Skręcanie prętów o przekroju kołowo symetrycznym i prostokątnym

Transkrypt

Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Skręcanie prętów o przekroju kołowo
symetrycznym i prostokątnym
15. SKRĘCANIE PRĘTÓW O PRZEKROJU KOŁOWO SYMETRYCZNYM I
PROSTOKĄTNYM
15.1. Naprężenia i odkształcenia
Ze skręcaniem pręta pryzmatycznego mamy do czynienia wówczas, gdy układ sił
zewnętrznych po jednej stronie jego przekroju poprzecznego redukuje się do momentu,
którego płaszczyzna działania jest styczna do przekroju, a wektor jest równoległy do osi pręta.
Moment ten M s nazywamy momentem skręcającym. Naszym zadaniem będzie przede
wszystkim wyznaczenie macierzy naprężeń i odkształceń w dowolnym punkcie pręta.
Zagadnienie skręcania prętów pryzmatycznych daje się rozwiązać prostymi metodami
wytrzymałości materiałów tylko w przypadku prętów o kołowo symetrycznym przekroju
poprzecznym.
Rozważmy więc, pokazany na rys. 15.1 pręt pryzmatyczny o kołowym przekroju
poprzecznym, którego pole jest równe A, określony w układzie osi (X, Y ,Z) w którym oś X
jest osią pręta a dwie pozostałe są osiami głównymi centralnymi jego przekroju
poprzecznego. Materiał pręta jest liniowo sprężysty o stałych materiałowych E oraz ν.
v (1, 0 , 0 )
Z
Y
Z
Y
Ms
Ms
τ xy
σx
Ms
X
I
τ xz
X
II
I
A
A
x
x
Rys. 15.1
Postawione zadanie rozwiążemy postępując według kilkakrotnie już stosowanego algorytmu.
Po dokonaniu myślowego przekroju pręta na dwie części, odrzuceniu części II i przyłożeniu
do części I układu sił wewnętrznych rozważymy trzy komplety równań tzn. równania
równowagi, geometryczne i fizyczne.
Równania równowagi wynikające z twierdzenia o równoważności odpowiednich układu sił
wewnętrznych i zewnętrznych w tym przypadku przyjmą postać:
 σ x dA = 0 ,
∫∫ τ xy dA = 0,
∫∫
A
A

∫∫ − τ xy z + τ xz y dA = M s ( x ),
 A
(
)
∫∫ τ xz dA = 0,
A
∫∫ σ x z dA = 0,
A
∫∫ − σ x y dA = 0.
(15.1)
A
Równania geometryczne sformułujemy w oparciu o przypuszczony obraz deformacji pręta.
Przyjęte założenia o własnościach materiału pręta, małych przemieszczeniach i zasada
198
płaskich przekrojów pozwalają przyjąć obraz jego deformacji po obciążeniu pokazany na rys.
15.2. Narysowana na powierzchni zewnętrznej pręta siatka prostopadłych do siebie linii po
Z
r
ρ
γ
A
γr
ϕ (x )
X
x
l
B
B’
ϕ (l )
dx
dϕ ( x )
Ms(x)
τ
τr
dx
Rys. 15.2
przyłożeniu momentu skręcającego deformuje się tak, że linie równoległe do osi pręta
przechodzą w linie śrubowe a linie prostopadłe do osi pręta pozostają do niego prostopadłe.
Można więc opisać mechanizm deformacji jako obroty wokół osi pręta płaskich kołowych.
nie deformujących się przekrojów przy nie zmieniających się między nimi odległościach,
zatem odkształcenia liniowe włókien równoległych do osi układu odniesienia są równe zeru:
ε x = ε y =ε z = 0 ,
oraz γ yz = 0 .
Kąt o jaki obracają się poszczególne przekroje nazywać będziemy kątem skręcenia i
oznaczymy go ϕ ( x ) .
Dla dalszej analizy deformacji pręta wytnijmy z niego element o dowolnie małej długości dx
(patrz rys. 15.2). Przyrost kąta skręcenia na tym odcinku oznaczmy przez dϕ ( x ) .
Z rys.15.2 odczytujemy, że na pobocznicy zachodzą zależności:
dϕ ( x )
BB ' = dx γ r i BB ' = dϕ ( x ) r zatem γ r = r
,
dx
gdzie: γ r - odkształcenie kątowe na pobocznicy pręta.
Jeśli dalej przyjmiemy, że zależności zauważone na pobocznicy spełnione są również
wewnątrz pręta to możemy napisać:
γ =ρ
dϕ ( x )
dx
(15.2)
gdzie: γ - odkształcenie kątowe w punkcie o promieniu wodzącym ρ dwóch prostopadłych
do siebie włókien, z których jedno jest równoległe do osi pręta a drugie prostopadłe do
promienia wodzącego.
Po wprowadzeniu pojęcia jednostkowego kąta skręcenia określonego wzorem:
dϕ ( x )
θ (x ) =
,
(15.3)
dx
199
w miejsce zależności (15.2) dostajemy:
γ = ρ θ (x ) .
(15.4)
Z równań fizycznych Hooke’a otrzymujemy:

ν
ε x + 1 − 2ν ε x + ε y + ε z

E 
ν
εx +ε y +εz
σy=
εy +

1 +ν 
1 − 2ν
σx =
σz =
E
1 +ν
E
1 +ν
(
)
(
)
→ σ x =0


 → σ y =0



ν
ε z + 1 − 2ν ε x + ε y + ε z  → σ z = 0


τ yz = G γ yz
(
)
→ τ yz = 0 oraz
τ = G γ = Gρθ ( x )
(15.5)
Z
Kierunek wektora tych ostatnich naprężeń
stycznych τ , jest prostopadły do promienia
wodzącego punktu ρ a jego zwrot jest taki,
że kręci względem środka tak samo jak
obciążający przekrój moment skręcający.
Jak widać z rys. 15.3 naprężenia styczne w
rozważanym punkcie, równoległe do osi
układu odniesienia, można wyrazić poprzez
naprężenie styczne τ wzorami:
τ
z
τ xz
τ xy
ρ
α
Y
y
Rys.15.3
τ xy = − τ sin α i τ xz =τ cos α
a po podstawieniu (15.4) przyjmują postać:
(15.6)
τ xy = − Gθ ( x )z i τ xz = Gθ ( x ) y .
(15.7)
Wracamy do równań równoważności (15.1). Pierwsze, piąte i szóste z uwagi na zerowania się
naprężeń normalnych są spełnione tożsamościowo.
Równanie drugie
∫∫ τ xy dA = ∫∫ − Gθ (x )z dA = − Gθ (x )∫∫ z dA = 0 ,
A
A
A
jest spełnione, bo całka to moment statyczny względem osi centralnej Y.
Z analogicznego powodu spełnione jest trzecie równanie równoważności:
∫∫ τ xz dA = ∫∫ Gθ (x )y dA = − Gθ (x )∫∫ y dA = 0 .
A
A
A
Przejdźmy do równania czwartego:
∫∫ (− τ xy z + τ xz y )dA
= M s (x )
A
200
Podstawienie pod całkę zależności (15.7) i kolejne przekształcenia dają
∫∫ [Gθ (x ) z
2
]
+ Gθ ( x ) y 2 dA = M s ( x )
(
)
Gθ (x )∫∫ z 2 + y 2 dA = M s (x )
→
A
A
θ (x ) =
M s (x )
G J0
gdzie:
J 0 = ∫∫ y 2 + z 2 dA = ∫∫ ρ 2 dA to biegunowy moment bezwładności przekroju
(15.8)
(
)
A
A
poprzecznego względem jego środka ciężkości, a iloczyn GJ 0 nazywany jest sztywnością na
skręcanie.
Wstawiając (15.8) do (15.5) otrzymujemy wzór określający rozkład naprężeń stycznych w
przekroju poprzecznym skręcanego pręta o przekroju kołowo-symetrycznym:
τ=
M s (x )
ρ.
J0
(15.9)
14.2. Analiza stanu naprężenia i odkształcenia
W rozważanym przypadku na płaszczyznach prostopadłych do osi układu odniesienia nie ma
naprężeń normalnych a występujące w płaszczyźnie przekroju poprzecznego naprężenia
styczne określone wzorem (15.9) są liniowo zależne od odległości od jego środka ciężkości.
Zatem swą największą wartość osiągają one w punktach leżących na obwodzie:
max τ =
M s (x )
M (x )
r= s
J0
W0
J0
r
wytrzymałości)
gdzie: W0 =
(15.10)
- wskaźnik wytrzymałości przy skręcaniu (lub biegunowy wskaźnik
Rozkład tych naprężeń stycznych pokazany
jest na rys.15.4 i jak już powiedziano wyżej
ich kierunek jest prostopadły do wektora
wodzącego punktu a zwrot taki, że kręcą one
względem środka ciężkości tak samo jak
obciążający przekrój moment skręcający.
Kołowa symetria przekroju powoduje, że taki
liniowy rozkład występuje na każdym
odcinku przechodzącym przez środek
przekroju poprzecznego.
maxτ
maxτ
Rys. 15.4
Pokazuje to wyraźniej rys. 14.5, który może również ułatwić zrozumienie, że w omawianym
przypadku w każdym punkcie pręta mamy do czynienia z płaskim stanem naprężenia
(dokładniej z czystym ścinaniem) i że płaszczyzną tego stanu jest płaszczyzna prostopadła do
przekroju poprzecznego i prostopadła do wektora wodzącego punktu. Naprężenia główne, z
których jedno jest rozciągające a drugie ściskające o wartościach równych naprężeniom
stycznym, nachylone są pod kątem 45° do osi pręta (rys.15.5).
201
max τ
σ1= τ
τ
τ
σ2= τ
45°
45°
max τ
σ2= τ
σ1= τ
Rys.14.5
Macierz odkształceń odpowiadającą wyznaczonym naprężeniom obliczamy korzystając ze
związków fizycznych Hooke’a.
Z zależności (15.3) i (18.8) wynika, że kąt skręcenia dwóch przekrojów odległych o x jest
równy:
x
x
0
0
ϕ ( x ) = ∫ θ ( x ) dx = ∫
M s (x )
dx .
G J0
(15.11)
Stąd, całkowity kąt skręcenia pręta o długości l , obciążonego stałym momentem skręcającym
M s ( x ) = M s , wynosi:
ϕ=
Ms l
.
G J0
(15.12)
W tym miejscu warto zwrócić uwagę na zależność (15.11), pokazuje ona, że funkcja
momentów skręcających podzielona przez sztywność na skręcanie GJ0 jest pochodną kąta
skręcenia.
15.3. Energia sprężysta skręcanego pręta o kołowo symetrycznym przekroju
Podstawienie wyrażeń określających elementy macierzy naprężeń do wzorów (8.18) pozwala
na wyznaczenie gęstości energii sprężystej i energii sprężystej dla skręcanego pręta o kołowo
symetrycznym przekroju poprzecznym:
2
τ2
1 +ν 2
1  M s (x ) 
Φ=
τ xy + τ xz2 =
=
ρ ,

E
2G 2G  J o

i stąd energia sprężysta takiego pręta o długości l wynosi:
(
)
2
U = ∫∫∫ Φ dV = ∫∫∫
V
V
2
l
l
M s2 ( x )
1  M s (x ) 
1  M s (x ) 
ρ
dV
=
dx
ρ
dA
=


∫ ∫∫ 2 G  J o 
∫ 2 G J o dx .
2G  Jo

0
A
0
W przypadku pręta, którego przekrój poprzeczny zmienia się na jego długości, energia
sprężysta jest równa:
202
n
U =∑
i =1
li
M si2 ( x )
∫ 2GJ oi dx ,
0
(15.13)
gdzie sumowanie należy wykonać po wszystkich przedziałach charakterystycznych.
15.4. Wymiarowanie skręcanych prętów o kołowo symetrycznym przekroju
Stan graniczny nośności wymaga aby największe naprężenia styczne w konstrukcji były
mniejsze od naprężeń obliczeniowych przy ścinaniu Rt :
max τ ≤ Rt
W przypadku pręta o stałym przekroju poprzecznym na całej jego długości największe
naprężenia styczne wystąpią w przekroju maksymalnego momentu skręcającego we
wszystkich punktach na obwodzie i warunek stanu granicznego nośności przyjmie formę:
max τ =
max M s
≤ Rt
W0
(15.14)
Stan graniczny użytkowania nie dopuszcza zbyt dużego kąta skręcenia w konstrukcji i
związany z nim warunek stawia wymóg, by największy jednostkowy kąt skręcenia był
mniejszy od dopuszczalnego:
max θ ≤ θ dop .
W przypadku pręta pryzmatycznego wykonanego z jednego materiału największy
jednostkowy kąt skręcenia wystąpi w przekroju maksymalnego momentu skręcającego i
warunek stanu granicznego użytkowania przyjmuje postać:
max M s
≤ θ dop .
G J0
(15.15)
15.5. Przykłady
Przykład 15.5.1. Wyznaczyć biegunowy moment bezwładności i biegunowy wskaźnik
wytrzymałości dla przekroju kołowego i rurowego.
Z
Z
Y
O
r
rw
rz
d
J0 = J y + J z =
W0 =
Y
O
π r4
2
=
π d4
J0 =
32
J0 π r3 π d 3
=
=
r
2
16
π rz4
2
−
π rw4
2
=
π rz4 
r 
1 −  w 
2   rz 

4
J 0 π rz3   rw  
1 −   
W0 =
=
rz
2   rz  


203
4


Przykład 15.5.2.Wyznaczyć potrzebną średnicę pręta skręcanego obciążonego jak na rysunku
ze względu na stan graniczny nośności i użytkowania jeśli Rt = 130 MPa, G = 80 GPa,
θ dop = 0.3o /m. Po przyjęciu średnicy wyznaczyć wykres kątów skręcenia poszczególnych
przekrojów względem przekroju A.
D
C
B
A
3 kNm
13 kNm
6 kNm
X
MSA
1.5 m
1.0 m
1.0 m
Rozwiązanie
Wykres momentów skręcających pozwoli określić maksymalny moment skręcający w
konstrukcji. Aby go wyznaczyć wpierw wyliczymy moment skręcający w utwierdzeniu. Po
przyjęciu jego zwrotu jak na rysunku warunek równowagi sił działających na pręt ma postać:
∑Mx = 0
∑Ms = 0,
lub inaczej
co pokazuje fizyczną interpretację tego warunku:
M SA + 6 − 13 + 3 = 0 → M SA = 4.0 kNm.
Aby sporządzić wykres momentów skręcających wygodnie jest przyjąć lokalną umowę
znakowania tych sił przekrojowych, która uwalniałaby nas od układu globalnego i informacji
po której stronie przekroju dokonywana jest redukcja. Z podobnymi umowami mieliśmy już
do czynienia - był to układ własny przekroju poprzecznego pręta przy znakowaniu sił
poprzecznych i podłużnych czy też spody przy momentach zginających.
Umowę znakowania momentów skręcających pokazuje poniższy rysunek
ujemne momenty
skręcające
dodatnie momenty
skręcające
Przy tej umowie wykres momentów skręcających w rozważanym pręcie pokazuje rysunek
poniżej:
13 kNm
6 kNm
X
1.0 m
1.5 m
1.0 m
10.0
Ms(x)
Nm
3.0
4.0
3 kNm
D
C
B
A
ϕ Ax
204
0.475°
0.120°
°
0.567°
4 kNm
Maksymalny moment skręcający max Ms = 10.0 kNm.
Wyznaczenie średnicy pręta.
Potrzebny wymiar ze względu na stan graniczny nośności:
max M s
maxτ =
≤ Rt
W0
max M s
→ W0 ≥
Rt
→
π d3
10 * 10 3
≥
16
130 * 10 6
→ d ≥ 7.23* 10 −2 m.
Potrzebny wymiar ze względu na stan graniczny użytkowania:
maxθ =
max M s
max M s
π d 4 10 * 10 3 * 180 o
≤θ dop → J 0 ≥
→
≥
→ d ≥ 12.49 * 10 −2 m.
9
GJ 0
G θ dop
32
80 * 10 * π * 0.3
W warunku stanu granicznego użytkowania θ dop podane w °/m należało wyrazić w 1/m a
ponieważ 180° = π - stąd forma zapisu tego warunku.
Przyjęto do wykonania d = 12.5 cm .
Biegunowy moment bezwładności pręta przy takiej średnicy wynosi:
J0 =
π * 12.5 4
32
= 2396.84 cm4.
Kąty skręcenia względem przekroju utwierdzenia wyznaczymy sumując kąty skręcenia
poszczególnych przekrojów charakterystycznych względem siebie.
Ponieważ we wszystkich przedziałach charakterystycznych momenty skręcające są stałe, to
kąty skręcenia możemy liczyć według wzoru:
ϕ=
Ms l
.
G J0
Zatem:
ϕ AB =
ϕ BC
− 4.0 * 103 * 1.0
180 o
=
−
0
.
0021
rd
=
−
0
.
0021
*
= −0.120 o ,
9
−8
π
80 * 10 * 2396.84 * 10
− 10.0 * 103 * 1.5
180 o
=
= −0.0078 rd = −0.0078*
= −0.447 o ,
9
−8
π
80 * 10 * 2396.84 * 10
ϕ CD =
180 o
3.0 * 10 3 * 1.0
=
0
.
0016
rd
=
0
.
0016
*
= 0.092 o ,
9
−8
π
80 * 10 * 2396.84 * 10
ϕ AD = ϕ AB + ϕ BC + ϕ CD = −0.120 − 0.447 + 0.092 = −0.475 o .
Obliczone kąty pozwalają narysować wykres kątów skręcenia, który został pokazany na
rysunku wyżej.
Przykład 15.5.3. Wyznaczyć maksymalne naprężenie styczne w przekroju poprzecznym
dwustronnie zamocowanego pręta skręcanego o skokowo zmiennym przekroju kołowym jak
na rysunku. Dane są: d, l, G oraz M.
205
1.045 M
2.955 M
0.045 M
Pręt jest jednokrotnie statycznie
niewyznaczalny
gdyż
do
3d
d
2d
MsE wyznaczenia dwóch reakcji w
M
4M
MsA
postaci momentów skręcających
w utwierdzeniach M sA i M sE
X
C
A
B
E
D
dysponujemy
tylko
jednym
2l
2l
l
l
równaniem
równowagi,
tj.
Dodatkowego
∑Ms = 0.
równania należy, jak zawsze w
Ms
przypadku zadania statycznie
niewyznaczalnego, poszukiwać w
warunkach
geometrycznych
konstrukcji. W tym przypadku
warunek geometryczny wynika z
obustronnego zamocowania pręta,
zatem kąt skręcenia skrajnych
przekrojów jest równy zero co
daje dodatkowe równanie w
postaci ϕ AE = 0 .
Przy założonych jak na rysunku, zwrotach momentów skręcających w utwierdzeniach
równania te mają postać:
• równanie równowagi
∑ M s = 0 → M sA + M − 4M + M sE = 0 ,
• równanie geometryczne
ϕ AE = 0 → ϕ AB + ϕ BC + ϕ CD + ϕ DE = 0 ,
M sA 2l (M sA + M ) 2l (M sA + M − 4M ) l (M sA + M − 4M ) l
+
+
+
=0
GJ 0 AB
GJ 0 BC
GJ 0CD
GJ 0 DE
Biegunowy moment bezwładności na odcinku AB jest równy:
π d4
J 0 AB =
i jeśli oznaczymy go przez J 0 , to biegunowe momenty bezwładności na
32
pozostałych odcinkach pręta wynoszą: J 0 BC = J 0CD = 16 J 0 , J 0 DE = 81J 0 . Przy tych
oznaczeniach równanie geometryczne przyjmuje postać:
M sA 2l (M sA + M ) 2l (M sA + M − 4M ) l (M sA + M − 4M ) l
+
+
+
= 0,
GJ 0
G * 16 J 0
G * 16 J 0
G * 81J 0
z którego wyliczamy M sA = 0.045M , a po wstawieniu do równania równowagi otrzymujemy
M sE = 2.955M . Wykres momentów skręcających pokazany na rysunku i geometria
przekrojów poprzecznych pręta pozwala sądzić, że największe naprężenia styczne wystąpią
na odcinku CD w punktach na obwodzie przekroju poprzecznego i będą miały wartość:
max τ =
2.955 M
π (2d ) 32d
4
= 1.88
M
d3
.
206
Przykład 15.5.4. Wyznaczyć potrzebną średnicę pręta skręcanego, obciążonego jak na
rysunku ze względu na stan graniczny nośności i użytkowania, jeśli Rt = 110 MPa,
G = 80 MPa, θ dop = 0.3o /m. Po przyjęciu średnicy wyznaczyć wykres kątów skręcenia
poszczególnych przekrojów względem przekroju A.
0.8 d
d
20 kNm
A
X
B
2m
3m
3 kNm/m
C D
1m
E
4m
Rozwiązanie
Pręt jest jednokrotnie statycznie niewyznaczalny. Do wyznaczenia dwóch reakcji w postaci
momentów skręcających w utwierdzeniach M sA i M sE dysponujemy jednym równaniem
równowagi i jednym równaniem geometrycznym.
0.8 d
d
20 kNm
MsA
A
X
B
2m
C D
1m
MsE
E
4m
14.012
6.012
5.988
3m
3 kNm/m
Ms
kNm
3.3768
7.996 m
ϕ AX
3.3346
9.2893
10 -3 rd
Przy założonych jak na rys. zwrotach momentów skręcających w utwierdzeniach równania te
mają postać:
• równanie równowagi
∑ M s = 0 → − M sA + 20 − 3* 4 + M sE = 0
• równanie geometryczne
207
ϕ AE = 0 → ϕ AB + ϕ BC + ϕ CD + ϕ DE = 0
− M sA * 2 (− M sA + 20 )* 3 (− M sA + 20)* 3 (− M sA + 20 − 3* 4)* 2
+
+
+
=0
GJ 0 AC
GJ 0 AC
GJ 0CE
GJ 0CE
W powyższym równaniu równowagi obciążenie, rozłożonym w sposób ciągły momentem
skręcającym na odcinku DE zostało zastąpione równoważnym, skupionym w środku odcinka
momentem skręcającym.
π d4
Biegunowy moment bezwładności na odcinku AC jest równy J 0 AC =
i jeśli oznaczymy
32
go przez J 0 , to biegunowy moment bezwładności na pozostałym odcinku pręta ma wartość
J 0CE =
π d4
π (0.8 d )4
−
= 0.5904 J 0 . Po wykorzystaniu tej zależności i prostych
32
32
rachunkach równanie geometryczne przyjmuje postać:
− 13.4688M sA + 188.7263 = 0
Z tych dwóch równań otrzymujemy: M sA = 14.012 kNm,
M sE = 6.012 kNm.
Równania momentów skręcających:
0 < x < 2 .0 m
2 .0 < x < 6 .0 m
M s ( x ) = − M sA = −14.012 kNm,
M s ( x ) = − M sA + 20 = 5.988 kNm
6.0 < x < 10.0 m
M s (x ) = 5.988 − 3( x − 6); M s (6) = 5.988 kNm, M s (7.996) = 0 , M s (10) = −6.012 kNm.
W miejscu zerowania się momentu skręcającego, tj. dla x = 7.996 m wystąpi ekstremum kąta
skręcenia w tym przedziale.
Wykres momentów skręcających pokazany jest wyżej.
Wyznaczenie wielkości potrzebnej średnicy pręta.
odcinek AC
max Ms =14.012 kNm
• stan graniczny nośności
max M s
max M s
≤ Rt → W0 ≥
W0
Rt
• stan graniczny użytkowania
max M s
≤ θ dop
GJ 0
→ J0 ≥
max M s
G θ dop
→
→
π d3
16
≥
π d4
32
14.012 * 10 3
110 * 10 6
≥
odcinek CE
max Ms =6.012 kNm
208
→ d ≥ 0.087 m,
14.012 * 10 3 * 180 o
→ d ≥ 0.136 m.
80 * 10 9 * 0.3* π
J0 =
π d4
32
−
π (0.8 d )4
32
= 0.5904
π d4
32
= 0.0580 d 4 ,
J0
= 0.1159 d 3 .
d 2
• stan graniczny nośności
W0 =
max M s
max M s
6.012 * 10 3
3
≤ Rt → W0 ≥
→ 0.1159 d ≥
→ d ≥ 0.078 m,
W0
Rt
110 * 10 6
• stan graniczny użytkowania
max M s
max M s
6.012 * 10 3 * 180 o
≤ θ dop → J 0 ≥
→ 0.0580 d 4 ≥
→ d ≥ 0.125 m.
GJ 0
G θ dop
80 * 10 9 * 0.3* π
Przyjęto do wykonania d = 0.14 m..
Biegunowy moment bezwładności na odcinku AC wynosi 3771 cm4 a na odcinku CE jest
równy 2227 cm4
Równania kątów skręcenia względem przekroju A :
0 < x < 2 .0 m
x
ϕ Ax = ∫
0
x
M s (x )
− 14.012 * 10 3
dx = ∫
dx = −4.6447 * 10 −3 x;
9
−8
GJ 0
0 80 * 10 * 3771* 10
ϕ AB = −9.2893 * 10 −3 rd
.
2 .0 < x < 5 .0 m
x
ϕ Ax = ϕ AB + ∫
2
x
M s (x )
5.988 * 10 3
dx = ϕ AB + ∫
dx =
9
−8
GJ 0
80
*
10
*
3771
*
10
2
= −9.2893 * 10 −3 + 1.9849 * 10 −3 ( x − 2);
ϕ AC = −3.3346 * 10 −3 rd
5 .0 < x < 6 .0 m
x
M s (x )
5.988 * 10 3
dx = ϕ AC + ∫
dx =
+∫
9
−8
GJ 0
5 80 * 10 * 2227 * 10
5
x
ϕ Ax = ϕ AC
= −3.3346 * 10 −3 + 3.3610 * 10 −3 ( x − 5);
ϕ AD = 0.0269 * 10 −3 rd
6.0 < x < 10.0 m
x
ϕ Ax = ϕ AD + ∫
6
x
M s (x )
[5.988 − 3(x − 6)]* 10 3 dx =
dx = ϕ AD + ∫
9
−8
GJ 0
6 80 * 10 * 2227 * 10
= −50.4496 * 10 −3 + 13.4643 * 10 −3 x − 0.8420 * 10 −3 x 2 ;
209
ϕ AE = −0.5421* 10 −6 rd ≈ 0
Ekstremalny kąt skręcenia w tym przedziale: ϕ Ax (7.996) = 3.3768 * 10 −3 rd .
Wykres kątów skręcenia względem przekroju A jest wyżej pokazany.
Przykład 15.5.5. W skręcanym pręcie kołowym o średnicy d = 12 cm obciążonym jak na rys.
wyznaczyć: wykres momentów skręcających,
wykres kątów skręcenia poszczególnych
4 kNm
przekrojów względem przekroju A oraz
ekstremalne naprężenia główne i
odkształcenia główne jeżeli stałe materiałowe
A
wynoszą E = 205 GPa, ν = 0.3 .
5 kNm/m
X
10 kNm/m
B
2m
C
2m
Rozwiązanie
5 kNm/m
4 kNm
A
X
10 kNm/m
B
2m
C
Ms
kNm
9.00
5.25
4.00
11.00
2m
2.9 m
ϕ AX
5.815
9.584
7.061
2.232
10-3 rd
Równania momentów skręcających:
0 < x < 2 .0 m
1
M s ( x ) = −4.0 − 2.5 x * x = −4.0 − 1.25 x 2 ,
2
M s (0) = −4.00 kNm, M s (1) = −5.25 kNm, M s (2) = −9.00 kNm.
2 .0 < x < 4 .0 m
M s ( x ) = −9 + 10( x − 2) = 10 x − 29
M s (2) = −9.00 kNm, M s (4) = 11.00 kNm, M s (2.9) = 0.00 kNm.
Biegunowy moment bezwładności przekroju pręta wynosi: J 0 =
210
π * 12 4
= 2035.75 cm4.
32
E
205 * 10 9
Sztywność na skręcanie GJ 0 =
J0 =
2035.75 * 10 −8 = 1.6051* 10 6 Nm2.
2(1 + ν )
2(1 + 0.3)
Równania kątów skręcenia względem przekroju A:
0 < x < 2 .0 m
x
ϕ Ax = ∫
0
(
)
x
M s (x )
− 4 + 1.25 x 2 * 10 3
dx = ∫
dx = − 2.492 x + 0.2596 x 3 * 10 −3 rd
6
GJ 0
1.6051* 10
0
(
)
ϕ Ax (1) = −2.232 * 10 −3 rd , ϕ Ax (2) = ϕ AB = −7.061* 10 −3 rd .
2 .0 < x < 4 .0 m
x
M s (x )
(10 x − 29)* 103 dx = 16.613 + 3.115 x 2 − 18.067 x * 10 −3 rd
+∫
dx = ϕ AB + ∫
6
GJ 0
2
2 1.6051* 10
x
ϕ Ax = ϕ AB
(
)
ϕ Ax (2) = ϕ AB = −7.061* 10 −3 rd , ϕ Ax (3) = −9.553 * 10 −3 rd , ϕ Ax (4 ) = ϕ AC = −5.815 * 10 −3 rd .
Ekstremalny kąt skręcenia: ϕ Ax (2.9) = −9.584 * 10 −3 rd .
Ekstremalne naprężenia główne i odkształcenia główne wystąpią w przekroju największego
momentu skręcającego w dowolnym punkcie na obwodzie przekroju poprzecznego pręta.
Z
Jeśli wybierzemy punkt K , to przy przyjętym
układzie współrzędnych, wystąpią w nim jedynie
naprężenia styczne:
τ xz = τ zx
M
11.0 * 10 3
=− s =−
= −32.420 MP.
Wo
π * 0.12 3 16
τ zx
Y
K
τ xz
X
W wybranym punkcie występuje płaski stan naprężenia (czyste ścinanie) , który w
płaszczyźnie stanu naprężenia (tzn. płaszczyźnie (X, Z)) jest reprezentowany przez macierz :
− 32.42
 0
Tσ = 
MPa.
0 
− 32.42
Naprężenia główne mają wartości:
σ max =
σ min =
σx +σz
2
σx +σz
2
2
+
σ x − σ z 
2

 + τ xz
2


−
σ x − σ y


2

= 32.42 MPa,
2

2
 + τ xz
= −32.42 MPa.


a ich kierunki określają kąty :
211
tg α max =
− τ xz
= −1.0
σ z − σ max
→ α max = −45o , tg α min =
− τ xz
= 1.0 → α min = 45 o
σ z − σ min
Z
32.42
Z
32.42
min
σ max = 32.42
X
α min = 45 o
32.42
X
σ min = 32.42
32.42
α max = 45 o
max
Wartości ekstremalnych odkształceń głównych wyznaczymy, korzystając z równań Hooke’a
32.42 (1 + 0.3)* 10 6
1
ε max = (σ max − νσ min ) =
= 0.206 * 10 −3 ,
9
E
205 * 10
ε min =
6
1
(σ min − νσ max ) = − 32.42 (1 + 0.39)* 10 = −0.206 * 10 −3 .
E
205 * 10
Kierunki włókien, które mają ekstremalne odkształcenia liniowe (a odkształcenia kątowe są
równe zero) pokrywają się z kierunkami naprężeń głównych.
15.6. Naprężenia styczne w skręcanym pręcie o przekroju prostokątnym
Przy skręcaniu prętów o przekroju poprzecznym każdym innym niż kołowo symetrycznym,
nie jest prawdziwe założenie jakoby przekrój płaski przed przyłożeniem obciążenia pozostał
taki po obciążeniu i jego przemieszczenia polegały jedynie na obrocie wokół osi pręta.
Swobodnemu skręcaniu takich prętów towarzyszy deplanacja (wypaczanie) ich przekroju
poprzecznego, tzn. punkty przekroju poprzecznego mogą się swobodnie przemieszczać w
kierunku równoległym do jego osi i naprężenia normalne w przekroju poprzecznym są równe
zero.
Otrzymanie ścisłych wyników dla takich przypadków wymaga użycia bardziej niż dotąd
złożonych metod analizy matematycznej i niżej ograniczymy się jedynie do podania
końcowych wyników ścisłego rozwiązania zagadnienia skręcania pręta o przekroju
prostokątnym uzyskanych przez de Saint-Venanta w 1855 r.
Rozkład naprężeń stycznych w skręcanym przekroju prostokątnym pokazany jest na rys.15.6.
Należy przede wszystkim zauważyć, że naprężenia te są styczne do konturu i osiągają
największą wartość w połowie dłuższego boku, a zerują się w narożach. Zwrot naprężeń jest
taki, że kręcą względem środka tak samo jak obciążający moment skręcający.
Wartości największych naprężeń stycznych oraz jednostkowego kąta podają wzory:
212
Z
max τ
max τ =
Ms
α hb2
,
(15.16)
.
(15.17)
Y
h
θ =
Ms
G β h b3
b
Rys. 15.6
Współczynniki α oraz β występujące we wzorach (15.16) i (15.17) zależą są od stosunku
boków h/b (b jest z umowy krótszym bokiem) i podane są w tabelce poniżej
h/b
α
β
1.0
1.5
1.75
2.0
2.5
3.0
4.0
6.0
8.0
10.0
∞
0.208 0.231 0.239 0.246 0.258 0.267 0.282 0.299 0.307 0.313 0.333
0.141 0.196 0.214 0.229 0.249 0.263 0.281 0.299 0.307 0.313 0.333
15.7. Przybliżony sposób wyznaczania naprężeń stycznych w skręcanych prętach o
dowolnym przekroju
Ten przybliżony sposób stosujemy najczęściej przy skręcaniu prętów cienkościennych. Pręty
takie charakteryzują się niewielką grubością ścianki w stosunku do pozostałych wymiarów.
Ze względu na kształt przekroju możemy je podzielić na profile otwarte i profile zamknięte
(rys.15.7). Zajmiemy się każdym z tych rodzajów prętów oddzielnie a głównym naszym
celem będzie wyznaczenie największych naprężeń stycznych w przekroju.
profile otwarte
profile zamknięte
Rys. 15.7
Zaczniemy od profili otwartych. Pierwszym krokiem, który musimy dokonać w tym podejściu
jest podział i aproksymacja całkowitego przekroju na części składowe, każda o przekroju
prostokątnym (rys. 15.8). Dalej ten aproksymowany przekrój traktowany jest jako zbiór
prostokątów, każdy obciążony jakimś swoim momentem skręcającym. Dla takiego
przybliżonego przekroju przyjmiemy następnie założenia upraszczające:
• suma momentów skręcających poszczególne prostokątne części składowe jest równa
momentowi skręcającemu przyłożonemu do całego profilu
• jednakowy jest jednostkowy kąt skręcania wszystkich poszczególnych elementów
składowych.
213
b2
Rozważmy pokazany na rys.15.8 przekrój i
podzielmy go trzy prostokątne elementy (zatem w
dalszych wzorach n = 3) o wymiarach bixhi, gdzie
szerokość bi jest mniejszym wymiarem danego
prostokąta. Podział na elementy składowe w
zasadzie jest dowolny ale wskazane jest
„zdroworozsądkowe” podejście w tym zakresie.
h3
b3
Ms
b1
h1
Rys. 15.8
Dla każdego składowego „i-tego” elementu obowiązują zależności i rozkład naprężeń
stycznych jak w prostokącie:
τ max i
max τ i =
M si
α i hi bi2
, θi =
bi
M si
Gβ i hi bi3
hi
Pierwsze założenie upraszczające daje równanie (możemy je nazwać równaniem równowagi):
n
M s = ∑ M si ,
(15.18)
i =1
a drugie założenie upraszczające pozwala napisać zależności (możemy je nazwać
geometrycznymi):
θi = θ .
(15.19)
Ze wzorów dla prostokąta i zależności geometrycznych otrzymujemy związki :
M s i = θ i Gβ i hi bi3 =θ Gβ i hi bi3 , które po wstawieniu do równania (15.18) dają zależność:
n
n
i =1
i =1
M s = ∑ M s i = θ G ∑ β i hi bi3 ,
z której możemy wyznaczyć jednostkowy kąt skręcenia przekroju:
θ=
Ms
GJ s
(15.20)
3
gdzie: J s = ∑ β i hi bi3
(15.21)
i =1
Wstawiając wyrażenie na jednostkowy kąt skręcenia (15.20) do wzoru na moment skręcający
w „i-tym” prostokącie:
M s i =θ Gβ i hi bi3 =
Ms
M
Gβ i hi bi3 = s β i hi bi3
G Js
Js
a dalej do wzoru na naprężenia styczne, otrzymujemy wzór określający wielkość
maksymalnych naprężeń stycznych w nim występujących:
214
M s βi
bi .
(15.22)
J s αi
Za maksymalne naprężenie styczne w przekroju uznajemy największe naprężenie ze
wszystkich składowych prostokątów.
Tablica wartości współczynników α oraz β pokazuje, że dla prostokątów, których wysokość
h jest znacznie większa od szerokości b iloraz β i α i jest bliski jedności i gdy przekrój
„składa” się właśnie z takich prostokątów to największe naprężenie styczne wystąpi w
prostokącie o największej szerokości.
Zajmijmy się teraz największymi naprężeniami stycznymi w przekroju poprzecznym profili
zamkniętych i w dodatku tylko jednokomorowych (rys.15.9).
max τ i =
Z
τ
h(s)
δ1
ds
Y
τ1
dA
τ2
Ms
dx
δ2
s
dx
X
Rys. 15.9
W tym przypadku założeniem upraszczającym będzie przyjęcie, że naprężenia styczne
rozkładają się równomiernie na grubości ścianki. Ponieważ naprężenia styczne na dwóch do
siebie prostopadłych płaszczyznach są sobie równe, to warunek równowagi wyciętego
dowolnie małego elementu pręta dowodzi:
∑X =0
→ τ 1δ 1 dx − τ 2δ 2 dx = 0 → τ 1δ 1 = τ 2δ 2 ,
że iloczyn grubości ścianki i panujących w tym miejscu naprężeń stycznych jest stały
τ δ = const
Z kolei z twierdzenia o równoważności układów sił zewnętrznych i wewnętrznych wynika:
M s = ∫τ (s )δ (s ) ds h(s ) = τδ ∫ h(s ) ds .
Rys.15.9 pokazuje, że h(s ) ds 2 = dA , zatem:
M s = τδ 2∫∫ dA = 2τ δ A 0
A
gdzie: A 0 - pole obszaru ograniczonego linią środkową ścianki. Możemy więc napisać
zależność:
τ=
Ms
2δ A 0
(15.23)
z której wynika, że maksymalne naprężenia styczne wystąpią w miejscu w którym grubość
ścianki jest minimalna i wynoszą:
215
Ms
.
(15.24)
2 A 0 min δ
Wyznaczmy teraz jednostkowy kąt skręcenia takiego pręta. W rozdziale 8 stwierdziliśmy, że
w przypadku obciążeń statycznych w konstrukcji wykonanej z materiału sprężystego praca sił
zewnętrznych jest równa energii sprężystej układu. Zatem dla pręta o rozważanym przekroju i
jednostkowej długości obciążonego momentem skręcającym M s możemy napisać:
maxτ =
1
τ2
M s θ = ∫∫∫
dV .
2
2
G
V
Podstawiając do powyższej zależności wzór (15.23) i uwzględniając geometrię przekroju
poprzecznego pręta, otrzymujemy:
M s2
1
Msθ = ∫
dA ,
2
8 Gδ 2 A 20
ale dA = δ ds , więc ostatecznie, po prostym przekształceniu, dostajemy:
Ms
ds
θ=
.
(15.25)
2 ∫
4 G A0 δ
Wzory (15.24) i (15.25), określające przybliżone wartości maksymalnych naprężeń stycznych
i jednostkowego kąta skręcenia dla profili zamkniętych nazywane bywają wzorami Bredta.
15.7.1. Przykłady
Przykład 15.7.1.1. Wyznaczyć największe naprężenie styczne w przekroju poprzecznym
szyny kolejowej pokazanej na rys. skręcanej momentem o wartości Ms = 1.0 kNm.
68
68
13
9
40
1
40
13
135
71
2
24
wymiary
w mm
17
3
114
114
Rozwiązanie
Po aproksymacji przekroju trzema prostokątami jak na rysunku potrzebujemy wyznaczyć
współczynniki α i oraz β i dla każdego z nich. Interpolując wartości podane w tabelce
otrzymujemy:
prostokąt 1: h1 b1 = 68 40 = 1.70 → α 1 = 0.237 , β 1 = 0.210
prostokąt 2: h2 b2 = 71 13 = 5.50 → α 2 = 0.295, β 2 = 0.295
prostokąt 3: h3 b3 = 114 17 = 6.70 → α 1 = 0.302 , β1 = 0.302
3
J s = ∑ β i hi bi3 = 0.210 * 6.8 * 4.0 3 + 0.295 * 7.1* 1.33 + 0.302 * 11.4 * 1.7 3 = 112.91 cm4.
i =1
216
Największe naprężenie styczne wystąpi w prostokącie 1 (ma największą szerokość) i
przyjmujemy, że jest to największe naprężenie styczne w rozważanym przekroju
max τ = max τ 1 =
M s β1
1* 10 3
0.210
b1 =
4 * 10 − 2 = 31.39 * 10 6 N/m2 = 31.39 MPa.
−8
J s α1
0
.
237
112.91* 10
Przykład 15.7.1.2. Zbadać jaki wpływ na wielkość największego naprężenia stycznego w
przekroju poprzecznym skręcanym momentem Ms ma sposób jego aproksymacji
prostokątami w dwóch pokazanych na rysunku przekrojach.
a
a
4a
5a
a
a
5a
a
a
a
4a
Rozwiązanie
Pierwszy przekrój.
Podział na trzy prostokąty
a
a
1
2
Współczynniki α i = 0.208 , β i = 0.141
3
J s = ∑ β i hi bi3 = 3 * 0.141 a 4 = 0.423 a 4
a
a
i =1
3
max τ =
Ms β
Ms
M
0.141
b=
a = 1.6026 3s
4
Js α
0.423 a 0.208
a
Podział na dwa prostokąty
a
a
1
a
a
Współczynniki α 1 = 0.246 , β 1 = 0.229 , α 2 = 0.208 , β 2 = 0.141
2
J s = ∑ β i hi bi3 = 0.229 * 2a * a 3 + 0.141 a 4 = 0.599 a 4
i =1
2
max τ 1 =
M s β1
Ms
M
0.229
b1 =
a = 1.5541 3s
4
J s α1
0.599 a 0.246
a
max τ 2 =
M s β2
Ms
M
0.141
b2 =
a = 1.1317 3s
4
Js α2
0.599 a 0.208
a
Jeśli przyjąć pierwszy podział za „miarodajny” to procentowy błąd wynikający z drugiego
podziału wynosi 100 (1.6026 − 1.5541) 1.6026 = 3.03 %
Drugi przekrój.
217
Podział na trzy prostokąty
Współczynniki: α 1 = β 1 = 0.314 , α 2 = α 3 = 0.282 ,
β 2 = β 3 = 0.281
2
5a
4a
5a
a
3
a
a
1
J s = ∑ β i hi bi3 = 0.314 * 12a * a 3 +
i =1
+ 2 * 0.281* 4a * a = 6.016 a 4
3
4a
max τ 1 =
M s β1
Ms
Ms
0.314
b1 =
a
=
0
.
1662
J s α1
6.016 a 4 0.314
a3
max τ 2 =
M s β2
Ms
M
0.281
b2 =
a = 0.1656 3s
4
Js α2
6.016 a 0.282
a
Podział na cztery prostokąty
Współczynniki
α = β = 0.290 są takie same dla wszystkich
2
5a
1
a
4a
5a
4
a
a
3
czterech prostokątów
4
4a
J s = ∑ β i hi bi3 = 4 * 0.290 * 5a * a 3 = 5,80 a 4
i =1
Maksymalne naprężenie styczne w każdym
prostokącie będzie równe
max τ =
Ms β
M s 0.290
M
b=
a = 0.1724 3s
4
Js α
5.80 a 0.290
a
Procentowy błąd wynikający z różnej aproksymacji prostokątami w tym przypadku wynosi
100 (0.1724 − 0.1662) 0.1724 = 3.60 %
Te dwa przykłady dowodzą (choć zapewne nie jednoznacznie), że dowolny ale
“rozsądny”podział przekroju na składowe prostokąty ma niewielki wpływ na wartość
największego naprężenia stycznego w przekroju.
Przykład 15.7.1.3. Wyznaczyć jak
zmienią się największe naprężenia
styczne i jednostkowy kąt skręcenia w
rurze skręcanej momentem Ms po jej
przecięciu na pobocznicy równolegle do
jej osi.
MS
0.8 dz
dz
Rozwiązanie
218
W przypadku rury nie rozciętej mamy do czynienia ze skręcaniem przekroju kołowo
symetrycznego. Ścisłe rozwiązanie tego zagadnienia daje największe naprężenia styczne w
dowolnym punkcie na obwodzie o wartości:
Ms
,
W0
max τ =
a jednostkowy kąt skręcenia wynosi:
θ=
Ms
.
GJ 0
Biegunowy moment bezwładności i biegunowy wskaźnik wytrzymałości w rozważanym
przypadku są równe:
J0 =
πd z4
(1 − 0.8 ) = 0.05796 d
32
4
4
, W0 =
J0
=
(
)
π d z4 1 − 0.8 4 32
= 0.1159 d z3 .
dz 2
dz 2
W przypadku rozciętej rury zastosujemy przybliżone rozwiązanie aproksymując przekrój
prostokątem o wymiarach b = 0.1 d z oraz h = π * 0.9 d z = 2.827 d z
b
h
0.8 dz
dz
Największe naprężenia styczne i jednostkowy kąt skręcenia w przekroju prostokątnym
wynoszą:
max τ =
Ms
α b2h
,
θ=
Ms
.
Gβ b 3 h
W rozważanym przypadku dla h b = 2.827 0.1 = 28.27 , współczynniki α = β = 0.333 .
Stąd największe naprężenia styczne po rozcięciu rury wzrastają:
0.1159 d z3
0.333 * (0.1d z ) * 2.827 d z
2
= 12.312 razy,
a jednostkowy kąt skręcenia wzrasta:
0.05796 d z4
0.333 * (0.1d z ) * 2.827 d z
3
= 61.568 razy.
219
Przykład 15.7.1.4. Porównać wartości
maksymalnych
naprężeń
stycznych
jednostkowego kąta skręcenia obliczone
według wzorów ścisłych i przybliżonych
wzorów Bredta, w skręcanej rurze o różnej
grubości ścianki.
R r
MS
Rozwiązanie
Potrzebujemy wyznaczyć pewne charakterystyki geometryczne rury o promieniu
zewnętrznym R i wewnętrznym r występujących we wzorach określających poszukiwane
wielkości.
Grubość ścianki: δ = R − r = R (1 − η ) , gdzie : η = r R .
Biegunowy moment bezwładności: J 0 =
π R4
2
Biegunowy wskaźnik wytrzymałości: W0 =
(1 − η ).
4
π R3
2
(1 − η ).
4
2
2
πR
R+r
(1 + η )2 .
Pole obszaru ograniczonego linią środkową ścianki: A 0 = π 
 =
4
 2 
ds π R (1 + η ) π (1 + η )
Całka po linii środkowej ścianki: ∫ =
=
.
R (1 − η )
δ
(1 − η )
Maksymalne naprężenia styczne obliczone według wzorów otrzymanych z rozwiązania
zagadnienia skręcania prętów kołowo symetrycznych wynoszą:
M
maxτ s = s ,
W0
Maksymalne naprężenia styczne obliczone według przybliżonych wzorów dla
cienkościennych profili zamkniętych są równe:
Ms
maxτ B =
,
2 A 0 min δ
Stosunek naprężeń wyznaczonych według wzorów przybliżonych i ścisłych wynosi:
κ=
(
)
(
(
)(
)
) (
)
maxτ B
1−η 2 1+η 2
1−η 4
1+η 2
=
=
=
(1 + η )
maxτ S (1 − η )(1 + η )2
1 − η 2 (1 + η )
Wykres zależności współczynnika κ od η jest niżej pokazany.
1
0,75
0,5
0,25
0
0
0,25
0,5
r/R
0,75
Wyliczmy minimalną wartość współczynnika
κ.
220
1
(
)
dκ
2η
1+η2
=
−
= 0 → η 2 + 2η − 1 = 0 → η = 0.4142 .
2
dη 1 + η (1 + η )
Stąd minimalna wartość κ wynosi:
1 + 0.4142 2
min κ =
= 0.8284
(1 + 0.4142)
Maksymalne naprężenia styczne obliczone przybliżonym wzorem Bredta w skręcanej rurze,
są niższe od ścisłych a największy procentowy błąd wynosi:
(1-0.8284)*100% = 17.14%.
Jednostkowy kąt skręcenia według wzorów otrzymanych z rozwiązania zagadnienia skręcania
prętów kołowo symetrycznych jest równy:
M
θS = s .
G J0
Jednostkowy kąt skręcenia według przybliżonego wzoru Bredta wynosi:
Ms
ds
.
θB =
2 ∫
4G A 0 δ
Stosunek jednostkowych kątów skręcenia wyznaczonych według wzorów przybliżonych i
ścisłych jest równy:
(
)
(
)
(
) (
)
θB
2 1−η 4
2 (1 − η )(1 + η ) 1 + η 2
2 1+η2
κ1 =
=
=
=
.
θ S (1 − η )(1 + η )3
(1 − η )(1 + η )3
(1 + η )2
Zależności współczynnika κ 1 od η pokazuje poniższy wykres.
2
1,5
1
0,5
0
0
0,25
0,5
0,75
1
r/R
Zatem obliczenia jednostkowego kąta skręcenia, przybliżonym wzorem Bredta, dają wyniki
większe od dokładnych.
221

Skręcanie prętów o przekroju kołowo symetrycznym i prostokątnym

Transkrypt

Podobne dokumenty

Wyznaczanie modułu sprężystości postaciowej G

Opis pojedynczy

Prefabrykowany słup betonowy PRECON, wys

prościarko-obcinarka esr 16 - Budo

= ∑ ∑

Praca domowa - Ośrodek Geometrii i Grafiki Inżynierskiej

ERA Form EF35 - Hepeka-Poland Giętarki ERCOLINA i inne

Ocena Radiologiczna Prętów Udowych Fassier

Nazwa Prefabrykowany słup żelbetowy Prefabrykowany słup