Wykres linii ciśnień i linii energii

Wykres linii ciśnień i linii energii (wykres Ancony)
W wykorzystywanej przez nas do rozwiązywania problemów inżynierskich
postaci równania Bernoulliego występuje wysokość prędkości (k=υ2/2g), wysokość
ciśnienia p/γ oraz wysokość położenia z. Daje to możliwość przedstawienia
poszczególnych wyrażeń w równaniu Bernoulliego w sposób graficzny.
1. Wprowadzenie
Rzędna linii ciśnień w kolejnych przekrojach powstaje poprzez sumowanie wysokości
położenia z oraz wysokości ciśnienia p/γ. Rzędna linii energii jest sumą z, p/γ oraz
υ2/2g.
Wynika z tego, że rzędne linie ciśnień i linię energii w poszczególnych przekrojach
oddalone są od siebie o k=υ2/2g. W przypadku, gdy prędkość przepływu pomiędzy
przekrojami jest jednakowa to linie ciśnień i energii są do siebie równoległe (Rys. 1). W
przeciwnym przypadku d1 ≠ d2 dlatego υ1 ≠ υ2 i w konsekwencji υ12/2g ≠ υ22/2g.
Rys.1. Wykres linii ciśnień i linii energii –średnica przewodu d = const
Rys.2. Wykres linii ciśnień i linii energii –średnica przewodu d ≠ const
Zależność pomiędzy średnicami przekrojów d1 i d2 oraz prędkościami przepływu wody
w przekrojach υ1 ≠ υ2 wynika z równania ciągłości przepływu:
Q1 = Q2
(1)
Wynika z niego, że jeżeli pomiędzy przekrojami 1-1 i 2-2 brak jest ubytków cieczy, nie
ma też dodatkowego źródła zasilania to ile cieczy wpływa tyle samo wypływa. Wiemy,
że przepływ jest iloczynem pola powierzchni przekroju strugi F i prędkości średniej w
przekroju υ;
υ1F1 = υ 2 F2
(1)
Z równania ciągłości przepływu wynika, że im większe pole powierzchni przekroju tym
prędkość przepływu mniejsza. Zwężenie przekroju prowadzi do zwiększenia prędkości
przepływu cieczy.
2.1. Przykład
Wykreślić linię ciśnień i linie energii dla schematu pokazanego na Rys. 3. Przewody
wodociągowe w normalnych warunkach utrzymania.
Rys.3. Schemat obliczeniowy
Pierwszej kolejności obliczymy prędkości przepływu wody: na odcinkach o średnicy d1
i d2. W tym celu wybierzemy przekroje i przyjmiemy poziom porównawczy oraz
napiszemy równanie Bernoulliego (Rys. 4).
Rys.4. Przekroje i poziom porównawczy oraz identyfikacja strat miejscowych
Dla takich warunków:
υ0 = 0
υ1 = ?
p0 = patm
p1 = patm
z0 = 25 m
z1 = 0
0+
patm
γ
+ 25 =
υ12
25 =
υ12
2g
2g
+
patm
γ
+ 0 + ∑ hstr
+ ∑ hstr
Czas na obliczenie sumy strat:
Σhstr
= hl + hm
Straty na długości przewodu czy też miejscowe są iloczynem współczynnika straty ξ
oraz wysokości prędkości, która tą stratę wywołuje. Na długości rurociągu następuje
zmiana jego średnicy dlatego występuje zróżnicowanie prędkości; inna prędkość będzie
w przewodzie o średnicy d1 (prędkość υ1) a inna w przewodzie o średnicy d2 (prędkość,
którą oznaczymy υ2).
1. Straty na długości:
10 + 8 + 25 + 74 + 6 υ12
30 υ 22
hl = λ1
+ λ2
[m]
0
,
05
2
g
0
,
08
2
g
144424443
123
ξ l1
ξl 2
Dla normalnych warunków eksploatacji współczynnik szorstkości ma wartość n = 0,012
(źródło: Sobota J., 1994, Hydraulika, t. II, str. 105, Tab. 7.3). Obliczymy wartości
współczynników oporów liniowych λ1 i λ2 oraz współczynniki strat na długości ξl1 oraz
ξl2:
0,05
0,08
Rh1 =
= 0,0125 m,
Rh 2 =
= 0,0200 m,
4
4
1
1
c1 =
0,01251/6 = 40,15
c2 =
0,021/6 = 43,42
0,012
0,012
8g
8g
λ1 =
= 0,049
λ2 =
= 0,042
2
40,15
43,42 2
123
30
ξ l1 = 0,049
= 120,54
ξ l 2 = 0,042
= 15,75
0,05
0,08
Straty na długości wynoszą:
hl =120,54
υ12
2g
+ 15,75
υ 22
2g
2. Straty miejscowe:
Dla wymienionych miejsc wartości współczynników strat miejscowych odczytano z
tablic:
ξ1 = 0,5; wlot o ostrej krawędzi,
ξ2 = ξ3 = 0,29; kolanko,R/d=1, 90°,
ξ4 = 0,37; nagłe rozszerzenie przewodu (przy odniesieniu do prędkości υ1)
2
2
  d 2 
  0,05  2 
1
ξ 4 = 1 −    = 1 − 
  = 0,37
  d 2  
  0,08  
Rys.5. Strefy zawirowań przy nagłej zmianie średnicy– zwężenie i rozszerzenie przewodu
ξ5 = 0,22; nagłe zwężenie przewodu przy odniesieniu do prędkości υ1 - ℵ=0,7
(Troskolański A. T., 1967, Hydromechanika, str. 377).
2
2
 1

1

− 1 = 0,22
ξ5 = ξ 0 +  − 1 = 0,04 + 
ℵ 
 0,7 
ξ6
=
0,6; zawór grzybkowy
Hydromechanika, str. 382),
wolnoprzelotowy
(Troskolański
A. T.,
1967,
ξ7 = 0.
ξ m = 0,5 + 2 ⋅ 0,29 + 0,37 + 0,22 + 0,6 = 2,27
Straty miejscowe opisane są równaniem;
hm = 2,27
Suma strat
∑ hstr = 120,54
υ12
2g
+ 15,75
υ 22
2g
υ12
2g
+ 2,27
υ12
2g
= 122,81
υ12
2g
+ 15,75
υ 22
2g
Wracamy do równania Bernoulliego podstawiając wyliczoną sumę strat:
25 =
υ12
2g
+ 122,81
25 = 123,81
υ
2
1
2g
υ12
2g
+ 15,75
+ 15,75
υ
υ22
2g
2
2
2g
Otrzymaliśmy jedno równanie z dwoma niewiadomymi. Można je rozwiązać
wykorzystując liczby urojone ☺ lub poszukać równania, które z dotychczasowym
utworzy układ równań. Równaniem, które łączy ze sobą wielkości υ1 i υ2 jest równanie
ciągłości przepływu. Będzie sporo przekształceń ale wydaje się to niczym w
porównaniu z rozwiązaniem równań z liczbami urojonymi.

υ12
υ 22
=
+
25
123
,
81
15
,
75

2g
2g

υ F = υ F
2 2
 1 1
υ1
πd12
4
= υ2
πd 22
4
× π4
υ1d12 = υ 2 d 22
υ 2 d 22
υ1 = 2
d1
2
 υ 2 d 22 
 2 
d1 
υ 22

+ 15,75
25 = 123,81
2g
2g

 υ2
d4
× 2g
25 = 123,81 24 + 15,75  2
d1

 2g


d 24

50 g = 123,81 4 + 15,75 υ22
d1


50 g
υ2 =
= 0,770 m/s


0,084
123,76
+ 15,75 
4
0
,
05


0,77 ⋅ 0,082
υ1 =
= 1,971 m/s
0,052
Rzędna linii ciśnień i linii energii zostaną wyliczone a wartości zestawione w Tab. 1.
1,9712
0,7702
= 0,198 m, k1 =
= 0,030 m.
Wysokość prędkości k1 =
2g
2g
Rys.6. Wykres linii ciśnień (piezometrycznych) i linii energii (schemat)
Rys. 6 przedstawia schematyczny wykres linii ciśnień (piezometrycznych) i linii energii
(bez zachowania skali). Dokładne wartości rzędnych zestawiona w Tab. 1. Należy
zwrócić uwagę na przebieg linii ciśnień w miejscu zmiany średnicy rurociągu. W
miejscu gdzie następuje rozszerzenie przekroju następuje wzrost wartości ciśnienia.
Tab. 1. Rzędne linii ciśnień i linii energii w kolejnych przekrojach rurociągu
Węzeł
Zbiornik
Strata na wlocie
A
Strata na
długości
B
Strata na
kolanku
B′
Strata na
długości
C
Strata na
kolanku
C′
Strata na
długości
D
Strata
rozszerzeniu
D′
Strata na
długości
E
Strata na
zwężeniu
E′
Strata na
długości
F
Strata na
zaworze
F′
Strata na
długości
G
Wysokość strat [m]
Rzędna linii
ciśnień [m]
25,000
Rzędna linii
energii [m]
25,000
24,703
24,901
22,763
22,961
22,706
22,904
21,154
21,352
21,097
21,295
16,246
16,444
16,341
16,371
15,868
15,898
15,656
15,854
1,283
1,481
1,164
1,362
0,000
0,198
ξ1k1 = 0,5 ⋅ 0,198 = 0,099
0,049
10
k1 = 9,8 ⋅ 0,198 = 1,940
0,05
ξ 2 k1 = 0,29 ⋅ 0,198 = 0,057
0,049
8
k1 = 7,84 ⋅ 0,198 = 1,552
0,05
ξ 3 k1 = 0,29 ⋅ 0,198 = 0,057
0,049
25
k1 = 24,5 ⋅ 0,198 = 4,851
0,05
ξ 4 k1 = 0,37 ⋅ 0,198 = 0,073
0,042
30
k 2 = 15,75 ⋅ 0,030 = 0,473
0,08
ξ 5 k1 = 0,22 ⋅ 0,198 = 0,044
0,049
74
k1 = 72,52 ⋅ 0,198 = 14,373
0,05
ξ 6 k1 = 0,6 ⋅ 0,198 = 0,119
0,049
6
k1 = 5,88 ⋅ 0,198 = 1,164
0,05
Literatura:
Kubrak J.,1998, Hydraulika techniczna, Wyd. SGGW, Warszawa,
Kubrak E., Kubrak J., 2004, Hydraulika techniczna. Przykłady obliczeń, Wyd. SGGW, Warszawa
Lewandowski J.B., 2006, Mechanika płynów, Wyd. AR w Poznaniu,
Orzechowski Z., Prywer J., Zarzycki R., 2001, Mechanika płynów w inżynierii środowiska, WNT, Warszawa,
Sobota J., 1994, Hydraulika, t. I i II, AR Wrocław,
Troskolański A.T., 1969, Hydromechanika, WNT, Warszawa,
Katedra Inżynierii Wodnej, Wydział Inżynierii Środowiska i Geodezji
Uniwersytet Rolniczy w Krakowie
[email protected]