Metoda obliczania krzywej offset

Metoda obliczania krzywej offset
ANDRZEJ KAWALEC
MAREK MAGDZIAK
Pomiar na obrabiarce sterowanej numerycznie
(CNC) jest mo˝liwy przy wykorzystaniu g∏owic pomiarowych zamontowanych we wrzecionie danej
obrabiarki (rys. 1).
Programowanie pomiaru odbywa si´ przy u˝yciu
odpowiednich cykli pomiarowych zainstalowanych
w uk∏adzie sterowania obrabiarki CNC. Cykle pomiarowe mo˝na wykorzystywaç niezale˝nie lub korzystajàc z programów komputerowego wspomagania
projektowania i pomiaru (CAD/CAI), np. PRODUCTIVITY+ lub POWERINSPECT OMV.
Zaletà tego typu programów jest mo˝liwoÊç
wizualizacji pomiaru w celu weryfikacji wyst´powania
ewentualnych kolizji oraz mo˝liwoÊç pomiaru z∏o˝onych powierzchni swobodnych z korekcjà promienia koƒcówki trzpienia g∏owicy pomiarowej, zgodnie
z wektorem normalnym do danego punktu pomiarowego powierzchni mierzonego przedmiotu. Przy
u˝yciu tego typu programów mo˝na zaprogramowaç
cykle pomiarowe. Wymaga to zastosowania odpowiedniego postprocesora do danego typu obrabiarki
CNC i jej uk∏adu sterowania. Dodatkowo oprogramowanie POWERINSPECT OMV umo˝liwia sterowanie pracà obrabiarki CNC za pomocà zewn´trznego
stanowiska komputerowego z pomini´ciem etapu
postprocesora w programowaniu obrabiarek CNC
na wzór programowania procesu pomiaru na wspó∏rz´dnoÊciowej maszynie pomiarowej.
Pomiar powierzchni swobodnych z wykorzystaniem tylko cykli pomiarowych tak˝e jest mo˝liwy, np.
przy u˝yciu cyklu L9821, b´dàcego cz´Êcià pakietu
INSPECTION PLUS. Cykl L9821 wymaga podania
dwóch parametrów: R7 (odleg∏oÊç g∏owicy pomia-
Dr hab. in˝. Andrzej Kawalec i mgr in˝. Marek Magdziak
sà pracownikami Katedry Technik Wytwarzania i Automatyzacji Politechniki Rzeszowskiej.
Rys. 1. Pomiar na obrabiarce CNC w warunkach produkcyjnych
rowej od powierzchni mierzonej) i R1 (kàt mi´dzy
wektorem normalnym w punkcie pomiarowym mierzonej powierzchni a osià X uk∏adu wspó∏rz´dnych
przedmiotu). Wykorzystanie cyklu L9821 w przypadku
pomiaru powierzchni swobodnych wymaga jego
u˝ycia dla ka˝dego punktu pomiarowego niezale˝nie,
co powoduje wyd∏u˝enie czasu przygotowania programu pomiarowego.
Wadà wymienionych metod pomiaru na obrabiarce
CNC jest mo˝liwoÊç korekcji promienia koƒcówki
trzpienia pomiarowego tylko zgodnie z wektorem
normalnym nominalnym.
Na podstawie literatury mo˝na wyró˝niç wiele
metod korekcji promienia koƒcówki trzpienia g∏owicy
pomiarowej zgodnie z wektorem normalnym rzeczywistym, uwzgl´dniajàcym postaç rzeczywistego
przedmiotu, w danym punkcie pomiarowym mierzonej powierzchni. Metody korekcji promienia mo˝na
26
ROK WYD. LXX 앫 ZESZYT 7-8/2011
zastosowaç zarówno w przypadku pomiaru krzywych,
jak i powierzchni.
W pracy doktorskiej [1] przedstawiono i poddano
analizie trzy metody korekcji promienia koƒcówki
trzpienia g∏owicy pomiarowej w przypadku pomiaru
krzywych. Rozpatrywanymi metodami by∏y metody
korekcji promienia przy u˝yciu funkcji liniowych,
okr´gów oraz funkcji ciàg∏ych. W przypadku funkcji
liniowych wektor korekcji w danym punkcie pomiarowym jest prostopad∏y do prostej przechodzàcej
przez dwa sàsiednie punkty, które sà zlokalizowane
po obu jego stronach na danej krzywej. Wykorzystanie okr´gów do korekcji promienia polega na konstrukcji kolejnych okr´gów na podstawie trzech
sàsiednich punktów danej mierzonej krzywej, przy
czym punkt pomiarowy, dla którego wektor normalny
jest poszukiwany, znajduje si´ w Êrodku mi´dzy
dwoma sàsiednimi punktami. Kierunek wektora normalnego okreÊla prosta przechodzàca przez dany
punkt pomiarowy i Êrodek danego okr´gu. W przypadku metody korekcji z wykorzystaniem funkcji
ciàg∏ych zastosowano interpolacj´ na podstawie
wielomianu trygonometrycznego.
Nowa metoda korekcji, w przypadku pomiaru krzywych, zosta∏a zaproponowana w pracy doktorskiej [2].
Metoda ta wykorzystuje informacj´ o dwusiecznej
kàta, który tworzà wektory normalne do prostych
przechodzàcych przez dany punkt pomiarowy i dwa
sàsiednie punkty pomiarowe znajdujàce si´ po obu
stronach mierzonego profilu. W pracy dodatkowo
przedstawiono metody korekcji promienia w przypadku pomiaru krzywych z u˝yciem funkcji liniowych,
okr´gów, funkcji offset, która jest dost´pna w systemach komputerowego wspomagania projektowania (CAD) oraz przy wykorzystaniu oprogramowania
wspó∏rz´dnoÊciowej maszyny pomiarowej.
W przypadku pomiaru powierzchni w pracy [2]
przedstawiono metod´ korekcji promienia koƒcówki
trzpienia g∏owicy pomiarowej na podstawie iloczynu
wektorowego [3], iloczynu wektorowego z zastosowaniem tzw. wspó∏czynników wagowych [4], metod´ korekcji opracowanà w pracy doktorskiej [5] oraz metod´ korekcji opartà na funkcji offset systemów CAD.
W pracy doktorskiej [5] przedstawiono metod´
korekcji promienia koƒcówki trzpienia pomiarowego
w przypadku pomiaru powierzchni. Zaproponowany
algorytm wyszukuje punkty znajdujàce si´ w sàsiedztwie danego punktu pomiarowego, dla którego
poszukiwany jest wektor normalny. Wyszukiwane
punkty zlokalizowane sà na Êcie˝ce danego punktu
pomiarowego i na Êcie˝kach pomiarowych sàsiednich. Na kolejnym etapie dzia∏ania algorytmu obliczane sà wektory z danego punktu pomiarowego do
punktów sàsiednich. Dla ka˝dej pary wektorów obliczany jest wektor do nich prostopad∏y. Poszukiwany
wektor normalny dla danego punktu pomiarowego,
który okreÊla kierunek korekcji promienia koƒcówki
trzpienia g∏owicy pomiarowej, jest wektorem wypadkowym wyznaczonym na podstawie wszystkich
wektorów normalnych, które obliczono na wczeÊniejszym etapie dzia∏ania algorytmu.
W artykule [3] przedstawiono metod´ korekcji
promienia koƒcówki trzpienia pomiarowego w przypadku pomiaru powierzchni swobodnych. Metoda ta
polega na wyznaczaniu siatki trójkàtów na bazie
zaobserwowanych punktów pomiarowych zlokaliROK WYD. LXX 앫 ZESZYT 7-8/2011
zowanych na sàsiednich Êcie˝kach pomiarowych.
Poszukiwany wektor jednostkowy dla danego punktu
pomiarowego jest obliczany jako wynik iloczynu
wektorowego wektorów stanowiàcych dwa boki
trójkàta.
Podobnà metod´ obliczania wektorów korekcji
promienia koƒcówki trzpienia g∏owicy pomiarowej przedstawiono w artykule [4]. Istotnà ró˝nicà
jest zastosowanie tzw. wspó∏czynników wagowych.
W pierwszym etapie algorytmu wyznaczane sà cztery
punkty w sàsiedztwie danego punktu pomiarowego.
Na ich podstawie obliczane sà cztery wektory styczne,
których kierunek okreÊlony jest na podstawie danego
punktu pomiarowego i czterech sàsiednich punktów.
Na kolejnym etapie nast´puje obliczenie czterech
wektorów normalnych na podstawie iloczynu wektorowego wektorów stycznych, które zosta∏y obliczone w etapie wczeÊniejszym, oraz ich wektorów
jednostkowych. Nast´pnie obliczany jest wektor
wypadkowy z czterech wektorów jednostkowych,
wspó∏czynniki wagowe w dwóch odmianach oraz
iloczyny wektorów jednostkowych i wspó∏czynników wagowych. Wynikiem iloczynów sà cztery nowe
wektory. Na ostatnim etapie algorytmu obliczany jest
wektor normalny, który jest wypadkowym z czterech
wektorów obliczonych wczeÊniej.
Metody przedstawione w [3 – 5], dotyczàce korekcji
promienia w przypadku pomiaru powierzchni swobodnych, zosta∏y poddane analizie porównawczej
w [6].
W artykule [7] przedstawiono natomiast metod´
wyznaczania punktu pomiarowego skorygowanego
w przypadku pomiaru krzywych z wykorzystaniem
skaningowej g∏owicy pomiarowej. Algorytm wykorzystuje kolejne po∏o˝enia koƒcówki trzpienia g∏owicy
pomiarowej pracujàcej w trybie skanowania. Na
podstawie kolejnych po∏o˝eƒ g∏owicy pomiarowej
tworzony jest przybli˝ony zarys mierzonego profilu
przez po∏àczenie ∏uków b´dàcych cz´Êcià zarysu
koƒcówki pomiarowej znajdujàcej si´ w kolejnych
po∏o˝eniach. Jako przybli˝ony, skorygowany punkt
pomiarowy dla zaobserwowanego punktu pomiarowego w danym ustawieniu g∏owicy pomiarowej
obliczany jest punkt Êrodkowy danego ∏uku, który
jest cz´Êcià przybli˝onego zarysu mierzonego profilu. Nast´pnie obliczana jest korekcja rzeczywistego
punktu pomiarowego przybli˝onego na podstawie
algorytmu wykorzystujàcego logik´ rozmytà.
Krzywa offset
Metoda obliczania krzywej offset wykorzystuje
krzywe Béziera. Danymi wejÊciowymi do algorytmu
metody sà zaobserwowane punkty pomiarowe P0, P1,
..., Pn reprezentujàce Êrodki koƒcówki trzpienia
g∏owicy pomiarowej w kolejnych jej po∏o˝eniach
(rys. 2).
Na podstawie zbioru punktów zaobserwowanych
i przy uwzgl´dnieniu wektorów a0, a1, ..., an obliczane
sà punkty kontrolne P0, P0+a0, P1-a1, P1, P1+a1 , P2-a2,
P2, P2+a2, ..., Pn-an, Pn i tworzony wielobok charakterystyczny krzywej. Na podstawie tak obliczonego
wieloboku charakterystycznego obliczana jest krzywa
bazowa. Krzywa powstaje poprzez po∏àczenie poszczególnych segmentów reprezentujàcych krzywe
Béziera i interpoluje zaobserwowane punkty pomiarowe. W punktach po∏àczenia segmentów krzywej,
27
Rys. 2. Zaobserwowane
punkty pomiarowe b´dàce rezultatem pomiaru na
obrabiarce sterowanej numerycznie
które odpowiadajà punktom interpolowanym, spe∏niona jest klasa ciàg∏oÊci G2. Wektory a1, ..., an-1
obliczane sà na podstawie uk∏adu równaƒ (1).
(1)
punkty pomiarowe, zaobserwowanych punktów pomiarowych oraz wartoÊci offsetu tworzony jest
wielobok charakterystyczny krzywej offset. WartoÊç
offsetu wynika z promienia koƒcówki trzpienia
pomiarowego. WartoÊç ta jest wynikiem procesu
kwalifikacji zespo∏u g∏owicy pomiarowej. Na podstawie wieloboku charakterystycznego obliczana jest
krzywa offset reprezentujàca skorygowane punkty
pomiarowe.
Dok∏adnoÊç obliczania krzywej offset wynika z zadeklarowanej wartoÊci tolerancji. W przypadku kiedy
ró˝nica mi´dzy rzeczywistà wartoÊcià offsetu a nominalnà, która wynika z procesu kwalifikacji zespo∏u
g∏owicy pomiarowej, przekracza wartoÊç tolerancji,
to do ka˝dego segmentu Béziera, w obr´bie którego
zanotowano odchy∏k´, dodawane sà nowe punkty
interpolowane. Badania numeryczne i doÊwiadczalne
przeprowadzono w przypadku pojedynczego punktu
dodawanego w Êrodku danej krzywej reprezentujàcej
segment Béziera.
Dla nowej grupy punktów interpolowanych dzia∏anie algorytmu zostaje powtórzone. Algorytm koƒczy swoje dzia∏anie w momencie, kiedy wszystkie
odchy∏ki mieszczà si´ w polu tolerancji obliczenia
krzywej offset.
Badania numeryczne
Na podstawie wieloboku charakterystycznego
krzywej bazowej interpolujàcej zaobserwowane
Badania numeryczne przeprowadzono na wybranych szeÊciu przyk∏adach uwzgl´dniajàcych ró˝ny
stopieƒ skomplikowania krzywych.
W badaniach uwzgl´dniono nast´pujàce wartoÊci
offsetu: 1,0; 2,0 mm. Obliczenia przeprowadzono
dla nast´pujàcych wartoÊci tolerancji danej krzywej
offset: 0,001; 0,005; 0,01; 0,05; 0,1; 0,5 mm.
Celem badaƒ numerycznych by∏o porównanie
liczby punktów kontrolnych oraz czasu obliczeƒ
krzywych offset dla zadanych wartoÊci tolerancji.
Badania numeryczne zosta∏y zrealizowane z wykorzystaniem komputera klasy PC o nast´pujàcych
parametrach technicznych:
– CPU Intel Core 2 Duo 2,00 GHz (3 MB),
– RAM 3,00 GB.
Rys. 3. Wyniki badaƒ numerycznych dla przyk∏adów 1, 2
i wartoÊci offsetu 1,0 mm
Rys. 4. Wyniki badaƒ numerycznych dla przyk∏adów 3, 4
i wartoÊci offsetu 1,0 mm
Uk∏ad równaƒ (1) utworzono w odniesieniu do
wszystkich punktów po∏àczenia segmentów Béziera.
Natomiast wektory a0 i an obliczane sà na podstawie
równaƒ (2) i (3).
(2)
(3)
28
ROK WYD. LXX 앫 ZESZYT 7-8/2011
Na rys. 3 – 8 przedstawiono wybrane wyniki badaƒ numerycznych dla wartoÊci offsetu 1,0 mm
i 2,0 mm.
Rys. 7. Wyniki badaƒ numerycznych dla przyk∏adów 3, 4
i wartoÊci offsetu 2,0 mm
Rys. 5. Wyniki badaƒ numerycznych dla przyk∏adów 5, 6
i wartoÊci offsetu 1,0 mm
Rys. 8. Wyniki badaƒ numerycznych dla przyk∏adów 5, 6
i wartoÊci offsetu 2,0 mm
Rys. 6. Wyniki badaƒ numerycznych dla przyk∏adów 1, 2
i wartoÊci offsetu 2,0 mm
Badania doÊwiadczalne
Badania doÊwiadczalne przeprowadzono z wykorzystaniem wspó∏rz´dnoÊciowej maszyny pomiarowej LH 87 (MPEE = 2,0+(L/300) µm, MPEP = 2,0 µm)
wyposa˝onej w g∏owic´ pomiarowà SP25M
(MPETij = 2,6 µm, MPTτij = 72,0 s) i oprogramowanie
pomiarowe Metrosoft.
Pierwszym celem badaƒ doÊwiadczalnych, podobnie jak w przypadku badaƒ numerycznych, by∏o
porównanie liczby punktów kontrolnych oraz czasu
obliczeƒ krzywej offset dla wybranych wartoÊci
tolerancji na przyk∏adzie rzeczywistego przedmiotu
ROK WYD. LXX 앫 ZESZYT 7-8/2011
(rys. 9). Obliczenia przeprowadzono dla nast´pujàcych wartoÊci tolerancji danej krzywej offset:
0,0001; 0,001; 0,005; 0,01; 0,05; 0,1; 0,5 mm.
Drugim celem badaƒ doÊwiadczalnych by∏o porównanie krzywej offset, reprezentujàcej skorygowane punkty pomiarowe, z metodà korekcji promienia
koƒcówki trzpienia g∏owicy pomiarowej, która jest
realizowana przez oprogramowanie wspó∏rz´dnoÊciowej maszyny pomiarowej.
Badania doÊwiadczalne przeprowadzono dla pi´ciu
krzywych b´dàcych wybranymi przekrojami danego
przedmiotu mierzonego (rys. 9), pr´dkoÊci skanowania 4 mm/s, kroków próbkowania: 0,1; 1,0 mm
i wartoÊci offsetu 1,00005 mm. WartoÊç offsetu wynika∏a z procesu kwalifikacji. Badania doÊwiadczalne
przeprowadzono z korekcjà i bez korekcji promienia
koƒcówki trzpienia pomiarowego.
29
Dodatkowo przeprowadzono pomiary przedmiotu,
którego powierzchnia górna ma zmiennà krzywizn´
tylko w jednym kierunku (rys. 11). W tab. II przedstawiono odchy∏ki mi´dzy obliczonymi krzywymi offset a punktami pomiarowymi skorygowanymi obliczonymi przez oprogramowanie wspó∏rz´dnoÊciowej maszyny pomiarowej.
Rys. 9. Przedmiot mierzony w trakcie badaƒ doÊwiadczalnych
Wyniki dotyczàce porównania liczby punktów kontrolnych i czasu obliczeƒ krzywej offset dla ró˝nych
wartoÊci tolerancji przedstawiono na wybranych
dwóch przyk∏adach na rys. 10. Odchy∏ki mi´dzy obliczonymi krzywymi offset a punktami pomiarowymi
skorygowanymi i obliczonymi przez oprogramowanie
wspó∏rz´dnoÊciowej maszyny pomiarowej przedstawiono w tab. I.
Rys. 11. Przedmiot mierzony o zmiennej krzywiênie w jednym
kierunku
Podsumowanie
Przedstawiona metoda obliczania krzywej offset
zosta∏a wykorzystana do korekcji promienia koƒcówki
trzpienia g∏owicy pomiarowej dla przypadku pomiaru powierzchni swobodnych na obrabiarce CNC.
Zastosowanie metody umo˝liwia wykorzystanie do
pomiaru powierzchni swobodnych cykli pomiarowych dost´pnych w ramach oprogramowania
INSPECTION PLUS. To rozwiàzanie jest alternatywà
dla stosowania zaawansowanych programów
CAD/CAI. Dodatkowo zaletà metody obliczania krzywej offset jest mo˝liwoÊç uwzgl´dnienia informacji
o rzeczywistym kszta∏cie mierzonego przedmiotu.
LITERATURA
Rys. 10. Wyniki badaƒ doÊwiadczalnych dla krzywych 1, 2
TABELA I. Odchy∏ki mi´dzy
krzywà offset a punktami pomiarowymi skorygowanymi
Nr
krzywej
Odchy∏ka, mm
1
2
3
4
5
0,012
0,008
0,007
0,004
0,004
30
TABELA II. Odchy∏ki mi´dzy
krzywà offset a punktami pomiarowymi skorygowanymi
(drugi przedmiot mierzony)
Nr
krzywej
Odchy∏ka, mm
1
0,014
2
0,008
1. Juras B.: Metoda pomiaru zarysu o zmiennej krzywiênie
na wielowspó∏rz´dnoÊciowej maszynie pomiarowej. Praca
doktorska, Wydzia∏ Mechaniczny, Politechnika Krakowska,
Kraków 1997.
2. Szelewski M.: Metrologiczna analiza dyskretyzacji na
wspó∏rz´dnoÊciowych maszynach pomiarowych i modelowania w systemie CAD wybranych elementów w procesie
in˝ynierii odwrotnej. Praca doktorska, Wydzia∏ Budowy
Maszyn i Zarzàdzania, Politechnika Poznaƒska, Poznaƒ 2008.
3. Liang S.-R., Lin A. C.: Probe-radius compensation for 3D
data points in reverse engineering. Computers in Industry
No. 48/2002, pp. 2241 – 2251.
4. Lin Y. C., Sun W. I.: Probe Radius Compensated by the MultiCross Product Method in Freeform Surface Measurement
with Touch Trigger Probe CMM. The International Journal
of Advanced Manufacturing Technology No. 21/2003, pp.
902 – 909.
5. Wójcik A.: Metoda oceny dok∏adnoÊci odwzorowania powierzchni swobodnych w zastosowaniu do in˝ynierii
odwrotnej. Praca doktorska, Wydzia∏ Mechaniczny, Politechnika Krakowska, Kraków 2005.
6. Jagoda J., Karbowski K., Komenda Z.: Ocena dok∏adnoÊci
wybranych metod korekcji promieniowej koƒcówki pomiarowej. Przeglàd Mechaniczny nr 9/2007/S, ss. 146 – 152.
7. Woêniak A., Mayer J. R. R., Ba∏aziƒski M.: Stylus tip envelop
method: corrected measured point determination in high
definition coordinate metrology. The International Journal
of Advanced Manufacturing Technology No. 42/2009, pp.
505 – 514.
ROK WYD. LXX 앫 ZESZYT 7-8/2011