Kierunek: BUDOWNICTWO

SYLABUS - Karta programu przedmiotu
WYDZIAŁ FIZYKI, MATEMATYKI I INFORMATYKI
Rodzaj studiów: studia stacjonarne drugiego stopnia
Kierunek: MATEMATYKA
Rok akad.: 2010/2011
Przedmiot kierunkowy
Przedmiot: METODY STOCHASTYCZNE
Rok studiów:
Semestr:
I
1
ECTS: 7
Rodzaj zajęć:
W
Ć
Liczba godzin w semestrze:
45
15
S
L
15
Przedmioty wprowadzające / wymagania wstępne
Przedmioty wprowadzające:
Analiza matematyczna, rachunek prawdopodobieństwa, statystyka matematyczna
Wymagania wstępne:
Przestrzeń Hilberta, ciągłość, różniczkowalność, całkowalność w sensie Riemanna funkcji zmiennej
rzeczywistej o wartościach w przestrzeni Hilberta, mierzalność, całka Lebesgue’a, przestrzeń
probabilistyczna, rozkład prawdopodobieństwa i jego parametry, niezależność, prawa wielkich liczb,
centralne twierdzenie graniczne, warunkowa wartość oczekiwana.
Założenia i cele przedmiotu
Zakładając zainteresowanie studentów zastosowaniami matematyki w finansach, przedmiot daje
podstawy teoretyczne do studiowania matematyki finansowej, wprowadza podstawowe modele tej
matematyki, zapoznaje z narzędziem komputerowym (MAPLE) i możliwościami jego wykorzystania
do analiz statystycznych rynku finansowego i weryfikacji modeli.
Metody dydaktyczne
Nowe pojęcia i dotyczące ich twierdzenia wraz z dowodami są wprowadzane na wykładach.
Przykłady analizowane i rozwiązywane w czasie ćwiczeń audytoryjnych stanowią ilustrację materiału
z wykładu. Komputerowa konstrukcja i wizualizacja modeli wprowadzonych na wykładzie pomaga w
ich zrozumieniu, weryfikacji i uczy zastosowań.
Forma i warunki zaliczenia przedmiotu:
Wykonanie ćwiczeń laboratoryjnych, kolokwia, egzamin końcowy.
TREŚCI PROGRAMOWE
Wykłady:
1. Generatory liczb pseudolosowych. Metoda Monte-Carlo. Symulacja zmiennych losowych.
2. Definicja procesu stochastycznego, realizacja, rozkłady skończenie wymiarowe, rozkład procesu.
3. Wartość średnia procesu, funkcja kowariancyjna, stacjonarność.
4. Proces o przyrostach niezależnych, o przyrostach stacjonarnych.
5. Proces Poissona.
6. Proces Wienera, własności.
7. Łańcuch Markowa, klasyfikacja stanów, symulacja.
8. Ciągłość, różniczkowalność i całkowalność stochastyczna i średniokwadratowa procesu stochastycznego.
9. Losowe równanie różniczkowe zwyczajne.
10. Filtracja, adaptowalność, momenty stopu.
11. Martyngały, podmartyngały, nadmartyngały.
12. Wielowymiarowy proces Wienera-definicja, własności.
13. Definicja całki Itô.
14. Własności całki Itô.
15. Lemat Itô, zastosowania.
16. Numeryczna aproksymacja całki Itô.
17. Stochastyczne równanie różniczkowe, twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności.
18. Numeryczna aproksymacja równania Itô.
19. Wybrane modele matematyki finansowej i aktuarialnej.
Ćwiczenia audytoryjne
1. Obliczanie miar cylindrycznych , realizacje procesów Wienera i Poissona.
2. Obliczanie charakterystyk wybranych procesów.
3. Przykłady martyngałów, reguły stopu, zastosowania.
4. Przykłady łańcuchów Markowa, symulacja.
5. Komputerowa konstrukcja modeli rynku finansowego i matematyki aktuarialnej.
Laboratorium:
1.Symulacja zmiennych losowych o wybranych rozkładach.
2. Obliczanie miar cylindrycznych metodą Monte-Carlo.
3. Komputerowa konstrukcja trajektorii procesów Wienera i Poissona.
4. Komputerowa konstrukcja całki Itô.
5. Wizualizacja trajektorii rozwiązania stochastycznego równania Itô.
6. Proces Bessela, klasyczne modele rynku finansowego i matematyki aktuarialnej - komputerowa
konstrukcja.
Wykaz literatury podstawowej:
[1] J. Jakubowski, R. Sztencel, Wstęp do teorii prawdopodobieństwa, Script, Warszawa, 2001
[2] A. Janicki, A. Izydorczyk, Komputerowe metody w modelowaniu stochastycznym, WNT,
Warszawa, 2001.
[3] A. Pieniążek, J. Weiss, A. Winiarz, Procesy stochastyczne w problemach i zadaniach,
Kraków, 2001, skrypt.
[4] A. Plucińska, E. Pluciński, Probabilistyka, WNT, Warszawa, 2000.
[5] . A. D. Wentzell, Wykłady z teorii procesów stochastycznych, PWN,Warszawa,1980.
Wykaz literatury uzupełniającej:
[1] J. Jakubowski, A. Palczewski, M. Rutkowski, Ł. Stettner, Matematyka finansowa, WNT,
Warszawa 2003.
[2] Sobczyk, Stochastyczne równania różniczkowe, WNT, Warszawa,1996.
[3] M. Wiciak, Wybrane zagadnienia teorii opcji, wydawnictwo PK, Kraków, 2007.
Osoba(y) odpowiedzialna(e) za przedmiot:
dr Anna MILIAN
Zatwierdził:
dr hab. Teresa WINIARSKA, prof. PK