Egzamin 55 z 13 grudnia 2010 r.

Matematyka ubezpieczeń majątkowych
13.12.2010 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 1.
Liczba szkód N ma rozkład o prawdopodobieństwach spełniających zależność
rekurencyjną:
Pr (N = k )
1 ⎛
4⎞
= ⋅⎜2 + ⎟ ,
Pr ( N = k − 1) 5 ⎝
k⎠
k = 1,2,3,...
∞
Jeśli wiemy, że
∑ Pr(N = k ) = 1 , to wartość oczekiwana liczby szkód Ε(N ) wynosi:
k =0
(A)
1
(B)
1 13
(C)
2
(D)
3
(E)
4 12
1
Matematyka ubezpieczeń majątkowych
13.12.2010 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 2.
W poniższej tabeli zawarte są wybrane informacje o rozkładzie wartości pojedynczej
szkody Y:
y
3
Ε(min{Y , y})
2
Pr (Y ≤ y )
1
2
Z informacji tych wynika, że Ε(Y 3 < Y ≤ 4 ) wynosi:
(A)
3 14
(B)
3 13
(C)
3 12
(D)
3 23
(E)
3 34
2
4
7
3
3
4
Matematyka ubezpieczeń majątkowych
13.12.2010 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 3.
Łączna wartość szkód X z pewnego ryzyka miała w roku ubiegłym rozkład złożony:
X = Y1 + Y2 + ... + YN ,
z rozkładem wartości pojedynczej szkody danym na półosi dodatniej gęstością:
3
fY (x ) =
.
(1 + x )4
O ile procent wzrośnie składka netto za pokrycie nadwyżki każdej szkody z tego
ryzyka ponad kwotę d, jeśli kwota ta jest niezmienna i wynosi d = 5 , natomiast ceny,
w których wyrażone są szkody wzrosną w nadchodzącym roku o 25% (tzn. do
poziomu równego 5/4 cen roku ubiegłego)?
(A)
składka netto wzrośnie o 33 13 %
(B)
składka netto wzrośnie o 50%
(C)
składka netto wzrośnie o 66 23 %
(D)
składka netto wzrośnie o 80%
(E)
składka netto wzrośnie o 90%
3
Matematyka ubezpieczeń majątkowych
13.12.2010 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 4.
Zmienne X 0 oraz X 1 reprezentują łączną wartość szkód z pewnego portfela ryzyk
odpowiednio w roku ubiegłym oraz roku nadchodzącym. Zmienne te są (przy danej
wartości λ parametru ryzyka Λ ) zmiennymi losowymi warunkowo niezależnymi, o
rozkładach złożonych Poissona z taką samą oczekiwaną liczbą szkód λ i takim
samym rozkładem wartości pojedynczej szkody Y, o charakterystykach:
• Ε(Y ) = μ , var(Y ) = σ 2 .
Parametr ryzyka Λ ma rozkład, o którym wiemy, że:
• Ε(Λ ) = Λ , var(Λ ) = L2 .
Rozważamy predykcję łącznej wartości szkód w roku nadchodzącym X 1 przy
założeniu, że znamy wartości parametrów μ , σ 2 , Λ oraz L2 , a także iż w ubiegłym
roku zaobserwowaliśmy liczbę szkód N 0 oraz łączną wartość szkód X 0 .
Najlepszy liniowy nieobciążony predyktor to predyktor postaci:
• BLUP ( X 1 N 0 , X 0 ) = X 0 ⋅ z X + N 0 ⋅ μ ⋅ z N + Λ ⋅ μ ⋅ (1 − z X − z N ) ,
gdzie współczynniki z N oraz z X dobrane są tak, aby zminimalizować błąd
średniokwadratowy predykcji:
2
• E [X 1 − pred ( X 1 N 0 , X 0 )] .
{
}
Wobec tego współczynnik z X wynosi:
(A)
Λ + L2
Λ ⋅ 1 + σ 2 μ 2 + L2
(B)
Λ ⋅ 1+ σ 2 μ 2
Λ ⋅ 1 + σ 2 μ 2 + L2
(C)
(D)
(E)
(
(
(
)
(
)
Λ
)
)
Λ ⋅ 1 + σ 2 μ 2 + L2
(
L2
)
Λ ⋅ 1 + σ 2 μ 2 + L2
0
4
Matematyka ubezpieczeń majątkowych
13.12.2010 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 5.
X 1 oraz X 2 to dwa ryzyka (zmienne losowe) niezależne o tym samym rozkładzie
danym dystrybuantą:
gdy
x<0
0
⎧
⎪
F ( x ) = ⎨0.5 + 0.3 ⋅ x gdy x ∈ [0, 1)
⎪
gdy
x ≥1
1
⎩
Prawdopodobieństwo:
2⎞
⎛
Pr ⎜ X 1 + X 2 ≤ ⎟
3⎠
⎝
wynosi:
(A)
0.4700
(B)
0.4725
(C)
0.4750
(D)
0.4775
(E)
0.4800
5
Matematyka ubezpieczeń majątkowych
13.12.2010 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 6.
Dana jest rodzina zmiennych losowych {YM }M ∈(0,1] indeksowana parametrem M o
dystrybuantach:
⎧ y gdy y < M
M ∈ (0, 1] ,
,
FM ( y ) = ⎨
1
gdy
y
M
≥
⎩
oraz rodzina zmiennych {WM }M ∈(0,1] o rozkładach złożonych Poissona o parametrach
(λ , FM (⋅)) .
Niech V 2 (WM ) oznacza dla dowolnego M ∈ (0, 1] kwadrat współczynnika
zmienności (stosunek wariancji do kwadratu wartości oczekiwanej) zmiennej WM .
Pochodną logarytmiczną współczynnika V 2 (WM ) można wyrazić wzorem:
∂
1− M
ln V 2 (WM ) =
, M ∈ (0, 1) .
(a − M )(b − M )
∂M
Parametry (a, b ) powyższego wzoru są równe (kolejność podania parametrów jest
oczywiście obojętna):
(
(A)
( 12 , 32 )
(B)
( 23 , 43 )
(C)
( 32 , 2)
(D)
(2, 52 )
(E)
(2, 3)
)
6
Matematyka ubezpieczeń majątkowych
13.12.2010 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 7.
Rozważamy klasyczny model procesu nadwyżki ubezpieczyciela z czasem ciągłym:
• skumulowana wartość szkód S (t ) jest procesem złożonym Poissona, w którym
intensywność pojawiania się szkód wynosi λ = 100 , zaś rozkład wartości
pojedynczej szkody dany jest na półosi dodatniej gęstością:
3
⎛ 1 ⎞ 1
⎛ 1 ⎞
fY ( x ) = exp⎜ − x ⎟ + exp⎜ − x ⎟
16
⎝ 4 ⎠ 32
⎝ 8 ⎠
• intensywność składki (napływającej w sposób ciągły) wynosi c = 750 ,
Wiadomo, że przy takich założeniach funkcja prawdopodobieństwa ruiny (jako
funkcja wysokości nadwyżki początkowej u) jest postaci:
Ψ (u ) = a1 exp(− r1u ) + a2 exp(− r2u ) ,
Suma parametrów tego wzoru (a1 + a2 ) wynosi:
(A)
3
5
(B)
2
3
(C)
3
4
(D)
4
5
(E)
5
6
7
Matematyka ubezpieczeń majątkowych
13.12.2010 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 8.
Wiemy, że w procesie nadwyżki ubezpieczyciela składka roczna wynosi c, zaś łączne
wartości szkód w ciągu kolejnych lat to niezależne zmienne losowe o tym samym
rozkładzie. Rozkład ten ma wartość oczekiwaną równą μ , wariancję równą σ 2 , oraz
współczynnik skośności o wartości nieujemnej równej γ .
Funkcję prawdopodobieństwa ruiny (jako funkcję wysokości nadwyżki początkowej
u) przybliżamy na dwa sposoby:
• Stosując aproksymację Ψdiff (u ) , oparte na znanych wynikach dla modelu, w
którym przyrosty procesu nadwyżki na dowolnych rozłącznych odcinkach
czasu są niezależne, i dla dowolnego h > 0 mają rozkład normalny o wartości
oczekiwanej równej h(c − μ ) i wariancji hσ 2 . (Oznacza to oczywiście, że
ignorujemy informację o skośności)
• Stosując aproksymację ΨdV (u ) , oparte na znanych wynikach dla modelu, w
którym proces narastania szkód jest procesem złożonym Poissona ze szkodami
wykładniczymi, z parametrami dobranymi tak, aby roczne przyrosty procesu
miały rozkład o wartości oczekiwanej, wariancji i skośności równej zadanym
wartościom (c − μ ) , σ 2 , oraz γ .
Niech u * oznacza taką wartość nadwyżki początkowej u, dla której zachodzi:
Ψdiff (u ) = ΨdV (u )
Przy założeniach liczbowych:
• μ = 10 , σ = 2 , c = 11 ,
granica wartości u * przy współczynniku skośności dążącym do zera (od góry):
lim(u * )
γ ↓0
wynosi:
(A)
1
2
(B)
1
(C)
2
(D)
3
(E)
4
8
Matematyka ubezpieczeń majątkowych
13.12.2010 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 9.
Modelujemy przebiegający w czasie proces ściągania należności regresowych przez
ubezpieczyciela. Niech T oznacza zmienną losową o rozkładzie:
• ciągłym na przedziale (0,+∞ )
• z pewną masą prawdopodobieństwa w punkcie + ∞ ,
reprezentującą czas ściągnięcia należności regresowej (liczony od momentu
powstania prawa do regresu). Niech f T , FT oraz hT oznaczają odpowiednio funkcję
gęstości, dystrybuantę oraz funkcję hazardu zmiennej T. Dystrybuancie oraz funkcji
hazardu nadajemy następującą interpretację:
t
•
FT (t ) = ∫ f T (s )ds to wskaźnik ściągalności do czasu t (oczywiście FT (0 ) = 0 )
0
•
•
lim FT (t ) = Pr (T < ∞ ) to wskaźnik ściągalności ostatecznej,
t →∞
f T (t )
dla t > 0 to natężenie procesu ściągania (gęstość ściągania
1 − FT (t )
należności, które do momentu t pozostają jeszcze nie ściągnięte)
hT (t ) =
Załóżmy, że natężenie procesu ściągania dane jest funkcją hazardu określoną na
półosi dodatniej następująco:
1
• hT (t ) =
.
(2 + t )(1 + t )
Wtedy wskaźnik ściągalności ostatecznej wynosi:
(A)
1
(B)
4
5
(C)
3
4
(D)
3
5
(E)
1
2
Wskazówka: możesz wykorzystać znaną tożsamość: h(t ) = −
9
∂
ln (1 − F (t ))
∂t
Matematyka ubezpieczeń majątkowych
13.12.2010 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 10.
W pewnym ubezpieczeniu szkody zawsze likwidowane są nie później, niż w roku
następującym po roku zajścia. Niech X t , 0 oraz X t ,1 oznaczają łączną wartość szkód
zaistniałych w roku t, a likwidowanych w tym samym roku oraz w roku następnym,
odpowiednio. Mamy w dyspozycji próbkę obserwacji z lat t = 1,2,..., n :
• X 1,0 , X 1,1 , X 2, 0 , X 2,1 ,..., X n ,0 , X n ,1 .
Zakładamy, że wszystkie powyższe zmienne są niezależne, i mają rozkłady Gamma o
parametrach:
X t , 0 ~ Γ(α 0 , β ) ,
t = 1,2,..., n ,
X t ,1 ~ Γ(α1 , β ) ,
t = 1,2,..., n .
Nie znamy wartości parametrów (α 0 , α1 , β ) , w istocie jednak interesuje nas jedynie
parametr μ 0 :=
α0
α 0 + α1
Rozważamy dwa estymatory tego parametru:
n
X t ,0
1 n
μ̂ 0 := ∑
, oraz μ̂ˆ 0 :=
n t =1 X t ,0 + X t ,1
∑X
t =1
t ,0
n
n
t =1
t =1
∑ X t ,0 + ∑ X t ,1
Stosunek wariancji tych estymatorów:
var(μˆ 0 )
var(μˆˆ )
0
wynosi:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
1
n
α 0 + α1 + 1
α 0 + α1 +
1
n
1
α 0 + α1 + 2
n
α 0 + α1 +
α 0 + α1 + 1
α 0 + α1 +
1
n
1
n2
1
α 0 + α1 +
n
α 0 + α1 +
1
10
Matematyka ubezpieczeń majątkowych
13.12.2010 r.
___________________________________________________________________________
Egzamin dla Aktuariuszy z 13 grudnia 2010 r.
Matematyka ubezpieczeń majątkowych
Arkusz odpowiedzi *
Imię i nazwisko ...................K L U C Z O D P O W I E D Z I .............................
Pesel .............................................................
Zadanie nr
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
*
♦
Odpowiedź
C
B
D
E
A
C
B
C
E
A
Punktacja ♦
Oceniane są wyłącznie odpowiedzi umieszczone w Arkuszu odpowiedzi.
Wypełnia Komisja Egzaminacyjna.
11