zestaw nr 20.

20. Definicje i przykłady podstawowych struktur
algebraicznych (grupy, pierścienie, ciała,
przestrzenie liniowe). Pojęcia dotyczące
przestrzeni liniowych (liniowa zależność i
niezależność układu wektorów, baza i wymiar
przestrzeni)
1
Niech G oznacza dowolny, niepusty zbiór.
1.1
Definicja
Działaniem wewnętrznym w niepustym zbiorze G nazywamy funkcję działającą
ze zbioru G x G w zbiór G.
Tradycyjnie znak funkcji będącej działaniem wewnętrznym umieszczamy pomiędzy argumentami: wynik dodawania + liczb rzeczywistych x oraz y zapisujemy
jako x + y w miejsce mniej intuicyjnego +(x,y).
1.2
Przykład
1. Dodawanie i mnożenie są działaniami wewnętrznymi w zbiorach N, Z, Q, oraz R
podczas gdy odejmowanie jest działaniem wewnętrznym tylko w zbiorach Z, Q, R,
zaś dzielenie w zbiorach Q\{0} oraz R\{0}.
2. Odejmowanie w N dzielenie w Z czy też dzielenie w Q nie są działaniami
wewnętrznymi.
1.3
Definicja
Działaniem zewnętrznym w zbiorze G nazywamy każdą funkcje f : K × G → G,
gdzie K jest dowolnym niepustym zbiorem. Nazywamy go zbiorem skalarów.
1
1.4
Przykład
G-zbiór wektorów na płaszczyznie, K = R Niech symbol ” · ” oznacza działanie
zewnętrzne w zbiorze.
1.5
Definicja
1. Przemiennym, jeżeli x · y = y · x dla każdego x, y ∈ G.
2. Łącznym, jezeli (x · y) · z = x · (y · z) dla każdego x, y, z ∈ G.
1.6
Uwaga!
Dwie wymienione własności działań występują niezależnie od siebie, tzn. istnieją
działania, które są łączne, ale nie są przemienne; przemienne, ale nie łaczne;
występują obie własności lub żadne z tych własności.
1.7
Definicja
Półgrupą nazywamy dowolny, niepusty zbiór G wraz z działaniem wewnętrznym
·, które jest działaniem łącznym.
1.8
Definicja
Grupą nazywamy parę uporządkowaną(G, ·), gdzie G jest zbiorem niepustym, zaś
· działaniem wewnętrznym w tym zbiorze, spełniającym warunki:
(G1)
∀a,b,c∈G
(G2)
∃e∈G ∀a∈G
(G3)
∀a∈G ∃a−1 ∈G
(a · b) · c = a · (b · c)
(łączność)
a·e=e·a=a
(element neutralny)
a · a−1 = a−1 · a = e
(elementy odwrotne)
Jeżeli ponadto spełniony jest warunek
(G4)
∀a,b∈G
a·b=b·a
(przemienność)
to parę (G, ·) nazywamy grupą abelową.
1.9
Przykład
1. (Z, +) , (Q, +) , (R, +) , (Q\{0}, ·) , (R\{0}, ·) są grupami abelowymi.
Grupy, w których działaniem jest dodawanie nazywamy grupami addytywnymi, zaś z mnożeniem - grupami multiplikatywnymi.
2. (Zn , +n ) jest grupą abelową, zaś (Zn \{0}, ·n ) jest grupą (także abelową)
wtedy i tylko wtedy, gdy n jest liczbą pierwszą.
2
1.10
Stwierdzenie
1. Istnieje dokładnie jeden element neutralny.
2. Dla dowolnego elementu istnieje dokładnie jeden element do niego odwrotny.
Dowód: Niech (G, ·) bedzie grupą.
1. Jeżeli e, e’ są elementami neutranymi w grupie G, to z (G2) wynika, że
e0 = ee0 = e.
2. Jeżeli a0 , a00 ∈ G są elementami odwrotnymi do a, to
G2
G3
G1
G3
G2
a00 = ea00 = (a0 a)a00 = a0 (aa00 ) = a0 e = a0
1.11
Stwierdzenie
W grupie (G, ·):
1.
∀a∈G
2.
∀a,b∈G
(a−1 )−1 = a
(ab)−1 = b−1 a−1
Dowód: Dla dowolnych a, b ∈ G zachodzi równości:
G3
G2
G1
G2
G2
1.
(a−1 )−1 = (a−1 )−1 e = (a−1 )−1 (a−1 a) = ((a−1 )−1 a−1 )a = ea = a
2.
(ab)(b−1 a−1 ) = ((ab)b−1 )a−1 = (a(bb−1 ))a−1 = (ae)a−1 = aa−1 = e
G1
G1
G3
G2
G3
Równość (b−1 a−1 )(ab) = e sprawdzamy analogicznie.
1.12
Definicja
Niech (G, ·) będzie grupą. Niepusty podzbiór K ⊂ G nazywamy podgrupą grupy
G, gdy
(SG)
∀a,b∈K
ab−1 ∈ K
Piszemy wówczas K < G.
Jeżeli ponadto spełniony jest warunek
(NSG)
∀k∈K ∀a∈G
aka−1 ∈ K
to mówimy, że K jest dzielnikiem normalnym grupy G i piszemy K E G.
1.13
Przykład
1. Podgrupami dowolnej grupy G jest ona sama G < G jak i jej podzbiór
jednoelementowy złożony tylko z elementu neutralnego.
2. Z < (Q, +) oraz Z < (R, +)
3. Q\{0} < (R\{0}, ·)
4. Każda podgrupa grupy abelowej jest jej dzielnikiem normalnym.
3
2
2.1
Definicja
Pierścieniem nazywamy trójkę uporządkowaną (P, +, ·), gdzie P jest zbiorem niepustym zaś + i · są działaniami wewnętrznymi w zbiorze P, spełniającą warunki
(P1)
∀a,b,c∈P
(a + b) + c = a + (b + c)
(P2)
∃0∈P ∀a∈P
a+0=0+a=a
(P3)
∀a∈P ∃−a∈P
(P4)
∀a,b∈P
(P5)
∀a,b,c∈P
(P6)
(element neutralny dodawania)
a + (−a) = (−a) + a = 0
a+b=b+a
(łączność dodawania)
(elementy przeciwne)
(przemienność dodawania)
(a · b) · c = a · (b · c)
(łączność mnożenia)
∀a,b,c∈P
(a · (b + c)) = (a · b) + (a · c) ∧ (b + c) · a = (b · a) + (c · a))
(rozdzielność mnożenia względem dodawania).
Mówimy o pierścieniu przemiennym, jeżeli ponadto spełniony jest warunek
(P7)
∀a,b∈P
a·b=b·a
(przemienność mnożenia)
zaś o pierścieniu z jednością, gdy oprócz warunków (P1)-(P6) spełniony jest warunek
(P8)
∃1∈P ∀a∈P
a·1=1·a=a
(element neutralny mnożenia),
Używając pojęcia grupy można krótko powiedzieć, że pierścieniem jest trójka
(P, +, ·),w której (P, +) jest grupą abelową, a mnożenie · jest łączne i rozdzielne
względem dodawania + ( jak w warunkach (P5) i (P6)).
2.2
Przykład
1. Pierścieniami przemiennymi z jednością są (Z, +, ·) , (Q, +, ·) oraz (R, +, ·).
2. Dla dowolnego naturalnego n ≥ 2 pierścieniem przemiennym z jednością jest
(Zn , +n , ·n ).
2.3
Definicja
Pierścień przemienny z jednością (P, +, ·) nazywamy pierścieniem całkowitym,
jeżeli nie ma w nim dzielników zera, tzn.
∀a,b∈P (a · b = 0 ⇒ (a = 0 ∨ b = 0)).
4
3
3.1
Definicja
Ciałem nazywamy trójkę uporządkowaną (F, +, ·), gdzie F jest zbiorem o co najmniej dwóch elementach zaś + i · są działaniami wewnętrznymi w zbiorze F,
spełniającą warunki
(F1)
∀a,b,c∈F
(a + b) + c = a + (b + c)
(F2)
∃0∈F ∀a∈F
a+0=0+a=a
(F3)
∀a∈F ∃−a∈F
(F4)
∀a,b∈F
(F5)
działanie · ograniczone do F \{0} jest działaniem wewnętrznym
(F6)
∀a,b,c∈F
(F7)
∃1∈F \{0} ∀a∈F
(F8)
∀a∈F \{0} ∃a−1 ∈F \{0}
(F9)
∀a,b∈F
(F10)
∀a,b∈F
dodawania)
(łączność dodawania)
(element neutralny dodawania)
a + (−a) = (−a) + a = 0
a+b=b+a
(elementy przeciwne)
(przemienność dodawania)
(a · b) · c = a · (b · c)
a·1 = 1·a = a
(łączność mnożenia)
(element neutralny mnożenia)
a · a−1 = a−1 · a = 1
a·b=b·a
(elementy odwrotne)
(przemienność mnożenia)
a · (b + c) = (a · b) + (a · c)
(rozdzielność mnożenia względem
Używając pojęcia grupy można krótko powiedzieć że ciałem jest trójka (F, +, ·),
w której (F, +) jest grupą abelową, (F \{0}, ·) jest grupą abelową, a mnożenie ·
rozdzielne względem dodawania + (jak w warunkach (R5) i (R6)).
Używając pojęcia pierścienia można krótko powiedzieć że ciałem jest pierścień całkowity bez dzielników zera i taki, w którym każdy niezerowy element ma element
odwrotny.
3.2
Przyklad
1. (Q, +, ·) oraz (R, +, ·) są ciałami
2. Jeżeli p jest liczbą piewszą, to (Zp , +p , ·p ) jest ciałem.
√
√
3. Zbiór Q( 2) = {x + y 2; x, y ∈ Q} ⊂ R z działaniami dodawania i mnożenia pochodzącymi z R jest ciałem.
3.3
Definicjia
Ciałem algebraicznie domkniętym nazywamy ciało F takie, że każdy wielomian z
F [x] stopnia dodatniego posiada pierwiastek należący do F .
5
3.4
Przykład
1. Ciało Q ani R nie są algebraicznie domknięte, bo wielomian x2 + 1 nie ma
w nich pierwiastka
2. Zadne z ciał Zp nie jest algebraicznie domknięte, bo w ciele Zp wielomian
x · (x − 1) · . . . · (x − (p − 1)) + 1 nie ma pierwiastka.
4
4.1
Definicja
Przestrzenią liniową nad ciałem F nazywamy czwórkę uporządkowaną (V, F, +, ·),
gdzie V jest zbiorem niepustym, F jest ciałem, + jest działaniem wewnętrznym
w zbiorze V , a · : F × V → V , spełniającą warunki
(V1)
∀u,v,w∈V
(V2)
∃θ∈V ∀v∈V
(V3)
∀v∈V ∃−v∈V
(V4)
∀u,v∈V
(u+v)+w = u+(v+w)
a+θ =θ+a=a
(łączność dodawania wektorów)
(wektor zerowy)
v + (−v) = (−v) + v = 0
u+v = v +u
(wektory przeciwne)
(przemienność dodawania wektorów)
(V5)
∀u,v∈V ∀a∈F
a · (u + v) = (a · u) + (a · v)
(rozdzielność mnożenia względem dodawania wektorów)
(V6)
∀v∈V ∀a,b∈F
(a + b) · v = (a · v) + (b · v)
(rozdzielność mnożenia względem dodawania skalarów)
(V7)
∀v∈V ∀a,b∈F
(V8)
∀v∈V
a·(b·v) = (ab)·v
(mieszana łączność mnożenia)
1·v =v
Elementy zbioru V nazywami wektorami, elementy ciała F nazywamy skalarami,
działanie + nazywamy dodawaniem wektorów, a działanie · nosi miano mnożenia
wektora przez skalar.
Gdy chcemy posłużyć się tylko nazwą zbioru wektorów do oznaczenia przestrzeni
liniowej, a mogą zachodzić wątpliwości nad jakim ciałem ją rozpatrujemy, piszemy
VF .
Przestrzeń liniową nazywamy inaczej przestrzenią wektorową.
Warunki (V1)-(V4) mówią że (V, +) jest grupą abelową. Stosowanie tych samych symboli na oznaczenie działań w ciele i działań na wektorach nie prowadzi
do braku jednoznaczności, gdyż działania dodawania i mnożenia w ciele przekształcają F × F w F , podczas gdy dodawanie wektorów działa z V × V do V , a
mnożenie wektora przez skalar z F × V w V .
6
4.2
Przykład
Rozważając w jednoelementowym zbiorze V = {v} jedyne możliwe działanie jako
dodawanie oraz dla dowolnego ciała F mnożenie dane wzorem F × V 3 (a, v) →
v ∈ V otrzymujemy jednoelementową przestrzeń liniową, zwaną przestrzenią zerową.
Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem F .
4.3
Definicja
Podprzestrzenią liniową przestrzeni liniowej V nazywamy taki niepusty podzbiór
U ⊂ V , że
(VS)
4.4
∀u1 ,u2 ∈U ∀a1 ,a2 ∈F
a1 · u1 + a2 · u2 ∈ U .
Stwierdzenie
Niepusty podzbiór U ⊂ V jest podprzestrzenią liniową przestrzeni liniowej V
wtedy i tylko wtedy, gdy
(VS1)
∀u1 ,u2 ∈U
(VS2)
∀u∈U ∀a∈F
u1 + u2 ∈ U
a·u∈U
Dowód: ⇒) (VS1) wynika z podstawienia a1 = a2 = 1 i aksjomatu (V8), zaś
(VS2) z podstawienia u2 = θ i stwierdzenia z wykładu.
⇐) Dla u1 , u2 ∈ U oraz a1 , a2 ∈ F mamy na podstawie (VS2), że a1 ·u1 , a2 ·u2 ∈ U .
Warunek (VS1) gwarantuje, że suma dowolnych elementów ze zbioru U należy do
U , czyli także a1 · u1 + a2 · u2 ∈ U .
5
Niech V bedzię przestrzenią liniową nad ciałem F.
5.1
Definicja
Układ wektorów (vi )i∈I z przestrzeni V nazywamy układem liniowo niezależnym,
jeżeli jedyną kombinacją liniową układu (vi )i∈I równą θ jest ta, której wszystkie
współczynniki są równe 0, czyli gdy
(LI)
∀(ai )i ∈I
X
(
ai · vi = θ ⇒ ∀i∈I ai = 0),
i∈I
gdzie ∀i∈I ai ∈ F oraz {i ∈ I; ai 6= 0} < ∞
Układem liniowo zależnym nazywamy taki, który nie jest liniowo niezależny.
W przypadku układu skończonego (v1 , . . . , vn ) warunek (LI) można zapisać w
postaci
∀a1 ,...,an ∈F
(a1 · v1 + · · · + an · vn = θ ⇒ a1 = · · · = an = 0).
7
6
6.1
Stwierdzenie
Układ wektorów jest liniowo zależny wtedy i tylko wtedy, gdy jeden z jego wektorów jest kombinacją liniową pozostałych wektorów tego układu.
6.2
Przykład
1. Układ zawierający wektor θ jest liniowo zależny.
Istotnie, jeżeli vk = θ dla pewnego k ∈ I to, kładąc ak = 1 oraz ai = 0 dla
i 6= k, otrzymujemy
X
ai · v i =
i∈I
X
0 · vi + 1 · θ = θ,
i∈I\{k}
co wraz z ak = 1 6= 0 daje zależność układu (vi )i∈I
2. Układ zawierający dwa wektory równe jest liniowo zależny.
Istotnie, wystarczy wybrać współczynniki 1, −1 ∈ F przy dwóch równych
wektorach i 0 przy pozostałych oraz korzystać ze stwierdzenia z wykładu.
3. Dwa wektory u, v ∈ V są równoległe, co zapisujemy ukv, jeżeli któryś z nich
jest iloczynem drugiego przez skalar.
Układ (u, v) jest liniowo zależny wtedy i tylko wtedy, gdy ukv.
Istotnie, jeżeli układ jest liniowo zależny, to istnieją a, b ∈ F , nierówne
jednocześnie 0, spełniające warunek a · u + b · v = θ. Jeżeli a 6= 0, to
· v, a więc ukv. Analogicznie dla b 6= 0.
u = −b
a
Na odwrót, jeżeli istnieje c ∈ F takie, że u = c · v, to (−1) · u + c · v = θ oraz
−1 6= 0, skąd układ (u, v) jest liniowo zależny.
7
7.1
Definicja
Bazą przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależny układ jej wektorów, który
generuje tę przestrzeń.
Innymi słowy, układ B = (vi )i∈I wektorów z przestrzeni V jest bazą tej przestrzeni,
gdy
(B1)
B jest liniowo niezależny
(B2)
V = lin(B)
8
7.2
Przykład
1. Układ pusty jest bazą przestrzeni liniowej trywialnej {θ}
2. Jeżeli v 6= θ, to układ (v) jest bazą przestrzeni lin(v)
3. Jeżeli (vi )i∈I jest bazą przestrzeni V , zaś σ : I → I bijekcją, to układ
(vσ(i) )i∈I jest bazą przestrzeni V .
4. Układ (e1 , . . . , en ) jest bazą przestrzeni F n . Nazywamy ją bazą kanoniczną
przstrzeni F n .
5. Układ (1, x, x2 , x3 , . . . ) jest bazą przestrzeni F [x], a układ (1, x, x2 , . . . , xn )
jest bazą przestrzeni F [x]n .
6. Układ (1, i) jest bazą przestrzeni CR .
9