Wstęp do teorii miary

Wstęp do teorii miary
SPPI, rok II
Wykład 10
0. Motywacja
Chcemy dążyć do pojęcia całki na przestrzeni z miarą. Do czego może przydać się taka
całka? Powiedzmy, że rozważamy często wystepującą w teorii informacji przestrzeń ciągów zero-jedynkowych. Takie ciągi mają różną złożoność, np. ciągi okresowe 000000..., czy
01010101... wydają się mało skomplikowane, bo łatwo można przewidzieć następny symbol.
Ale w ciągu 11101001101100... trudno przewidzieć, co wystąpi za chwilę. Można zdefiniować funkcję, która mierzy złożoność ciągu. Całka (taka jaką znamy z analizy rzeczywistej)
pozwala między innymi liczyć średnią wartość funkcji. Umiejętność liczenia całki na naszej
przestrzeni ciągowej pozwoliłaby na obliczenie średniej złożoności ciągów z wyróżnionego
zbioru. A to tylko jedno z zastosowań.
Zanim jednak określimy tę całkę spróbujmy trochę pogłębić zrozumienie całki Riemanna
dla funkcji f : R → R.
1. Całka Riemanna
Podział odcinka [a, b].
Średnica podziału d(P ).
Normalny ciąg podziałów d(Pn ) → 0. Przykład: na równe kawałki; antyprzykład: jedna
połówka ustalona, drugą dzielimy na równe kawałki
Suma całkowa S(f, P, ξ1 , ..., ξm ) – interpretacja na obrazku
Suma dolna L(f, P ) i suma górna U (f, P )
L(f, P ) ¬ S(f, P, ξ1 , ..., ξm ) ¬ U (f, P )
Definicja 1 Niech f : [a, b] → R będzie ograniczona.
Funkcja f jest całkowalna w sensie Riemanna, gdy dla każdego normalnego ciągu podziałów (Pn ) i wyboru punktów pośrednich istnieje granica
n
lim S(f, Pn , ξ1n , ..., ξm
)
n
niezależna od wyboru punktów pośrednich.
Uwaga Wtedy każda taka granica ma jednakową wartość (uzasadnienie: wziąć dwa różne
i przemieszać).
Dla funkcji całkowalnych wspólną
granicę nazywamy całką Riemanna (lub całką oznaR
czoną) funkcji f i oznaczamy ab f (x) dx. Całka dolna i górna.
Czy są funkcje niecałkowalne? Tak, np. funkcja Dirichleta.
Twierdzenie 1 f jest całkowalna wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego normalnego ciągu
podziałów
lim[U (f, Pn ) − L(f, Pn )] = 0
n
Stąd można uzyskać, że każda funkcja ciągła na [a, b] jest całkowalna. A nawet, że jeśli
jest skończenie wiele punktów nieciągłości, to i tak f jest całkowalna. Kryterium z miarą
Lebesgue’a.
2. Całka Lebesgue’a
Twierdzenie 2 Każda funkcja mierzalna nieujemna jest granicą rosnącego ciągu nieujemnych funkcji prostych mierzalnych.
Dowód Dla funkcji nieujemnej odpowiedni ciąg funkcji prostych możemy zdefiniować w
następujący sposób:
∗ najpierw definiujemy zbiory
i−1
i
¬ f (x) < n
dla n ∈ N, i = 1, 2, ..., n · 2n
2n
2
Fn = {x ∈ X : f (x) ­ n}
dla n ∈ N
En,i = x ∈ X :
∗ funkcje proste określamy wzorem
sn =
n
n·2
X
i=1
i−1
· 1En,i + n · 1Fn .
2n
Niech (X, F, µ) będzie ustaloną przestrzenią miarową.
ETAP 1
Rozważmy nieujemną mierzalną funkcję prostą s(x) = ni=1 ci · 1Ei (Ei niekoniecznie rozłączne). Zbiór nieujemnych mierzalnych funkcji prostych oznaczymy przez PMN.
Wtedy definiujemy
P
Z
s dµ =
n
X
ci · µ(Ei ).
i=1
W szczególności dla funkcji charakterystycznych mamy
Z
1E dµ = µ(E).
Uwaga
1. Prawa strona definicji zawsze ma sens, bo ci ­ 0 i µ(Ei ) ­ 0, zatem mamy sumę
wartości dodatnich. Iloczyn jest zawsze określony – ewentualnie mamy 0 · ∞ = 0.
2. Wartość całki nie zależy od sposobu reprezentacji funkcji prostej! Aby to udowodnić
trzeba najpierw z każdej reprezentacji uzyskać reprezentację przez funkcje charakterystyczne zbiorów rozłącznych, pokazać, że wartość całki nie zmieniła się, a potem
uzasadnić, że reprezentacja za pomocą zbiorów rozłącznych jest jedyna.
ETAP 2
Niech f będzie funkcją mierzalną nieujemną (oznaczenie: MN). Istnieje rosnący ciąg funkcji
sn ∈ PMN zbieżny do f . Wtedy definiujemy
Z
Z
f dµ = lim
n→∞
sn dµ.
Uwaga Wartość całki nie zależy od wyboru ciągu funkcji prostych sn % f ! Ale to nie jest
takie oczywiste.
ETAP 3
Definicja 2 Częścią dodatnią funkcji f : X → R nazywamy funkcję f + : X → [0, ∞] określoną wzorem
f + (x) = max(f (x), 0),
a częścią ujemną funkcję f − : X → [−∞, 0]
f − (x) = − min(f (x), 0).
Oczywiście, f (x) = f + (x) − f − (x) oraz |f (x)| = f + (x) + f − (x) w każdym x ∈ X.
Ponadto, jeśli f jest mierzalna wtedy i tylko wtedy, gdy f + i f − są mierzalne. Niech f
będzie dowolną funkcją mierzalną (oznaczenie: M). Wtedy definiujemy:
Z
Z
f dµ =
+
f dµ −
Z
f − dµ,
o ile prawa strona ma sens.
Uwaga Nie definiujemy całki dla funkcji, dla których
R
f + dµ =
R
f − dµ = ∞!
Definicja 3 Niech E będzie zbiorem mierzalnym w X. Wtedy definiujemy całkę z f po
zbiorze E jako
Z
Z
f dµ =
E
Mamy więc
R
f dµ =
R
X
f dµ.
f · 1E dµ.