Spis treści w dokumencie pdf

Spis treœci
5
Spis treœci
WSTÊP ..........................................................................................................................9
1. WYBRANE ELEMENTY TEORII GRAFÓW ..................................................................11
1.1 Wstêp ..........................................................................................................................13
1.2 Grafy nieskierowane .................................................................................................15
1.3 Grafy skierowane ......................................................................................................23
1.4 Sk³adowe dwuspójne .................................................................................................31
1.5 Zastosowanie teorii grafów do opisu topologii sieci gazowej ................................34
1.6 Metody generacji oczek ............................................................................................ 43
1.6.1 Metody generacji oczek wykorzystuj¹ce dendryt ............................................45
1.6.2 Metody generacji oczek wykorzystuj¹ce specyfikê sieci gazowych ...............50
Bibliografia .................................................................................................................64
2. BEZPOŒREDNIE METODY ROZWI¥ZYWANIA UK£ADÓW LINIOWYCH RÓWNAÑ
ALGEBRAICZNYCH...................................................................................................11
2.1 Wstêp ..........................................................................................................................58
2.2 Metody bezpoœrednie rozwi¹zywania uk³adów
liniowych równañ algebraicznych z macierzami pe³nymi .....................................59
2.2.1 Metoda eliminacji Gaussa ..................................................................................59
2.2.2 Metoda eliminacji Gaussa z czêœciowym wyborem elementu g³ównego .......67
2.2.3 Metoda eliminacji Gaussa z ca³kowitym wyborem elementu g³ównego ........69
2.2.4 Metoda Jordana ..................................................................................................71
2.2.5 Metoda Doolittle’a ..............................................................................................73
2.2.6 Metody faktoryzacji macierzy ...........................................................................76
2.2.7 Metoda Choleskiego ............................................................................................92
2.3 Metody bezpoœrednie rozwi¹zywania uk³adów liniowych równañ
algebraicznych z macierzami rozrzedzonymi. ........................................................95
2.3.1 Sposoby reprezentacji macierzy rozrzedzonych ..............................................97
2.3.2 Macierze permutacyjne ....................................................................................105
2.3.3 Rozwi¹zywanie zadañ z macierzami rozrzedzonymi ....................................107
2.3.4 Algorytm Cuthill-McKee – minimalizacji wstêgi ..........................................108
2.3.5 Odwrotny algorytm Cuthill-McKee – minimalizacja obwiedni ...................112
2.3.6 Algorytm minimalnego stopnia ........................................................................116
2.3.7 Algorytm Markowitz’a .....................................................................................123
Bibliografia ...............................................................................................................124
Symulacja Sieci Gazowych
6
3.
PRZYBLI¯ONE
METODY
ROZWI¥ZYWANIA
NIELINIOWYCH
RÓWNAÑ
ALGEBRAICZNYCH I ICH UK£ADÓW ..........................................................................133
3.1 Wstêp .........................................................................................................................135
3.2 Metoda punktu sta³ego ...........................................................................................135
3.3 Metoda Newtona ......................................................................................................140
3.4 Metoda siecznych ....................................................................................................147
3.5 Metoda po³owienia ..................................................................................................149
3.6 Metoda regula falsi ..................................................................................................152
3.7 Analiza zbie¿noœci metod ........................................................................................156
3.8 Metoda Newtona dla uk³adów równañ nieliniowych ..........................................169
Bibliografia ...............................................................................................................176
4. METODY SYMULACJI STATYCZNEJ SIECI GAZOWYCH ...........................................177
4.1 Wstêp ........................................................................................................................179
4.2 Podstawowe równania symulacji statycznej .........................................................179
4.2.1 I prawo Kirchhoffa .......................................................................................179
4.2.2 II prawo Kirchhoffa .....................................................................................179
4.2.3 Równanie przep³ywu .....................................................................................181
4.3 Metody oczkowe ......................................................................................................182
4.3.1 Metoda oczkowa ............................................................................................186
4.3.2 Metoda oczkowo-wêz³owa .............................................................................206
4.4 Metody wêz³owe ......................................................................................................208
4.4.1 Metoda wêz³owa .............................................................................................210
4.4.2 Metoda wêz³owo-oczkowa .............................................................................223
Bibliografia ...............................................................................................................225
5. PRZYK£ADY OBLICZANIA SIECI ............................................................................227
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
Metoda oczkowa – wersja wektorowa ...................................................................228
Metoda oczkowa – wersja skalarna .......................................................................264
Metoda oczkowo – wêz³owa ...................................................................................283
Metoda wêz³owa – wersja wektorowa ...................................................................299
Metoda wêz³owa – wersja skalarna .......................................................................340
6. SIMNET SSVTM - PROGRAM DO SYMULACJI STATYCZNEJ SIECI GAZOWYCH ......365
6.1 Wstêp ........................................................................................................................367
6.2 Struktura pakietu SimNet SSV™ ..........................................................................367
6.3 Modu³ Obliczeniowy ..............................................................................................369
6.3.1 Odwzorowanie sieci gazowej na sieæ matematyczn¹ .....................................369
6.3.2 Parametryczny opis obiektów sieci gazowej .................................................372
6.3.3 Zadanie Symulacji Statycznej ..........................................................................374
6.3.4 W³asnoœci Modu³u Obliczeniowego .................................................................375
6.4 Modu³ Bazy Danych ................................................................................................375
6.4.1 Struktura bazy danych .....................................................................................375
6.4.2 Modele elementów sieci gazowej opisane w bazie danych ............................376
6.5 Modu³ Geograficzny ................................................................................................381
6.5.1 Wspó³praca pakietu SimNetSSV™ z innymi systemami GIS ......................382
6.6 Modu³ Zarz¹dzaj¹cy ...............................................................................................382
6.6.1 Edytor Zadania Symulacji Statycznej ...........................................................383
6.6.2 Przygotowanie Zadania Symulacji Statycznej ...............................................383
Spis treœci
7
6.6.3 Dane i wyniki obliczeñ Zadania Symulacji Statycznej na ekranie ..............385
6.6.4 Funkcje nawigacyjne Modu³u Zarz¹dzania ...................................................386
6.6.5 Funkcje graficzne Modu³u Zarz¹dzania ........................................................386
6.7 Zastosowania ............................................................................................................389
6.8 Wymagania sprzêtowe ............................................................................................389
6.9 Przyk³adowe Czasy obliczeñ w praktycznych zastosowaniach ..........................390
6.10 Dodatkowe funkcje u¿ytkowe pakietu SimNet SSV™ ........................................390
6.11 Przyk³adowe ekrany SimNetSSV™ – Windows95 ...............................................391
6.12 Bibliografia ...............................................................................................................398
INDEKS ......................................................................................................................399
Wstêp
9
Wstêp
G
³ównym celem stosowania programów symulacyjnych jest badanie zachowania siê sieci gazowych w okreœlonych warunkach. Komputerowe programy
symulacyjne opracowywane s¹ w oparciu o modele matematyczne. Model matematyczny jest uk³adem równañ, który w okreœlony sposób i z okreœlon¹ dok³adnoœci¹ reprezentuje rzeczywisty system. Model matematyczny jest oczywiœcie uproszczeniem systemu rzeczywistego, poniewa¿ zawiera tylko te aspekty systemu, które odpowiadaj¹
wymaganiom stawianym modelowi. Budowanie modelu matematycznego polega na
okreœleniu odpowiednich zmiennych a potem sformu³owaniu równañ które te zmienne spe³niaj¹. Osi¹ga siê to, u¿ywaj¹c dobrze znanych praw fizyki takich jak prawo zachowania masy, momentu i energii oraz okreœlonych równañ uzupe³niaj¹cych. Na
przyk³ad, przy przep³ywie gazu przez rurê powszechnie u¿ywa siê empirycznego
wspó³czynnika aby wyraziæ efekt oporu przep³ywu gazu stawianego przez œciankê
wewnêtrzn¹ rury. Modele mo¿na klasyfikowaæ zgodnie z za³o¿eniami przyjêtymi przy
ich tworzeniu. Je¿eli system ma zmienne, które s¹ funkcj¹ czasu to nale¿y u¿ywaæ modeli dynamicznych opisywanych równaniami ró¿niczkowymi. Je¿eli zmienne nie s¹
funkcj¹ czasu, wtedy nale¿y stosowaæ modele statyczne opisywane równaniami algebraicznymi. Wybór modelu zale¿y od konkretnej sytuacji. W sieci gazowej niskociœnieniowej, zmiany ciœnienia i przep³ywu s¹ bardzo szybkie. S¹ one pomijane w wiêkszoœci rozpatrywanych przypadków, st¹d stosowanie modeli stanu ustalonego — równañ algebraicznych nieliniowych. W przypadku sieci wysokiego ciœnienia, dynamika
przep³ywaj¹cego gazu jest znacznie wolniejsza ze wzglêdu na ogromne iloœci gazu
zmagazynowane w ruroci¹gach. Pominiêcie jej prowadzi³oby do du¿ych b³êdów w opisie zjawiska. St¹d koniecznoœæ stosowania modeli matematycznych w postaci równañ
ró¿niczkowych ewolucyjnych (parabolicznych i hiperbolicznych).
W zale¿noœci od stosowanego modelu symulacjê dzielimy na statyczn¹ lub dynamiczn¹. Symulacja statyczna dotyczy przypadku, gdy parametry przep³ywu nie s¹ funkcj¹
czasu.
W niniejszej ksi¹¿ce omówione bêd¹ tylko problemy zwi¹zane ze statyczn¹ symulacj¹
sieci gazowych. Zagadnienie symulacji statycznej sieci z matematycznego punktu widzenia podzieliæ mo¿na na nastêpuj¹ce etapy:
a) formu³owanie modelu matematycznego,
b) tworzenie uk³adu równañ algebraicznych nieliniowych,
c) rozwi¹zywanie uk³adów równañ.
10
Symulacja Sieci Gazowych
Ad. a) Model matematyczny ustalonego przep³ywu gazu w ruroci¹gu jest równaniem
algebraicznym ogólnie nieliniowym. Okreœla on zale¿noœci miêdzy spadkiem ciœnienia, przep³ywem, wymiarami geometrycznymi gazoci¹gu i w³aœciwoœciami gazu. Przy wyborze konkretnego modelu ci¹gle pojawia siê problem z jednej strony jego dok³adnoœci w opisie zjawiska, a z drugiej z³o¿onoœci obliczeniowej. Rozs¹dny
kompromis jest tutaj najlepszym rozwi¹zaniem. Nale¿y pamiêtaæ o podstawowej zasadzie symulacji, czym mniej dok³adny model tym mniej dok³adne rezultaty symulacji.
Ad. b) Rozwi¹zaniem zadania symulacji s¹ ciœnienia w wêz³ach sieci i przep³ywy
w rurach, które spe³niaj¹ I prawo Kirchhoffa, II prawo Kirchhoffa oraz równanie przep³ywu. W zale¿noœci od przyjêtej metody symulacji, uk³ad równañ algebraicznych
nieliniowych tworzony jest w oparciu o niespe³nienie I lub II prawa Kirchhoffa
w punkcie startowym procesu obliczeniowego. To powoduje, ¿e równania b³êdu (algebraiczne nieliniowe) s¹ typu pierwiastkowego lub kwadratowego (prawie kwadratowego). Wp³ywa to zarówno na szybkoœæ zbie¿noœci algorytmów obliczeniowych jak
równie¿ czu³oœæ na dobór punktu startowego. Oczywiœcie dla du¿ych sieci o z³o¿onych strukturach, warunkiem koniecznym efektywnego tworzenia (formu³owania)
uk³adów równañ algebraicznych nieliniowych jest odpowiedni zapis struktury (topologii sieci). Musi to byæ zapis prosty, jednoznaczny, ³atwy do modyfikacji. Te kryteria spe³nia teoria grafów. Struktura sieci zapisana w postaci grafu (jej reprezentacji
macierzowej) zawiera pe³n¹ informacjê o incydencji poszczególnych elementów sieci.
Ad. c) Efektywne rozwi¹zanie du¿ego uk³adu równañ algebraicznych nieliniowych nie
jest rzecz¹ prost¹. Zastosowanie metody Newtona, powoduje koniecznoœæ rozwi¹zywania du¿ego uk³adu równañ algebraicznych liniowych o macierzach wspó³czynników posiadaj¹cych specyficzn¹ strukturê. Optymalne wykorzystanie tej struktury nie
jest ³atwe. Pamiêtaæ nale¿y, ¿e oczekujemy, aby algorytm obliczeniowy by³ szybki
w sensie jego realizacji, dok³adny jeœli chodzi o wyniki koñcowe i niezbyt wymagaj¹cy w stosunku do zajêtoœci pamiêci komputera.
Czytelnik znajdzie w rozdzia³ach 1., 2. i 3. wiedzê teoretyczn¹ niezbêdn¹ do zrozumienia algorytmów symulacji. W rozdziale 4. podano dok³adny opis szeroko stosowanych
algorytmów statycznej symulacji sieci gazowych. Rozdzia³ 5. to 17 praktycznych
przyk³adów obliczania sieci gazowych wybranymi metodami dla ró¿nych poziomów
ciœnieñ. Pozwoli to zrozumieæ Czytelnikowi najdrobniejsze szczegó³y symulacji.
Rozdzia³ 6. dotyczy wykorzystania w praktyce algorytmów symulacji. Opisany zosta³
pakiet do symulacji statycznej SimNet SSV™ sk³adaj¹cy siê z modu³u obliczeniowego, bazy danych oraz interfejsu graficznego, dzia³aj¹cy w œrodowisku GIS pod Windows 95, opracowany do celów wspomagania projektowania i eksploatacji sieci gazowych transportowych i rozdzielczych o dowolnych strukturach topologicznych. Pakiet
ten akceptuje wiêkszoœæ stosowanych standardów graficznych rastrowych i wektorowych oraz standardów baz danych. Œwiadomie, pominiêto w ksi¹¿ce problemy zwi¹zane z doborem odpowiedniego modelu. Przyjêto, ¿e u¿ytkownik w oparciu o badania
w³asne potrafi wybraæ najodpowiedniejszy wed³ug jego kryteriów model matematyczny opisuj¹cy ustalony przep³yw gazu w ruroci¹gu.