Matematyka MAP3032

Matematyka MAP3032
E/AiR, rok IV
Wykład 5
1. Ortogonalność
Definicja 1. Wektory v̄ i w̄ są ortogonalne, gdy (v̄, w̄) = 0.
Twierdzenie 1 (tw. Pitagorasa). Jeśli v̄ i w̄ są ortogonalne, to
kv̄k2 + kw̄k2 = kv̄ + w̄k2 .
Dowód.
kv̄ + w̄k2 = (v̄ + w̄, v̄ + w̄) = (v̄, v̄ + w̄) + (w̄, v̄ + w̄)
= (v̄, v̄) + (v̄, w̄) + (w̄, v̄) + (w̄, w̄) = (v̄, v̄) + (w̄, w̄) = kv̄k2 + kw̄k2
Definicja 2. Zbiór wektorów A nazywamy układem ortogonalnym, gdy każde dwa wektory
z A są ortogonalne, a ortonormalnym, gdy mają dodatkowo długości 1.
Każdy układ ortogonalny jest liniowo niezależny. Można powiedzieć, że wektory ortogonalne sa najbardziej niezależne, jak to jest możliwe. Ortogonalizacja skończonego układu
wektorów polega na odejmowaniu od n-tego wektora jego rzutów na podprzestrzeń rozpiętą
przez n − 1 poprzednich wektorów. Zatem po ortogonalizacji każdy wektor nie ma w sobie
nic z pozostałych.
Definicja 3.
1. Układ ortogonalny nazwiemy zupełnym, gdy nie ma wektora niezerowego ortogonalnego do A.
2. Bazą ortogonalną/ortonormalną nazywamy przeliczalny układ ortonormalny wektorów ē1 , ē2 , ... taki, że każdy wektor v̄ ∈ H można zapisać jako
∞
X
v̄ =
αn ēn .
n=1
Twierdzenie 2. W każdej przestrzeni unitarnej istnieje zupełny układ ortogonalny, ale
nie w każdej przestrzeni istnieje baza ortonormalna. (Baza ortonormalna istnieje w przestrzeniach ośrodkowych.)
Przykład V = l2 , ē1 = (1, 0, 0, ...), ē2 = (0, 1, 0, , ...) itd.
Wektor jest ortogonalny do zbioru A ⊂ V , w szczególności do podprzestrzeni przestrzeni V , gdy jest ortogonalny do każdego elementu A. Dwie podprzestrzenie V1 , V2 są
ortogonalne, gdy każda para wektorów v̄1 , v̄2 jest ortogonalna.
Niech ē1 , ē2 , ... będzie układem ortogonalnym. Położenie v̄ względem tego układu opisują iloczyny skalarne (v̄, ēk ) zwane współczynnikami Fouriera elementu v̄ względem układu
ortonormalnego (ēk ).
1
Twierdzenie 3. (Nierówność Bessela) Jeżeli (ēk ) jest układem ortonormalnym w przeP
2
strzeni Hilberta H, to dla dowolnego v̄ ∈ H szereg ∞
k=1 |(v̄, ēk )| jest zbieżny i zachodzi
nierówność
∞
X
|(v̄, ēk )|2 ¬ kv̄k2 .
k=1
Równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy v̄ =
P∞
k=1 (v̄, ēk )ēk .
(Tożsamość Parsevala)
P∞
Szereg k=1 (v̄, ēk )ēk nazywamy szeregiem Fouriera elementu v̄.
Przykład W przestrzeni funkcji ciagłych na [−π, π] układ ortogonalny stanowią np. funkcje sin nx i cos nx, n ∈ N. Dla funkcji f (x) = x obliczamy współczynniki Fouriera całkując
przez części lub zauważając, że całki z funkcji nieparzystych są zerowe.
2. Rzut ortogonalny
Podamy bez dowodu ważne twierdzenie.
Twierdzenie 4 (o rzucie ortogonalnym). Niech H0 będzie domkniętą podprzestrzenią
liniową przestrzeni H. Wtedy kazdy element przestrzeni H można przedstawić w postaci
v̄ = v̄0 + v̄1 ,
gdzie v̄0 ∈ H0 , v̄1 ∈ H0⊥ . To przedstawienie jest jednoznaczne.
Taki wektor v̄0 nazywamy rzutem ortogonalnym wektora v̄ na podprzestrzeń H. Ale
też można wprowadzić następującą definicję dzięki jednoznaczności powyższego rozkładu.
Definicja 4. Przekształcenie P : H → H określone wzorem P v̄ = v̄0 , gdzie v̄0 jest takie jak
w powyższym twierdzeniu, nazywamy rzutem ortogonalnym na podprzestrzeń H0 (inaczej
projektorem ortogonalnym lub projekcją ortogonalną).
Łatwo sprawdzić, że P jest operatorem liniowym i ograniczonym, spełniającym P 2 = P
(na ćwiczeniach).
Twierdzenie 5. Niech H0 będzie domkniętą podprzestrzenią liniową przestrzeni H. Jeżeli
v̄0 jest rzutem ortogonalnym v̄ na H0 , to dla każdego w̄ ∈ H0 zachodzi
kv̄ − v̄0 | ¬ kv̄ − w̄k.
3. Postać funkcjonału na przestrzeni Hilberta.
Niech H będzie przestrzenią Hilberta. Poniższe twierdzenie podaje pełna charakteryzację funkcjonałów liniowych ograniczonych na H.
Twierdzenie 6 (Riesza). Dla każdego funkcjonału ciągłego ograniczonego F na H istnieje
dokładnie jeden wektor w̄ ∈ H, taki że
F (v̄) = (v̄, w̄)
dla każdego v̄ ∈ H. Ponadto, kF k = kwk.
Na odwrót, dla każdego w̄ ∈ H powyższy wzór określa funkcjonał liniowy ograniczony.
Wniosek 1. Każdy funkjconał liniowy ograniczony na l2 jest postaci
∞
X
F (xn ) =
an x n
n=1
dla pewnego (an ) ∈ l2 . Przy tym, kF k =
qP
∞
n=1
2
|an |2 .