WYTRZYMAŁOŚĆ ZŁOŻONA
Transkrypt
WYTRZYMAŁOŚĆ ZŁOŻONA
WYTRZYMAŁOŚĆ ZŁOŻONA Przypadki wytrzymałości złożonej W praktyce inżynierskiej najczęściej spotyka się złożone przypadki obciążeń konstrukcji. Do prawidłowego rozwiązywania tych zagadnień konieczna jest znajomość wcześniej omówionych prostych przypadków, takich jak rozciąganie, skręcanie i zginanie, a w szczególności rozkładów naprężeń powstających pod wpływem tych obciążeń. Konieczna jest też znajomość hipotez wytrzymałościowych, niezbędnych do sformułowania warunku wytrzymałościowego, uwzględniającego różnego typu naprężenia, (normalne i styczne), działające w jednym punkcie. NAJCZĘŚCIEJ SPOTYKANE PRZYPADKI: – zginanie ukośne, – zginanie połączone z rozciąganiem (lub ściskaniem), – zginanie połączone ze skręcaniem, – ogólny przypadek wytrzymałości złożonej, a więc połączenie rozciągania, skręcania i zginania. W praktycznych obliczeniach wytrzymałościowych często pomija się wpływ obciążeń poprzecznych, dlatego w tym rozdziale nie uwzględniono tzw. ścinania, a omówienie wpływu sił poprzecznych na wytrzymałość zginanych belek ograniczono do najważniejszych przypadków. Podstawowym zagadnieniem w obliczeniach wytrzymałościowych konstrukcji lub ich elementów, poddanych obciążeniu złożonemu, jest identyfikacja obciążeń. Identyfikacja polega na wykorzystaniu praw statyki do określenia sił i momentów działających na konstrukcję lub jej fragment, pochodzących od obciążeń zewnętrznych. Szerokie zastosowanie znajdują tutaj tzw. zerowe układy sił, pozwalające na określenie sił wewnętrznych w poszczególnych częściach konstrukcji. 13 Wytrzymałość złożona.doc 149 Zginanie ukośne Zginanie ukośne (zginanie złożone) jest bezpośrednio związane ze zginaniem prostym. Występuje wówczas, gdy wektor momentu zginającego belkę nie pokrywa się z kierunkiem żadnej z osi symetrii. Zginanie ukośne można traktować jako sumę zginania prostego w płaszczyźnie pionowej oraz w płaszczyźnie poziomej. PRZYKŁAD Belka wspornikowa o długości L = 1 m, przekroju prostokątnym o wymiarach b = 3 cm, h = 5 cm jest obciążona na końcu siłą skupioną P = 1 kN, odchyloną od pionu o kąt = 20. Wyznaczyć naprężenia, położenie osi obojętnej oraz ugięcie belki. Przyjąć E = 2105 MPa. a) Maksymalny moment zginający występuje w utwierdzeniu: M = P.L = 11 kNm. Siłę P, przyłożoną do swobodnego końca belki, rozkłada się na składową pionową i poziomą. Momenty zginające wywołane tymi składowymi wynoszą MY PL sin 1 1 sin 20 0,342 kN m, MZ PL cos 1 1 cos 20 0,940 kN m. Momenty bezwładności oraz wskaźniki wytrzymałości na zginanie wynoszą bh3 3 53 bh2 3 5 2 4 JZ 31,25 cm , WZ 12,5 cm3, 12 12 6 6 3 3 2 hb 53 hb 5 32 JY 11,25 cm4, WY 7,5 cm3. 12 12 6 6 Maksymalne naprężenia zginające w płaszczyźnie pionowej gy MZ 0,940 3 10 75,2 MPa, WZ 12,3 a w płaszczyźnie poziomej gz 13 Wytrzymałość złożona.doc MY 0,342 3 10 45,6 MPa. WY 7,5 150 b) Rozkłady naprężeń przedstawiono na rys. b. Po zsumowaniu naprężeń z uwzględnieniu ich znaków w punktach A, B, C i D, znajdujących się w narożach przekroju, otrzymuje się naprężenia wypadkowe: A 75,2 45,6 120,8 MPa, B 75,2 45,6 29,6 MPa, C 75,2 45,6 120,8 MPa, D 75,2 45,6 29,6 MPa. c) 13 Wytrzymałość złożona.doc Wykres naprężeń normalnych wzdłuż krawędzi konturu przekroju poprzecznego przedstawiono na rys. c. Widać na nim, że na krawędziach w dwóch punktach naprężenia są równe zeru. Po zrzutowaniu tych punktów na krawędzie otrzymuje się położenie osi obojętnej, dzielącej przekrój na część rozciąganą „+” oraz ściskaną „–”. Na rysunku przedstawiono również rozkład naprężeń wzdłuż linii prostopadłej do osi obojętnej. Przedstawione wyżej rozwiązanie stanowi naturalne wykorzystanie superpozycji zginania w dwóch prostopadłych płaszczyznach. 151 Zginanie i rozciąganie Wspólne działanie sił rozciągających (ściskających) oraz momentu zginającego występuje najczęściej przy mimośrodowym obciążeniu pręta. Mimośrodowość może być wywołana przyłożeniem sił poza środkiem ciężkości, wykrzywieniem osi pręta lub równocześnie dwoma tymi czynnikami. Na rysunku przedstawiono przykład obciążenia pręta siłą skupioną przyłożoną w punkcie A(ey, ez), przesuniętym względem środka ciężkości przekroju o odległość e. Po przyłożeniu w środku ciężkości dwóch sił (P, –P), tworzących układ sił zerowych (zrównoważony układ sił), można łatwo zidentyfikować parę sił tworzącą moment zginający, M = P e, oraz niezrównoważoną siłę ściskającą P, przyłożoną w środku ciężkości. Sytuację tę przedstawiono na rys. a. Rysunek b pokazuje superpozycję obciążeń: ściskanie pręta siłą P przyłożoną w środku ciężkości przekroju, momentem zginającym MZ oraz momentem zginającym MY. Z wzorów na sumowanie naprężeń, poznanych przy omawianiu zginania ukośnego, oblicza się naprężenia w dowolnym punkcie przekroju: M P M Z y Y z. A JZ JY 13 Wytrzymałość złożona.doc 152 Przykład: Pionowy pręt o przekroju prostokątnym b x h = 18 x 24 cm ściskany jest mimośrodowo pionową siłą P = 1 MN, przyłożoną w punkcie o współrzędnych ez = 6 cm i ey = 5 cm. Wyznaczyć rozkład naprężeń na krawędziach przekroju oraz położenie osi bezwładności. i P MY MZ P Pe Pe Y Z. A WY WY A WZ WY JY bh2 18 242 1728 cm3, 1 6 6 h 2 hb 3 24 183 J hb 2 24 182 JZ 11664 cm4, WZ Z 1296 cm3, 1 12 12 6 6 b 2 Pey P 1 1 5 Pez 1 6 r 104 23,15 MPa, g' 104 38,58 MPa, g" 104 34,72 MPa. A 432 WZ 1296 WY 1728 A b h 18 24 432 cm2, JY bh3 18 243 20736 cm4, 12 12 WY 1 23,15 38,58 34,72 50,15 MPa, 2 23,15 38,58 34,72 27,01MPa, 3 23,15 38,58 34,72 96,45 MPa, 4 23,15 38,58 34,72 19,29 MPa. 13 Wytrzymałość złożona.doc 153 Miejsce geometryczne wszystkich punktów przyłożenia siły, wywołującej w całym przekroju naprężenia o tym samym znaku, nazywa się rdzeniem przekroju. Rdzeń przekroju oznacza pewne pole, w którym można przykładać siłę skupioną, nie powodując powstania naprężeń przeciwnego znaku, wywołanych momentem zginającym. Rdzenie przekroju PRZYKŁAD Obliczyć naprężenia w osiowo ściskanej kolumnie. Porównać naprężenia w przekrojach I-I oraz II-II. P 2a II a II Kolumna składa się z części o powierzchni a2 (przekrój I-I) oraz z części o powierzchni 2a2 (przekrój II-II). e I a I a P I-I P a2 W przekroju I-I występują naprężenia ściskające od siły osiowej P: P I P 2 . a 13 Wytrzymałość złożona.doc 154 Przekrój II-II jest obciążony mimośrodowo w stosunku do osi działania siły P. Zerowy układ sił pokazuje działanie siły II - II układ sił osiowej P oraz momentu zginającego M = Pe, e = 0,5a. Naprężenia normalne od siły osiowej P wynoszą P P IIP 2 , P 2a 2a2 a od momentu zginającego 3P 2 a 4a 6P M Pe 2 3P . 3P IIM 2 3 2 4a W a 2a 4a 4a2 e 6 Wypadkowe naprężenia normalne w przekroju II-II wynoII - II P szą: 4a2 naprężenia ściskające w punkcie A A B 5P II IIA IIAP IIAM 2 , 4a 5P 4a2 e naprężenia rozciągające w punkcie B P IIA IIAP IIAM 2 . 4a Porównując maksymalne naprężenia normalne w przekrojach I-I oraz II-II otrzymuje się II 5 . I 4 Działanie momentu zginającego powoduje, że w przekroju II-II o powierzchni 2a2 naprężenia są większe niż w przekroju I-I o powierzchni a2. P P Zerowy 13 Wytrzymałość złożona.doc 155 Zginanie i skręcanie Wspólne działanie zginania i skręcania jest najczęściej spotykanym przypadkiem wytrzymałości złożonej. W ten sposób są obciążone wały maszyn, pojazdów, skrzyni biegów itp. Ten rodzaj wytrzymałości złożonej charakteryzuje się niejednorodnym rozkładem naprężeń – moment zginający powoduje powstanie naprężeń normalnych, moment skręcający naprężeń stycznych (rysunek). Naprężenia normalne w wałach o przekroju kołowym: (ZGINANIE): max Mzg , W d3 W , 32 Naprężenia styczne: (SKRĘCANIE): max Mskr , W0 W0 2 W d3 . 16 Wskaźnik wytrzymałości przekroju kołowego na skręcanie jest równy podwójnemu wskaźnikowi wytrzymałości przekroju na zginanie. Naprężenia zredukowane oblicza się według hipotezy Hubera 2 red 2 max 2 3max 2 M2zg 0,75M2skr Mzg Mskr 3 . W W W 0 Dla uproszczenia zapisu wprowadza się często pojęcie momentu zredukowanego Mred M2zg 0,75M2skr . W przypadku zginania w dwóch wzajemnie prostopadłych płaszczyznach oblicza się wypadkowy moment zginający Mzg M2Y M2Z . Warunek wytrzymałościowy przy zginaniu i skręcaniu red Mred dop , W gdzie W – wskaźnik wytrzymałości przekroju na zginanie. 13 Wytrzymałość złożona.doc 156 PRZYKŁAD Na wale o kołowym przekroju zamontowano trzy koła zębate o średnicach d 1 = = 100 mm, d2 = 300 mm, d3 = 250 mm (rysunek). Koła te współpracują z innymi kołami, przenosząc siły obwodowe P1 = 4000 N, P2 = 3000 N, P3 = 2000 N. Przyjmując naprężenia dopuszczalne dop = 100 MPa, określić z warunku wytrzymałościowego średnicę wału d. Zerowe układy sił (ZUS): d Ms1 P1 1 200 N m , 2 d Ms2 P2 2 450 N m , 2 d Ms3 P3 3 250 N m , 2 Jeżeli w osi wału będą przyłożone zerowe układy sił Pi (rys. b), to można zidentyfikować momenty skręcające oraz siły zginające wał w płaszczyźnie pionowej i poziomej. Dla koła 1 moment skręcający M1 = P1d1/2 = 200 Nm, pionowa siła zginająca wał P1 = 4000 N. Dla koła 2 M2 = P2d2/2 = 450 Nm, pozioma siła zginająca P2 = 3000 N, dla koła 3 M3 = P3d3/2 = 250 Nm, pozioma siła zginająca (skierowana przeciwnie do P2) P3 = 2000 N. Wał AB oraz belkę AB zginaną w płaszczyźnie pionowej oraz w płaszczyźnie poziomej, jak również odpowiadające im wykresy momentów pokazano na rysunku obok. Z wykresów MZ oraz MY można określić maksymalne wartości momentów zginających. Wypadkowe momenty Mzg dla przekrojów wałów pod kołami wynoszą Otrzymane wartości pozwalają na wykonanie 1) wykresu Mzg dla charakterystycznych punktów – M(zg 640 2 250 2 687,1 N m, w tym zadaniu są to przekroje, w których są 2) M(zg 440 2 562,5 2 714,15 N m, umieszczone koła. Dla przekroju, w którym występuje maksymalna wartość Mzg, moment 3) M(zg 160 2 50 2 167,63 N m. skręcający MS = 250 Nm. Moment zredukowany dla tego przekroju według hipotezy energetycznej ma wartość Mred 714,152 0,75 2502 746,25N m. Z warunku wytrzymałościowego określa się średnicę wału d red Mred 32Mred 3 32 746,25 3 d3 dop , W , d3 10 42,36 mm. W 32 dop 100 Średnica wału poddanego działaniu momentu skręcającego i momentu zginającego w przekroju niebezpiecznym musi być równa co najmniej 42,36 mm. 13 Wytrzymałość złożona.doc 157 OGÓLNY PRZYPADEK WYTRZYMAŁOŚCI ZŁOŻONEJ Przeprowadzić obliczenia wytrzymałościowe dla pręta przedstawionego na rysunku. Przyjąć: P0 = 400 kN, P1 = 80 kN, P2 = 40 kN, P3 = 20 kN. L = 1m, h = 24 cm, b = 8 cm, kr = 140 MPa. P1 x P0 z L/2 y L/2 P2 P3 B A C h Mz x P0 P1 P2 My x b P0 P1 P2 Mx P3 b P3 P1 z P0 P2 y y h N x P0 P1 400 80 480 kN , z h P3 b Ty P2 40 kN , Tz P3 20 kN L 0,24 P2 L 80 40 1,00 49,6 kN m 2 2 b L 0,08 1,00 M y P1 P3 80 20 13,2 kN m 2 2 2 2 h 0,24 M x M S P3 20 2,4 kN m 2 2 M z P1 13 Wytrzymałość złożona.doc 158 Wykresy naprężeń normalnych i stycznych Nx x x y B Mz z y zz ’’ ’ A C Wz ' Nx 480 10 25 M Pa b h 8 24 My x ' ' z b h2 6 6M z 6 49,6 3 10 64,6 M Pa b h 2 8 242 Ms z y b h b h ’’’ x s max y z s b h Wy ' ' ' h b2 6 6M y hb 2 6 13,2 103 51,6 M Pa 2 24 8 Ms 2,4 103 5,9 M Pa 2 hb 0,267 24 82 s s m ax 0,753 5,9 4,4 M Pa s m ax x x z y y y 13 Wytrzymałość złożona.doc z b 3 Ty 3 40 10 3,1 M Pa 2 b h 2 8 24 Tz z Ty y h b h h z b 3 Tz 3 20 10 1,6 M Pa 2 b h 2 8 24 159