Intuicje a nabywanie wiedzy matematycznej

Transkrypt

Jerzy Pogonowski
Zakªad Logiki i Kognitywistyki UAM
[email protected]
FMiI V, 2016
Jerzy Pogonowski (MEG )
FMiI V, 2016
1 / 19
Wst¦p
Plan
Plan na dzi±: kontekst przekazu
Kontekst odkrycia. Obejmuje intuicje profesjonalnych matematyków.
Kontekst uzasadnienia. Dedukcja i obliczenia.
Kontekst przekazu. Odnosi si¦ do procesów przekazywania i
nabywania wiedzy matematycznej.
Podamy przykªady obja±nie« intuicyjnych funkcjonuj¡cych w
kontek±cie przekazu.
Dobre intuicje matematyczne ksztaªtujemy poprzez odwoªanie si¦:
b¡d¹ do modeli zycznych b¡d¹ do wcze±niej przyswojonych poj¦¢
matematycznych.
Zªe intuicje matematyczne tworz¡ si¦ na podstawie
pochopnych analogii oraz uogólnie«, my±lenia na skróty,
niewªa±ciwego korzystania z semantyki terminów, nieszcz¦snych
(nietrafnych) metafor. Model zyczny nie mo»e chyba generowa¢
zªych intuicji, wszystko co zªe bierze si¦ z nieuzasadnionej wiary.
FMiI V, 2016
2 / 19
Wst¦p
Projekt badawczy
Projekt badawczy NCN
Odczyt zostaª przygotowany w ramach projektu badawczego NCN
2015/17/B/HS1/02232:
Aksjomaty ekstremalne: aspekty logiczne, matematyczne i kognitywne.
Projekt jest realizowany w Zakªadzie Logiki i Kognitywistyki UAM
(20162018).
Strona projektu: http://logic.amu.edu.pl/index.php/Ncn2015jp
W ramach projektu przewiduje si¦ dwa skromne stypendia dla
doktorantów, ewentualnie zainteresowanych wspóªprac¡.
Oferta zatrudnienia:
http://logic.amu.edu.pl/images/7/71/Konkurs01.pdf
FMiI V, 2016
3 / 19
Wst¦p
Poincaré:
Science and Method
Wyja±nianie w matematyce
We are in a class of the fourth grade. The teacher is dictating: `A circle is
the position of the points in a plane which are at the same distance from
an interior point called the centre.' The good pupil writes this phrase in his
copy-book and the bad pupil draws faces, but neither of them understands.
Then the teacher takes the chalk and draws a circle on the board. `Ah',
think the pupils, `why didn't he say at once, a circle is a round, and we
should have understood.'
Understanding in Mathematics, str.
Cytat za: Sierpi«ska 1994 (
1).
Ka»dy rozdziaª tej ksi¡»ki rozpoczyna si¦ cytatem z prac Poincaré'go.
Uj¦cie rozumienia w matematyce proponowane przez Sierpi«sk¡ bazuje
na ideach Ajdukiewicza z
Logiki pragmatycznej.
FMiI V, 2016
4 / 19
Wst¦p
Sierpi«ska:
Wyja±nianie w matematyce
Understanding in Mathematics
The quest for an explanation in mathematics cannot be a quest for
proof, but it may be an attempt to nd a rationale of a choice of
axioms, denitions, methods of constructing of a theory. A rationale
does not reduce to logical premisses. An explanation in mathematics
can reach for historical, philosophical, pragmatic arguments. In
explaining something in mathematics, we speak
about mathematics:
our discourse becomes more metamathematical than mathematical
(76).
Explanation of an abstract mathematical theory may consist in a
construction of its model, in which the variables, rules and axioms of
the theory are interpreted and acquire meaning. The model becomes a
certain `reality', ruled by its own `laws'. In explaining a theory, we
deduce its rules, axioms, denitions, and theorems from the `laws' of
the model (77).
FMiI V, 2016
5 / 19
Kontekst przekazu
Intuicje matematyczne
Kªopoty z intuicj¡ matematyczn¡
Znaczenia poj¦¢ matematycznych s¡ okre±lone w samej teorii. S¡
podobne chimerom.
Obja±nienia intuicyjne (w procesie dydaktycznym)
nie s¡ raz na zawsze ustalone. Czynimy co w naszej mocy, aby
oswaja¢ chimery.
Obja±nienie intuicyjne jest poj¦ciem relacyjnym.
Rozumiemy je tutaj w
sensie pragmatycznym (rozja±nienie idei, metody heurystyczne,
wskazówki uªatwiaj¡ce rozumienie), nie odwoªuj¡c si¦ do ogólnej
metodologii nauk.
Proponujemy rozpl¡tanie zªo»onego poj¦cia
intuicji matematycznej.
Interesuje nas nie nabywanie wiedzy matematycznej przez dzieci, ale
to, w jaki sposób osoby dorosªe (studenci kierunków
pozamatematycznych) rozszerzaj¡ swoj¡ wiedz¦ i przeksztaªcaj¡
dotychczasowe przekonania.
FMiI V, 2016
6 / 19
Kontekst przekazu
Skªadniki kontekstu przekazu
Czym jest kontekst przekazu?
Kontekst przekazu obejmuje: proces dydaktyczny oraz popularyzacj¦
matematyki.
Cel obja±nie« intuicyjnych: wspomaganie rozumienia.
U»ywane ±rodki: parafraza, przekªad, metafora, analogia, budowanie
modeli, itd.
Jakie dziaªania w kontek±cie przekazu s¡ poprawne i skuteczne?
Skªadnikami kontekstu przekazu s¡ poj¦cia matematyczne wraz ze
sposobami ich intuicyjnego obja±nienia.
Akceptujemy wybrane ustalenia klasyków pisz¡cych o edukacji
matematycznej (Piaget, Polya, Fischbein, Schoenfeld, Tall,
Sierpi«ska). Natomiast z pewn¡ rezerw¡ odnosimy si¦ do redukcji
genezy i funkcjonowania matematyki wyª¡cznie do procesów tworzenia
metafor poznawczych.
FMiI V, 2016
7 / 19
Kontekst przekazu
Skªadniki kontekstu przekazu
David Tall: trzy ±wiaty matematyki
FMiI V, 2016
8 / 19
Kontekst przekazu
Przykªady historyczne
Przenikanie si¦ kontekstów
Archimedes:
sfera, sto»ek i walec; argumentacja mechaniczna oraz
dowód matematyczny metod¡ wyczerpywania.
Hilbert i Gödel:
aksjomat zupeªno±ci w teorii mnogo±ci; pragmatyczne
uzasadnienie (akceptacji aksjomatów maksymalno±ci i odrzucenia
aksjomatów ograniczenia).
Cohen:
budowa modeli teorii mnogo±ci metod¡ wymuszania; intuicyjne
analogie z rozszerzeniami ciaª o elementy przest¦pne.
Wyja±nianie koincydencji:
n
P
n n−k k
b
k a
Wzór dwumianowy:
(a + b )n =
Pochodna iloczynu:
(f (x ) · g (x ))(n) =
k =0
n
P
k =0
n (n−k )
(x )g (k ) (x )
k f
FMiI V, 2016
9 / 19
Kontekst przekazu
Przykªady historyczne
Ruch i geometria
http://www.homemodelenginemachinist.com/showthread.php?t=3693
Peaucellier-Lipkin linkage przeksztaªca ruch po okr¦gu w ruch po prostej:
https://www.youtube.com/watch?v=j4DpH8GsFQw
Maszyna parowa Watta: http://www.animatedengines.com/watt.html
FMiI V, 2016
10 / 19
Przykªady
Obja±nienia j¦zykowe
J¦zyk matematyki i j¦zyk naturalny
Mówienie o zbiorach: paradoksy, zbiory rozmyte, kªopoty z
niesko«czono±ci¡, deniowalne versus opisywalne.
Granice: uwaga na metafory! Okr¡g, szereg najwolniej rozbie»ny.
Ci¡gªo±¢: obja±nianie wªasno±ci przekraczaj¡cej g¦sto±¢. Podejrzane:
ci¡gªo±¢
naturalna.
Rachunek ró»niczkowy: logiczna zªo»ono±¢
ε-δ -sformuªowa«.
Remedium: analiza niestandardowa (trudno±¢ dydaktyczna:
konstrukcja liczb hiperrzeczywistych).
Przegrane: notacja Fregego, ikoniczna notacja Le±niewskiego.
J¦zyk naturalny jest niezb¦dny w dydaktyce matematyki, ale jakie s¡
granice obja±nie« lingwistycznych?
lim
(
lim
n→∞ k →∞
(cos(n! · π · x ))2k )
FMiI V, 2016
11 / 19
Przykªady
Percepcja
Do±wiadczenie zmysªowe
Rysunki, diagramy, schematy: pot¦ga reprezentacji wizualnych i
niebezpiecze«stwo sugestii. mieszna sprzeczka dot. diagramów
Venna. Gust matematyka i gust laika.
Modele 3D: pomoce dydaktyczne Istvána Lénárta.
Filmy (powszechnie dost¦pne w sieci): przenicowanie sfery, wi¡zka
Hopfa, podró» w wy»sze wymiary, itd.
Piosenki matematyczne: ±rodki mnemotechniczne.
Kolory w reprezentacjach gracznych funkcji zespolonych.
Lego audio video erro ergo disco.
FMiI V, 2016
12 / 19
Przykªady
Percepcja
Sfery Istvána Lénárta
István Lénárt
i jego sfery
www.gombigeometria.eoldal.hu
FMiI V, 2016
13 / 19
Przykªady
Fizyka
Inspiracje z Natury
Archimedes: obliczanie powierzchni i obj¦to±ci przy u»yciu mechaniki.
linkages i rozmaito±ci. Any smooth compact manifold
is dieomorphic to the conguration space of some planar linkage
Mark Levi: The Mathematical Mechanic. Uzasadnianie twierdze«
Robert Ghrist:
matematycznych przez odwoªania do modeli zycznych.
Analogie kinematyczne: geometria.
Pola elektromagnetyczne: Poincaré o dowodzie Kleina.
Przepªywy cieczy i ciepªa: analiza zespolona.
Problemy wariacyjne: m¡dro±¢ Natury.
Eksperymenty: igªa Buona, paradoks Bertranda, bilard i
Fizyka i niesko«czono±¢: czy
π.
supertasks s¡ mo»liwe?
FMiI V, 2016
14 / 19
Przykªady
Do±wiadczenie potoczne
Potoczno±¢
Topologia: gumowate obiekty i operacje na nich.
Geometryczne reprezentacje liczb naturalnych (trójk¡tne, itd.).
Liczby ujemne: dªugi, temperatura, pi¦tra, skacz¡ce »aby.
Narz¦dzia: linijka, cyrkiel, pantograf,
Peaucellier-Lipkin linkage, itp.
Gry: gry Ehrenfeuchta, aksjomat determinacji.
Komputery: programy, eksperymenty, metafory.
Filtry i ideaªy: du»e i maªe obiekty.
Prawie wsz¦dzie: dziedziny sko«czone i niesko«czone.
Model thinks: mowa guratywna.
It is wrong always, everywhere, and for anyone, to believe anything upon
insucient evidence. (William K. Cliord, The Ethics of Belief, 1877).
FMiI V, 2016
15 / 19
Przykªady
Obja±nienia intuicyjne wewn¡trz matematyki
Spójno±¢ matematyki
Euklides: teoria proporcji w systemie geometrii.
Descartes: powstanie geometrii analitycznej.
Wspóªcze±nie: np. topologia algebraiczna, gaª¦zie teorii liczb.
Programy unikacji: Weierstrass & Co., Hilbert, Thurston, Laglands.
Uogólnienia operacji i relacji arytmetycznych na abstrakcyjne dziedziny.
Hipoteza Riemanna: prawdziwo±¢ z prawdopodobie«stwem 1.
Wymuszanie w teorii mnogo±ci a rozszerzenia ciaª.
Aksjomat zupeªno±ci w teorii mnogo±ci: uzasadnienie pragmatyczne.
FMiI V, 2016
16 / 19
Granice intuicji
Horyzont wyobra¹ni
Liczby ujemne: kilkaset lat oswajania (przez profesjonalistów); obecnie
akceptowalne przez wi¦kszo±¢ populacji.
Liczby zespolone: kilkaset lat oswajania (przez profesjonalistów);
obecnie standardowe obiekty w badaniach matematycznych, jednak
stale trudne do poj¦cia przez ogóª obywateli.
Wy»sze wymiary: szybkie oswojenie (przez profesjonalistów); dla
wi¦kszo±ci populacji wci¡» iluzoryczne.
Niesko«czenie wymiarowe przestrzenie liniowe: zaªamanie intuicji
potocznych.
Dzikie struktury topologiczne w niskich wymiarach.
Struktury egzotyczne.
Nasza w¦drówka trwa, dopóki czynny jest horyzont.
FMiI V, 2016
17 / 19
Wybrane pozycje bibliograczne
Davis, P.J., Hersh, R. 1981.
Mathematical experience.
Birkhäuser,
Boston.
Intuition in Science and Mathematics: An
Educational Approach. Kluwer Academic Publishers, New York /
Fischbein, H. 1987.
Boston / Dordrecht / London / Moscow.
Ghrist, R. 2014.
Elementary Applied Topology.
Createspace, ISBN
978-1502880857.
Hanna, G., Jahnke, H.N., Pulte, H. (Eds.) 2010. Explanation and
Proof in Mathematics. Philosophical and Educational Perspectives.
Springer, New York Dordrecht Heidelberg London.
Lange, M. 2014. Depth and Explanation in Mathematics.
Mathematica.
Philosophia
Advance Access published September 12, 2014.
The Mathematical Mechanic. Using Physical
Reasoning to Solve Problems. Princeton University Press, Princeton
Levi, M. 2009.
and Oxford.
Needham, T. 1997.
Visual complex analysis.
Clarendon Press, Oxford.
FMiI V, 2016
18 / 19
Wybrane pozycje bibliograczne
Mathematical Discovery on Understanding, Learning,
and Teaching Problem Solving. Ishi Press International, New York,
Polya, G. 2009.
Tokyo.
Mathematics and Plausible Reasoning. Vol.I:
Induction and Analogy in Mathematics, Vol. II: Patterns of Plausible
Inference. Martino Publishing, Manseld Centre, CT.
Prasolov, V.V. 2011. Intuitive topology. American Mathematical
Polya, G. 2014.
Society.
Schoenfeld, A. H. 1985.
Mathematical Problem Solving .
Academic
Press, Inc., Orlando.
Sierpi«ska, A. 1994.
Understanding in Mathematics.
The Falmer
Press, London.
How Humans Learn to Think Mathematically.
Exploring the Three Worlds of Mathematics. Cambridge University
Tall, D. 2013.
Press, Cambridge.
Thurston, W. 1994. On proof and progress in mathematics.
of the American Mathematical Society 30 (2), 161177.
Bulletin
FMiI V, 2016
19 / 19

Intuicje a nabywanie wiedzy matematycznej

Transkrypt

Podobne dokumenty

Dobre i złe intuicje matematyczne

Naukoznawstwo (zadania) - Zakład Logiki Stosowanej

Drzewo wiedzy matematycznej

METODYKA EDUKACJI MATEMATYCZNEJ W

Kim jest Ruda Kitka?

Cudowne obiekty patologiczne - Zakład Logiki Stosowanej

Istnienie średnich czasowych oraz ich interpretacja fizyczna Prof. dr

INNOWACJA PEDAGOGICZNA „MATEMATYKA JEST WOKÓŁ NAS

matematyka - Wydział Matematyki i Informatyki UJ