2 lista zadań z matematyki – ZIF. Zarządzanie. I rok. Dzienne

2 lista zadań z matematyki – ZIF. Zarządzanie. I rok. Dzienne
Rachunek wektorów. Przestrzenie liniowe. Liniowa niezależność wektorów. Iloczyn skalarny.
1. Wyznaczyć wszystkie (o ile istnieją) kombinacje liniowe wektorów
dające wektor ;
a)
= (−1,1,5),
= (−2,1,3),
= (1,0,2), = (−3,1, −1);
b)
= (−1,1,5),
= (−2,1,3),
= (1,0,2), = (−3,1,4);
c)
= (1,0,2),
= (−1,1,0),
= (0,1,1), = (−1,3,3);
d)
= (2, −1,4,3),
= (0,2,3,1),
= (−2,5,2, −1),
= (6, −9,3,6).
2. Sprawdzić liniową niezależność układów wektorów rozwiązując odpowiedni układ równań;
a) = (3, −5,2),
= (1,5, −3),
= (2, −10,5);
b) = (3, −5,2),
= (1,5, −3),
= (2, −10,6);
c) = (3, −1,1,0),
= (1,3, −2,2),
= (0,4, −3,2).
3. a) Czy wektory z zadania 2 tworzą bazy odpowiednich przestrzeni liniowych?
b) Czy wektor (3, 5, √7) jest liniową kombinacją wektorów z zadania 2b?
4. Wykazać (korzystając z definicji), że układ wektorów liniowo niezależnych nie zawiera wektora
zerowego.
5. Sprawdzić liniową niezależność układów wektorów z zadania 2 metodą redukcji macierzy.
6. Niech będzie dowolnym niepustym podzbiorem wektorów z przestrzeni . Wykazać, że
liniowa otoczka zbioru (czyli zbiór wszystkich skończonych kombinacji liniowych wektorów
należących do zbioru ) jest liniową podprzestrzenią przestrzeni .
7. Które z podzbiorów są podprzestrzeniami liniowymi odpowiednich przestrzeni liniowych:
a) = {( , ) ∈ : = 0};
b) = {( , ) ∈ : = 3};
c) = {( , ) ∈ : ≥ 0};
d) = {( , ) ∈ : = 3 };
e) = {( , ) ∈ : 2 − = 1};
f) = {( , , ) ∈ : 3 − 5 − = 0 2 − = 0}
g) = {( , , ) ∈ : 2 − 5 − = 0}; h) = {( , ) ∈ : +
=4
i) = {( , , ) ∈ : = 0};
j)
= {( , , , ) ∈ : 2 + − = 0 5 − = 0}.
8. Obliczyć długości wektorów: = (1,3,5), = (−1,2), = (2,0,1,5).
9. Wyznaczyć iloczyn skalarny wektorów oraz cosinus kąta między nimi:
a) = (1,5), = (−2,3); b) = (1,1,5),
= (0, −2,3); c) = (2,1,1, −3), = (3,0,3,3).
W których przypadkach wektory są do siebie prostopadłe?
10. Wykazać, że w przestrzeni
wektory bazy kanonicznej są wzajemnie prostopadłe, tzn.
= 0 dla , = 1,2, … , ; ≠ .
Obowiązują dodatkowo odpowiednie zadania z książki R. Antoniewicz, A. Misztal: Matematyka
dla studentów ekonomii