Całka podwójna po trójkącie

CAŁKOWANIE
NUMERYCZNE
całki podwójne
Kubatury Gaussa
Całka podwójna po trójkącie
Całka podwójna po trójkącie
Dana jest funkcja dwóch zmiennych f(x, y) ciągła
i ograniczona w obszarze trójkątnym D.
Wierzchołki trójkąta wyznaczają punkty (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3)
nie leżące na jednej prostej.
4
Całka podwójna po trójkącie
Wprowadza się podstawienie normalizujące wyjściowy trójkąt
do trójkąta prostokątnego, równoramiennego o wierzchołkach
(0, 0), (1, 0), (0, 1):
x = x1 + ( x2 − x1 )ξ + ( x3 − x1 )η
y = y1 + ( y2 − y1 )ξ + ( y3 − y1 )η
Wierzchołki:
( x1 , y1 ) → (0, 0)
( x2 , y2 ) → (1, 0)
( x3 , y3 ) → (0,1)
5
Całka podwójna po trójkącie
Trójkąt wyjściowy i znormalizowany
6
Całka podwójna po trójkącie
Zmiana układu współrzędnych wymaga pomnożenia funkcji
podcałkowej przez tzw. jakobian przekształcenia:
∂x
∂ξ
J=
∂y
∂ξ
∂x
∂η
∂y
∂η
=
x2 − x1
x3 − x1
y2 − y1
y3 − y1
J = ( x2 − x1 )( y3 − y1 ) − ( x3 − x1 )( y2 − y1 )
J =2 D
|D| - pole wyjściowego trójkąta D
7
Całka podwójna po trójkącie
Funkcja podcałkowa dla trójkąta znormalizowanego przyjmuje
postać:
F ( ξ, η ) = J f [ x1 + ( x2 − x1 )ξ + ( x3 − x1 )η, y1 + ( y2 − y1 )ξ + ( y3 − y1 )η]
8
Całka podwójna po trójkącie
Końcowy wzór do obliczania całki podwójnej po trójkącie:
1
1−ξ
0
0
³dξ ³
1 n
F (ξ, η) d η = ¦ F (ξi , ηi ) wi
2 i =1
ξi, ηi – współrzędne punktów Gaussa
wi – wagi punktów Gaussa
n
– ilość punktów Gaussa
9
Całka podwójna po trójkącie
n
3
ξi
ηi
wi
1/2
1/2
1/3
0
1/2
1/3
1/2
0
1/3
Współrzędne i wagi punktów Gaussa
10
Całka podwójna po trójkącie
Przykład
Funkcję podcałkową sprowadzić do postaci znormalizowanej:
³³ ( x + 3 y − 1) d x d y
D
Wierzchołki trójkąta D:
(1,1) (3, 2) (2,3)
f ( x, y ) = x + 3 y − 1
11
Całka podwójna po trójkącie
x = x1 + ( x2 − x1 )ξ + ( x3 − x1 )η = 1 + (3 − 1)ξ + (2 − 1)η = 1 + 2ξ + η
y = y1 + ( y2 − y1 )ξ + ( y3 − y1 )η = 1 + (2 − 1)ξ + (3 − 1)η = 1 + ξ + 2η
J=
x2 − x1
x3 − x1
y2 − y1
y3 − y1
3 −1 2 −1 2 1
=
=
=3
2 −1 3 −1 1 2
12
Całka podwójna po trójkącie
F (ξ, η) = 3 ⋅ [1 + 2ξ + η + 3(1 + ξ + 2η) − 1] = 9 + 15ξ + 21η
1
1−ξ
0
0
³ d ξ ³ ( 9 + 15ξ + 21η) d η
13
Całka podwójna po trójkącie
Przykład
Obliczyć wartość całki z poprzedniego przykładu dla n = 3
punktów Gaussa.
1 n
1 3
F (ξi , ηi ) wi = ¦ F (ξi , ηi ) wi
¦
2 i =1
2 i =1
1ª §1 1· 1
§ 1· 1
§ 1 · 1º
= « F ¨ , ¸ ⋅ + F ¨ 0, ¸ ⋅ + F ¨ , 0 ¸ ⋅ »
2¬ ©2 2¹ 3
© 2¹ 3
© 2 ¹ 3¼
1 1
= ⋅ ⋅ [ 27 + 19.5 + 16.5]
2 3
= 10.5
14
Całka podwójna po trójkącie
Przykład
Wyprowadzić kubaturę Gaussa dla trójkąta znormalizowanego
i n = 1.
F (ξ, η) = a0 + a1ξ + a2 η
Całka z tej funkcji po trójkącie znormalizowanym:
1
1−ξ
0
0
³dξ ³
1
1
1
(a0 + a1ξ + a2 η) d η = a0 + a1 + a2
2
6
6
∗
15
Całka podwójna po trójkącie
1
1 n
F (ξi , ηi ) wi = ( a0 + a1ξ1 + a2 η1 ) w1
¦
2
2 i =1
1
= w1a0 + ξ1w1a1 + η1w1a2
2
∗∗
16
Całka podwójna po trójkącie
Z porównania współczynników przy a0, a1, a2 z
∗ i ∗∗:
­1 1
° 2 = 2 w1
°
°1 1
® = ξ1w1
°6 2
°1 1
°̄ 6 = 2 η1w1
1
1
w1 = 1, ξ1 = , η1 =
3
3
17