= ∑ ∑

Transkrypt

= ∑ ∑

PODSTAWOWE POJĘCIA, DEFINICJE I ZAŁOŻENIA
6
8. Siły przekrojowe w konstrukcjach prętowych

Pręt - bryła, której jeden wymiar (długość) jest nieporównywalnie duży w stosunku do dwu
pozostałych (wymiary przekroju poprzecznego)

Oś pręta - miejsce położenia punktów będących środkami ciężkości przekrojów pręta
płaszczyznami przecinającymi tworzące pręta

Przekrój poprzeczny - przekrój pręta płaszczyzną prostopadłą do osi pręta-
Zadanie : Wyznaczyć zredukowany układ sił wewnętrznych { WII }, tzn. wyznaczyć wektor
sumy S { WII } i wektor momentu Mo { WII }.
Zredukowanego układu sił wewnętrznych, poszukujemy w przekroju poprzecznym pręta,
a środkiem redukcji jest środek ciężkości przekroju "O"
Pi
S { W II }
Ai
ri
O
I
II
M o { W II }
Rozwiązanie: Korzystając z twierdzenia o równoważności układu sił zewnętrznych i
wewnętrznych, a także uwzględniając zasadę zesztywnienia, możemy zapisać:
S{W II } =
∑ Pi {Z I }
M o {W II } =
∑ r i × Pi {Z I }
Składowe tak wyznaczonego wektora sumy i momentu nazywamy siłami przekrojowymi
S ≡ S ( N, Q y , Q z
M o ≡ M ( M x ,M y ,M z
)
My
Qy
Mx
N
y
x
)
Qz
z
Mz
8.1. Podstawowe przypadki redukcji
Układ sił zewnętrznych { ZI }≡ { WII } może redukować się w środku ciężkości przekroju
poprzecznego do:
wypadkowej, prostopadłej do przekroju poprzecznego (siła osiowa, normalna, podłużna)
ν
ν
N
Rozciąganie
N
Ściskanie
7
wypadkowej, leżącej w płaszczyźnie przekroju poprzecznego (siła poprzeczna, ścinająca,
tnąca)
Qy
Qz
y
x
Ścinanie
z
pary sił leżącej w płaszczyźnie przekroju poprzecznego, a zatem pary o wektorze momentu
normalnym do przekroju ( moment skręcający )
y
Mx
≡
x
z
Skręcanie
pary sił leżącej w płaszczyźnie prostopadłej do przekroju poprzecznego, a zatem pary o
wektorze momentu leżącym w płaszcz. przekroju ( moment zginający )
≡
Zginanie
wzg. osi "z"
Mz
y
x
My
≡
z
Zginanie
wzg. osi "y"
9. Statycznie wyznaczalne płaskie konstrukcje prętowe
Definicja: konstrukcje składające się z prętów, których osie leżą w jednej płaszczyźnie,
obciążone układem sił określonym w tej samej płaszczyźnie i tak połączone z podłożem, że
reakcje podporowe można wyznaczyć na podstawie jedynie równań równowagi.
q
P
N
y
I
x
9.1. Reakcje
α−α
M
α
∑Z ≡0
∑X = 0
α
II
∑ Mox ≡ 0
∑Y = 0
M
∑ Moy ≡ 0
∑ Moz = ∑ M = 0
9.2. Siły przekrojowe
S ( N, Q ≡ Q y , 0 ) = ( N, Q )
M ( 0 , 0 ,M z ≡ M ) = ( M )
Q
8
9.3 Układ własny przekroju poprzecznego
Przy poszukiwaniu sił przekrojowych (poprzez redukcję obciążenia zewnętrznego) rezygnuje się
z globalnego układu współrzędnych (x,y) na rzecz układu lokalnego związanego z przekrojem
poprzecznym. Układ taki nosi nazwę ukł. własnego przekroju poprzecznego.
α−α
n
N
N
n
Q
{ W II } = { Z I }
Q
Q
n
Q
n
N
{ W I } = { Z II }
N
9.4. Konwencja znakowania momentu od pary sił, spody.
M
" spody "
+
" spody "
+
+
" spody "
M
M
+
M
" spody "
Umowa 1: graficznym reprezentatem momentu od pary sił będzie łuk skierowany. Za dodatni
zwrot momentu przyjmujemy taki, który powoduje rozciąganie dowolnie
wyróżnionych włókien pręta, zwanych spodami.
Umowa 2: Oś liczbową, na której będziemy odkładać wartości momentów przekrojowych
przyjmuje,y w ten sposób, że jest on prostopadła do przyjętych spodów, a jej
dodatni zwrot "jest zgodny ze spodami".
9.5. Obliczanie momentu.

wektora a względem punktu O
w zadaniach płaskich
Mo ( a ) = r × a
a
a
r
α
Mo ( a ) = r  a  sin α =
d
=  r  a 
= ad
r 
O
d
r
O

od obciążenia ciągłego wzg. pkt. O
dx
x
b
q(x)
a
b
C ( xc )
O
b
S=
xo
∫ q( x ) dx
a
⇒
xc =
∫ q ( x ) x dx
a
b
∫ q ( x ) dx
a
b
Mo =
∫
q ( x ) dx ( xo − x ) =
a
= xo
b
∫
b
a
b
a
a
q ( x ) xo dx −
9
b
∫ q ( x ) x dx =
a
∫ q ( x ) dx − xc ∫ q ( x ) dx = S ( xo − xc )
Przykład
S
1
5
O
1
2
4/3
M o = 1 2 × 5 × 2 × ( 1 3 × 2 + 1 ) = 8.33
2/3
10. Punkty, przedziały charakterystyczne w konstrukcjach prętowych
H
F
C
A B
D
I
G
K
E
Punkty charakterystyczne
- początek, koniec pręta: A, K
- podpory: C, F, K
- punkty przyłożenia obciążenia: B, G, I
- początek i koniec obciążenia ciągłego: D, E
- miejsca zmiany geometrii pręta i punkty nieciągłości: H
Przedziały charakterystyczne - przedziały położone między pkt. charakteryst.
11. Zależności różniczkowe dla pręta prostego
Definicja: pręt prosty to pręt, którego oś jest linią prostą.
q (x)
Q, N
q (x)
x
M
Q+dQ
Q
M + dM
dx
M, q
∑Y = 0
⇒
dQ
= − q ( x)
dx
Q − q ( x) d x − Q − dQ = 0
∑M o = 0
( dx ) 2 ≅ 0
⇒
⇒
Q d x + M − q ( x) d x
dM
= Q ( x)
dx
dx
− M − dM = 0
2
,
d 2M = −
dx 2
q ( x)
Wnioski:
1. jeżeli q=0 to wykres funkcji Q(x) jest stały, a funkcji M(x) jest liniowy
2. jeżeli q=const., to wykres funkcji Q(x) jest liniowy, a funkcji M(x) paraboliczny (2°)
3. między M i Q zachodzą wszystkie zależności, jakie wynikają z własności pochodnej