Zasada szufladkowa Dirichleta Izolda Gorgol wyciąg z prezentacji

Zasada szufladkowa Dirichleta
Izolda Gorgol
wyciąg z prezentacji
Zasada szufladkowa Dirichleta
TWIERDZENIE (wersja intuicyjna)
Jeśli n obiektów jest rozmieszczonych w m szufladach i n > m, to co najmniej jedna szuflada zawiera przynajmniej
dwa obiekty.
TWIERDZENIE
Nie istnieje funkcja różnowartościowa (injekcja) ze zbioru n-elementowego w zbiór m-elementowy, gdy n > m.
Zasada szufladkowa - przykłady zastosowania
LEMAT (o uściskach dłoni)
W grupie n osób wita się każdy z każdym. W każdym momencie istnieją dwie osoby w grupie, które uścisnęły tę
samą liczbę dłoni.
TWIERDZENIE
Wśród n dowolnych liczb naturalnych istnieje podzbiór taki, że suma jego elementów jest podzielna przez n.
O podciągach monotonicznych
TWIERDZENIE
Niech r, m ∈ N+ . Każdy ciąg o n = (r − 1)(m − 1) + 1 różnych wyrazach zawiera r-wyrazowy podciąg rosnący lub
m-wyrazowy podciąg malejący.
WNIOSEK
W ciągu n2 + 1 różnych liczb istnieje podciąg sciśle monotoniczny długości n + 1.
Zasada szufladkowa Dirichleta jeszcze raz
TWIERDZENIE (wersja ogólniejsza)
n
W każdym podziale zbioru
n-elementowego na m podzbiorów istnieje podzbiór co najmniej m
-elementowy oraz
n
-elementowy.
podzbiór co najwyżej m
TWIERDZENIE (wersja ogólniejsza funkcyjna)
Niech X i Y będą zbiorami takimi, że |X| = n, |Y | = m oraz niech f : X → Y będzie funkcją. Wówczas istnieją
y1 i y2 takie, że n
n
|f −1 (y1 )| > m
oraz |f −1 (y2 )| 6 m
.
1