wysokości 5 m. Na jaką wysokość wzniesie się piłka po odbiciu od ziemi, jeżeli
ziemia zadziałała na piłkę siłą 10 N w czasie 0.3 s?
20. Piłka o masie 200 g poruszająca się z szybkością 9 m/s zderza się ze ścianą tak, że kąt między kierunkami ruchu i
jest 60 . Znaleźć czas trwania zderzenie, jeżeli średnia siła zderzenia jest równa 20 N i jest ono doskonale sprężyste.
21. Do platformy wagonu przymocowano działo bez urządzenia odrzutowego. Z działa tego wystrzelono wzdłuż torów
kolejowych pocisk pod kątem 45 do poziomu. Droga odrzutu działa 3m. Znaleźć szybkość początkową pocisku,
jeżeli wiadomo, że masa platformy z działem jest równa 20 000 kg. Masa pocisku 10 kg a efektywny współczynnik
tarcia kół wagonu o szyny 0.002.
22. Młot o masie 20 kg spada swobodnie z wysokości 1.2 m na kowadło. Jaką średnią siłą działa podczas zderzenia młot
na kowadło, jeżeli zderzenie jest doskonale niesprężyste i trwa 0.005 s?
23. Z jakiej najmniejszej wysokości musi zsuwać się ciało, aby pokonać pętlę jak na rysunku?
24. Kulka o masie 20g lecąca poziomo z prędkością 100 m/s uderzyła w wahadło balistyczne o masie 5 kg i długości 1.5
m i utkwiła w nim. Oblicz, o jaki kąt odchyliło się wahadło i ile wydzieliło się ciepła w wyniku tego zderzenia?
25. Na cienkiej nici o długości 2 m zawieszono pistolet tak, że jego lufa skierowana była poziomo. Jaki będzie
maksymalny kąt wychylenia nici po wystrzale, jeżeli kula o masie 15 g przy wylocie lufy miała szybkość 80 m/s.
Masa pistoletu 1.8 kg.
26. Kulka o masie 50 g poruszająca się poziomo uderza w powierzchnię klina o masie 3 kg tak, że odskakuje pionowo
do góry na wysokość 1.2 m. Zakładając, że zderzenie jest doskonale sprężyste, znaleźć szybkość, jaką uzyskał klin w
wyniku zderzenia. Nie uwzględniać tarcia klina o powierzchnię poziomą po której się przesuwa.
27. Młotek o masie M w chwili uderzenia o główkę gwoździa ma szybkość v i wbija go na głębokość h. Jaki ciężar
należałoby położyć na główkę gwoździa, aby uzyskać ten sam wynik?
28. Dwie kule o masach 1 kg i 4 kg zawieszone są na dwóch równoległych niciach o długości 1 m i stykają się ze sobą.
Kula o masie 1kg została odchylona o kąt 90 od początkowego położenia i puszczona. Znaleźć szybkości kul po
zderzeniu, zakładając, że było ono doskonale niesprężyste.
29. Jaka ilość energii została zużyta na wydzielenie ciepła i odkształcenie plastyczne dwóch zderzających się centralnie
kul o masach m = 4 kg każda, jeżeli przed zderzeniem zbliżały się one ku sobie z szybkościami v1=3 m/s i v2=8 m/s
a zderzenie było doskonale niesprężyste?
30. Dwie kule o jednakowych masach lecą z różnymi prędkościami i trafiają w ten sam worek z piaskiem. Jaki będzie
stosunek głębokości na których zatrzymają się te kule w piasku, jeżeli stosunek prędkości z którymi uderzyły w
worek wynosi v1/v2 = k ? Przyjąć, że siły tarcia są jednakowe.
31. Pocisk o masie 50 g lecący z prędkością 400 m/s uderzył w kulochwyt i utkwił w nim na głębokości 1,8 m. Pocisk
był wykonany ze stali o cieple właściwym 460 J/kgK. Oblicz:
a) pracę hamowania pocisku
b) średnią siłę działającą na pocisk podczas hamowania
2
c) przyrost temperatury pocisku zakładając, że na ciepło zamieniło się połowę straconej energii.
32. Oblicz minimalną pracę wykonaną przy przesunięciu sześciennych skrzyń o masie 80 kg na odległość 10 m w
sytuacjach jak na rysunku. Współczynnik tarcia jest równy 0,5.
F
F
33. Jaką moc powinien mieć silnik wciągający pod górę wagonik o masie 500 kg z szybkością 2 m/s wzdłuż równi
pochyłej o kącie nachylenia 30 , jeżeli współczynnik tarcia dla całego pojazdu jest równy 0.2?
34. Jaką pracę należy wykonać aby przewrócić sześcian o masie 5000 kg i krawędzi 1m z jednej ściany na drugą?
35. Silnik wyciągnął z dna szybu o głębokości 100 m ciężar o masie 120 kg. Na powierzchni ciężar znalazł się po czasie
2 min. Jaką sprawność ma silnik, jeżeli jego moc jest równa 3 kW.
36. Ciało ześlizguje się najpierw z równi pochyłej tworzącej kąt 30 względem poziomu, a następnie porusza się po
płaszczyźnie poziomej. Znaleźć wartość współczynnika tarcia, jeżeli ciało przebyło wzdłuż poziomego odcinka
drogi taką samą odległość jak wzdłuż równi pochyłej.
37. Kula o masie 0.3 kg lecąca poziomo z prędkością 20 m/s uderza w leżący na stole klocek o masie 4 kg i:
a) wbija się w niego
b) przebija go tracąc 40% swojej energii
c) odbija się tracąc połowę prędkości.
Wyznacz drogę, jaką przebędzie klocek po poziomym stole, do chwili zatrzymania się, jeśli współczynnik tarcia
wynosi 0.4.
38. Jaka musi być siła ciągu silnika samochodu o masie 1t aby rozpędzał się on od 0 do 108 km/h w czasie 10 s?
39. Na nieruchome ciało o masie 2 kg zadziałała przez 5 s siła 8 N. Jaką prędkość uzyskało ciało?
40. Samochód o masie 8000 kg, jadący z prędkością 25 m/s zahamował w 5 s. Wyznaczyć siłę hamującą.
41. Z działa o masie 1500 kg wystrzelono pocisk o masie 30 kg z prędkością 200 m/s. Obliczyć prędkość odrzutu działa.
42. Pocisk o masie 5 g lecący z prędkością 300 m/s uderzył w leżący nieruchomo klocek o masie 2 kg i wbił się w niego.
Z jaką prędkością zaczął poruszać się klocek z pociskiem.
43. Dwie kulki z plasteliny o masach 100 g i 300 g lecące naprzeciw siebie z prędkościami odpowiednio 20 m/s i 8 m/s
zderzyły się, w wyniku czego zlepiły się. Z jaką prędkością porusza się powstała bryła z plasteliny?
44. Pocisk o masie 20 g lecący z prędkością 200 m/s uderzył w spoczywający nieruchomo kawałek drewna o masie 6 kg
i przebił go tracąc połowę prędkości. Obliczyć, z jaką prędkością zaczął się poruszać się kawałek drewna.
45. Kulka o masie 80 g lecąca z prędkością 50 m/s uderzyła w nieruchomą kulkę o masie 400 g , odbiła się od niej i leci
z prędkością 20 m/s. Z jaką prędkością porusza się większa kulka.
46. Dwie kulki o masach 60 g i 150 g lecące naprzeciw siebie z prędkościami odpowiednio 80 m/s i 40 m/s zderzyły się,
w wyniku czego mniejsza kulka porusza się w przeciwną stronę niż przed zderzeniem z prędkością 10 m/s.
Wyznaczyć kierunek ruchu i prędkość większej kulki.
47. Piłka o masie 200 g lecąca z prędkością 20 m/s uderzyła prostopadle w ścianę i odbiła się od niej sprężyście.
Wiedząc, że zderzenie trwało 0.2 s obliczyć siłę z jaką ściana działała na piłkę.
48. Jaką użyteczną moc musi mieć silnik, aby nieruchomy samochód o masie 1500 kg rozpędzić do 30 m/s w czasie 9 s?
49. Jaką minimalną pracę wykona silnik podnoszący wiadro z zaprawą murarską o łącznej masie 30 kg na wysokość 20
m (założyć, że aby podnieść ciało należy podziałać siłą równą ciężarowi ciała czyli F=mg, gdzie m oznacza masę
ciała a g 10 m/s2 oznacza przyspieszenie ziemskie). Jaką moc musi mieć ten silnik, aby podnieść to wiadro w
czasie 20 s.
50. Jaką średnią moc musi mieć ciężarowiec, aby sztangę o masie 200 kg wyrwać na wysokość 2.5 m w czasie 5s.
51. Z procy o stałej sprężystości k=100 N/m rozciągniętej o 0.6 m wystrzelono pionowo do góry kamień o masie 100 g.
Jaką maksymalną wysokość osiągnie ten kamień.
52. Samolot o masie 4 t ląduje z prędkością 80 m/s na lotniskowcu o długości pasa startowego 100 m. Jaka musi być
stała sprężystości lin hamujących samolot?
53. Jaką maksymalną wysokość może osiągnąć ciało rzucone pionowo do góry z prędkością 30 m/s?
54. Na dachu samochodu leży cegła, której współczynnik tarcia o dach jest równy 0.7. Z jakim minimalnym
przyspieszeniem musi ruszyć samochód, aby cegła zaczęła się zsuwać z dachu. Opory powietrza pominąć.
55. Krzesło karuzeli łańcuchowej podczas jazdy odchylone jest od pionu o 30 . Wiedząc, że łańcuchy na których wisi
krzesło mają długość 3m i są zamocowane do koła o promieniu 4 m, oblicz częstotliwość obrotów karuzeli. Narysuj i
nazwij siły działające na osobę siedzącą na takim krześle.
56. Człowiek o masie 60 kg wspina się po pionowej linie z przyspieszeniem 0,2 m/s2. Oblicz napięcie liny. Masę liny
zaniedbaj.
57. Z wieży o wysokości 60 m skacze człowiek o masie 80 kg i wzroście 180 cm na linie bungee o długości 32.2 m
przywiązanej do stóp. Oblicz (pomijając straty energii):
a) minimalny współczynnik sprężystości liny, przy którym skok niemal do samej ziemi będzie bezpieczny,
3
maksymalną siłę jaka zadziała na człowieka
rozciągnięcie liny w chwili gdy się zatrzyma i będzie wisiał na linie
wysokość nad ziemią na jakiej będzie wisiał po zatrzymaniu się
minimalną wysokość nad ziemią na jakiej znajdzie się skaczący na tej samej linie człowiek o masie 70 kg i tym
samym wzroście
Wspinacz o masie 70 kg wyszedł na wysokość 30 m i będąc 4 m nad ostatnim przelotem odpadł. Wiedząc, że
maksymalna siła jaka zadziałała na wspinacza była równa 4,5 kN oblicz o ile procent rozciągnęła się lina. Straty
energii i masę liny pominąć.
Hokeista uderzył na zamarzniętej tafli jeziora krążek o masie 200 g z szybkością 30 m/s. Wiedząc, że współczynnik
tarcia krążka o lód jest równy 0.09 oblicz w jakiej odległości od hokeisty zatrzyma się krążek.
Na wodzie stoi łódka o długości 7m i masie 120 kg. W pewnej chwili z jednego końca łódki na drugi przeszedł
człowiek o masie 70 kg. O ile przesunęła się łódka?
Samochód o masie 1000 kg wjeżdża na mostek o promieniu krzywizny 50 m z prędkością 72 km/h. Oblicz siłę
działającą na mostek w przypadku gdy jest on wklęsły i w przypadku gdy jest wypukły. Oblicz z jaką maksymalną
prędkością może samochód przejechać przez mostek wypukły nie odrywając się od niego.
Oblicz pod jakim kątem do pionu powinien się pochylić rowerzysta, aby jadąc po poziomej płaskiej powierzchni z
szybkością 10 m/s mógł zatoczyć koło o promieniu 10m. Oblicz współczynnik tarcia kół o podłoże, przy którym
rowerzysta nie przewróci się.
W windzie znajduje się naczynie z wodą, w której pływa kawałek drewna. Jak ulegnie zmianie zanurzenie drewna,
gdy winda będzie jechać z przyspieszeniem w górę lub w dół. Jak będzie zachowywać się drewno, gdy winda będzie
swobodnie spadać.
Oblicz, z jaką największą prędkością może jechać wagon na zakręcie o promieniu 20m, aby nie wyskoczyć z
poziomo ułożonych szyn. Odległość między szynami 1.2 m Środek ciężkości wagonu znajduje się na wysokości
1.6m nad ziemią, pośrodku między szynami.
Człowiek o masie 80 kg stoi na wadze sprężynowej. Jaką średnią siłę wskaże waga w czasie, gdy człowiek odbija się
od niej, aby skoczyć w górę na wysokość 1m. Czas trwania odbicia jest równy 0.5 s.
Granat wyrzucony z prędkością v0 pod kątem do poziomu w najwyższym punkcie toru ruchu rozerwał się na dwie
części. Pierwsza o masie 0.2m spadła pionowo na ziemię, uderzając w powierzchnię ziemi z prędkością v1 po czasie
t1. Gdzie spadnie druga część granatu?
Taśmociąg przenosi 200 kg węgla w czasie 5 s. Długość taśmy przenoszącej węgiel jest równa 5m, a kąt nachylenia
30 . Oblicz moc silnika taśmociągu, jeśli jego sprawność jest równa 60%.
Na stole leży wyprostowany łańcuch o długości 1m i masie 100g, którego część zwisa poza stół. W chwili, gdy w
powietrzu znalazła się ¼ długości łańcucha zaczął on się zsuwać. Wyznacz współczynnik tarcia łańcucha o stół.
Oblicz przyspieszenie łańcucha w chwili, gdy ze stołu zwisa połowa jego długości. Narysuj na jednym rysunku
wykres zależności siły tarcia, ciężaru zwisającej części łańcucha i wypadkowej siły działającej na łańcuch w funkcji
długości wiszącej części łańcucha.
Narciarka o masie 50 kg zaczęła zjeżdżać ze stoku o długości 300 m nachylonego pod kątem 30 ruchem
jednostajnie przyspieszonym. Współczynnik tarcia nart o śnieg był równy 0.13. Oblicz prędkość u podnóża stoku i
ilość ciepła wydzielonego wskutek tarcia.
Na desce leżącej poziomo znajduje się krążek hokejowy. W pewnej chwili deskę zaczęto powolutku podnosić za
jeden z końców. Gdy deska tworzyła kąt 35 z poziomem krążek zaczął się zsuwać. Oblicz współczynnik tarcia
krążka o deskę.
Uczniowie postanowili wyznaczyć stałą sprężystości drutu. W tym celu jeden koniec drutu przeczepili do sufit, a do
drugiego zaczęli podczepiać kolejno odważniki po 0,5 kg i po dołożeniu każdego następnego mierzyli wydłużenie x
drutu. Wyniki pomiarów zebrane są w tabeli:
b)
c)
d)
e)
58.
59.
60.
61.
62.
63.
64.
65.
66.
67.
68.
69.
70.
71.
m [kg]
F [N]
x [mm]
0
0,5
1
1,5
2
0
0,28 0,61 0,93 1,18
2,5
3
1,5
1,82
Uczniowie zanotowali, że niepewność pomiaru wydłużenia wynosiła x=0,02 mm.
a) uzupełnij tabelę
b) narysuj wykres zależności wydłużenia sprężyny od siły działającej na sprężynę
c) dopasuj prostą do punktów pomiarowych i oblicz jej współczynnik kierunkowy
d) wyznacz współczynnik sprężystości drutu.
72. Uczniowie postanowili zbadać II zasadę dynamiki Newtona. W tym celu użyli samochodzik do którego dowiązali
cieniutki, nierozciągliwy kawałek nitki, przerzucono go przez nieruchomy bloczek i zaczęto obciążać coraz większą
masą. Za każdym razem uczniowie puszczali z punktu A samochodzik, który początkowo był nieruchomy i włączali
stoper. Stoper zatrzymywali, gdy samochodzik osiągał punkt B odległy od A o 1 m. Tarcie nici o bloczek można
zaniedbać. Schemat układu pomiarowego przedstawia rysunek. Wyniki pomiarów uczniów zebrane są w tabeli:
4
m [kg]
F [N]
s [m]
t [s]
a [m/s2]
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0
-
1,98 1,43 1,14 1,02 0,88 0,82
a) uzupełnij tabelę
b) narysuj wykres zależności przyspieszenia samochodziku od działającej na niego siły
c) określ na podstawie wykresów, czy spełniona jest II zasada dynamiki Newtona
d) dopasuj prostą do punktów pomiarowych i oblicz jej współczynnik kierunkowy
e) wyznacz masę ciała.
73. Z samolotu skacze spadochroniarz o masie 80 kg i wzroście 180 cm. Po pewnym czasie osiąga prędkość 30 m/s, która
dalej nie zmienia się. Oblicz siłę oporu działającą na skoczka i współczynnik oporu powietrza. Oblicz wartość
działającej siły oporu i prędkość z jaką opada spadochroniarz, gdy otworzy spadochron, jeśli wiadomo, że po
otwarciu spadochronu współczynnik oporu rośnie 121 razy. Przyjmij, że siłę oporu można opisać wzorem F= ·v2,
gdzie jest współczynnikiem oporu.
74. Piłkarz stojący 5 m od linii kończącej boisko dośrodkował piłkę (początkowo nieruchomą) wzdłuż linii kończącej
boisko pod kątem 30 do poziomu. Piłka osiągnęła najwyższy punkt toru swojego ruchu będąc dokładnie
naprzeciwko środka bramki o szerokości 7,32 m, na wysokości 2m. W tym momencie piłkę uderzył głową napastnik
– poziomo, dokładnie w kierunku środka bramki. Masa piłki wynosiła 440 g, obwód 70 cm, a ciśnienie powietrza
wewnątrz piłki 102 kPa. W dniu meczu temperatura wynosiła 17 C a ciśnienie 1000 hPa. Opory powietrza pominąć.
Oblicz:
a) prędkość z jaką podający kopnął piłkę,
b) odległość z jakiej nastąpiło dośrodkowanie,
c) pracę jaką wykonał dośrodkowujący podczas kopnięcia piłki,
d) minimalną prędkość z jaką napastnik musi uderzyć piłkę, aby piłka trafiła w bramkę,
e) minimalną siłę, jaką musi zadziałać na piłkę napastnik jeśli wiadomo, że kontakt głowy z piłką trwał 0,5 s,
f) maksymalny czas jaki będzie miał bramkarz na obronę piłki od chwili uderzenia przez napastnika
g) liczbę moli powietrza w piłce (przyjąć, że leżała wystarczająco długo na powietrzu)
h) piłka została napompowana w dniu meczu pompką, której objętość wynosiła 50 cm3; oblicz ile wahnięć pompki
wykonano, jeśli początkowe ciśnienie w piłce wynosiło 80 kPa.
75. Kulomiotowi całkowicie nie wyszedł rzut – nie dość, że pchnął kulę o masie 7,26 kg poziomo (zamiast ukośnie) to
jeszcze w złym kierunku. Zawodnik pchnął kulę z wysokości 1,7 m. Kula spadła w odległości 13 m od zawodnika, w
dość miękką ziemię, w którą wbiła się na głębokość 25 cm (w kierunku, w którym się poruszała). Czas pchania kuli
wyniósł 1,2 s. Kula wykonana była ze stali o cieple właściwym 460 J/kg K. Oblicz:
a) prędkość, z jaką została pchnięta kula,
b) średnią siłę, którą kulomiot pchał kulę,
c) prędkość, z jaką kula uderzyła w ziemię
d) kąt pod jakim wpiła się w ziemię,
e) pracę, jaką wykonały siły oporu hamując kulę
f) średnią siłę oporu hamującą kulę
g) przyrost temperatury kuli podczas wyhamowania zakładając, że na przyrost ciepła poszło 11% utraconej energii
h) odległość jaką uzyskałby kulomiot, gdyby wypchnął kulę z taką samą prędkością, ale pod kątem 45 do poziomu.
76. Podczas meczu hokejowego przegrywająca 1 bramką drużyna Misiów wycofała tuż przed końcem bramkarza, aby
zaatakować większą liczbą zawodników. Niestety, dla przegrywającej drużyny, krążek przejął obrońca prowadzącej
drużyny Wilków i nie namyślając się długo uderzył w kierunku pustej bramki Misiów, odległej o 50 m. Hokeista
podziałał na kauczukowy krążek o masie 165 g w czasie 0.1 s siłą 70 N. Współczynnik tarcia krążka o lód wynosił
0,06, ciepło właściwe 1500 J/kg K. Oblicz:
a) prędkość z jaką hokeista Wilków uderzył krążek,
b) pracę rozpędzania krążka,
c) opóźnienie krążka,
d) czas ruchu krążka,
e) prędkość z jaką krążek wpadnie do bramki Misiów
f) przyrost temperatury krążka – założyć, że na ogrzanie krążka idzie 40 % energii traconej wskutek tarcia o lód
77. Stalowy pocisk, lecący z prędkością o wartości 300 m/s wbił się w hałdę piasku i ugrzązł w niej. Oblicz maksymalny
przyrost temperatury pocisku, jaki wystąpi w sytuacji opisanej w zadaniu przyjmując, że połowa energii kinetycznej
pocisku została zamieniona na przyrost energii wewnętrznej pocisku. Ciepło właściwe żelaza wynosi 450 J/(kg·K).
Wyjaśnij krótko, na co została zużyta reszta energii kinetycznej pocisku.
5
78. Rysunek przedstawia profil skoczni narciarskiej. A oznacza belkę
startową, B – próg, C – miejsce lądowania. Próg skoczni jest
poziomy. Wartość prędkości narciarza na progu (tuż przed
odbiciem)wynosiła 90 km/h. Czas odbicia narciarza o masie 60 kg od
progu wynosił 0,3 s.
a) Tuż po odbiciu od progu zawodnik poruszał się z prędkością,
której wektor był nachylony pod kątem 10 w górę. Oblicz
wartość średniej siły nacisku skoczka na podłoże w czasie odbicia
od progu.
b) Który zeskok A czy B powinien być stosowany na skoczniach?
Odpowiedź krótko uzasadnij.
79. Grupa narciarzy postanowiła wyznaczyć współczynnik
tarcia nart o śnieg. Rysunek pokazuje nam profil
stoku narciarskiego. Na całym stoku zjazdowym
uczniowie co jeden metr wbijali proste kijki.
Okazało się, że stok miał 117 metrów długości.
Z tablicy informacyjnej uczniowie odczytali, że wysokość stoku wynosi 30 metrów, licząc od poziomej płaszczyzny
znajdującej się pod stokiem.
Wszyscy uczniowie dokładnie zsynchronizowali zegarki. Następnie jeden z nich zaczął zjeżdżać z górki, z miejsca
oznaczonego jako START (tak jak na rysunku). Całkowita masa zjeżdżającego narciarza wynosiła 60 kg. W
momencie rozpoczęcia zjazdu koledzy narciarza zaczęli mierzyć czas. Zadaniem każdego z mierzących czas było
określenie położenia narciarza po upływie kolejnych sekund ruchu. Po przeprowadzeniu eksperymentu uczniowie
zebrali wyniki w tabeli:
a) Na podstawie tabeli nr 1 sporządź wykres zależności drogi od czasu dla zjeżdżającego narciarza. Na wykresie
zaznacz niepewności pomiarowe (przyjmij ΔS = 2m, Δt = 0,2s).
Istnieje uzasadnione przypuszczenie, że ruch narciarza na stoku był ruchem jednostajnie przyśpieszonym. Uczniowie
postanowili to sprawdzić.
b) Wykaż, że, jeżeli narciarz zjeżdża ruchem jednostajnie przyśpieszonym, to w układzie współrzędnych y = s, x = t 2
wykresem drogi od kwadratu czasu będzie linia prosta o równaniu
c) Uzupełnij tabelkę nr 2 dla pierwszych 10 sekund zjazdu.
d) Korzystając z danych zawartych w tabeli nr 2, sporządź wykres zależności drogi przebytej przez narciarza od
kwadratu czasu.
e) Wykaż na podstawie narysowanego wykresu, że przyśpieszenie, z jakim zjeżdża narciarz, jest równe około 1 m/s2.
f) Zakładając, że przyśpieszenie można obliczyć za pomocą wzoru a=g(sin
cos ) oraz korzystając z wyników
otrzymanych w poprzednich punktach i informacji na temat nachylenia stoku (rys. 1.), oblicz, ile wynosi
współczynnik tarcia nart o śnieg podczas zjazdu z tego stoku ? Do wyliczeń przyjmij wartość przyśpieszenia
ziemskiego wynoszącą 9,81 m/s2.
Przyjmij, że zjazd narciarza trwa 15,3 sekundy i odbywa się z przyśpieszeniem o wartości 1 m/s2.
g) Oblicz, ile wynosi wartość prędkości narciarza u podstawy stoku ?
h) Oblicz, ile wynosi energia kinetyczna narciarza u podstawy stoku ?
i) Oblicz, ile wynosi energia potencjalna narciarza stojącego na szczycie stoku? Do obliczeń przyjmij wartość
przyśpieszenia ziemskiego równą 9,81 m/s2.
j) Korzystając z zasady zachowania energii, oblicz, jaka ilość energii wydzieliła się w postaci ciepła podczas zjazdu
narciarza ze stoku ?
6
80. Skoki na linie zaczęły być popularne w różnych krajach w latach
osiemdziesiątych ubiegłego wieku. Wykonując taki skok zawodnik
przywiązuje do nóg sprężystą linę o długości D(zamocowaną drugim
końcem do platformy startowej) i powoli przechylając się rozpoczyna
swobodne spadanie w dół. Po wyprostowaniu lina zaczyna się rozciągać o
długość x i hamuje ruch zawodnika.
a) Zamieszczony poniżej wykres przedstawia uproszczoną zależność wysokości
skoczka nad powierzchnią Ziemi od czasu, jaki upływa od początku skoku. Przeanalizuj wykres oraz zjawisko
spadania skoczka (działające siły) i zapisz w tabeli nazwę rodzaju ruchu (przyspieszony, opóźniony), jakim porusza
się skoczek dla każdego etapu. Pomiń wzrost skoczka oraz ciężar liny.
Przed użyciem liny do skoków bungee, dokonano pomiarów zależności wydłużenia liny od wartości siły, z jaką ją
rozciągano. Pomiarów dokonano z dokładnością: ΔF = ± 50 N, Δx = ± 0,5 m. Wyniki zapisano w tabeli powyżej.
b) Wykonaj wykres zależności wartości siły rozciągającej linę od wydłużenia liny. W tym celu dobierz odpowiednio
osie współrzędnych, skale wielkości i jednostki, zaznacz punkty, nanieś niepewności pomiarowe i wykreśl linię
ilustrującą tę zależność.
c) Wykaż, że średnia wartość współczynnika sprężystości badanej liny wynosi około 130 N/m.
Swobodnie zwisająca lina, o współczynniku sprężystości równym 130 N/m, ma długość D = 20 m. Człowiek o masie
65 kg, któremu zamocowano do nóg koniec liny pochyla się i spada z platformy startowej. Ciężar liny pomiń.
d) Oblicz wartość prędkości skoczka w momencie, kiedy lina jest wyprostowana, ale jeszcze nie napięta. Pomiń
opory.
e) Wykaż, wykonując niezbędne obliczenia, że maksymalne wydłużenie liny podczas skoku wynosi około 20 m.
81. Drewniany klocek przymocowany jest do ściany za pomocą nitki, która wytrzymuje naciąg siłą o wartości 4 N.
Współczynnik tarcia statycznego klocka o podłoże wynosi 0,2. W obliczeniach przyjmij, że wartość przyspieszenia
ziemskiego jest równa 10 m/s2.
a) Oblicz maksymalną wartość powoli narastającej siły F, z jaką można poziomo ciągnąć klocek, aby nitka nie
uległa zerwaniu.
b) Oblicz wartość przyspieszenia, z jakim będzie poruszał się klocek, jeżeli usunięto nitkę łączącą klocek ze ścianą,
a do klocka przyłożono poziomo skierowaną siłę o stałej wartości 6 N. Przyjmij, że wartość siły tarcia
kinetycznego jest równa 1,5 N.
82. Roleta okienna zbudowana jest z wałka, na którym nawijane jest płótno zasłaniające okno (rys). Roletę można
podnosić i opuszczać za pomocą sznurka obracającego wałek.
a) Wyjaśnij, dlaczego w trakcie podnoszenia rolety ruchem jednostajnym, siła z jaką trzeba ciągnąć za sznurek nie
jest stała. Przyjmij, że średnica wałka nie zależy od ilości płótna nawiniętego na wałek oraz pomiń siły oporu
ruchu.
b) Oblicz pracę, jaką należy wykonać, aby podnieść rozwiniętą roletę, nawijając całkowicie płótno na wałek.
Długość płótna całkowicie rozwiniętej rolety wynosi 2 m, a jego masa 2 kg.
83. Lokomotywa manewrowa pchnęła wagon o masie 40 ton nadając mu początkową prędkość o wartości 5 m/s. Wagon
poruszając się ruchem jednostajnie opóźnionym zatrzymał się po upływie 20 s. Oblicz wartość siły hamującej wagon.
7
84. Wspinaczka o masie 50 kg założyła stanowisko wiszące, złożone z dwóch punktów położonych na tej samej
wysokości. Wpięła się do tych punktów za pomocą dwóch taśm o równej długości. Oblicz siłę działającą na punkty
stanowiskowe, jeżeli taśmy tworzą kąt
a) 60
b) 120
c) 170
85. Sportowiec rozciąga na treningu sprężynę, ćwicząc mięśnie. Aby spowodować wydłużenie sprężyny o 50 cm musi
działać siłą 600 N. Oblicz pracę, jaką wykonuje sportowiec podczas jednokrotnego rozciągnięcia sprężyny o 50 cm i
po serii 30 rozciągnięć. Oblicz moc mięśni sportowca, jeżeli całą serię (30 rozciągnięć) wykonał w czasie jednej
minuty.
86. Na rysunku poniżej przedstawiono schematycznie urządzenie do pomiaru wartości prędkości pocisków
wystrzeliwanych z broni palnej. Podstawowym elementem takiego urządzenia jest tzw. wahadło balistyczne będące (w
dużym uproszczeniu) zawieszonym na linkach klockiem, w którym grzęzną wystrzeliwane pociski. Po trafieniu
pociskiem wahadło wychyla się z położenia równowagi i możliwy jest pomiar jego energii kinetycznej. Punkty na
wykresie przedstawiają zależność energii kinetycznej klocka wahadła z pociskiem (który w nim ugrzązł) tuż po
uderzeniu pocisku, od masy klocka. Pomiary wykonano dla 5 klocków o różnych masach (linia przerywana
przedstawia zależność teoretyczną). Wartość prędkości pocisku, tuż przed trafieniem w klocek wahadła, za każdym
razem wynosiła 500 m/s, a odległość od środka masy klocka wahadła do punktu zawieszenia wynosiła 1 m. W
obliczeniach pomiń masę linek mocujących klocek wahadła.
a) Wykaż, analizując wykres, że masa pocisku jest równa 0,008 kg.
b) Oblicz wartość prędkości klocka z pociskiem bezpośrednio po zderzeniu w sytuacji, gdy masa klocka była 499 razy
większa od masy pocisku.
c) Oblicz, jaka powinna być masa klocka wahadła, aby po wychyleniu z położenia równowagi wahadła o 60 ,
zwolnieniu go, a następnie trafieniu pociskiem w chwili przechodzenia wahadła przez położenie równowagi,
wahadło zatrzymało się w miejscu. Do obliczeń przyjmij, że masa pocisku wynosi 0,008 kg.
87. Wartość siły oporu dla samochodu o masie 1 tony, jadącego pod wiatr ze stałą prędkością, była równa 2500 N. Po
ustaniu wiatru wartość siły oporu zmniejszyła się do 2000 N. Oblicz wartość przyspieszenia, z jakim zaczął poruszać
się wtedy samochód, jeśli siła napędowa nie uległa zmianie.
88. Gimnastyczka wyrzuciła pionowo w górę piłkę z prędkością o wartości 4 m/s. Piłka w momencie wyrzucania
znajdowała się na wysokości 1 m licząc od podłogi. Oblicz wartość prędkości, z jaką piłka uderzy o podłogę. Załóż, że
na piłkę nie działa siła oporu.
89. Stalowa kulka o masie 1 kg, wisząca na nici o długości 1,8 m została
odchylona od pionu o kąt 90o wzdłuż łuku AB, a następnie zwolniona
(rys.). Po zwolnieniu uderzyła w spoczywający stalowy wózek, który
zaczął poruszać się po szynach praktycznie bez tarcia. Masa wózka
wynosi 2 kg. Przyjmij, że zderzenie ciał było doskonale sprężyste.
a) Oblicz pracę, jaką trzeba wykonać powoli odchylając pionowo
wiszącą kulkę z położenia A do położenia B.
b) Wykaż, że wartość prędkości kulki w chwili uderzenia w wózek wynosi 6 m/s.
c) Oblicz wartość siły naciągu nici w momencie gdy kulka uderza w wózek. Przyjmij, że wartość prędkości kulki
podczas uderzenia w wózek wynosi 6 m/s.
Wartości prędkości ciał po zderzeniu można obliczyć stosując wzory:
8
gdzie wartości prędkości dla obu ciał oznaczono odpowiednio:
u1 – dla kulki przed zderzeniem,
v1 – dla kulki po zderzeniu,
u2 – dla wózka przed zderzeniem,
v2 – dla wózka po zderzeniu.
d) Zapisz, korzystając z przyjętych powyżej oznaczeń, równania wynikające z zasad zachowania, które powinny
być zastosowane do opisu zderzenia kulki z wózkiem (pozwalające wyprowadzić powyższe zależności)
e) Oblicz wartości prędkości jakie uzyskają wózek i kulka w wyniku zderzenia. Wykorzystaj wzory podane w treści
zadania. Przyjmij, że kulka uderza w wózek z prędkością o wartości 6 m/s.
90. Wykaż, wykorzystując pojęcia energii i pracy, że znając współczynnik tarcia i drogę podczas hamowania do
całkowitego zatrzymania pojazdu, można wyznaczyć prędkość początkową pojazdu, który porusza się po poziomej
prostej drodze. Przyjmij, że samochód hamuje ruchem jednostajnie opóźnionym, a wartość siły hamowania jest stała.
91. Fragment balkonu o masie 0,5 kg oderwał się i spadł z wysokości 5 m. W obliczeniach przyjmij, że wartość
przyspieszenia ziemskiego wynosi 10 m/s2.
a) Narysuj wykres zależności wartości prędkości od czasu spadania. Wykonaj konieczne obliczenia, pomijając opory
ruchu. Na wykresie zaznacz odpowiednie wartości liczbowe
b) W rzeczywistości podczas spadania działa siła oporu i oderwany element balkonu spadał przez 1,25 s ruchem
przyspieszonym, uderzając w podłoże z prędkością o wartości 8 m/s. Oblicz wartość siły oporu, przyjmując, że
podczas spadania była ona stała.
92. Podczas gwałtownego awaryjnego hamowania tramwaju uchwyt do trzymania się, zamocowany pod sufitem wagonu,
odchylił się od pionu o kąt 15 . Załóż, że tramwaj poruszał się po poziomej powierzchni ruchem jednostajnie
opóźnionym, prostoliniowym. W obliczeniach przyjmij, że wartość przyspieszenia ziemskiego wynosi 10 m/s2.
a) Narysuj, oznacz i nazwij siły działające na swobodnie wiszący uchwyt podczas hamowania.
b) Oblicz wartość opóźnienia tramwaju podczas hamowania.
93. Kulka o masie 0,2 kg ulepiona z wilgotnego śniegu uderzyła prostopadle w betonową ścianę z prędkością o wartości
10 m/s. Kulka przykleiła się do ściany. Oblicz wartość średniej siły, jaką ściana działała na śnieżkę. Przyjmij, że czas
zderzenia wynosił 0,1 s.
Zadania 77-83 i 85-93 pochodzą z arkuszy maturalnych z lat poprzednich.
94. Dwie piłeczki do ping-ponga, każda o promieniu 1,4 cm upuszczono w tym samym czasie z helikoptera. Masa pustej
piłeczki wynosi 1g. Jedna z nich została całkowicie wypełniona piaskiem o gęstości 1500 kg/m3.
a) uzasadnij, dlaczego po pewnym czasie spadania każda z piłeczek porusza się ruchem jednostajnym,
b) czy obie piłeczki dotrą do ziemi w tej samej chwili? Odpowiedź uzasadnij.
c) pusta piłeczka spadając w powietrzu osiąga maksymalną prędkość 9 m/s. Oblicz maksymalną szybkość uzyskaną
przez piłeczkę wypełnioną piaskiem. Przyjmij, że siła oporu powietrza, działająca na piłeczkę, jest wprost
proporcjonalna do jej szybkości. Pomiń siły wyporu powietrza.
9
Zadania dodatkowe
I.1 Drabina ma masę 5 kg. Współczynnik tarcia drabiny o podłoże wynosi 0.6. Oblicz, jak należy oprzeć drabinę o ścianę,
aby się nie przewróciła. Oblicz siły działające w układzie. Pomiń tarcie drabiny o ścianę.
I.2 Samolot wyleciał z lotniska znajdującego się w miejscowości, której szerokość geograficzna wynosiła 52 N i
skierował się na północ wzdłuż stycznej do powierzchni Ziemi w miejscu, gdzie znajdowało się lotnisko. Leciał w tym
kierunku z prędkością 540 km/h przez 1 min. Oblicz jakiego odchylenia doznał w wyniku działania siły Coriolisa w
tym czasie.
I.3 Współczynnik tarcia opon o asfalt wynosi 1, masa samochodu 1200 kg, a rozstaw kół 1480 mm. Oblicz jaką siłą
trzeba podziałać z boku samochodu, aby go przesunąć i wysokość na jakiej należy pchać samochód, aby nie
przewrócił się na bok, tylko ślizgał po asfalcie. Środek ciężkości znajduje się na wysokości 75 cm nad ziemią.
I.4 Czołg wystrzeliwuje pocisk z szybkością 250 m/s pod kątem 45 . W odległości 400 m od czołgu zaczyna się zbocze
nachylone pod kątem 30 do poziomu. W który punkt zbocza trafi pocisk?
I.5 Do dynamometru zawieszonego u sufitu windy przymocowano blok, przez który przerzucono nierozciągliwą nitkę. Na
obu jej końcach zawieszono ciężarki o masach 1 kg i 3 kg. Z jakim przyspieszeniem poruszają się ciężarki? Jakie będą
wskazania dynamometru podczas ruchu ciężarków. Masy bloku i nici zaniedbać. Rozpatrz przypadki:
a) winda znajduje się w spoczynku;
b) winda porusza się w górę z przyspieszeniem 6 m/s2;
c) winda porusza się w dół z przyspieszeniem 4 m/s2.
I.6 Z jaką maksymalną prędkością może poruszać się po zakręcie o kącie nachylenia 10 i promieniu 40 m samochód,
jeśli współczynnik tarcia jest równy 0.8.
I.7 Trzy łódki o masach 160 kg płyną jedna za drugą z prędkościami 4 m/s. W pewnej chwili z pierwszej i trzeciej
przerzucono na łódkę środkową masy 10 kg z prędkością 10 m/s względem łódki. Obliczyć końcowe prędkości łódek.
I.8 Mała kulka leży na powierzchni dużej kuli o promieniu R. Jaką szybkość początkową trzeba nadać małej kulce, aby
oderwała się ona od powierzchni dużej kuli w punkcie P położonym tak jak na rys. Kulka zsuwa się bez tarcia.
I.9 Mała kulka zaczyna zsuwać się ze szczytu dużej kuli o promieniu R. W którym miejscu mała kulka oderwie się od
powierzchni dużej? Założyć, że kulka zsuwa się bez tarcia.
I.10 Dwie kule o masach 1 kg i 4 kg zawieszone są na dwóch równoległych niciach o długości 1 m i stykają się ze sobą.
Kula o masie 1kg zostaje odchylona o kąt 90 od początkowego położenia i puszczona. Znaleźć szybkości kul po
zderzeniu, zakładając, że jest ono doskonale sprężyste.
I.11 Z wieży o wysokości 60 m skacze człowiek o masie 80 kg i wzroście 180 cm na linie bungee o długości 32.2 m
przywiązanej do stóp. Oblicz (pomijając straty energii):
a) minimalny współczynnik sprężystości liny, przy którym skok niemal do samej ziemi będzie bezpieczny,
b) maksymalną siłę jaka zadziała na człowieka
c) rozciągnięcie liny w chwili gdy się zatrzyma i będzie wisiał na linie
d) wysokość nad ziemią na jakiej będzie wisiał po zatrzymaniu się
e) maksymalną prędkość z jaką będzie spadał człowiek
f) narysuj na jednym wykresie zależność wszystkich energii człowieka od wysokości nad ziemią
g) minimalną wysokość nad ziemią na jakiej znajdzie się skaczący na tej samej linie człowiek o masie 70 kg i tym
samym wzroście
I.12 Na desce o masie 4 kg leży ciało o masie 0,8 kg, jak pokazano na rysunku. Współczynnik tarcia między deską i
podłogą jest taki sam ja między deską i ciałem i wynosi 0,4. Oblicz wartość siły F przy której:
a) deska nie porusza się
b) deska porusza się a masa spoczywa na desce
c) między masą i deską wystąpi poślizg.
I.13 Jaką siłę F należy przyłożyć do masy M = 20 kg, w układzie jak na rysunku, aby poruszała się ona z przyspieszeniem
1 m/s2, jeśli tarcie występuje tylko między masą M i m = 6 kg, w współczynnik tarcia wynosi 0.4.
10
I.14 Oblicz przyspieszenia mas podanych w kg na rysunkach względem podłoża w sytuacjach przedstawionych na
rysunkach. Pozostałe dane podane są również na rysunkach:
I.15 Drużyny startują w zawodach na przeciąganie liny. Jak powinni ustawić się zawodnicy: od najwyższego do
najniższego (patrząc od drużyny przeciwnej), czy odwrotnie, aby szansa na zwycięstwo była większa? Zakładamy,
że współczynnik tarcia butów o podłoże jest dla każdego z zawodników taki sam. Przyjmij, że każdy z zawodników
trzyma linę w 2/3 swojej wysokości.
I.16 Trzy osoby chcą się dostać szosą z punktu A do punktu B odległego o s = 50km. Mają dwuosobowy motocykl, który
rozwija prędkość 60km/h bez względu na to, czy jedzie nim 1 czy 2 osoby. Tylko pierwsza z tych osób ma prawo
jazdy; druga idąc szosą porusza się z prędkością v1 = 4 km/h, a trzecia – z prędkością v2 = 6 km/h. Jaki jest
najkrótszy czas, w którym wszystkie te trzy osoby dotrą do celu swojej podróży?
I.17 Wózek o całkowitej masie m = 10kg znajduje się na równi pochyłej o kącie nachylenia = 30 . Wózek jest
przywiązany do słupka wiotką, nierozciągliwą liną długości l = 1m (patrz rysunek 5). Jaką najmniejszą siłą, w
którym punkcie układu przyłożoną i w jakim kierunku należy podziałać, aby (wolno) przesunąć wózek w górę równi
na odległość a = 0,01m? Nie występuje opór toczenia przy przesuwaniu wózka w górę (lub w dół) równi, ale wózek
nie przesuwa się na boki. Jeśli siła potrzebna do przesunięcia zmienia się w trakcie przesuwania, podaj maksymalną
wartość tej siły.
Zadania 15,16 i 17 pochodzą z tegorocznej Olimpiady Fizycznej ze strony: http://www.ifpan.edu.pl/kgof/index.php
Zadania do rozwiązania na I sem.: 1-6, 8 lub 9, 12-17
Pozostałe na II sem.
11