Dlaczego samolot lata? - (EU

www.pl.euhou.net
Logo designed by Armella Leung, www.armella.fr.to
Dlaczego samolot lata?
Robert Teese
Rochester Institute of Technology,
Rochester, USA
Mirosław Hardej
Centrum Fizyki Teoretycznej PA)
Warszawa, Polska
Elżbieta Hardej
IV LO im. A. Mickiewicza
Warszawa, Polska
Autorzy dziękują projektowi LivePhoto Physics Project za zezwolenie na wykorzystanie
filmu wideo na którym opiera się niniejsze ćwiczenie.
Prawie każdy wie, że odpowiedzią na pytanie „dlaczego samolot lata?” jest specjalny
kształt skrzydła, dokładnie jego przekroju poprzecznego – profilu. Bardziej wtajemniczeni
powiedzą, że ma to związek z prawem Bernoulliego. Jednak część z nich indagowana dalej
powie, że ma to coś wspólnego z różnicą ciśnień, ale nie powiedzą nic więcej. Jak więc
wyjaśnić fenomen latających samolotów?
Przede wszystkim należy zapytać jakie siły działają na samolot lecący na stałej
wysokości ze stałą prędkością. I zasada dynamiki Newtona mówi, że na ciało pozostające w
spoczynku, lub poruszające się ruchem jednostajnym nie działają żadne siły, bądź siły się
równoważą. Zatem w poziomie na samolot działa siła oporu powietrza oraz siła ciągu
silnika/silników i siły te równoważą się. W pionie natomiast działa siła grawitacji skierowana
pionowo w dół. Ponieważ samolot nie spada to siła ta musi być równoważona siłą działającą
pionowo w górę. Siła ta nazywa się siłą nośną1. Siła ta pochodzi z różnicy ciśnień nad i pod
skrzydłem.
Skąd ta różnica ciśnień?
Odpowiedzią na to pytanie jest Prawo Bernoulliego, które wiąże prędkość przepływu płynu z
jego ciśnieniem.
Prawo Bernoulliego (Daniel Bernoulli):
p
v 2 + + gy = const.
ρ
1
Tak naprawdę we współczesnych samolotach siła nośna nie jest skierowana idealnie do góry, ale ma małą
składową skierowaną w kierunku tyłu samolotu.
gdzie: v - prędkość, p - ciśnienie,
ρ - gęstość ośrodka, g - przyspieszenie ziemskie, y - wysokość.
Ponieważ grubość profilu jest niewielka można pominąć zależność od wysokości. Zatem
różnica ciśnień wyrazi się wzorem:
p1 − p 2
= v 22 − v12 ,
ρ
gdzie 1 i 2 oznaczają interesujące nas punkty.
Obliczanie różnicy ciśnień
Plik LP_wind_Tunnel_10.avi jest filmem przedstawiającym opływ profilu przez ciecz
w której zanurzone są pęcherzyki gazu. Dla tego profilu policzymy różnicę ciśnień.
Będzie nam potrzebny plik z filmem, program SalsaJ oraz arkusz kalkulacyjny. Na
zrzutach ekranu będzie to MS Excel, ale można użyć dowolnego innego arkusza.
SalsaJ + StackEditor
W katalogu do którego rozpakowaliśmy archiwum z programem SalsaJ klikamy na
salsaj.bat. Naszym oczom ukarze się główne okno programu:
Wybieramy Pliki->Importuj->Movie... i wskazujemy plik
LP_wind_Tunnel_10.avi.
Następnie wybieramy Pluginy->StackEditor->StackEditor. Powinniśmy
otrzymać:
Na górze mamy okno programu SalsaJ, po lewej wyświetloną aktualną klatkę filmu a
po prawej okno StackEditor’a, w którym możemy wybierać poszczególne klatki filmu.
Na filmie zaznaczono już położenie pęcherzyka (kolorem niebieskim nad skrzydłem, a
czerwonym pod nim) oraz naszkicowano wektor prędkości pęcherzyka. Na każdej klatce
zaznaczone są także wcześniejsze położenia.
W oknie SalsaJ wybieramy celownik i na poszczególnych klatkach filmu klikamy na ostatnio
dodanym pęcherzyku, przy czym robimy to dla bąbelka nad płatem, a po zapisaniu wyników
dla bąbelka pod, lub vice versa.
Na obrazku poniżej przedstawiono sesję pomiarową:
W okienku „Wyniki” mamy kilka pomiarów położenia pęcherzyka.
X oznacza numer piksela w kierunku poziomym (rosnąc w prawo), a Y numer w kierunku
pionowym (rosnąc w górę). Kolumna Wartość nie ma dla nas żadnego znaczenia, a oznacza
ona jasność punktu.
Po zakończeniu pomiarów (dla góry, bądź dołu) możemy zapisać wyniki. W okienku
„Wyniki” Plik->Zapisz jako... . Zapisany plik możemy potem zaimportować do arkusza
kalkulacyjnego.
Obliczenia.
Aby skorzystać z prawa Bernouliego należy znać prędkość bąbelka. Z elementarnej
ρ
∆r
fizyki wiadomo, że prędkość chwilowa ma postać
, gdy ∆t dąży do zera. Prędkość
∆t
obliczona w ten sposób będzie zbliżona do prawdziwej wartości prędkości, a różnica będzie
tym mniejsza im mniejszy będzie przedział czasu.
Po zastosowaniu tego wzoru składowe prędkości w n-tym punkcie będą miały postać:
x − xn
y − yn
V x′ (n) = n +1
, V y′ (n) = n+1
, gdzie τ jest czasem między kolejnymi klatkami.
τ
τ
Ponieważ film był nagrywany z prędkością 500 klatek na sekundę to τ = 0,002 s . W tym
momencie prędkość jest wyrażona w dziwnych jednostkach: piksel/s. Aby wyrazić ją w m/s
musimy znaleźć przelicznik z pikseli na metry.
Pierwsza klatka filmu pełni rolę „klatki tytułowej” oraz jest tam podana długość płata.
Za pomocą tej samej metody jaką mierzyliśmy położenie pęcherzyka znajdujemy położenie
pixel
, zatem faktyczna
początku i końca skrzydła (składowe x!) i otrzymujemy α ≈ 20,47
cm
1 x n +1 − x n
1 y n +1 − y n
oraz V y (n) =
.
prędkość to: V x (n) =
α
τ
α
τ
Kolejnym krokiem jest obliczenie różnicy ciśnień. Do tego potrzebujemy wartości
prędkości, która jak wiadomo jest równa: V (n) = V x2 (n) + V y2 (n) . Ze wzoru, który został
podany na początku potrafimy obliczyć różnicę ciśnień pomiędzy dwoma punktami. Niech
jeden z tych punktów będzie ustalony, np. położenie pierwszego bąbelka na górze dla góry i
analogicznie na dole. Różnica położeń obu tych bąbelków jest na tyle mała, że można przyjąć,
że w obu jest to samo ciśnienie. Poza tym oba te punkty są na tyle oddalone od skrzydła, że
jego obecność jest pomijalna i jest tam zwykłe ciśnienie hydrostatyczne.
Napisanie własnej procedury wykonującej te obliczenia w arkuszu kalkulacyjnym jest
bardzo proste, jednak udostępniamy szablon tej procedury (szablon.xlt). Dane wklejamy w
zielonych polach. Prędkości i różnice ciśnień otrzymujemy w polach czerwonych.
Zrzut ekranu autora podczas wykonywania obliczeń. Arkusz jest bardziej
skomplikowany o czym jeszcze będzie mowa.
Rysunek 1. Obliczenia autora
Na rysunku poniżej przedstawiono wynik obliczeń prędkości bąbelków oraz różnicy
g
ciśnień wykonanych przez autora powyższego opisu. Za ośrodek przyjęto wodę ( ρ = 1 3 ).
cm
Za zero osi położenia przyjęto skrajnie lewe położenie bąbelka pod skrzydłem.
W celu sporządzenia wykresu zastosowano nieco bardziej wyrafinowaną metodę
doświadczalną. Mianowicie położenie każdego bąbelka mierzono kilkakrotnie, a za właściwe
położenie przyjęto średnią arytmetyczną tych pomiarów, za błąd pomiaru przyjęto ich
rozrzut – dyspersję. Dalsze postępowanie różniło się od opisanego powyżej tylko tym, że
dane były obarczone błędem. Po szczegóły odsyłam do literatury poświęconej analizie danych
doświadczalnych.
Rysunek 2. Wartość prędkości bąbelków w funkcji odległości
Rysunek 3. Ciśnienie w funkcji odległości
Widać, że ciśnienie nad skrzydłem jest niższe niż pod nim. Zatem różnica ciśnień nad i pod
skrzydłem pomnożona przez powierzchnię skrzydła daje siłę nośną. W naszym wypadku
otrzymujemy siłę rzędu 20000 − 30000 2 . Gęstość powietrza jest ok. 1000 razy mniejsza
m
niż wody, zatem dlatego powierzchnia skrzydeł samolotu jest tak duża.
Różnicę ciśnień nad i pod płatem widać na przykład na obrazku
http://www.diam.unige.it/~irro/gallery/cropduster.large.jpg
Powietrze, a zarazem też czerwony dym są wciągane nad skrzydło. Ponieważ może się to
dokonywać tylko za skrzydłem tworzy się wir, którego zmniejszenie jest ważnym problemem
inżynierii lotniczej.