Zadanie 1. Ilość szkód N ma rozkład o prawdopodobieństwach

Matematyka ubezpieczeń majątkowych
11.10.2003 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 1.
Ilość szkód N ma rozkład o prawdopodobieństwach spełniających zależność
rekurencyjną:
Pr ( N = k )
1 1
= 2⋅ +  ,
Pr ( N = k − 1)
3 k 
k = 1,2,3,...
∞
Jeśli wiemy, że
∑ Pr(N = k ) = 1 , to prawdopodobieństwo, że zdarzy się zerowa liczba
k =0
szkód wynosi:
(A)
Pr ( N = 0 ) =
1
81
(B)
Pr ( N = 0 ) =
16
81
(C)
Pr ( N = 0 ) =
8
81
(D)
Pr ( N = 0) =
1
27
(E)
Pr ( N = 0) =
8
243
1
Matematyka ubezpieczeń majątkowych
11.10.2003 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 2.
Rozkład wartości pojedynczej szkody Y określony jest na nieujemnych liczbach
całkowitych. W poniższej tabeli zawarte są informacje o wartości oczekiwanej szkody
uciętej:
M
E (min{Y , M })
3
2.46
4
3.04
Z informacji tych wynika, że Pr (Y = 5) wynosi:
(A)
0.08
(B)
0.10
(C)
0.12
(D)
0.14
(E)
0.16
2
5
3.46
6
3.78
Matematyka ubezpieczeń majątkowych
11.10.2003 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 3.
Łączna wartość szkód X z pewnego ryzyka miała w roku ubiegłym rozkład złożony:
X = Y1 + Y2 + ... + YN ,
z rozkładem wartości pojedynczej szkody danym na półosi dodatniej gęstością:
3
fY (x ) =
.
(1 + x )4
O ile procent wzrośnie składka netto za pokrycie nadwyżki każdej szkody z tego
ryzyka ponad kwotę d, jeśli kwota ta jest niezmienna i wynosi d = 5 , natomiast ceny,
w których wyrażone są szkody wzrosną o 25% (tzn. teraz ceny równe są 5/4 cen
poprzednich)?
(A)
składka netto wzrośnie o 25%
(B)
składka netto wzrośnie o 33 13 %
(C)
składka netto wzrośnie o 50%
(D)
składka netto wzrośnie o 60%
(E)
składka netto wzrośnie o 80%
3
Matematyka ubezpieczeń majątkowych
11.10.2003 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 4.
Zmienne X 0 oraz X 1 reprezentują łączną wartość szkód z pewnego portfela ryzyk
odpowiednio w roku ubiegłym oraz roku nadchodzącym.
Zmienne te są (przy danej wartości λ parametru ryzyka Λ ) zmiennymi losowymi
warunkowo niezależnymi, o rozkładach złożonych Poissona o takiej samej
oczekiwanej liczbie szkód λ i takim samym rozkładzie wartości pojedynczej szkody
Y, z parametrami E (Y ) = µ i wariancją Var (Y ) = σ 2 .
Parametr ryzyka Λ ma rozkład, o którym wiemy, że:
• E (Λ ) = Λ , Var (Λ ) = L2 .
Rozważamy predykcję łącznej wartości szkód w roku nadchodzącym X 1 przy
założeniu, że znamy wartości parametrów µ , σ 2 , Λ oraz L2 , a także iż
zaobserwowaliśmy liczbę szkód N 0 oraz łączną wartość szkód X 0 w roku ubiegłym.
Dwa alternatywne predyktory są postaci:
• pred1 = µ ⋅ [N 0 ⋅ z N + Λ ⋅ (1 − z N )] ,
• pred 2 = X 0 ⋅ z X + µ ⋅ Λ ⋅ (1 − z X ) .
Wartości każdego ze współczynników z N oraz z X dobrane są tak, aby
zminimalizować błędy średniokwadratowe predyktorów.
Różnica błędów średniokwadratowych:
2
2
• E ( X 1 − pred 2 ) − E ( X 1 − pred1 )
wynosi:
{
} {
(A)
Λ ⋅ L4 ⋅ µ 2
(Λ ⋅ (1 + σ 2 µ 2 ) + L2 )⋅ (Λ + L2 )
(B)
Λ ⋅ L4 ⋅ σ 2
(Λ ⋅ (1 + σ 2 µ 2 ) + L2 )⋅ (Λ + L2 )
(C)
(D)
(E)
}
Λ ⋅ L4 ⋅ σ 2
(Λ ⋅ (1 + σ
2
µ 2 ) + L2 )
2
Λ2 ⋅ L2 ⋅ σ 2
(Λ ⋅ (1 + σ
2
µ 2 ) + L2 )
2
Λ2 ⋅ L2 ⋅ µ 2
(Λ ⋅ (1 + σ
2
µ 2 ) + L2 )
2
4
Matematyka ubezpieczeń majątkowych
11.10.2003 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 5.
X 1 oraz X 2 to dwa
danym dystrybuantą:
0


F ( x ) = 0.6 + 0.2 ⋅ x

1

ryzyka (zmienne losowe) niezależne o tym samym rozkładzie
gdy
gdy
gdy
x<0
x ∈ [0, 1)
x ≥1
Prawdopodobieństwo zdarzenia, iż ich suma nie przekroczy liczby 1 2 wynosi:
(A)
FX1 + X 2 (0.5) = 0.485
(B)
FX1 + X 2 (0.5) = 0.495
(C)
FX1 + X 2 (0.5) = 0.500
(D)
FX1 + X 2 (0.5) = 0.490
(E)
FX1 + X 2 (0.5) = 0.480
5
Matematyka ubezpieczeń majątkowych
11.10.2003 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 6. Dana jest rodzina zmiennych losowych {YM }M ∈(0,1] indeksowana
parametrem M o dystrybuantach:
 y 2 gdy y < M
,
M ∈ (0, 1]
FM ( y ) = 
 1 gdy y ≥ M
oraz rodzina zmiennych {WM }M ∈(0,1] o rozkładach złożonych Poissona o parametrach
(λ , FM (⋅)) .
Niech V 2 (WM ) oznacza dla dowolnego M ∈ (0, 1] kwadrat współczynnika
zmienności (stosunek wariancji do kwadratu wartości oczekiwanej) zmiennej WM .
Pochodną logarytmiczną współczynnika V 2 (WM ) można wyrazić wzorem:
(
)
2M 1 − M 2
∂
, M ∈ (0, 1) .
ln V 2 (WM ) =
a−M2 b−M2
∂M
Parametry (a, b ) powyższego wzoru są równe (kolejność podania parametrów jest
oczywiście obojętna):
(
(A)
( 32 , 2)
(B)
(2, 52 )
(C)
( 23 , 43 )
(D)
( 12 , 32 )
(E)
(2, 3)
) (
)(
)
6
Matematyka ubezpieczeń majątkowych
11.10.2003 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 7.
Rozważamy klasyczny model procesu nadwyżki ubezpieczyciela z czasem ciągłym:
• skumulowana wartość szkód S (t ) jest procesem złożonym Poissona, w którym
intensywność pojawiania się szkód wynosi λ = 100 , zaś rozkład wartości
pojedynczej szkody jest mieszaniną dwóch rozkładów wykładniczych, i jego
gęstość jest na półosi dodatniej dana wzorem:
1 1
 1  1
 1 
f Y ( x ) = ⋅  exp − x  + exp − x  
2 4
 4  12
 12  
• intensywność składki (napływającej w sposób ciągły) wynosi c = 1000 ,
Wiadomo, że przy takich założeniach funkcja prawdopodobieństwa ruiny (jako
funkcja wysokości nadwyżki początkowej u) jest postaci:
Ψ (u ) = a1 exp(− r1u ) + a2 exp(− r2u ) ,
Suma parametrów tego wzoru (a1 + a2 ) wynosi:
(A)
16
30
(B)
20
30
(C)
24
30
(D)
27
30
(E)
1
7
Matematyka ubezpieczeń majątkowych
11.10.2003 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 8.
W modelu nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym:
• nadwyżka początkowa wynosi 1.5,
• składka roczna wynosi 1,
a łączna wartość szkód w każdym roku (niezależnie od łącznej wartości szkód w
innych latach):
• wynosi 0 z prawdopodobieństwem dwie trzecie,
• wynosi 2 z prawdopodobieństwem jedna trzecia.
Prawdopodobieństwo ruiny (pojawienia się ujemnej nadwyżki na koniec
któregokolwiek z lat) wynosi:
(A)
(B)
1
3 3
1
4 2
(C)
1
3
(D)
1
4
(E)
1
3 2
8
Matematyka ubezpieczeń majątkowych
11.10.2003 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 9.
Modelujemy przebiegający w czasie proces ściągania należności regresowych przez
ubezpieczyciela. Niech T oznacza zmienną losową o rozkładzie:
• ciągłym na przedziale (0,+∞ )
• z pewną masą prawdopodobieństwa w punkcie + ∞ ,
reprezentującą czas ściągnięcia należności regresowej (liczony od momentu
powstania prawa do regresu). Niech f T , FT oraz hT oznaczają odpowiednio funkcję
gęstości, dystrybuantę oraz funkcję hazardu zmiennej T. Dystrybuancie oraz funkcji
hazardu nadajemy następującą interpretację:
t
•
FT (t ) = ∫ f T (s )ds to wskaźnik ściągalności do czasu t (oczywiście FT (0 ) = 0 )
0
•
•
lim FT (t ) = Pr (T < ∞ ) to wskaźnik ściągalności ostatecznej,
t →∞
f T (t )
dla t > 0 to natężenie procesu ściągania (gęstość ściągania
1 − FT (t )
należności, które do momentu t pozostają jeszcze nie ściągnięte)
hT (t ) =
Załóżmy, że natężenie procesu ściągania maleje z czasem wykładniczo, a dokładniej,
dane jest funkcją hazardu określoną na półosi dodatniej postaci:
o parametrach α , β > 0 .
• hT (t ) = α ⋅ exp(− β ⋅ t ) ,
Wtedy wskaźnik ściągalności ostatecznej wyraża się wzorem:
(A)
Pr (T < ∞ ) = 1
(B)
Pr (T < ∞ ) = 1 − exp(− α )
(C)
Pr (T < ∞ ) = 1 − exp(− α / β )
(D)
Pr (T < ∞ ) = exp(− α )
(E)
Pr (T < ∞ ) = exp(− α / β )
Wskazówka: możesz wykorzystać znaną tożsamość: h(t ) = −
9
∂
ln (1 − F (t ))
∂t
Matematyka ubezpieczeń majątkowych
11.10.2003 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 10.
Mamy dwie zmienne losowe: czas zajścia szkody w ciągu roku kalendarzowego, oraz
czas, jaki upływa od momentu zajścia szkody do momentu jej likwidacji. Załóżmy, że
zmienne te są niezależne, a więc iż upływ czasu od momentu zajścia do momentu
likwidacji szkody nie zależy od tego, w którym momencie czasu kalendarzowego do
szkody doszło.
Przyjmujemy, że jednostką pomiaru czasu (dla obu zmiennych) jest 1 rok. Czas
zajścia szkody w ciągu roku kalendarzowego ma rozkład jednostajny na odcinku
(0, 1) . Czas, jaki upływa od momentu zajścia szkody do momentu jej likwidacji ma
rozkład wykładniczy o wartości oczekiwanej β −1 .
Prawdopodobieństwo, iż szkoda zostanie zlikwidowana w ciągu tego samego roku
kalendarzowego, w którym do niej doszło, wynosi:
1 − exp(− β )
(A)
1−
(B)
exp(− β )
(C)
(D)
(E)
β
(exp(β ) − 1)2
β
1 − exp(− β )
β
1 − β exp(− β )
β
1−
1 − β exp(− β )
β
10
Matematyka ubezpieczeń majątkowych
11.10.2003 r.
___________________________________________________________________________
Egzamin dla Aktuariuszy z 11 października 2003 r.
Matematyka ubezpieczeń majątkowych
Arkusz odpowiedzi*
Imię i nazwisko .................... K L U C Z O D P O W I E D Z I .........................
Pesel ...........................................
Zadanie nr
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
*
♦
Odpowiedź
A
B
E
B
A
E
C
D
C
A
Punktacja♦
Oceniane są wyłącznie odpowiedzi umieszczone w Arkuszu odpowiedzi.
Wypełnia Komisja Egzaminacyjna.
11