Teoria płyt cienkościennych

12. TEORIA PŁYT CIENKOŚCIENNYCH
12.
1

12. TEORIA PŁYT I POWŁOK (KIRCHHOFFA-LOVE)
Płyta jest to układ ograniczony dwoma płaszczyznami o małej krzywiźnie. Odległość między
powierzchniami ograniczającymi tę wysokość płyty h. Obciążenie jest prostopadłe do płaszczyzny
środkowej powoduje jej zakrzywienie. Rozpatrywać będziemy płyty cienkie i o stałej grubości (nie
wszystkie płyty muszą mieć stałą grubość). Cienkie czyli takie których jeden wymiar (wysokość, grubość)
jest znacznie mniejszy od dwóch pozostałych:
-
h
1
wymiaru krótszego boku
10
-
h
1
średnicy (dla płyt okrągłych).
5
Cienkie płyty spełniają hipotezy Kirchhoffa:
- płaszczyzn środkowa nie doznaje żadnych wydłużeń ani odkształceń postaciowych,
- punkty płyty położone na normalnej do płaszczyzny środkowej pozostają na niej również po
odkształceniu,(odcinek prostopadły do nieodkształconej powierzchni środkowej pozostaje
prostoliniowy, niewydłużony i prostopadły do powierzchni środkowej),
Rys. 12.1
- naprężenia normalne prostopadłe do powierzchni środkowej są małe w porównaniu z pozostałymi
naprężeniami.
 33 = z ≪ x , y
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
(12.1)
AlmaMater
12. TEORIA PŁYT CIENKOŚCIENNYCH
2
Rys. 12.2
Decydujące są przemieszczenia pionowe (prostopadłe do płaszczyzny środkowej) i nimi się
zajmiemy. Przyjmijmy założenie  33= z  0 i przedstawmy u 1, u 2, u 3 za pomocą jednej zmiennej w.
u 1 =u=−u 3 1=−z 1 =−z
dw
dx
(12.2)
Analogicznie po kierunku osi y (prostopadle do kartki):
u 2=v=−z 2=−z
dw
dy
(12.3)
u 3=w
(12.4)
Szukamy przemieszczenia w. Jest ono na funkcję ugięcia płyty w=w(x,y). Odkształcenia
11= x =−z
22= y =
∂2 w
∂ x2
(12.5)
∂v
∂2 w
=−z
∂y
∂ y2


12= xy =
1 ∂u ∂r

2 ∂y ∂x
13= xz =
1 ∂w ∂u

2 ∂x ∂z


Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
(12.6)
(12.7)
(12.8)
AlmaMater
12. TEORIA PŁYT CIENKOŚCIENNYCH
u=−z
dw
;
dx
13= xz =
3
∂u
∂w
=−
∂z
∂x

(12.9)

1 ∂w ∂w
−
=0
2 ∂x ∂x
(12.10)
Analogicznie:
23= yz =0
33= z =
(12.11)
∂w
∂z
(12.12)
Ugięcie nie jest funkcją z ponieważ po kierunku osi z wszystkie punkty przemieszczają się tak samo.
w≠ f  z 
w=w  x , z 
zatem:
więc:
∂w
=0
∂z
(12.13)
 z =0
(12.14)
Jest to płaski stan naprężeń w związku z tym obowiązują następujące związki fizyczne:
x=
1
  − y 
E x
(12.15)
y=
1
  −  x 
E y
(12.16)
1
 xy
E
(12.17)
 xy =
Po wprowadzeniu wzorów (12.5),(12.6) i (12.7):


 x=
E
−Ez ∂2 w
∂2 w



=



x
y
1−2
1−2 ∂ x 2
∂ y2
 y=
E
−Ez ∂2 w
∂2 w



=

 y
x
1−2
1−2 ∂ y 2
∂ x2


Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
(12.18)
(12.19)
AlmaMater
12. TEORIA PŁYT CIENKOŚCIENNYCH
 xy =
E
−Ez ∂2 w

=
xy
1 ∂ x ∂ y
1−2
4
(12.20)
Przyjmujemy, że płyta jest nieważka (nie ma sił masowych). Równania równowagi:
∂  x ∂  xy ∂  xz


=0
∂x
∂y
∂z
(12.21)
Równanie to nie jest spełnione. W związku z tym:
∂  xz
≠0
∂z
(12.22)
Po podstawieniu σ i τ do równania równowagi otrzymujemy:


∂  xz
Ez ∂3 w
∂3 w
Ez ∂3 w
=


∂ z 1−2 ∂ x 3
∂ x ∂ y 2 1 ∂ x ∂ y 2
(12.23)
∂  xy ∂  y ∂  zy


=0
∂x
∂y
∂z
(12.24)
∂  yz
Ez ∂3 w
∂3 w
Ez ∂3 w
=


∂ z 1−2 ∂ y 3
∂ y ∂ x 2 1 ∂ x 2 ∂ y

(12.25)
∂  xz ∂  yz ∂  z


=0
∂x
∂y
∂z
(12.26)
Analogicznie:

W celu wyznaczenia τzx całkujemy (12.23) po z i dodajemy warunki brzegowe:
z=±
 xz =
h
2


−E
h2 2
−z
2  1−2  2
 xz =0

∂3 w
∂3 w

∂ x3 ∂ x ∂ y 2
(12.27)

(12.28)
Całkując po z równanie (12.25) i wykorzystując warunek brzegowy otrzymujemy równanie na τyz :
 yz =
−E
2  1−
2


h2
−z2
2

∂3 w
∂3 w

3
2
∂y
∂ y∂x

(12.29)
Po podstawieniu τzx oraz τyz do trzeciego równania równowagi, otrzymujemy wyrażenie określające
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater
12. TEORIA PŁYT CIENKOŚCIENNYCH
5
∂z
, następnie całkując obustronnie po z i uwzględniając warunki brzegowe:
∂z
h
  z =0
- z=
2

−E
∂4 w
∂4 w
∂4 w
3
2
3
 h −3 h z4 z 
 z=
2 2

∂ x4
∂ x ∂ y2 ∂ y4
24  1−2 
 z=
-
z=
−h
z

−E
 h3−3 h2 z4 z 3 ∧4 w
2
24  1− 
(12.30)
(12.31)
  z =−P  x , y
∂4 w
∂4 w
∂4 w P  x , y 
∇ w  x , y =
2 2

=
D
∂ x4
∂ x ∂ y2 ∂ y2
4
(12.32)
Gdzie P(x,y) oznacza obciążenie zewnętrzne a D- sztywność płyty na zginanie (sztywność giętna)
D=
–
Eh3
12  1−3 
(12.33)
Rozkład naprężeń na grubości płyty:
naprężenia istotne ( decydujące),
Rys. 12.3 Naprężenia decydujące
–
naprężenia drugorzędna (tzn dostatecznie małe w porównaniu z naprężeniami podstawowymi σx, σy, τxy i
mogą być pominięte przy obliczeniu odkształceń).
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater
12. TEORIA PŁYT CIENKOŚCIENNYCH
6
Rys. 12.4 Naprężenia pomijalne
Siły wewnętrzne dla płyty wyrażają się wzorami:
h
2


(12.34)

(12.35)
∂2 w
∂x∂ y
(12.36)
∂2 w
∂2
M x = ∫  x zdz=−D
 2
∂ x2
∂y
−h
2
h
2
M y = ∫  y zdz=−D
−h
2

∂2 w
∂2

∂ y2
∂ x2
Moment skręcający:
h
2
M xy =M yx = ∫  xy zdz=− 1−  D
−h
2
Siły mniej istotne:
h
2
Q xz =Q x =T x = ∫  xz dz=−D
−h
2
h
2
Q yz =Q y =T y = ∫  yz dz=−D
−h
2

∂3 w
∂3 w

3
2
∂x
∂x∂ y

(12.37)

∂3 w
∂3 w

∂ y3 ∂ y ∂ x2

(12.38)
Warunki brzegowe płyt prostokątnych.
Rozwiązanie zadań w postaci funkcji ugięcia w(x,y) jest dostosowane do spełnienia tylko dwóch
warunków brzegowych:
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater
12. TEORIA PŁYT CIENKOŚCIENNYCH
7
- brzeg całkowicie utwierdzony:
x
b
a
y
Rys 12.5
2.
2.
dla
x=0
{0
yb
1.
w 0, y=0
0, y=0
y=0
{0xa
1.
w  x ,0=0
 x ,0=0 
1.
1.
2.
∂w
∂y
∣
=0
(12.39)
0, y
(12.40)
 x ,0
x=a
{0
yb
w a , y =0
a , y=0
dla
∣
=0
∂w
∂x
dla
dla
2.


∂w
∂x
∣
=0
∣
=0
(12.41)
a , y
y=b
{0xa
w  x , b=0
 x , b=0

∂w
∂y
(12.42)
 x , b
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater
12. TEORIA PŁYT CIENKOŚCIENNYCH
8
-krawędź przegubowo podparta:
dla
y=0
{0xa
1.
w  x ,0=0
2.
(12.44)
M y  x , b=0
M y =−D

∂ 2 w ∂2 w

∂ y2 ∂ x2

(12.45)
-brzeg utwierdzony
 
∂w
∂x
=0
(12.46)
0, y
∂2 w
M xy =M yx =−D 1−
∂x∂ y
(12.47)
12.1. Brzeg swobodny
W wyniku przyjęcia hipotezy prostoliniowego elementu musimy warunki brzegowe wyrazić w postaci
dwóch tylko wielkości statycznych (w przypadku trzech warunków otrzymalibyśmy sprzeczność – zadanie
niewyznaczalne). Dla wyeliminowania nadliczbowego warunku brzegowego należy trzy wielkości –
moment zginający i skręcający oraz siłę poprzeczną sprowadzić do dwóch: momentu zginającego i
zastępczej siły poprzecznej, która będzie wypadkową siły poprzecznej i siły od momentu skręcającego. W
tym celu zastąpimy brzegowy moment skręcający parami sił o ramionach dy rozmieszczonymi w sposób
ciągły i dodamy do sił poprzecznych działających w przekroju podporowym.
Rozpatrzmy brzeg płyty prostopadły do osi 0x i podzielmy go na równe, nieskończenie małe odcinki
dy. Na każdy taki odcinek działa odpowiedni moment skręcający , który możemy zastąpić parą sił o
ramieniu dy, zgodnie z tym co pokazano na rysunku:
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater
12. TEORIA PŁYT CIENKOŚCIENNYCH
(Mxy+
x
y
(Mxy+
2
z
jMxy
jy
jMxy
9
dy) dy
jy
Mxydy
dy) dy
Mxy
dy
dy
dy
Mxy+ 2
jMxy
jy
Mxy+
jMxy
jy
dy
dy
Rys. 12.5. Zamiana momentów skręcających na siły poprzeczne
Zajmijmy się teraz ustaleniem warunków brzegowych dla rzutu płyty przedstawionego poniżej:
a
x
b
x=a
y=b
y
Rys.12.6. Rzut płyty
Po zsumowaniu przeciwnie skierowanych sił na granicy dwóch elementarnych odcinków otrzymamy
wypadkową
Q xz =
∂ M xy
dy
∂y
(12.48)
Sumując otrzymaną siłę z siłą poprzeczną dostaniemy zastępczą siłę poprzeczną na krawędzi
równoległej do osi 0y
Q∗xz =Q xz Q xz
(12.49)
Wykorzystując znane zależności
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater
12. TEORIA PŁYT CIENKOŚCIENNYCH
M xy =−D 1−
10
∂2 w
∂x∂ y

∂3 w
∂3 w
Q xz =−D

∂ x3 ∂ x ∂ y 2
(12.50)

(12.51)
otrzymamy wzór na siłę zastępczą
Q∗xz =Q∗x =−D


[
∂3 w
∂3 w
∂3 w
∂3 w
∂3 w

−D
1−
=−D
2−
∂ x3 ∂ x ∂ y 2
∂ x ∂ y2
∂ x3
∂ x ∂ y2
]
(12.52)
Ostatecznie otrzymujemy dwa warunki brzegowe postaci
[
∂3 w
∂3 w
Q =−D
2−
∂ x3
∂ x ∂ y2
∗
x
]
(12.53)
M x =0
(12.54)
12.2. Zastosowanie szeregów trygonometrycznych
x
q(x,y)
b
a
y
Rys.12.7. Płyta prostokątna z obciążeniem q(x,y)
Niech
w=w  x , y
D=
Eh3
121−2 
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
(12.55)
(12.56)
AlmaMater
12. TEORIA PŁYT CIENKOŚCIENNYCH
11
Równanie ugięcia płyty przyjmuje postać
∂4 w
∂4 w
∂ 4 w f  x , y
2 2 2  4 =
D
∂ x4
∂x ∂y ∂y
(12.57)
W zadaniu tym posługujemy się rozwiązaniem Naviera
∞
∞
∑ C mn sin
m
n
xsin
y
a
b
q  x , y=∑ ∑ p mn sin
m
n
xsin
y
a
b
w  x , y= ∑
m=1 n=1
(12.58)
Znana funkcja przyjmuje postać:
m
n
(12.59)
Rozwinięcie znanej funkcji w szereg Fouriera przebiega w następujących etapach:
1)
mnożymy lewą i prawą stronę równości (12.59) przez sin
2)
mnożymy lewą i prawą stronę przez sin
k
y i całkujemy w granicach (0,b)
b
i
x i całkujemy w granicach (0,a)
a
Otrzymujemy
a b
∫∫ q  x , y sin
0 0
k
i
y sin
xdxdy=∗
b
a
(12.60)
przy czym
p mn =const
(12.61)
{
0 , m≠i
m
i
∫ sin a x sin a xdx= a , m≠i
0
2
a
(12.62)
stąd
∗=
ab
p
2 2 ik
(12.63)
Możemy także wyliczyć współczynnik rozwinięcia funkcji:
a b
m
n
4
p mn= ∫∫ q x , y sin
x sin
ydxdy
ab 0 0
a
b
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
(12.64)
AlmaMater
12. TEORIA PŁYT CIENKOŚCIENNYCH
12
Zad.1.
Załóżmy, że q = const oraz
p mn=
16 q ab
16 q
= 2
2
ab  mn  mn
(12.65)
Podstawiając w(x) w postaci rozwinięcia do lewej strony równania opisującego linię ugięcia
otrzymamy postać
[
∑ ∑ C mn 4
m
n
m2 n2

a 2 b2
]
sin
m
n
m
n 1
xsin
y=∑ ∑ p mn sin
ysin
y
a
b
a
b
D
m
n
(12.66)
co prowadzi po uproszczeniu do równania
[  ]
D⋅C mn 
4
m2 n2

a 2 b2
2
= p mn
(12.67)
Dla obciążenia równomiernie rozłożonego niewiadoma wartość współczynnika rozwinięcia równa jest
C mn=
16 q
[
m2 n2
 Dmn 2  2
a
b
6
]
2
(12.68)
Podstawiając rezultat do (12.58) otrzymamy
∞
w  x , y=
∞
16 q
∑∑
6 D m=1 n=1
sin
m x
n y
sin
a
b
[
m2 n2
mn 2  2
a
b
]
2
(12.69)
Powyższy ciąg jest szybkozbieżny, daje dobre rezultaty już dla jednego wyrazu. Obliczmy
maksymalne ugięcie kwadratowej płyty o boku równym a, przyjmując ν = 0,3:
 
a a
4 qa 4
qa 4
w
, = 6 =0,0454
2 2
 D
E h3
(12.70)
Wartość momentu wynosi
M MAX =0,048 qa 2
(12.71)
Dla porównania: gdyby w środku płyty wyciąć belkę o szerokości 1m, powyższe wielkości
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater
12. TEORIA PŁYT CIENKOŚCIENNYCH
13
kształtowałyby się w następujący sposób:
w

(12.72)
M y =0,125 q a 2
(12.73)
a
qa 4
=0,1563
2
E h3
12.3. Płyta obciążona polem
q
x
x0
y0
b
a
0
b
0
a
y
Rys.12.8. Płyta obciążona polem
Przyjmijmy, że obciążenie stałe q działa na polu (a0;b0). Wzór na współczynnik pmn jest postaci
x0 
p mn =
a0
b
y 0
2 0 2
∫ ∫
q sin
a
b
x0 − 0 y 0− 0
2
2
m
n
x sin
y dxdy
a
b
(12.74)
stąd po scałkowaniu otrzymujemy
p mn=
m  a0
n  b0
m
n
16 q
sin
x 0 sin
y 0 sin
sin
2
a
b
2a
2b
 mn
(12.75)
Jeśli wymiary a0 i b0 dążą do zera, to otrzymamy obciążenie siłą skupioną
q=
P
a 0⋅b0
(12.76)
Korzystając z rachunku granic oraz wiedząc, że
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater
12. TEORIA PŁYT CIENKOŚCIENNYCH
P 0
a0  0
b0  0
14
(12.77)
otrzymamy
p mn=
m  x0
n  y0
4p
sin
sin
ab
a
b
Jeśli przyjmiemy, że a = b, x0 = y0 =
(12.78)
a
, ν = 0,3 to dla takich wartości
2
w max =0,1121
Pa 3
E h3
(12.79)
Dla porównania: gdyby w środku płyty wyciąć belkę o szerokości 1m, powyższa wielkość byłaby
następująca:
w max =0,25
Pa 3
E h3
(12.80)
12.4. Płyta kołowa
a
Rys.12.9. Schemat płyty kołowej
Niech
w=w r 
(12.81)
Równanie ugięcia płyty jest postaci
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater
12. TEORIA PŁYT CIENKOŚCIENNYCH

d2 1 d

dr 2 r dr


qr 
d 2 w 1 dw

=
2
r dr
D
dr
15
(12.82)
Rozwinięcie funkcji ugięcia w szereg wygląda następująco:
2
2
w r =w 0  A1 A2 r  A3 r lnr A4 lnr
(12.83)
Poszczególne siły uogólnione opisane są wzorami:


M r =−D
d 2 w  dw

dr 2 r dr
2


(12.84)
d w 1 dw

dr 2 r dr
d
Q r =−D  ∇ 2 w 
dr
M =−D 
(12.85)
(12.86)
Z warunków brzegowych wiemy, że
w r=a=0
M r r=a =0
(12.87)
(12.88)
Po podstawieniu warunków brzegowych otrzymujemy:
w r =w 0  A1 A2 r
(12.89)
w 0 =C r 4
(12.90)
gdzie
A1=
5 qa 4
1 64 D
(12.91)
3 qa 4
A2=−
1 32 D
(12.92)
Ostatecznie wzór opisujący ugięcie płyty przyjmuje postać
w r =
[
3 2 2 4
q 5 4
a −2
a r r
64 D 1
1
]
(12.93)
Jeśli płyta ma brzeg utwierdzony to z warunków brzegowych
w r=a=0
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
(12.94)
AlmaMater
12. TEORIA PŁYT CIENKOŚCIENNYCH
dw
r=a=0
dr
16
(12.95)
Co prowadzi do równania postaci
w r =
q
 a 2−r 2 
64 D
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
(12.96)
AlmaMater