12. Stereometria

Transkrypt

12. Stereometria

Stereometria – poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie http://www.zadania.info/)
1. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ściana boczna o polu równym 10 jest nachylona do płaszczyzny podstawy
pod kątem 60°. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
http://www.zadania.info/d19/108790
2. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, w którym krawędź podstawy
ma długość 2, a krawędź boczna długość 6.
3. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, w którym krawędź podstawy
ma długość 4, a krawędź boczna długość 10.
4. Podstawą graniastosłupa jest trójkąt prostokątny, w którym przeciwprostokątna ma długość 8 cm, a jeden z kątów ma
miarę 30°. Powierzchnia boczna tego graniastosłupa po rozwinięciu na płaszczyznę jest kwadratem. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość tego graniastosłupa.
5. W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym
połączono punkty będące środkami krawędzi
, ,
i
. Wyznacz objętość powstałej bryły wiedząc, że | | = 5√2 i kąt
ma miarę 60°.
6. Objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego
o podstawie
jest równa 224, a promień okręgu opisanego na podstawie
jest równy 2√14. Oblicz cosinus kąta między wysokością tego ostrosłupa i jego ścianą
boczną.
7. Podstawą ostrosłupa
jest trójkąt
. Krawędź
nek). Oblicz objętość ostrosłupa
jeśli wiadomo, że |
jest wysokością ostrosłupa (zobacz rysu| = 12, | | = 6, | | = | | = 13.
jest trójkąt
. Krawędź
nek). Oblicz objętość ostrosłupa
jeśli wiadomo, że |
jest wysokością ostrosłupa (zobacz rysu| = 24, | | = 12, | | = | | = 26.
9. Podstawą graniastosłupa jest trójkąt prostokątny równoramienny o ramieniu długości 9. Kąt między przekątną największej ściany bocznej i wysokością graniastosłupa jest równy 60°. Oblicz pole powierzchni bocznej i objętość tego graniastosłupa.
10. Podstawą graniastosłupa jest trójkąt prostokątny równoramienny o ramieniu długości 6. Kąt między przekątną największej ściany bocznej i wysokością graniastosłupa jest równy 60°. Oblicz pole powierzchni bocznej i objętość tego graniastosłupa.
11. Prostokąt
zakreślił walec
dratem.
obracając się wokół boku
, zakreślił walec . Ten sam prostokąt obracając się wokół boku
,
. Otrzymane walce mają równe pola powierzchni całkowitych. Wykaż, że prostokąt
jest kwa-
12. Pole powierzchni bocznej stożka jest cztery razy większe od pola podstawy. Obwód przekroju osiowego stożka jest
równy 30. Oblicz objętość tego stożka.
13. Pole podstawy ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest równe 9√3 cm2, a jego pole powierzchni bocznej jest równe
18√3 cm2. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
14. W graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym wszystkie krawędzie mają jednakową długość. Wyznacz tangensy kątów nachylenia przekątnych graniastosłupa do płaszczyzny podstawy.
15. W graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym krawędź boczna jest dwa razy dłuższa od krawędzi podstawy. Wyznacz
tangensy kątów nachylenia przekątnych graniastosłupa do płaszczyzny podstawy.
16. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym o krawędzi podstawy 18 cm, kąt między wysokościami przeciwległych
ścian bocznych ma miarę = 60°. Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa. Wykonaj odpowiedni rysunek i
zaznacz kąt .
17. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym o krawędzi podstawy 12 cm, kąt między wysokościami przeciwległych
ścian bocznych ma miarę = 90°. Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa. Wykonaj odpowiedni rysunek i
zaznacz kąt .
18. Objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa 36√3, a pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa
jest równe 72. Oblicz długość krawędzi podstawy oraz długość wysokości tego graniastosłupa.
19. Objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa 24√3, a pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa
jest równe 72. Oblicz długość krawędzi podstawy oraz długość wysokości tego graniastosłupa.
20. Podstawą ostrosłupa jest prostokąt o bokach 6 cm i 8 cm. Każda krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod katem 60°. Oblicz pole powierzchni ostrosłupa.
21. W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź boczna ma długość 6, a pole ściany bocznej jest równe 9√3. Oblicz
objętość tego ostrosłupa.
22. Jacek bawi się sześciennymi klockami o krawędzi 2 cm. Zbudował z nich jeden duży sześcian o krawędzi 8 cm i wykorzystał do tego wszystkie swoje klocki. Następnie zburzył budowlę i ułożył z tych klocków drugą bryłę – graniastosłup
prawidłowy czworokątny. Wtedy okazało się, że został mu dokładnie jeden klocek, którego nie było gdzie dołożyć. Oblicz stosunek pola powierzchni całkowitej pierwszej ułożonej bryły do pola powierzchni całkowitej drugiej bryły i wynik podaj w postaci ułamka nieskracalnego.
23. Oblicz wysokość prostopadłościanu, którego podstawa jest prostokątem o wymiarach 3 i 4, a pole powierzchni całkowitej wynosi 94.
24. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym wysokości przeciwległych ścian bocznych, poprowadzone z wierzchołka
ostrosłupa, są do siebie prostopadłe.
a) Oblicz sinus kąta nachylenia krawędzi bocznej ostrosłupa do płaszczyzny podstawy.
b) Jakim procentem objętości sześcianu, którego krawędź ma długość równą długości krawędzi podstawy danego
ostrosłupa, jest objętość tego ostrosłupa?
25. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość prostopadłościanu
10 cm i tworzy z przekątną ′ ściany bocznej kąt 60°, a krawędź
′ ′ ′ ′, w którym krawędź
ma długość
jest o cztery centymetry krótsza od krawędzi
.
26. Objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 224 cm3, a promień okręgu opisanego na podstawie
ma długość 4 cm. Wyznacz miarę kąta między przekątnymi sąsiednich ścian bocznych wychodzącymi z tego samego
wierzchołka graniastosłupa. Wynik podaj z dokładnością do 1°.
27. W pojemniku o kształcie walca o promieniu podstawy = 8 umieszczono dwie kule o promieniu = 5,
w ten sposób, że są do siebie styczne i każda z nich dotyka powierzchni bocznej walca, jak na rysunku.
Jaka co najmniej musi być wysokość pojemnika, aby kule całkowicie się w nim mieściły. Oblicz objętość tego walca.
28. Dany jest zbiór wszystkich graniastosłupów prawidłowych sześciokątnych, których suma długości wszystkich krawędzi
jest równa 216. Oblicz długość krawędzi podstawy i wysokość tego z danych graniastosłupów, który ma największe pole powierzchni bocznej.
29. Przekątna przekroju osiowego walca ma długość 5 cm i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60°. Jaką
długość ma promień podstawy tego walca? Jaka jest jego wysokość?
30. Krawędź boczna ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem
że sin
takim,
= ". Oblicz cosinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy.
31. W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym wysokość ściany bocznej ma długość 4√3, a ściana boczna jest nachylona do
płaszczyzny podstawy pod kątem 60°. Oblicz objętość ostrosłupa.
32. Po wydłużeniu każdej krawędzi sześcianu o 2, długość jego przekątnej podwoiła się. Oblicz pole powierzchni całkowitej powiększonego sześcianu.
33. Odległość wierzchołka sześcianu od przekątnej sześcianu (do której dany wierzchołek nie należy) jest równa 4 cm. Oblicz objętość sześcianu. Wykonaj rysunek.
34. Podstawą ostrosłupa jest romb, którego przekątne mają długości 12 i 16. Spodek wysokości ostrosłupa pokrywa się z
punktem przecięcia przekątnych rombu w podstawie, a pole powierzchni bocznej jest równe 104. Oblicz objętość ostrosłupa.
35. Mrówka przeszła po powierzchni sześcianu z wierzchołka do wierzchołka będącego drugim końcem przekątnej sześcianu wychodzącej z wierzchołka , przy czym była to droga najkrótsza. Narysuj siatkę sześcianu i oblicz odległość,
jaką pokonała mrówka, jeżeli krawędź sześcianu ma długość √5.
36. Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi bocznej dwa razy dłuższej od krawędzi podstawy.
a) Wyznacz cosinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy ostrosłupa.
b) Wyznacz długość krawędzi ostrosłupa, tak aby pole jego powierzchni bocznej wynosiło 36√15.
37. Oblicz objętość i pole powierzchni graniastosłupa, którego podstawą jest romb o przekątnych długości
6 cm i 8 cm, którego przekątna ściany bocznej tworzy z krawędzią podstawy kąt o mierze 45°.
38. Przekątna sześcianu ma długość 9. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego sześcianu.
39. Wykaż, że w sześcianie, odległość krawędzi od nieprzecinającej się z nią przekątnej sześcianu jest równa połowie długości przekątnej ściany.
40. Przez środek jednej krawędzi podstawy sześcianu, koniec przeciwległej krawędzi tej podstawy oraz środek krawędzi
bocznej, poprowadzono płaszczyznę. Opisz figurę, którą otrzymamy w wyniku tego przekroju. Rozważ 2 przypadki.
41. Objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego
(tak jak na rysunku) jest równa 72, a promień okręgu wpisanego w podstawę
tego ostrosłupa jest równy 2. Oblicz tangens kąta między wysokością tego ostrosłupa i jego ścianą boczną.
(tak jak na rysunku) jest równa 243, a promień okręgu wpisanego w podstawę
tego ostrosłupa jest równy 3. Oblicz tangens kąta między wysokością tego ostrosłupa, a jego krawędzią boczną.
(patrz rysunek) jest równa 36, a promień
okręgu opisanego na podstawie
tego ostrosłupa jest równy 4. Oblicz tangens kąta jaki tworzy krawędź boczna z wysokością ostrosłupa.
(patrz rysunek) jest równa 36, a promień
okręgu opisanego na podstawie
tego ostrosłupa jest równy 2. Oblicz tangens kąta jaki tworzy krawędź boczna z wysokością ostrosłupa.
45. Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego o krawędzi podstawy # wyraża się wzorem
$3√3 − 6&# + 12√3#. Wyznacz sumę długości krawędzi podstawy i wysokości tego graniastosłupa.
46. Powierzchnia boczna stożka po rozwinięciu na płaszczyznę jest półkolem. Oblicz miarę kąta rozwarcia stożka.
47. Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym o polu 16√3. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego
stożka.
48. Pole powierzchni bocznej stożka jest czterokrotnie większe od pola podstawy stożka. Oblicz wysokość stożka, wiedząc,
że promień jego podstawy jest równy .
49. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym pole podstawy jest równe 100, a pole powierzchni ścian bocznych 320. Oblicz objętość ostrosłupa.
50. Pole podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe 100 cm2, a jego pole powierzchni bocznej jest równe 260 cm2. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
51. Pole powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe 80 cm2, a pole jego powierzchni całkowitej wynosi 144 cm2. Oblicz długość krawędzi podstawy i długość krawędzi bocznej tego ostrosłupa.
52. W ostrosłupie prawidłowym sześciokątnym dany jest kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy . Oblicz
stosunek pola podstawy do pola powierzchni bocznej ostrosłupa.
53. Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny
o podstawie
. Krawędź boczna tego ostrosłupa jest o 8√2
dłuższa od krawędzi podstawy, a wysokość ostrosłupa jest równa 14. Oblicz objętość i pole powierzchni bocznej tego
ostrosłupa.
54. Metalowy walec o objętości 1458( cm3 i przekroju będącym kwadratem przetopiono na stożek o takim samym promieniu podstawy, co walec. Oblicz stosunek pola powierzchni bocznej otrzymanego stożka do pola powierzchni bocznej wyjściowego walca.
55. Długości trzech krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka prostopadłościanu są kolejnymi liczbami parzystymi.
Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu wynosi 208. Oblicz objętość tego prostopadłościanu.
56. Długości trzech krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka prostopadłościanu są kolejnymi liczbami nieparzystymi. Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu wynosi 142. Oblicz objętość tego prostopadłościanu.
57. Kacper i Hela otrzymali identyczne zestawy 138 drewnianych klocków, w których każdy klocek jest sześcianem o krawędzi 2 cm. Kacper ze swoich klocków zbudował graniastosłup prawidłowy czworokątny i zostały mu dwa klocki, których nie było gdzie dołożyć. Hela ze swoich klocków zbudowała trzy identyczne graniastosłupy prawidłowe czworokątne i zostały jej trzy klocki, których nie było gdzie dołożyć. Oblicz stosunek pola powierzchni całkowitej graniastosłupa zbudowanego przez Kacpra do pola powierzchni całkowitej jednego z graniastosłupów zbudowanych przez Helę.
Wynik podaj w postaci ułamka nieskracalnego.
58. Przekątna sześcianu jest o 3 dłuższa od krawędzi sześcianu. Oblicz objętość tego sześcianu.
59. Długość krawędzi sześcianu jest o 2 krótsza od długości jego przekątnej. Oblicz długość przekątnej tego sześcianu.
60. W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź boczna ma długość 6, a krawędź podstawy ma długość 3. Oblicz sinus
kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy.
61. Podstawą graniastosłupa prostego jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych mających długości 1 i √3. Podaj miary
kątów między sąsiednimi ścianami bocznymi tego graniastosłupa.
62. Pole powierzchni całkowitej stożka jest trzy razy większe od pola jego podstawy. Oblicz miarę kąta rozwarcia tego
stożka.
63. Objętość prostopadłościanu jest równa 405. Stosunki długości krawędzi prostopadłościanu wychodzących z tego samego wierzchołka prostopadłościanu to 1 : 3 : 5. Oblicz pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu.
64. Liczba wszystkich przekątnych podstaw i ścian bocznych pewnego graniastosłupa jest równa 110. Oblicz, ile krawędzi
ma podstawa tego graniastosłupa.
65. Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jeśli jego krawędź boczna o długości 6 nachylona jest do płaszczyzny podstawy pod kątem 60°.
66. Punkty ) i * są środkami krawędzi
i
sześcianu
o krawędzi długości 1. Punkt +
jest środkiem ściany
(zobacz rysunek). Oblicz obwód trójkąta )+*.
67. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem ostrym
, dla którego cos
"
= .. Wysokość ostrosłupa ma długość 12 cm. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
68. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem ostrym
, dla którego cos
=
.
.
"
Wysokość ostrosłupa ma długość 12 cm. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
69. Oblicz cosinus kąta jaki tworzą dwie ściany czworościanu foremnego. Podaj przybliżoną miarę tego kąta.
70. Wykaż, że jeśli wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa trójkątnego tworzą z podstawą kąty o równych miarach to
spodek wysokości ostrosłupa jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie.
71. Metalową kulę o promieniu 10 cm i stożek o średnicy 16 cm i wysokości 12cm przetopiono. Następnie z otrzymanego
metalu wykonano walec o średnicy 8cm. Jaką wysokość ma ten walec?
72. Metalową kulę o promieniu 5 cm i stożek o średnicy 12 cm i wysokości 15 cm przetopiono. Następnie z otrzymanego
metalu wykonano walec o średnicy 8 cm. Jaką wysokość ma ten walec?
73. Dany jest sześcian
od przekątnej
.
, w którym |
| = 3 (patrz rysunek). Oblicz odległość wierzchołka
74. Trapez prostokątny o podstawach długości 4 i 5 oraz kącie ostrym równym 45° obraca się wokół
krótszej podstawy. Oblicz objętość otrzymanej bryły.
75. Podstawą graniastosłupa prostego jest trójkąt prostokątny równoramienny. Kąt między przekątnymi, wychodzącymi z
tego samego wierzchołka, dwóch prostopadłych ścian bocznych, ma miarę 60°. Wiedząc, że objętość tego graniastosłupa jest równa 32 cm3, oblicz pole powierzchni całkowitej tej bryły.
76. W kostce mającej kształt sześcianu o boku 1 dm ścięto wszystkie naroża w ten sposób ze wszystkie krawędzie nowopowstałej bryły mają tę samą długość. Obliczyć objętość otrzymanej bryły.
77. Trójkąt równoramienny o podstawie długości 6 cm i ramionach długości 5 cm obracamy wokół jednego z ramion.
Otrzymaną w ten sposób bryłę dzielimy na dwa stożki. Podaj długość promienia podstawy i długość tworzącej każdego
z tych stożków.
78. Punkty ), +, *, / są środkami krawędzi
,
,
,
prostopadłościanu
| | = 5, | | = | | = 4. Uzasadnij, że |)+| = |*/|.
, w którym
79. Powierzchnia boczna stożka jest wycinkiem kołowym, którego kąt środkowy ma miarę 150°. Wiedząc, że tworząca stożka ma długość 24 cm, oblicz pole powierzchni bocznej i objętość tego stożka.
80. Powierzchnia boczna stożka jest wycinkiem kołowym, którego kąt środkowy ma miarę 120°. Wiedząc, że tworząca
stożka ma długość 12 cm, oblicz pole powierzchni bocznej i objętość tego stożka.
81. Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny
o podstawach
i
i krawędziach bocznych
,
i
(zobacz rysunek). Punkt jest środkiem krawędzi
. Długość krawędzi podstawy
jest równa 12, a pole trójkąta
jest równe 12√31. Oblicz objętość tego graniastosłupa.
82. Wysokość prostopadłościanu
jest równa 1, a długość przekątnej
ści krawędzi
i
. Oblicz objętość tego prostopadłościanu.
jest równa sumie długo-
83. Z czterech ołowianych sześcianów o przekątnej długości 4√3 wykonano graniastosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy długości 8. Oblicz długość przekątnej otrzymanego graniastosłupa.
84. Punkty ) i + są środkami krawędzi
i
sześcianu
o krawędzi długości 1. Punkt *
jest środkiem ściany
(zobacz rysunek). Oblicz pole trójkąta )+*.
krawędzi
, odcinek
tego ostrosłupa.
jest trójkąt równoboczny
o boku długości 8. Punkt jest środkiem
jest wysokością ostrosłupa. Krawędzie
i
mają długość 7. Oblicz długość krawędzi
jest trójkąt równoboczny
nek
jest wysokością ostrosłupa. Krawędzie
i
o boku długości 6. Punkt jest środkiem krawędzi
, odcimają długość √46. Oblicz długość krawędzi
tego ostrosłupa.
87. W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym powierzchnia boczna po rozwinięciu jest kwadratem o polu
= 400 cm2. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tej bryły.
88. Oblicz długość przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego, wiedząc, że objętość brył powstałych z obrotu tego trójkąta
wokół przyprostokątnych wynoszą odpowiednio 36( cm3 i 18( cm3.
89. Ściany boczne ostrosłupa prawidłowego trójkątnego są trójkątami o przyprostokątnych długości 12 cm. Oblicz objętość
i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.
jest romb
o boku długości 4. Kąt
rombu ma miarę 120°, |
i | | = | |. Oblicz sinus kąta nachylenia krawędzi
do płaszczyzny podstawy ostrosłupa.
|=|
| = 10
91. W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy ma długość 2√3. Oblicz objętość tego ostrosłupa jeżeli
ściana boczna jest nachylona do podstawy pod kątem 45°.
92. W sześcianie o krawędzi długości 2 połączono ze sobą środki trzech ścian mających wspólny wierzchołek. Sporządź
odpowiedni rysunek i oblicz pole otrzymanego trójkąta.
93. Oblicz pole powierzchni i objętość sześcianu, którego przekątna ma długość 4√3 cm.
94. Trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 15 i 20 obraca się wokół przeciwprostokątnej. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tej bryły.
95. Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego
jest kwadrat
. Pole trójkąta równoramiennego
|
|:
|
|
jest równe 120 oraz
= 10: 13. Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.
96. Podstawą graniastosłupa jest trapez równoramienny o podstawach długości 56 cm i 40 cm oraz wysokości 15 cm. Wiedząc, że wysokość graniastosłupa jest równa 10 cm, oblicz jego pole powierzchni całkowitej.
97. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym
(zobacz rysunek) przekątna
podstawy ma
między przeciwległymi krawędziami bocznymi ostrosłupa ma miarę 60°.
długość 4√2. Kąt
Oblicz objętość tego ostrosłupa.
98. Powierzchnia boczna walca po rozwinięciu jest prostokątem, którego przekątna ma długość 18 cm i tworzy z bokiem
odpowiadającym wysokości walca kąt o mierze 60°. Oblicz objętość walca.
99. Powierzchnia boczna walca po rozwinięciu jest prostokątem, którego przekątna ma długość 6 cm i tworzy z bokiem odpowiadającym wysokości walca kąt o mierze 30°. Oblicz objętość walca.
100. Oblicz objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego, w którym krawędź podstawy ma długość 1, a przekątna
ściany bocznej tworzy z sąsiednią ścianą kąt o mierze 30°.
101. W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy ma długość 4, a przekątna
chylona do ściany
pod kątem ostrym
takim, że sin
=
, ściany
jest na-
√"
.
2
a) Zaznacz na rysunku kąt .
b) Oblicz objętość graniastosłupa.
102. Pole powierzchni bocznej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest 6 razy większe, od jego pola podstawy, a
objętość tego graniastosłupa jest równa 12. Oblicz długość krawędzi podstawy oraz długość przekątnej tego graniastosłupa. Zapisz obliczenia.
, , . Oblicz pole trójkąta
wiedząc, że |
trójkąt
.
o podstawach
i
| = 10 i | | = 11. Narysuj ten graniastosłup i zaznacz na nim
, , . Oblicz pole trójkąta
wiedząc, że |
trójkąt
.
o podstawach
i
| = 6 i | | = 13. Narysuj ten graniastosłup i zaznacz na nim
105. Pole powierzchni całkowitej 34 stożka oraz jego pole podstawy 35 spełniają równanie 334 = √335 $2 + √3&. Oblicz
miarę kąta rozwarcia stożka.
106. Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego o krawędzi podstawy 6 cm i krawędzi bocznej 12 cm.
107. Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego o krawędzi podstawy długości 6 cm i krawędzi bocznej 8 cm.
108. Stożek ma wysokość 10 cm. Pole przekroju osiowego tego stożka jest równe 30 cm2. Jaką długość ma tworząca tego
stożka?
109. Środek 3 tworzącej stożka połączono z końcami
i
średnicy koła w podstawie stożka tak, że
| 3| = | 3|. Wiedząc, że kąt rozwarcia stożka jest równy 60°, oblicz kąty trójkąta
3.
110. Tangens kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równy
"
. Oblicz tangens nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa.
111. Graniastosłup prawidłowy trójkątny o krawędzi podstawy 4 cm i wysokości 10 cm przecięto płaszczyzną zawierającą
wysokość podstawy i jedną z krawędzi bocznych. Jakie pole ma ten przekrój?
112. Wysokość ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego jest równa 6 cm i stanowi
"
długości krawędzi podstawy.
a) Oblicz miarę kąta nachylenia ściany bocznej do podstawy.
b) Oblicz objętość ostrosłupa
113. Wysokość ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego jest równa 9 cm i stanowi
"
długości krawędzi podstawy.
a) Oblicz miarę kąta nachylenia ściany bocznej do podstawy.
b) Oblicz objętość ostrosłupa
114. Oblicz wysokość graniastosłupa sześciokątnego prawidłowego, wiedząc, że krawędź podstawy ma długość 5cm, zaś
najdłuższa przekątna graniastosłupa jest 4 razy dłuższa od najkrótszej przekątnej podstawy.
115. Oblicz wysokość graniastosłupa sześciokątnego prawidłowego, wiedząc, że krawędź podstawy ma długość 4 cm, zaś
najdłuższa przekątna graniastosłupa jest 5 razy dłuższa od najkrótszej przekątnej podstawy.
116. Powierzchnia boczna stożka jest po rozwinięciu ćwiartką koła o promieniu 16 cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej
i objętość tego stożka.
117. Powierzchnia boczna stożka jest po rozwinięciu ćwiartką koła o promieniu 12 cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej
i objętość tego stożka.
118. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym
o podstawie
i wierzchołku trójkąt
jest równoboczny i ma bok długości 8. Oblicz sinus kąta nachylenia ściany bocznej do
płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa (zobacz rysunek).
119. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym przeciwległe krawędzie boczne są prostopadłe, a wysokość ściany bocznej poprowadzona z wierzchołka ostrosłupa ma długość 3√3. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej bryły.
120. Podstawą ostrosłupa prawidłowego jest kwadrat o przekątnej 10√2 cm. Krawędź boczna ostrosłupa tworzy z podstawą kąt o mierze 45°. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość tego ostrosłupa.
121. Objętość prostopadłościanu jest równa 2400, a mniejsza z jego ścian bocznych ma pole powierzchni 120. Gdyby krótszą z jego krawędzi podstawy wydłużyć o 2, a dłuższą wydłużyć o 5 to objętość prostopadłościanu wzrosłaby o 1100.
Oblicz wymiary prostopadłościanu.
′ ′ ′ ′ o podstawach
i ′ ′ ′ ′, oraz krawędziach
′ wiedząc, że przekątna ściany bocznej ma długość 13 i jest na-
122. Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny
6
6
bocznych
,
, 6,
′. Oblicz pole trójkąta
chylona do podstawy pod takim kątem , że tg
=
.
.
123. Podstawą graniastosłupa
o objętości 162 jest prostokąt
(zobacz rysunek), którego
przekątna tworzy z jego bokiem kąt 30°. Przekątna
graniastosłupa tworzy z płaszczyzną jego podstawy kąt 60° stopni. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.
o objętości 162 jest prostokąt
(zobacz rysunek), którego
przekątna tworzy z jego bokiem kąt 60°. Przekątna
graniastosłupa tworzy z płaszczyzną jego podstawy kąt 60° stopni. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.
125. Pole powierzchni bocznej graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego jest równe 120√3, a pole jego powierzchni
całkowitej wynosi 168√3. Oblicz długość krawędzi podstawy i długość przekątnej ściany bocznej tego graniastosłupa.
Zapisz obliczenia.
126. Długość promienia walca zmniejszono dziesięciokrotnie. Ile razy trzeba zwiększyć wysokość tego walca aby objętość
się nie zmieniła?
127. Powierzchnia boczna stożka po rozwinięciu na płaszczyznę jest wycinkiem koła o promieniu 3
i kącie środkowym 120° (zobacz rysunek). Oblicz objętość tego stożka.
128. Bryła przedstawiona na poniższym rysunku powstała przez wycięcie z graniastosłupa prostego
trójkątnego innego graniastosłupa prostego. Oblicz pole powierzchni i objętość tej bryły.
129. Bryła przedstawiona na poniższym rysunku powstała przez wycięcie z graniastosłupa prostego
trójkątnego innego graniastosłupa prostego. Oblicz pole powierzchni i objętość tej bryły.
Zad. 128.
Zad. 129.
130. Objętość stożka jest równa 1000(, a tworząca jest nachylona do podstawy pod kątem 30°. Oblicz pole powierzchni
bocznej tego stożka.
131. Objętość stożka jest równa 3000(, a tworząca jest nachylona do podstawy pod kątem 60°. Oblicz pole powierzchni
bocznej tego stożka.
132. Krawędź sześcianu jest o 4 krótsza od jego przekątnej. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego sześcianu.
133. Pole powierzchni całkowitej stożka jest trzy razy większe od pola jego podstawy. Oblicz stosunek objętości stożka do
objętości wpisanej w niego kuli.
134. Pole podstawy stożka jest trzy razy mniejsze od jego pola powierzchni całkowitej. Oblicz stosunek objętości kuli wpisanej w stożek do objętości stożka.
135. Tworząca stożka ma długość 3 dm. Długość promienia podstawy stożka jest równa 1 dm.
Powierzchnia boczna stożka po rozwinięciu na płaszczyznę jest wycinkiem koła. Oblicz
miarę kąta środkowego tego wycinka.
136. Tworząca stożka ma długość 17, a wysokość stożka jest krótsza od średnicy jego podstawy o 22. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość tego stożka.
137. Tworząca stożka ma długość 25, a średnica podstawy stożka jest krótsza od wysokości stożka o 10. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość tego stożka.
138. Pole powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest równe 147√3 cm2, a pole jego powierzchni całkowitej wynosi 196√3 cm2. Oblicz długość krawędzi podstawy i długość krawędzi bocznej tego ostrosłupa.
139. Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równoramiennym o podstawie długości 12. Wysokość stożka jest
równa 8. Oblicz pole powierzchni bocznej tego stożka.
140. Podstawą ostrosłupa prawidłowego jest trójkąt równoboczny. Wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa
jest równa 2√17, a tangens kąta nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy jest
równy 4. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
141. Przekątna sześcianu ma długość 6. Oblicz objętość tego sześcianu.
142. Pole podstawy stożka jest równe 49(, a jego pole powierzchni bocznej jest równe 7√85(. Oblicz objętość tego stożka.
o podstawach
i
,
i
(zobacz rysunek). Długość krawędzi podstawy
jest równa 8, a pole trójkąta
jest równe 52. Oblicz objętość tego graniastosłupa.
144. Powierzchnia boczna walca po rozwinięciu na płaszczyznę jest prostokątem. Przekątna tego prostokąta
ma długość 12 i tworzy z bokiem, którego długość jest równa wysokości walca, kąt o mierze 30°.
a) Oblicz pole powierzchni bocznej tego walca.
b) Sprawdź, czy objętość tego walca jest większa od 18√3. Odpowiedź uzasadnij.
dratów pól ścian
i
jest prostokąt
, a krawędź boczna
jest równa sumie kwadratów pól ścian
jest jego wysokością. Wykaż, że suma kwai
.
146. Punkty ), +, * są środkami krawędzi
,
,
1 (zobacz rysunek). Oblicz pole trójkąta )+*.
sześcianu
o krawędzi długości
sześcianu
sześcianu
,
,
,
,
Zad. 146, zad. 147,
zad. 148.
149. Oblicz sinus kąta między przekątną sześcianu a jego płaszczyzną podstawy.
150. Dach wieży ma kształt powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego krawędź podstawy ma
długość 4 m. Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60°.
a) Sporządź pomocniczy rysunek i zaznacz na nim podane w zadaniu wielkości.
b) Oblicz, ile sztuk dachówek należy kupić, aby pokryć ten dach, wiedząc, że do pokrycia 1 m2 potrzebne są 24 dachówki. Przy zakupie należy doliczyć 8% dachówek na zapas.
151. W trójkącie ostrokątnym
mamy | | = 7, | | = 8, zaś |∢
tu trójkąta
wokół prostej zawierającej bok
.
| = 60°. Oblicz objętość bryły powstałej z obro-
152. Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy 2 dm i krawędzi bocznej 4 dm.
153. Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy 4 dm i krawędzi bocznej 6 dm.
jest prostokąt, którego boki pozostają w stosunku 3:4, a pole jest równe 192 (rysunek).
Punkt jest wyznaczony przez przecinające się przekątne podstawy, a odcinek
jest wysokością ostrosłupa. Każda
krawędź boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30°. Oblicz objętość ostrosłupa.
przekątna
podstawy ma długość 4. Kąt
równy 30°. Oblicz objętość ostrosłupa
przedstawionego na poniższym rysunku.
jest
156. Punkty ) i + są środkami odpowiednio podstawy
i krawędzi
sześcianu
gości odcinków ) i + jest równa 33. Oblicz pole powierzchni całkowitej sześcianu.
. Suma kwadratów dłu-
Zad. 155.
Zad. 154.
157. Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o podstawie
Zad. 156.
jest równe 20√2,
i wierzchołku . Pole trójkąta
krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem, którego tangens jest równy
.√
2
. Oblicz objętość
ostrosłupa.
158. Objętość stożka, w którym wysokość jest równa promieniowi podstawy, jest równa
;<
"
cm3. Oblicz pole powierzchni
całkowitej tego stożka. Przyjmując przybliżenie ( ≈ 3,14 podaj wynik z dokładnością do 0,1.
> jest prostokąt
. Krawędź boczna > jest wysokością tego
ostrosłupa. Krawędzie boczne >, > i > mają następujące długości: | >| = 6, | >| = 9,
| >| = 7. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
> jest kwadrat
. Krawędź boczna > jest wysokością tego
ostrosłupa. Krawędzie boczne > i > mają następujące długości: | >| = √6, | >| = 3. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.
Zad. 159, zad. 160,
zad. 161.
> jest kwadrat
o polu 2. Krawędź boczna > jest wysokością tego
ostrosłupa. Długości krawędzi bocznych > i > spełniają warunek: 2| >| = √6| >|. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
162. W stożek o wysokości 10 wpisano kulę o promieniu 4. Oblicz pole powierzchni całkowitej stożka.
Zad. 162.
163. Dany jest graniastosłup czworokątny prosty
o podstawach
i
oraz krawędziach bocznych
, , ,
. Podstawa
graniastosłupa jest rombem o boku długości 8 cm i kątach ostrych i o mierze
60°. Przekątna graniastosłupa
jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60°. Sporządź rysunek pomocniczy i zaznacz na nim wymienione w zadaniu kąty. Oblicz objętość tego graniastosłupa.
164. Podstawą graniastosłupa prostego jest romb. Krótsza przekątna rombu tworzy z krawędzią podstawy kąt 60° i ma długość 4√3. Dłuższa przekątna bryły tworzy z dłuższą przekątną rombu kąt 60°. Oblicz objętość graniastosłupa.
165. W graniastosłupie prostym o podstawie rombu krótsza przekątna podstawy ma długość 6 cm i tworzy z krawędzią
podstawy kąt 60°. Kąt między krótszą przekątną rombu i krótszą przekątną graniastosłupa ma miarę 45°. Oblicz objętość graniastosłupa.
166. Połówkę koła o promieniu 12 zwinięto w stożek. Oblicz objętość i kąt rozwarcia tego stożka jeżeli długość łuku tej połówki koła jest obwodem podstawy, a jej promień jest tworzącą stożka.
167. Krawędź podstawy ostrosłupa trójkątnego prawidłowego jest równa 6. Jego objętość jest równa 9√3. Wyznacz długość wysokości ściany bocznej ostrosłupa.
jest kwadrat o boku długości 12. Spodek wysokości
ostrosłupa jest środkiem krawędzi
. Wiedząc, że dwie krótsze krawędzie boczne mają tę samą długość, równą 10, oblicz tangens kąta nachylenia krawędzi
do płaszczyzny podstawy.
169. Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny. Promień okręgu opisanego na podstawie tego ostrosłupa jest równy 2√3.
Ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy ostrosłupa pod kątem 60°. Oblicz objętość i pole powierzchni
bocznej tego ostrosłupa.
170. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym o objętości 5 " cm3 wysokość jest 2 razy dłuższa od krawędzi podstawy.
Oblicz pole powierzchni tego ostrosłupa.
171. W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym o krawędzi podstawy # = 6 przekątna ściany bocznej tworzy z drugą
ścianą boczną kąt o mierze 30°. Oblicz:
a) Długość przekątnej ściany bocznej;
b) Długość wysokości graniastosłupa;
c) Objętość i pole powierzchni całkowitej.
172. W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym o krawędzi podstawy # = 8 przekątna ściany bocznej tworzy z drugą
ścianą boczną kąt o mierze 30°. Oblicz:
a) Długość przekątnej ściany bocznej;
b) Długość wysokości graniastosłupa;
c) Objętość i pole powierzchni całkowitej.
173. W graniastosłupie czworokątnym prawidłowym przekątna o długości ? jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod
kątem α. Wiadomo, że sin = 0,2. Wyznacz objętość tego graniastosłupa.
174. Oblicz objętość czworościanu foremnego o krawędzi #.
175. Wszystkie krawędzie ostrosłupa prawidłowego czworokątnego mają tę samą długość. Oblicz kąt nachylenia krawędzi
bocznej ostrosłupa do płaszczyzny podstawy.
176. Objętość stożka jest równa 12( dm3, a cosinus kąta α między wysokością, a tworzącą wynosi 0,8. Oblicz:
a) pole powierzchni bocznej stożka;
b) miarę kąta środkowego powierzchni bocznej stożka po rozwinięciu na płaszczyźnie.
177. Krawędź boczna ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 4 cm i jest nachylona do płaszczyzny podstawy
pod kątem 30°. Oblicz długość krawędzi sześcianu, którego objętość jest równa objętości tego ostrosłupa.
178. Z jednakowych sześciennych kostek, których krawędź ma długość 1, sklejono bryłę przedstawioną
na rysunku. Ile kostek należy dokleić do tej bryły, aby otrzymać wypełniony kostkami sześcian?
179. Wysokość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 16. Przekątna graniastosłupa jest nachylona do
"
płaszczyzny jego podstawy pod kątem, którego cosinus jest równy .. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.
180. Wysokość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 18. Przekątna graniastosłupa jest nachylona do
płaszczyzny jego podstawy pod kątem, którego cosinus jest równy 0,8. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.
181. Podstawą prostopadłościanu jest kwadrat. Przekątna tego prostopadłościanu ma długość 8√2 i jest nachylona do
płaszczyzny podstawy pod kątem 60°. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu i wykonaj rysunek.
182. Przekątna prostopadłościanu ma długość 24 i tworzy z płaszczyzną jego podstawy kąt 60°. Jedna z krawędzi podstawy
ma długość 8. Wyznacz objętość i pole powierzchni całkowitej tego prostopadłościanu.
183. Przekątna prostopadłościanu ma długość 8 cm, a miara kąta, jaki tworzy ona ze ścianą boczną wynosi 30°. Oblicz objętość prostopadłościanu, jeśli jego wysokość wynosi 2√7 cm.
184. Przekątna prostopadłościanu ma długość 12 cm, a miara kąta, jaki tworzy ona ze ścianą boczną wynosi 60°. Oblicz
objętość prostopadłościanu, jeśli jego wysokość wynosi 2√5 cm.
185. W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy ma długość 2√3. Oblicz objętość tego ostrosłupa jeżeli kąt
nachylenia krawędzi bocznej do podstawy ma miarę 60°.
186. W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy ma długość 6. Oblicz objętość tego ostrosłupa jeżeli kąt
nachylenia krawędzi bocznej do podstawy ma miarę 60°.
187. Podstawą ostrosłupa prawidłowego jest kwadrat. Wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa jest równa
22, a tangens kąta nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy jest równy
2 √@
.
.
Oblicz objętość tego ostrosłupa.
188. Narożnik między dwiema ścianami i sufitem prostopadłościennego pokoju należy zamaskować trójkątnym fragmentem płyty gipsowo-kartonowej (patrz rysunek). Wiedząc, że | | = | | = | | =
1m, oblicz objętość narożnika zamaskowanego tą płytą. Wynik zaokrąglij do 0,01 m3.
189. W prostopadłościanie pola trzech ścian o wspólnym wierzchołku są równe 3 , 3 , 3" . Oblicz objętość tego prostopadłościanu.
190. Z drewnianego prostopadłościanu o objętości 9408 cm3 i podstawie będącej kwadratem
o boku 14 cm, wycięto ostrosłup prawidłowy czworokątny o wysokości równej połowie
najdłuższej krawędzi prostopadłościanu. Otrzymano w ten sposób bryłę, której widok z
dwóch stron przedstawiono na rysunku. Oblicz pole powierzchni całkowitej otrzymanej bryły.
191. Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny
o podstawie
. Ramię trójkąta równoramiennego
ma długość 8 i jest dwa razy dłuższe od jego podstawy. Oblicz sinus kąta nachylenia
ściany bocznej do płaszczyzny podstawy.
192. Krawędź boczna ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest dwa razy dłuższa od krawędzi podstawy. Krawędź podstawy jest równa #. Oblicz pole powierzchni bocznej i sinus połowy kąta między ścianami bocznymi ostrosłupa.
jest prostokąt
(zobacz rysunek), którego krótszy bok
ma długość 3. Przekątna prostokąta
tworzy z jego dłuższym bokiem kąt 30°. Przekątna
graniastosłupa tworzy z płaszczyzną jego podstawy kąt 60°. Oblicz objętość tego graniastosłupa.
jest prostokąt
(zobacz rysunek), którego dłuższy bok ma długość 6.
Przekątna prostokąta
tworzy z jego krótszym bokiem kąt 60°. Przekątna
graniastosłupa tworzy z płaszczyzną jego podstawy kąt 45°. Oblicz objętość tego graniastosłupa.
195. Ściana boczna jest nachylona do podstawy pod takim kątem , że tg
2
= ". Wyznacz pole powierzchni bocznej tego
ostrosłupa.
196. Na narysowanej obok siatce sześcianu zaznaczono trzy środki ścian sześcianu.
a) Zaznacz na powierzchni sześcianu trzy punkty 3, A, odpowiadające środkom
ścian wskazanym na jego siatce.
b) Wiedząc, że krawędź sześcianu ma długość 1, oblicz pole trójkąta 3A .
197. Oblicz objętość kuli wiedząc że jej pole powierzchni jest równe 1152π cm2.
198. Oblicz objętość kuli wiedząc że jej pole powierzchni jest równe 972π cm2.
jest równa 27√3. Długość krawędzi
podstawy ostrosłupa jest równa 6 (zobacz rysunek). Oblicz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.
200. Oblicz cosinus kąta między ścianą boczną i płaszczyzną podstawy ostrosłupa prawidłowego trójkątnego, jeżeli wiadomo, że promień okręgu opisanego na podstawie, wysokość ostrosłupa i krawędź boczna tworzą trójkąt równoramienny.
201. Oblicz cosinus kąta między krawędzią boczną i krawędzią podstawy ostrosłupa prawidłowego trójkątnego wiedząc, że
promień okręgu opisanego na podstawie, wysokość ostrosłupa i krawędź boczna tworzą trójkąt równoramienny.
202. Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość #. Przekątne sąsiednich ścian bocznych
poprowadzone z tego samego wierzchołka są prostopadłe. Oblicz objętość tego graniastosłupa.
203. Wysokość czworościanu foremnego ma długość 6√3. Oblicz jego objętość i pole powierzchni całkowitej.
204. Wysokość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego tworzy ze ścianą boczną kąt o mierze 60°. Pole powierzchni
bocznej ostrosłupa jest równe 72√3 cm2. Oblicz objętość ostrosłupa.
205. Kąt rozwarcia stożka jest równy 60°. Promień podstawy stożka ma długość 4. Oblicz pole powierzchni bocznej stożka.
206. Przekątna prostopadłościanu ma długość 5 i tworzy z dwoma ścianami prostopadłościanu kąty
cos
=
"√
.
i B takie, że
2
i cos B = .. Oblicz objętość tego prostopadłościanu.
207. Przekątna ′ graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość 4√6 i jest nachylona do
płaszczyzny podstawy pod kątem 45°. Oblicz objętość tego graniastosłupa.
208. Stosunek pola powierzchni bocznej stożka do pola jego powierzchni całkowitej jest równy ". Wyznacz miarę kąta nachylenia tworzącej stożka do płaszczyzny podstawy.
209. Trójkąt o bokach długości 5, 8 i 9 obraca się dookoła najdłuższego boku. Oblicz objętość powstałej bryły.
212. Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe 198. Stosunki długości krawędzi prostopadłościanu wychodzących z tego samego wierzchołka prostopadłościanu to 1 : 2 : 3. Oblicz długość przekątnej tego prostopadłościanu.
213. Oblicz wysokość i objętość ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego o krawędzi podstawy 4 cm i krawędzi bocznej 10
cm.
214. Podstawą ostrosłupa jest prostokąt o polu 96 cm2. Stosunek długości boków tego prostokąta wynosi 2:3. Krawędzie
boczne ostrosłupa są nachylone do płaszczyzny podstawy pod kątem 60°. Oblicz pole powierzchni całkowitej bryły.
jest kwadrat
. Punkt jest środkiem krawędzi
, odcinek
jest wysokością ostrosłupa. Oblicz objętość ostrosłupa, jeśli wiadomo, że | | = 15, | | = 17.
216. W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędzie boczne są dwa razy dłuższe od krawędzi podstawy.
a) Wyznacz sinus kąta nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy.
b) Wyznacz długość krawędzi podstawy, tak aby objętość ostrosłupa wynosiła
"
√11.
217. Można przyjąć, że piramida Cheopsa jest ostrosłupem prawidłowym czworokątnym o krawędzi podstawy 233 m. Długość cienia piramidy w momencie, gdy promienie słoneczne padają prostopadle do jednej ze ścian wynosi 67,5 m.
Wyznacz wysokość piramidy.
218. Oblicz objętość i pole powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego o krawędzi podstawy 2 cm i
krawędzi bocznej 6 cm.
219. Wysokość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 8. Krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny
podstawy pod kątem 40°. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
220. Wysokość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 6. Krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny
podstawy pod kątem 30°. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
221. W prostopadłościanie poprowadzono z jednego wierzchołka przekątne ścian bocznych, obie o długości 4. Wiedząc, że
kąt między tymi przekątnymi ma miarę 60°, oblicz pole powierzchni tego prostopadłościanu.
jest trójkąt
. Krawędź
jest wysokością ostrosłupa (zobacz rysunek). Oblicz objętość ostrosłupa
, jeśli wiadomo, że | | = 8, | | = | | = 14 oraz pole
podstawy jest równe 24.
223. Ołowianą kulę o średnicy 60 cm przetopiono na walce o wysokości i promieniu podstawy równych 2 cm. Ile takich
walców otrzymano?
224. Ołowianą kulę o średnicy 90 cm przetopiono na walce o wysokości i promieniu podstawy równych 3 cm. Ile takich
walców otrzymano?
225. Drewnianą kulę o promieniu 5 cm pocięto na 5 części w ten sposób, że płaszczyzny cięcia są prostopadłe do ustalonej średnicy
tej kuli, oraz podzieliły tę średnicę na 5 równych odcinków. Oblicz pola
powierzchni otrzymanych przekrojów kołowych.
226. Do naczynia w kształcie walca wypełnionego wodą do wysokości 7 cm włożono metalową kulkę o promieniu 3 cm.
Poziom wody podniósł się o 1 cm i zrównał się z górną podstawą walca. Oblicz objętość naczynia. Przyjmując
( ≈ 3,14, wynik podaj z dokładnością do 1 cm3.
227. Pole powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego trójkątnego równa się
CD √ .
,
2
gdzie # oznacza
długość krawędzi podstawy tego ostrosłupa. Zaznacz na poniższym rysunku kąt nachylenia ściany
bocznej ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy. Miarę tego kąta oznacz symbolem B. Oblicz cos B
i korzystając z tablic funkcji trygonometrycznych i odczytaj przybliżoną wartość B z dokładnością do 1°.
228. Wysokość prostopadłościanu o podstawie kwadratowej jest dwa razy dłuższa od krawędzi podstawy. Objętość prostopadłościanu jest równa 6√3. Wyznacz pole powierzchni całkowitej tego prostopadłościanu.
229. Podstawą ostrosłupa jest romb. Wysokość ostrosłupa ma długość 12√3 cm, a spodek E tej wysokości jest punktem przecięcia przekątnych. Każda ze ścian bocznych ostrosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt o mierze 60°.
a) Zaznacz na rysunku kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy ostrosłupa oraz
poprowadź odcinek E3, którego długość jest równa odległości punktu E od ściany bocznej.
b) Oblicz odległość punktu E od ściany bocznej.
230. Graniastosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi 4 cm i wysokości 3 cm przecięto płaszczyzną, która zawiera przekątne przeciwległych ścian bocznych. Jakie pole ma ten przekrój?
231. Oblicz stosunek objętości kuli wpisanej w czworościan foremny do objętości kuli opisanej na tym czworościanie.
232. Promień okręgu opisanego na podstawie graniastosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość 4√3. Pole powierzchni
bocznej jest równe 144.
a) Oblicz objętość tego graniastosłupa.
b) Oblicz cosinus kąta między przekątną ściany bocznej i krawędzią podstawy graniastosłupa.
233. Kwadrat o boku 2 cm obraca się wokół swojej przekątnej. Oblicz objętość i pole powierzchni powstałej bryły.
234. Na rysunkach przedstawiono tę samą bryłę widzianą z dwóch stron. Każda ze ścian
tej bryły jest albo kwadratem, albo trójkątem równobocznym. Kwadratem jest też
czworokąt
(patrz rysunki). Każda krawędź ma długość 2. Jaką objętość ma ta
bryła? Zapisz obliczenia.
235. Z drewnianego sześcianu o krawędzi długości 6 cm wycięto ostrosłup prawidłowy
czworokątny o wysokości równej krawędzi sześcianu. Otrzymano w ten sposób bryłę, której widok z dwóch stron przedstawiono na rysunku. Jaką objętość ma ta bryła?
Zapisz obliczenia.
236. Na rysunku przedstawiono bryłę, której każda ściana jest albo kwadratem, albo trójkątem równobocznym. Kwadratami są też czworokąty
i
. Każda krawędź ma długość 4. Jaką objętość ma ta bryła? Zapisz obliczenia.
237. Spawacz ma wykonać z blachy konstrukcję, której podstawą jest kwadrat a ściany boczne są prostopadłe do płaszczyzny podstawy. Wymiary elementów są podane na rysunku. Oblicz pole powierzchni
tej konstrukcji (wszystkich sześciu ścian). Wynik podaj z zaokrągleniem do 1 cm2.
238. Dany jest graniastosłup, którego podstawą jest równoległobok o polu 16 cm2 i kącie ostrym 30°. Oblicz objętość graniastosłupa jeżeli pola jego ścian są równe 48 cm2 i 24 cm2.
239. Krawędź boczna ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60°. Odległość spodka wysokości ostrosłupa od krawędzi bocznej jest równa 4. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
240. Oblicz objętość stożka, którego tworząca o długości 4 jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30°.
241. Czy kwadratową płytą o boku długości 2,2 m można całkowicie zakryć otwór w ziemi,
który ma kształt stożka o wysokości 2 m i kącie rozwarcia 60°? Odpowiedź uzasadnij.
242. Kąt między przekątnymi sąsiednich ścian bocznych prostopadłościanu o podstawie kwadratowej jest równy 60°. Krawędź podstawy ma długość 12. Wyznacz pole powierzchni całkowitej tego prostopadłościanu i kąt nachylenia przekątnej ściany bocznej do płaszczyzny podstawy prostopadłościanu.
243. Promień i wysokość walca mają jednakową długość. Pole powierzchni bocznej wynosi 200(. Oblicz pole podstawy
walca.
244. Dane są dwie bryły: stożek, w którym długość promienia podstawy jest równa 2 dm i wysokość ma długość
<
dm oraz
ostrosłup prawidłowy trójkątny, w którym krawędź podstawy ma długość 4 dm. Wiedząc, że objętości tych brył są
równe, wyznacz kąt nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do jego podstawy.
jest równy 60°. Oblicz objętość ostrosłupa
przekątna
podstawy ma długość 4. Kąt
przedstawionego na rysunku.
246. Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny, którego suma długości wszystkich krawędzi wynosi 12.
a) Napisz wzór funkcji 3 wyrażającej pole powierzchni całkowitej graniastosłupa, w zależności od długości krawędzi
podstawy F. Podaj dziedzinę funkcji 3.
b) Wyznacz długości krawędzi graniastosłupa, dla których pole powierzchni całkowitej jest największe.
247. Objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 8√6. Przekątna tego graniastosłupa jest nachylona
do płaszczyzny podstawy pod kątem 60°. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

12. Stereometria

Transkrypt

Podobne dokumenty

Oblicz długość krawędzi sześcianu o objętości 64 cm3. Jaką

2 PRACA KLASOWA GRANIASTOSŁUPY I OSTROSŁUPY PRACA

Kliknij aby pobrać dokument w formacie PDF - AUTO

sprzedam Bmw 530xd - Wirtualnaskandynawia

Podstawą ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest trójkąt

Straż Graniczna Komenda Główna Straży Granicznej

Z OE BMW listwa zewnętrzna szyby drzwi tylnych prawych BMW 1