Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych
8
Pochodna kierunkowa funkcji
Definicja
Niech funkcja f określona bȩdzie w otoczeniu punktu P0 = (x0 , y0 ) oraz niech ~v =
[vx , vy ] bȩdzie wektorem. Pochodna̧ kierunkowa̧ funkcji f w punkcie (x0 , y0 ) w kierunku wektora
~v określamy wzorem
f (x0 + tvx , y0 + tvy ) − f (x0 , y0 )
.
t→0
t
Obliczymy pochodna̧ kierunkowa̧ funkcji f (x, y) = xy w punkcie P0 = (1, 2) w
0
fv (x0 , y0 ) = lim
Przyklad
kierunku wektora ~v = [2, 1]. Ponieważ f (1, 2) = 2 oraz f (1 + 2t, 2 + t) = 2t2 + 5t + 2, wiȩc
0
f[2,1] (1, 2) = lim
t→0
Twierdzenie
2t2 + 5t + 2 − 2
= 5.
t
Jeżeli funkcja f ma cia̧gle pochodne cza̧stkowe rzȩdu pierwszego w punkcie
P0 = (x0 , y0 ), to
0
0
0
fv (x0 , y0 ) = fx (x0 , y0 ) · vx + fy (x0 , y0 ) · vy .
Uwaga
Powyższy wzór można zapisać w postaci
0
fv (x0 , y0 ) = gradf (x0 , y0 ) ◦ ~v .
Przyklad
Obliczymy pochodna̧ kierunkowa̧ funkcji f (x, y) = xy w punkcie P0 = (1, 2) w
0
0
kierunku wektora ~v = [2, 1]. Ponieważ fx = y, fy = x, to
0
f[2,1] (1, 2) = [2, 1] ◦ [2, 1] = 2 · 2 + 1 · 1 = 5.
9
Pochodne cza̧stkowe drugiego rzȩdu
Niech P = (x, y) ∈ R2 oraz niech funkcja f bȩdzie określona w otoczeniu U (P ). Pochodne
cza̧stkowe drugiego rzȩdu funkcji f w punkcie P określamy wzorami
∂ 2f
∂ ∂f
∂ 2f
∂ ∂f
(x,
y)
=
(x,
y),
(x,
y)
=
(x, y),
∂x2
∂x ∂x
∂x∂y
∂x ∂y
∂ 2f
(x, y) =
∂y∂x
∂
∂y
∂f
∂x
∂ 2f
(x, y) =
∂y 2
(x, y),
1
∂
∂y
∂f
∂y
(x, y).
Uwaga
Powyższe wzory można zapisać w postaci
00
0
0
00
fxx (x, y) = (fx )x (x, y),
0
0
00
fxy (x, y) = (fy )x (x, y),
0
0
fyx (x, y) = (fx )y (x, y),
00
0
0
fyy (x, y) = (fy )y (x, y).
00
00
Jeżeli funkcja f ma cia̧gle pochodne mieszane fxy , fyx w punkcie
Twierdzenie (Schwarza)
P0 = (x0 , y0 ), to
00
00
fxy (x0 , y0 ) = fyx (x0 , y0 ).
Przyklad
Obliczymy pochodne cza̧stkowe drugiego rzȩdu funkcji f (x, y) = xy. Mamy kolejno
0
00
0
00
0
00
0
00
0
0
fx = y, fy = x, fxx = (y)x = 0, fxy = (x)x = 1, fyx = (y)y = 1, fyy = (x)y = 0.
Obliczymy teraz pochodne cza̧stkowe drugiego rzȩdu funkcji f (x, y) = x2 + y 2 . Mamy kolejno
0
0
00
0
00
0
00
0
00
0
fx = 2x, fy = 2y, fxx = (2x)x = 2, fxy = (2y)x = 0, fyx = (2x)y = 0, fyy = (2y)y = 2.
10
Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych
Definicja
Funkcja f ma w punkcie P0 = (x0 , y0 ) minimum lokalne, jeżeli istnieje sa̧siedztwo
S(P0 ) tego punktu takie, że dla dowolnego P = (x, y) ∈ S(P0 ) zachodzi nierówność
f (x, y) > f (x0 , y0 ).
Definicja
Funkcja f ma w punkcie P0 = (x0 , y0 ) maksimum lokalne, jeżeli istnieje sa̧siedztwo
S(P0 ) tego punktu takie, że dla dowolnego P = (x, y) ∈ S(P0 ) zachodzi nierówność
f (x, y) < f (x0 , y0 ).
Przyklad
Funkcja f (x, y) = 5 − x6 − y 6 ma w punkcie P0 = (0, 0) maksimum, gdyż
f (x, y) = 5 − x6 − y 6 < 5 = f (0, 0)
dla
(x, y) 6= (0, 0).
Funkcja f (x, y) = x2 − 2y 2 nie ma ekstremum w punkcie P0 = (0, 0), ponieważ dla dowolnego
ε > 0 zachodzi
f (ε, 0) = ε2 > 0 = f (0, 0)
oraz
f (0, ε) = −2ε2 < 0 = f (0, 0).
Twierdzenie (warunek konieczny ekstremum)
Jeżeli funkcja f spelnia warunki:
• ma ekstremum w punkcie P0 = (x0 , y0 ),
0
0
• ma pochodne cza̧stkowe fx (x0 , y0 ), fx (x0 , y0 ),
to
(
0
fx (x0 , y0 ) = 0
0
fy (x0 , y0 ) = 0
2
Uwaga
(
Uklad równań
Przyklad
0
fx (x0 , y0 ) = 0
można zapisać w postaci gradf (x0 , y0 ) = 0.
0
fy (x0 , y0 ) = 0
0
Funkcja f (x, y) = 5 − x6 − y 6 ma maksimum w punkcie P0 = (0, 0) oraz fx = −6x5 ,
0
0
0
fy = −6y 5 , co oznacza, że f spelnia warunek konieczny ekstremum fx (0, 0) = 0, fy (0, 0) = 0.
0
0
Funkcja f (x, y) = x2 − 2y 2 nie ma ekstremum w punkcie P0 = (0, 0), ale fx = 2x, fy = −4y, co
0
0
oznacza, że f spelnia warunek konieczny ekstremum fx (0, 0) = 0, fy (0, 0) = 0.
Definicja
Macierz postaci
"
00
00
00
00
fxx (x0 , y0 ) fxy (x0 , y0 )
#
fyx (x0 , y0 ) fyy (x0 , y0 )
nazywamy hesjanem (macierza̧ Hessego) funkcji f w punkcie P0 = (x0 , y0 ) i oznaczamy symbolem
Hf (x0 , y0 ).
Twierdzenie (warunek dostateczny ekstremum)
Jeżeli funkcja f ma cia̧gle pochodne cza̧stkowe
pierwszego i drugiego rzȩdu w punkcie P0 = (x0 , y0 ) oraz spelnia warunki:
• gradf (x0 , y0 ) = 0,
• det Hf (x0 , y0 ) > 0,
00
to f ma esktremum w punkcie P0 , przy czym f (x0 , y0 ) = fmin , gdy fxx (x0 , y0 ) > 0 albo f (x0 , y0 ) =
00
fmax , gdy fxx (x0 , y0 ) < 0.
Uwaga
Jeżeli det Hf (x0 , y0 ) < 0, to f nie ma ekstremum w punkcie P0 . Jeżeli det Hf (x0 , y0 ) =
0, to badanie, czy f ma ekstremum w punkcie P0 przeprowadza siȩ innymi metodami (np. korzystaja̧c
z definicji).
Przyklad
0
Wyznaczymy ekstrema funkcji f (x, y) = x3 + y 3 − 9xy. Ponieważ fx = 3x2 − 9y,
0
fy = 3y 2 − 9x, to otrzymujemy uklad równań
(
x2 − 3y = 0
y 2 − 3x = 0
00
00
00
00
który ma dwa rozwia̧zania P0 = (0, 0), P1 = (3, 3). Ponadto fxx = 6x, fxy = fyx = −9, fyy = 6y oraz
0 −9 det Hf (0, 0) = = −81 < 0
−9 0 co oznacza, że f nie ma ekstremum w punkcie P0 = (0, 0),
18 −9 det Hf (3, 3) = = 243 > 0
−9 18 00
oraz fxx (3, 3) = 18 > 0, co oznacza, że f (3, 3) = fmin = −27.
3
11
Ekstrema warunkowe funkcji dwóch zmiennych
Definicja
Funkcja f ma w punkcie P0 = (x0 , y0 ) minumum warunkowe z warunkiem
g(x, y) = 0, gdy g(x0 , y0 ) = 0 oraz istnieje liczba δ > 0 taka, że f (x, y) > f (x0 , y0 ) dla każdego
punktu P = (x, y) ∈ S(P0 , δ) spelniaja̧cego warunek g(x, y) = 0.
Funkcja f ma w punkcie P0 = (x0 , y0 ) maksimum warunkowe z warunkiem g(x, y) = 0, gdy
g(x0 , y0 ) = 0 oraz istnieje liczba δ > 0 taka, że f (x, y) < f (x0 , y0 ) dla każdego punktu P = (x, y) ∈
S(P0 , δ) spelniaja̧cego warunek g(x, y) = 0.
Znajdowanie ekstremów warunkowych funkcji dwóch zmiennych z warunkiem g(x, y) = 0 odbywa
siȩ wedlug nastȩpuja̧cego algorytmu:
1. krzywa̧ Γ : g(x, y) = 0 dzielimy na luki, które sa̧ wykresami funkcji postaci y = h(x), gdzie
x ∈ I ⊂ R lub postaci x = k(y), gdzie y ∈ J ⊂ R,
2. szukamy ekstremów funkcji jednej zmiennej H(x) = f (x, h(x)) w przedziale I lub funkcji
K(y) = f (k(y), y) w przedziale J,
3. porównujemy wartości otrzymanych ekstremów na krzywej Γ i ustalamy ekstrema warunkowe.
Przyklad
Wyznaczymy ekstrema warunkowe funkcji f (x, y) = xy z warunkiem x + y = 2.
Mamy Γ : y = 2 − x, gdzie x ∈ R. Wobec tego rozważmy funkcjȩ H(x) = x(2 − x) = 2x − x2 ,
gdzie x ∈ R. Ponieważ Hmax = H(1) = 1, to fmax war. = f (1, 1) = 1.
Uwaga
Jeżeli krzywa Γ ma opis parametryczny: x = α(t), y = β(t), gdzie t ∈ T ⊂ R, to
szukamy ekstremów funkcji F (t) = f (α(t), β(t)) w przedziale T .
Przyklad
Wyznaczymy ekstrema warunkowe funkcji f (x, y) = xy z warunkiem x2 + y 2 = 4.
Mamy tutaj Γ : x = 2 cos t, y = 2 sin t, t ∈ [0, 2π]. Rozważmy funkcjȩ F (t) = 4 sin t cos t =
2 sin 2t, t ∈ [0, 2π]. Ponieważ F 0 (t) = 4 cos 2t, to F 0 (t) = 0, gdy t =
π 3π 5π 7π
, 4, 4, 4.
4
Ponadto
00
F (t) = −8 sin 2t, wobec tego mamy kolejno:
π π F 00
= −8 < 0
=⇒
F
= Fmax
4
4
3π
3π
00
F
=8>0
=⇒
F
= Fmin
4
4
5π
5π
00
F
= −8 < 0
=⇒
F
= Fmax
4
4
7π
7π
00
F
=8>0
=⇒
F
= Fmin
4
4
12
=⇒
=⇒
=⇒
=⇒
√ √
f ( 2, 2) = fmax war. = 2
√ √
f (− 2, 2) = fmin war. = −2
√
√
f (− 2, − 2) = fmax war. = 2
√
√
f ( 2, − 2) = fmin war. = −2
Wartość najmniejsza i najwiȩksza funkcji dwóch zmien-
nych w obszarze domkniȩtym
Znajdowanie wartości najmniejszej finf i najwiȩkszej fsup funkcji dwóch zmiennych w obszarze
domkniȩtym odbywa siȩ wedlug nastȩpuja̧cego algorytmu:
4
1. we wnȩtrzu obszaru szukamy punktów, w których funkcja może mieć esktremum (w których
gradient funkcji jest równy zero),
2. na brzegu obszaru szukamy punktów, w których funkcja może mieć ekstremum warunkowe.
3. porównujemy wartości funkcji w otrzymanych punktach i na tej podstawie ustalamy wartość
najwiȩksza̧ i najmniejszaa̧ funkcji.
Przyklad
Wyznaczymy najwiȩksza̧ i najmniejsza̧ wartość funkcji f (x, y) = x2 + y 2 w obszarze
D : −1 ≤ x ≤ 3, −4 ≤ y ≤ 2.
Ponieważ gradf (x, y) = [2x, 2y], wiȩc gradf (0, 0) = 0 oraz
f (0, 0) = 0
(punkt (0, 0) należy do wnȩtrza obszaru D).
Brzeg obszaru D stanowia̧ cztery odcinki (boki prostoka̧ta D). Rozważmy każdy z nich:
Γ1 : y = −4, −1 ≤ x ≤ 3. Mamy tutaj H1 (x) = f (x, −4) = x2 + 16, sta̧d
f (0, −4) = 16.
Γ2 : x = 3, −4 ≤ y ≤ 2. Mamy tutaj K2 (y) = f (3, y) = 9 + y 2 , sta̧d
f (3, 0) = 9.
Γ3 : y = 2, −1 ≤ x ≤ 3. Mamy tutaj H3 (x) = f (x, 2) = x2 + 4, sta̧d
f (0, 2) = 4.
Γ4 : x = −1, −4 ≤ y ≤ 2. Mamy tutaj K4 (y) = f (−1, y) = 1 + y 2 , sta̧d
f (−1, 0) = 1.
Obliczymy jeszcze wartości f w wierzcholkach prostoka̧ta D:
f (−1, −4) = 17,
f (3, −4) = 25,
f (3, 2) = 13,
Zatem ostatecznie mamy:
fsup = f (3, −4) = 25.
finf = f (0, 0) = 0,
5
f (−1, 2) = 5.