ugiecie01

Wyznaczanie ugięć metodą Clebscha
Wyznaczenie ugięcia i obrotu przekroju sprowadza się do rozwiązania równania różniczkowego (drugiego
rzędu) opisującego krzywiznę odkształconej osi pręta:
d2 y
M(x)
=y ''( x)=−
2
E⋅Jz
dx
Pierwsze całkowanie powyższego równania wyznacza kąt obrotu przekroju pręta (kąt nachylenia stycznej do
ugiętej osi belki):
dy
E⋅Jz⋅ =−∫ M( x) dx +C ,
dx
dy
=ϕ ;
dx
(
1
ϕ =− ⋅ ∫ M(x)dx+C
E⋅Jz
)
Po powtórnym całkowaniu otrzymamy równanie linii ugięcia:
(
1
y (x )=− ⋅ ∫∫ M(x )dx +Cx+D
E⋅Jz
)
Zgodnie z metodą Clebscha występujące we wzorach stałe całkowania C i D należy ustalać z warunków
brzegowych.
Warunki brzegowe opisują takie miejsca w konstrukcji, w których mamy 100% pewność ich niezmienności
(podpory).
y A =y ( x=0 )=0 , ϕ A =ϕ (x=0 )=0
y A =y ( x=0 )=0 ,
y B =y ( x=L )=0
Założenia metody Clebscha
1. układ osi współrzędnych ma początek w jednym
z końców belki
2. jeżeli obciążeniem są siły skupione to całkowanie wyrażenia (x - ai) daje rozwiązanie w postaci:
( x −ai)n +1
n
(
x
−a
)
dx
=
+C
∫
i
n+1
3. gdy w przekroju określonym współrzędną ai działa moment skupiony M0 należy wprowadzić
w równaniu momentów wyrażenie
M0⋅(x−ai )0
i całkować jak wyżej,
4. w przypadku obciążenia ciągłego rozłożonego tylko na pewnym
fragmencie belki należy je doprowadzić do końca, dodając na tym
odcinku równoważne obciążenie o zwrocie przeciwnym
Przykład 1. Obliczyć ugięcie i kąt obrotu w punkcie B
Reakcje i poszukiwane odkształcenia:
Równanie momentu zginającego (od lewej strony)
M( x)=P⋅x−P⋅L
Równanie różniczkowe krzywizny odkształconej belki
E⋅J⋅y ''(x )=−M(x)=−( P⋅x−P⋅L )
,
E⋅J⋅y ''(x )=P⋅L−P⋅x
Równanie obrotu przekrojów odkształconej belki (pierwsze całkowanie)
2
x
E⋅J⋅y '( x )=P⋅L⋅x−P⋅ +C
2
Równanie linii ugięcia odkształconej belki (drugie całkowanie)
2
3
x
x
E⋅J⋅y ( x )=P⋅L⋅ −P⋅ +C ⋅x+D
2
6
Warunki brzegowe: 1. x = 0, y = 0,
2. x = 0, φ = 0
Stąd stałe całkowania:
- podstawiając pierwszy warunek do równania linii ugięcia otrzymamy D = 0
- podstawiając drugi warunek do równania obrotu przekroju otrzymamy C = 0
Obliczamy :
2
1. ugięcie w punkcie B:
2
2. kąt obrotu:
3
3
1
L
L
P⋅L
y B (x=L)= ⋅( P⋅L⋅ −P⋅ )=
E⋅J
2
6 3⋅E⋅J
2
1
L
P⋅L
2
φ B =y ' (x =L)= ⋅( P⋅L −P⋅ )=
E⋅J
2
2⋅E⋅J
Przykład 2. Obliczyć największe ugięcie i kąt obrotu w belce.
Uzupełnienie belki zgodnie z założeniami metody
Równanie momentu zginającego od lewej strony (w belce są dwa odcinki o różnych równaniach momentów
zginających):
odcinek A – C :
3
M( x)= ⋅qL⋅x−q⋅x2
2
,
odcinek C – B :
3
M(x)= ⋅qL⋅x−q⋅x 2+q⋅(x−L)2
2
Równanie krzywizny odkształconej belki:
E⋅J⋅y ''(x)=−M( x)
3
E⋅J⋅y ''(x)=− ⋅qL⋅x+q⋅x2−q⋅(x−L)2
2
Równanie obrotu przekroju odkształconej belki:
3
1
1
E⋅J⋅y '( x)=− ⋅qL⋅x2+ ⋅q⋅x3− ⋅q⋅(x−L)3+C
4
3
3
Równanie linii ugięcia belki:
1
1
1
E⋅J⋅y (x)=− ⋅q L⋅x3+ ⋅q⋅x 4− ⋅q⋅(x−L)4+Cx +D
4
12
12
Warunki brzegowe: 1. x = 0 , y = 0 ,
z 1 (równanie ugięcia):
2. x = 2L , y = 0
D=0 , z 2 (równanie ugięcia):
3
C= ⋅qL 3
8
Obliczamy ugięcie:
największe ugięcie jest w miejscu gdzie styczna do linii ugiętej belki jest płaska tzn y'(x) = 0 (równanie obrotu)
x 2−4⋅L⋅x+17/6⋅L 2=0
stąd : x1 = 0,92L , x2 = 3,08L - tylko pierwszy pierwiastek ma właściwe
znaczenie praktyczne
Ugięcie, w miejscu x = 0,92L :
y max (x=0,92 L)=−
[
1 1
1
1
⋅ ⋅q⋅(0,92 L)3− ⋅q⋅(0,92 L)4+ ⋅q⋅(0,92 L−L)4
E⋅J 4
12
12
]
3
q⋅L4
− ⋅qL3⋅0,92 L =0,210⋅
8
E⋅J