8. ←↑→ 8. PŁASKIE ZAGADNIENIA TEORII SPRĘŻYSTOŚCI

8. PŁASKIE ZAGADNIENIA TEORII SPRĘŻYSTOŚCI
1

8.
8. PŁASKIE ZAGADNIENIA TEORII SPRĘŻYSTOŚCI
8.1. Płaski stan naprężenia
Tarcza – układ, ustrój ciągły jednorodny, w którym jeden wymiar jest znacznie mniejszy od
pozostałych, a obciążenie jest równoległe do płaszczyzny dwóch równoległych wymiarów. Tarcza jest
obustronnie wyznaczona przez dwie płaszczyzny.
Spłycenie grubości – naprężenie w płaszczyźnie prostopadłej do obciążenia stycznego jest równe
zeru.
Dla konstrukcji tarczowych tensor naprężeń przedstawia się następująco:
[
]
[
]
(8.2)
]
(8.3)
 11  12  13
T  =  21  22  23
 31  32  33
(8.1)
Płaski stan naprężeń:
 11  12 0
T  =  21  22 0
0
0 0
A związany z nim tensor odkształceń:
[
11 12 0
T = 21 22 0
0
0 33
Warto zauważyć, że ε33 przyjmuje wartość niezerową:
33=
−
 11 22 ≠0
E
(8.4)
W płaskim stanie naprężenia możemy założyć występowanie dwóch przemieszczeń u1 i u2.
Przyjmujemy, że stan naprężeń jest wyznaczony dla jednej z płaszczyzn o grubości równej zero
(płaszczyzna środkowa).
Dla płaskiego stanu naprężeń możemy przyjąć:
2
∇ =
2
2
∂
∂
 2
2
∂ x1 ∂ x 2
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
(8.5)
AlmaMater
8. PŁASKIE ZAGADNIENIA TEORII SPRĘŻYSTOŚCI

Równania w przemieszczeniach:
∇ 2 ui 

2
1
1−
'
'i

1
p =0 ,gdzie
G i
' =u i ' i
i=1,2 ,
' =ii
(8.6)
Równania w naprężeniach:
∇ 2 s ' =− p k , k 1 ,gdzie s ' = ii i=1,2
(8.7)
Algorytm obliczeń (w płaskim stanie naprężenia) w naprężeniach:
1)
2)


∂
∂
 2  11 22 =− p k , k 1
2
∂ x1 ∂ x 2
∂  11 ∂  12

 p1=0
∂ x1 ∂ x 2
∂  21 ∂  22

 p 2 =0
∂ x1
∂ x2
3)
}
 ji , j  pi =0 , i=1,2
1
 −  22 
E 11
1
22 =  22 −  11 
E
−
33=
 11 22 
E
1
12 =

2 G 12
(8.8)
(8.9)
11=
(8.10)
ij  u i , u j
4)
(8.11)
Zapis macierzowy - płaski stan naprężenia (I stan):
[
1 
0
E
[ D]=
 1
0
1−2
0 0 1−
−1
{ }=[ D] {  }
{  }=[ D]{ }
[ D]−1=
[
]
1 −
0
1
− 1
0
E
0
0 1
]
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
(8.12)
(8.13)
(8.14)
(8.15)
AlmaMater
8. PŁASKIE ZAGADNIENIA TEORII SPRĘŻYSTOŚCI
3
8.2. Płaski stan odkształcenia
Płaski stan odkształcenia (II stan – charakterystyczny)- występuje wtedy, gdy jeden wymiar jest
znacznie większy od dwóch pozostałych. Obciążenie działa w płaszczyznach prostopadłych do najdłuższego
wymiaru, np. mur oporowy, tama, grobla.
3
Rys.8.1. Mur oporowy
Wówczas zachodzą następujące zależności:
[
11 12 0
T  = 21 22 0
0 0 0
]
,przy czym
∂ u3
u 3=0 stąd
= =0
∂ x 3 33
[
 11  12 0
T  =  21  22 0
0
0  33
33=
]
1
[ − 11 22 ]=0
E 33
(8.16)
(8.17)
(8.18)
σ33 nie jest stałe dla całego przekroju i wyraża się wzorem:
 33= 11 22 
(8.19)
∂  13 ∂  23 ∂  33


 p3=0
∂ x1 ∂ x 2 ∂ x3
(8.20)
Z równania równowagi Naviera
Wiedząc, że
∂  13
=0 ,
∂ x1
∂  23
=0 oraz p 3=0
∂ x2
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
(8.21)
AlmaMater
8. PŁASKIE ZAGADNIENIA TEORII SPRĘŻYSTOŚCI
4
wnioskujemy, iż σ33 jest stałe wzdłuż osi trzeciej:
∂  33
=0
∂ x3
(8.22)
Równanie równowagi dla płaskiego stanu odkształcenia w przemieszczeniach:
∇ 2 ui 
1
1−2 
'i

1
p =0
G i
(8.23)
oraz w naprężeniach:
∇ 2 s ' =− p k , k
1
1−
(8.24)
Jeżeli na układ nie działają siły masowe to równania dla płaskiego stanu naprężenia i odkształcenia są
identyczne. Algorytm rozwiązania przedstawia się następująco:
1)
∂2
∂2
1

 11 22 =− p k , k
2
2
1−
∂ x1 ∂ x 2
(8.25)
∂  11 ∂  12

 p1=0
∂ x1 ∂ x 2
∂  21 ∂  22

 p 2=0
∂ x1
∂ x2
 33 = 11 22 
(8.26)
2)
Zmianie ulegają związki fizyczne:
3)
1
[1− 11− 22 ]
E
1
22 =
[1− 22 −  11 ]
E
1
12 =

2 G 12
11=
(8.27)
W zapisie macierzowym:
E
[ D]=
11−2 
[
1−

0

1−
0
0
0
1−2 
]
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
(8.28)
AlmaMater
5
8. PŁASKIE ZAGADNIENIA TEORII SPRĘŻYSTOŚCI
1
[ D] =
E
−1
[
1− −
0
−
1− 0
0
0
1
]
(8.29)
8.3. Dwuwymiarowe zagadnienia teorii sprężystości we współrzędnych biegunowych
Punkt we współrzędnych prostokątnych ma obraz prostokąta:
dy
y
x
Rys.8.2. Obraz punktu we współrzędnych prostokątnych
a we współrzędnych biegunowych jego obrazem jest wycinek pierścienia:
r
dr
dφ
φ
Rys.8.3. Obraz punktu we współrzędnych biegunowych
Zależności między współrzędnymi w układzie prostokątnym i biegunowym są następujące:
x=rcos 
y=rsin 
(8.30)
Na plasterku o wymiarach dr, dφ zaznaczmy występujące naprężenia:
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater
8. PŁASKIE ZAGADNIENIA TEORII SPRĘŻYSTOŚCI
σφ+
σr+
jσφ
jφ
jφ
Φ
dφ
O'
R
dr
jr
dφ
jtφr
tφr+
jσr
jtrφ
trφ+
6
jr
dr
r
σr
trφ
dr
tφr
płaszczyzna
ujemna
σφ
dφ
φ
Rys.8.4. Plasterek jako obraz punktu
Przyjmijmy, że plasterek ma grubość = 1. Dodatnie naprężenia skierowane są od płaszczyzny
rozciągającej. Jednostkowe siły masowe Φ, R związano z dodatnimi kierunkami osi. Dokonujemy
rzutowania sił po kierunku R:


 P R =0
 
 
∂ r
d
d
dr rdr  d ⋅1− r drcos
−  drsin
∂r
2
2
∂  r
∂ 
d
  r 
d  dr⋅1−  
dr
Rdr rd =0
2
∂
∂
− r rd ⋅1  r 

 

(8.31)
Pomijamy małe wyższego rzędu otrzymując równanie:
∂  r 1 ∂ r   r − 


R=0
∂r r ∂
r
(8.32)
Wyliczmy teraz sumę momentów względem środka plasterka:
 M 0 ' =0
d  ∂  r d  2
d
dr
dr ∂ r  dr 2
−r  −r  −
 r

 r
=0
2
2
∂r 2
2
2
∂ 2
(8.33)
Równanie to spełnione jest wtedy i tylko wtedy, gdy
 r =r 
(8.34)
Jeśli w analogiczny sposób do rzutowania sił na kierunek R dokonamy tym razem rzutowania na
kierunek Φ, otrzymamy zależność:
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater
8. PŁASKIE ZAGADNIENIA TEORII SPRĘŻYSTOŚCI
 P =0
1 ∂   ∂  r  2 r 


=0
r ∂
∂r
r
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
7
(8.35)
AlmaMater