Macierze Lekcja III: Układy równań i ich związek z macierzami

Macierze
Lekcja III: Układy równań i ich związek z
macierzami
Marek Skarupski
Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej
Marek Skarupski
Macierze Lekcja III: Układy równań i ich związek z macierzami
Układy równań i ich rodzaje
Układem równań liniowych to pewna ilość (co najmniej dwóch) równań.
Marek Skarupski
Macierze Lekcja III: Układy równań i ich związek z macierzami
Układy równań i ich rodzaje
Układem równań liniowych to pewna ilość (co najmniej dwóch) równań.
Przykład:

x + 2y − 3z + 4t = 9


2x − y + 5z − t = 3

−x + y + z − 4t = −2



5x + 8y + 3z − 7t = 0
Marek Skarupski
Macierze Lekcja III: Układy równań i ich związek z macierzami
Układy równań i ich rodzaje
Układem równań liniowych to pewna ilość (co najmniej dwóch) równań.
Przykład:

x + 2y − 3z + 4t = 9


2x − y + 5z − t = 3

−x + y + z − 4t = −2



5x + 8y + 3z − 7t = 0
Układem jednorodnym nazywamy układ równań, w którym wyrazy wolne
są równe 0
Marek Skarupski
Macierze Lekcja III: Układy równań i ich związek z macierzami
Układy równań i ich rodzaje
Układem równań liniowych to pewna ilość (co najmniej dwóch) równań.
Przykład:

x + 2y − 3z + 4t = 9


2x − y + 5z − t = 3

−x + y + z − 4t = −2



5x + 8y + 3z − 7t = 0
Układem jednorodnym nazywamy układ równań, w którym wyrazy wolne
są równe 0

x + 2y − 3z + 4t = 0



2x − y + 5z − t = 0

−x + y + z − 4t = 0



5x + 8y + 3z − 7t = 0
Marek Skarupski
Macierze Lekcja III: Układy równań i ich związek z macierzami
Układy równań i ich rodzaje
W zależności od ilości rozwiązań danego układu wyróżniamy trzy typy
układów rówań:
Marek Skarupski
Macierze Lekcja III: Układy równań i ich związek z macierzami
Układy równań i ich rodzaje
W zależności od ilości rozwiązań danego układu wyróżniamy trzy typy
układów rówań:
Układ oznaczony: posiadający dokładnie jedno rozwiązanie. Należy
pamiętać, że rozwiązaniem układu równań nie jest pojedyncza
liczba, ale wektor!
Marek Skarupski
Macierze Lekcja III: Układy równań i ich związek z macierzami
Układy równań i ich rodzaje
W zależności od ilości rozwiązań danego układu wyróżniamy trzy typy
układów rówań:
Układ oznaczony: posiadający dokładnie jedno rozwiązanie. Należy
pamiętać, że rozwiązaniem układu równań nie jest pojedyncza
liczba, ale wektor!
Układ sprzeczny: nie posiadający rozwiązań.
Marek Skarupski
Macierze Lekcja III: Układy równań i ich związek z macierzami
Układy równań i ich rodzaje
W zależności od ilości rozwiązań danego układu wyróżniamy trzy typy
układów rówań:
Układ oznaczony: posiadający dokładnie jedno rozwiązanie. Należy
pamiętać, że rozwiązaniem układu równań nie jest pojedyncza
liczba, ale wektor!
Układ sprzeczny: nie posiadający rozwiązań.
Układ nieoznaczony: posiadający nieskończenie wiele rozwiązań. Tu
nadmieniamy, iż jednak te rozwiązania są związane ze sobą wzajemie
i zależą od wspólnych parametrów.
Marek Skarupski
Macierze Lekcja III: Układy równań i ich związek z macierzami
Układ oznaczony
Rozważmy następujący układ równań:
(
2x + y = 2
x −y =4
Marek Skarupski
Macierze Lekcja III: Układy równań i ich związek z macierzami
Układ oznaczony
Rozważmy następujący układ równań:
(
2x + y = 2
x −y =4
Rozwiązaniem tego układu są liczby x = 2, y = −2, co możemy zapisać
jako wektor [2, −2]. (Czasami wektory zapisuje się w zwykłych okrągłych
nawiasach: (2, −2). Każdy zapis jest poprawny.)
Marek Skarupski
Macierze Lekcja III: Układy równań i ich związek z macierzami
Układ sprzeczny
Rozważmy układ równań:
(
Marek Skarupski
Macierze Lekcja III: Układy równań i ich związek z macierzami
2x + y = 2
4x + 2y = 1
Układ sprzeczny
Rozważmy układ równań:
(
2x + y = 2
4x + 2y = 1
Łatwo zauważyć, że jeśli pomnożymy pierwsze równanie stronami przez 2
to dostaniemy po lewej stronie każdego z równań taką samą zależność,
ale ma być ona przyporządkowana różnym liczbom w tym samym
momencie.
Marek Skarupski
Macierze Lekcja III: Układy równań i ich związek z macierzami
Układ sprzeczny
Rozważmy układ równań:
(
2x + y = 2
4x + 2y = 1
Łatwo zauważyć, że jeśli pomnożymy pierwsze równanie stronami przez 2
to dostaniemy po lewej stronie każdego z równań taką samą zależność,
ale ma być ona przyporządkowana różnym liczbom w tym samym
momencie. To tak jakby powiedzieć, że Ala i Bob mają razem 2 złote, ale
gdy pomnożymy ich majątek przez 2 to razem mają 1 zł. Oczywiście jest
to nieprawda.
Marek Skarupski
Macierze Lekcja III: Układy równań i ich związek z macierzami
Układ nieoznaczony
Rozważmy układ równań
(
Marek Skarupski
Macierze Lekcja III: Układy równań i ich związek z macierzami
2x + y = 2
4x + 2y = 4
Układ nieoznaczony
Rozważmy układ równań
(
2x + y = 2
4x + 2y = 4
Tym razem widać, że drugie równanie jest takie samo jak pierwsze, tyle
że przemnożone przez 2. Nie wnosi ono żadnej nowej informacji, stąd
możemy je pominąć. Zwróćmy uwagę, że z pierwszego możemy
wyznaczyć zminenną y :
y = 2 − 2x.
Marek Skarupski
Macierze Lekcja III: Układy równań i ich związek z macierzami
Układ nieoznaczony
Rozważmy układ równań
(
2x + y = 2
4x + 2y = 4
Tym razem widać, że drugie równanie jest takie samo jak pierwsze, tyle
że przemnożone przez 2. Nie wnosi ono żadnej nowej informacji, stąd
możemy je pominąć. Zwróćmy uwagę, że z pierwszego możemy
wyznaczyć zminenną y :
y = 2 − 2x.
Nasz układ ma nieskończenie wiele rozwiązań. Rozwiązaniem są pary
(x, y )
Marek Skarupski
Macierze Lekcja III: Układy równań i ich związek z macierzami
Układ nieoznaczony
Rozważmy układ równań
(
2x + y = 2
4x + 2y = 4
Tym razem widać, że drugie równanie jest takie samo jak pierwsze, tyle
że przemnożone przez 2. Nie wnosi ono żadnej nowej informacji, stąd
możemy je pominąć. Zwróćmy uwagę, że z pierwszego możemy
wyznaczyć zminenną y :
y = 2 − 2x.
Nasz układ ma nieskończenie wiele rozwiązań. Rozwiązaniem są pary
(x, y ) = (x, 2 − 2x)
Marek Skarupski
Macierze Lekcja III: Układy równań i ich związek z macierzami
Układ nieoznaczony
Rozważmy układ równań
(
2x + y = 2
4x + 2y = 4
Tym razem widać, że drugie równanie jest takie samo jak pierwsze, tyle
że przemnożone przez 2. Nie wnosi ono żadnej nowej informacji, stąd
możemy je pominąć. Zwróćmy uwagę, że z pierwszego możemy
wyznaczyć zminenną y :
y = 2 − 2x.
Nasz układ ma nieskończenie wiele rozwiązań. Rozwiązaniem są pary
(x, y ) = (x, 2 − 2x) = (0, 2) + (x, −2x)
Marek Skarupski
Macierze Lekcja III: Układy równań i ich związek z macierzami
Układ nieoznaczony
Rozważmy układ równań
(
2x + y = 2
4x + 2y = 4
Tym razem widać, że drugie równanie jest takie samo jak pierwsze, tyle
że przemnożone przez 2. Nie wnosi ono żadnej nowej informacji, stąd
możemy je pominąć. Zwróćmy uwagę, że z pierwszego możemy
wyznaczyć zminenną y :
y = 2 − 2x.
Nasz układ ma nieskończenie wiele rozwiązań. Rozwiązaniem są pary
(x, y ) = (x, 2 − 2x) = (0, 2) + (x, −2x) = (0, 2) + x · (1, −2).
Marek Skarupski
Macierze Lekcja III: Układy równań i ich związek z macierzami
Układ nieoznaczony
Rozważmy układ równań
(
2x + y = 2
4x + 2y = 4
Tym razem widać, że drugie równanie jest takie samo jak pierwsze, tyle
że przemnożone przez 2. Nie wnosi ono żadnej nowej informacji, stąd
możemy je pominąć. Zwróćmy uwagę, że z pierwszego możemy
wyznaczyć zminenną y :
y = 2 − 2x.
Nasz układ ma nieskończenie wiele rozwiązań. Rozwiązaniem są pary
(x, y ) = (x, 2 − 2x) = (0, 2) + (x, −2x) = (0, 2) + x · (1, −2). x ∈ R jest
tutaj parametrem: dowolną liczbą rzeczywistą.
Marek Skarupski
Macierze Lekcja III: Układy równań i ich związek z macierzami
Układ nieoznaczony
Rozważmy układ równań
(
2x + y = 2
4x + 2y = 4
Tym razem widać, że drugie równanie jest takie samo jak pierwsze, tyle
że przemnożone przez 2. Nie wnosi ono żadnej nowej informacji, stąd
możemy je pominąć. Zwróćmy uwagę, że z pierwszego możemy
wyznaczyć zminenną y :
y = 2 − 2x.
Nasz układ ma nieskończenie wiele rozwiązań. Rozwiązaniem są pary
(x, y ) = (x, 2 − 2x) = (0, 2) + (x, −2x) = (0, 2) + x · (1, −2). x ∈ R jest
tutaj parametrem: dowolną liczbą rzeczywistą.
Zauważmy, że jeśli w układzie jest mniej równań niż zmiennych to
oczywistym jest, że nie będzie to układ oznaczony.
Marek Skarupski
Macierze Lekcja III: Układy równań i ich związek z macierzami
Fundamentalny układ rozwiązań
Rozwiażmy przykład.
(
2x + y + 2z = 2
4x + 2y + z = 1
Jest to układ niejednorodny i na pewno nie jest oznaczony. Łatwo
zauważyć, że jednym z jego rozwiązań jest wektor (0, 0, 1).
Marek Skarupski
Macierze Lekcja III: Układy równań i ich związek z macierzami
Fundamentalny układ rozwiązań
Rozwiażmy przykład.
(
2x + y + 2z = 2
4x + 2y + z = 1
Jest to układ niejednorodny i na pewno nie jest oznaczony. Łatwo
zauważyć, że jednym z jego rozwiązań jest wektor (0, 0, 1). Sprowadźmy
go do układu jednorodnego:
Marek Skarupski
Macierze Lekcja III: Układy równań i ich związek z macierzami
Fundamentalny układ rozwiązań
Rozwiażmy przykład.
(
2x + y + 2z = 2
4x + 2y + z = 1
Jest to układ niejednorodny i na pewno nie jest oznaczony. Łatwo
zauważyć, że jednym z jego rozwiązań jest wektor (0, 0, 1). Sprowadźmy
go do układu jednorodnego:
(
2x + y + 2z = 0
4x + 2y + z = 0
Marek Skarupski
Macierze Lekcja III: Układy równań i ich związek z macierzami
Fundamentalny układ rozwiązań
Fundamentalnym układem rozwiązań układu niejednorodnego równań
nazywamy rozwiązanie odpowiadającego mu układu jednorodnego.
Marek Skarupski
Macierze Lekcja III: Układy równań i ich związek z macierzami
Fundamentalny układ rozwiązań
Fundamentalnym układem rozwiązań układu niejednorodnego równań
nazywamy rozwiązanie odpowiadającego mu układu jednorodnego.
I tak w naszym przykładzie:
(
(
2x + y + 2z = 0
y = −2x − 2z
4x + 2y + z = 0
4x + 2(−2x − 2z) + z = 0
(
(
y = −2x − 2z
y = −2x
z =0
z =0
Marek Skarupski
Macierze Lekcja III: Układy równań i ich związek z macierzami
Fundamentalny układ rozwiązań
Fundamentalnym układem rozwiązań układu niejednorodnego równań
nazywamy rozwiązanie odpowiadającego mu układu jednorodnego.
I tak w naszym przykładzie:
(
(
2x + y + 2z = 0
y = −2x − 2z
4x + 2y + z = 0
4x + 2(−2x − 2z) + z = 0
(
(
y = −2x − 2z
y = −2x
z =0
z =0
Fundamentalnym układem rozwiązań jest rozwiązanie (x, −2x, 0), x ∈ R.
Marek Skarupski
Macierze Lekcja III: Układy równań i ich związek z macierzami
Rozwiązanie ogólne
Znamy teraz dwie rzeczy:
Marek Skarupski
Macierze Lekcja III: Układy równań i ich związek z macierzami
Rozwiązanie ogólne
Znamy teraz dwie rzeczy:
Fundamentalny układ rozwiązań: (x, −2x, 0), x ∈ R
Marek Skarupski
Macierze Lekcja III: Układy równań i ich związek z macierzami
Rozwiązanie ogólne
Znamy teraz dwie rzeczy:
Fundamentalny układ rozwiązań: (x, −2x, 0), x ∈ R
Rozwiązanie szczególne: (0, 0, 1)
Marek Skarupski
Macierze Lekcja III: Układy równań i ich związek z macierzami
Rozwiązanie ogólne
Znamy teraz dwie rzeczy:
Fundamentalny układ rozwiązań: (x, −2x, 0), x ∈ R
Rozwiązanie szczególne: (0, 0, 1)
Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań. Co więcej: każde z nich można
przedstawić jako sumę układu fundamentalnego oraz rozwiązanie
szczególnego. Zatem rozwiązaniem naszego układu równań jest każdy
układ trzech liczb spełniających zależność:
x · (1, −2, 0) + (0, 0, 1), x ∈ R
Marek Skarupski
Macierze Lekcja III: Układy równań i ich związek z macierzami
Macierz współczynników
Macierz współczynników równania tworzy się poprzez wpisanie na
odpowiedniej pozycji współczynnika stojącego przy poszczególnych
zmiennych w układzie równań:
Marek Skarupski
Macierze Lekcja III: Układy równań i ich związek z macierzami
Macierz współczynników
Macierz współczynników równania tworzy się poprzez wpisanie na
odpowiedniej pozycji współczynnika stojącego przy poszczególnych
zmiennych w układzie równań:
(
2x + y = 2
4x + 2y = 1
2 1
A=
4 2
Marek Skarupski
Macierze Lekcja III: Układy równań i ich związek z macierzami
Macierz współczynników
Macierz współczynników równania tworzy się poprzez wpisanie na
odpowiedniej pozycji współczynnika stojącego przy poszczególnych
zmiennych w układzie równań:
(
2x + y = 2
4x + 2y = 1
2 1
A=
4 2
Zauważmy, że każde równani można zapisać jako równanie macierzowe:
AX = B
gdzie A to macierz współczynników, X jest wektorem kolumnowym
zmiennych, zaś B to wektor kolumnowy wyników:
2 1
x
2
=
4 2
y
1
Marek Skarupski
Macierze Lekcja III: Układy równań i ich związek z macierzami
Macierz uzupełniona
Macierzą uzupełnioną nazywamy macierz współczynników poszerzoną o
kolumnę wyników:
2 1 2
4 2 1
Marek Skarupski
Macierze Lekcja III: Układy równań i ich związek z macierzami
Macierz uzupełniona
Macierzą uzupełnioną nazywamy macierz współczynników poszerzoną o
kolumnę wyników:
2 1 2
4 2 1
Macierz współczynników można za pomocą przekształceń elementarnych
na wierszach przekształcić do macierzy jednostkowej I lub do macierzy
postaci [I 0...0], gdzie 0 to zerowe wektory kolumnowe. Tak samo można
postąpić z macierzą uzupełnioną i doprowadzić ją do postaci [I |C ], gdzie
C będzie wektorem pewnych liczb.
Marek Skarupski
Macierze Lekcja III: Układy równań i ich związek z macierzami
Twierdzenie Kroneckera-Capelliego
Przypadek 1: Jeśli macierz współczynników doprowadzimy do postaci:
[I 0...0], w której występuje n wierszy, a macierz uzupełnioną do postaci
[I 0...0|C ], w której występuje n wierszy, to układ równań nie jest
sprzeczny.
Marek Skarupski
Macierze Lekcja III: Układy równań i ich związek z macierzami
Twierdzenie Kroneckera-Capelliego
Przypadek 1: Jeśli macierz współczynników doprowadzimy do postaci:
[I 0...0], w której występuje n wierszy, a macierz uzupełnioną do postaci
[I 0...0|C ], w której występuje n wierszy, to układ równań nie jest
sprzeczny.
Przypadek 2: Jeśli uda nam się zrobić to samo i do tego ilość zmiennych
będzie n to taki układ ma dokładnie jedno rozwiązanie.
Marek Skarupski
Macierze Lekcja III: Układy równań i ich związek z macierzami
Metoda eliminacji Gaussa
Przekształcenia elementarne, o których była mowa wykonujemy jedynie
na wierszach. Dzięki niej zyskujemy odpowiedź, jaka jest postać
rozwiązania naszego układu równań.
Marek Skarupski
Macierze Lekcja III: Układy równań i ich związek z macierzami
Metoda eliminacji Gaussa
Przekształcenia elementarne, o których była mowa wykonujemy jedynie
na wierszach. Dzięki niej zyskujemy odpowiedź, jaka jest postać
rozwiązania naszego układu równań.
Metoda ta nosi nazwę metody eliminacji Gaussa.
Marek Skarupski
Macierze Lekcja III: Układy równań i ich związek z macierzami
Carl Friedrich Gauss
Carl Friedrich Gauss (lub Gauß) niemiecki matematyk, fizyk, astronom i
geodeta. Uznawany jest za jednego z twórców geometrii nieeuklidesowej.
Urodzony 30 kwietnia 1777 w Brunszwiku, zmarł 23 lutego 1855 w
Getyndze. Uważany jest za jednego z największych matematyków, przez
sobie współczesnych określany był mianem ”Księcia matematyków” (łac.
princeps mathematicorum).
Marek Skarupski
Macierze Lekcja III: Układy równań i ich związek z macierzami
Carl Friedrich Gauss
Jako malec nauczył się czytać, a także samodzielnie opanował proste
rachunki. Jak sam twierdził, nauczył się rachować, zanim jeszcze zaczął
mówić. Jego geniusz matematyczny objawił się stosunkowo wcześnie.
Znana jest anegdota, wedle której Gauss z miejsca rozwiązał zadanie,
jakie nauczyciel podał w klasie, by zająć czymś uczniów na dłużej i mieć
czas dla siebie. Potem okazało się, że z wszystkich odpowiedzi uczniów
tylko odpowiedź Gaussa była prawidłowa.
Marek Skarupski
Macierze Lekcja III: Układy równań i ich związek z macierzami
Carl Friedrich Gauss
Rodzicom i waszym nauczycielom znana jest zapewna inna podobizna
Gaussa:
Marek Skarupski
Macierze Lekcja III: Układy równań i ich związek z macierzami
Carl Friedrich Gauss
Rodzicom i waszym nauczycielom znana jest zapewna inna podobizna
Gaussa:
Marek Skarupski
Macierze Lekcja III: Układy równań i ich związek z macierzami
Eliminacja Gaussa: przykład
Dana niech będzie macierz uzupełniona:


2 3
1 3
 4 −1 2 6 
1 −2 −1 0
Marek Skarupski
Macierze Lekcja III: Układy równań i ich związek z macierzami
Eliminacja Gaussa: przykład
Dana niech będzie macierz uzupełniona:



1
2 3
1 3
 4 −1 2 6  −→  0
0
1 −2 −1 0
Marek Skarupski
Macierze Lekcja III: Układy równań i ich związek z macierzami
0
1
0
0
0
1

1
0 
1
Eliminacja Gaussa: przykład
Dana niech będzie macierz uzupełniona:



1
2 3
1 3
 4 −1 2 6  −→  0
0
1 −2 −1 0
Wniosek: Układ ma jedno rozwiązanie: (1, 0, 1).
Marek Skarupski
Macierze Lekcja III: Układy równań i ich związek z macierzami
0
1
0
0
0
1

1
0 
1
Eliminacja Gaussa: przykład
Dana

2
 1
3
niech będzie macierz uzupełniona:

3
1 3
−2 −2 0 
1 −1 3
Marek Skarupski
Macierze Lekcja III: Układy równań i ich związek z macierzami
Eliminacja Gaussa: przykład
Dana

2
 1
3
niech będzie macierz uzupełniona:


1.25 1 0
3
1 3
−2 −2 0  −→  1.75 0 1
0
0 0
1 −1 3
Marek Skarupski
Macierze Lekcja III: Układy równań i ich związek z macierzami

1.5
1.5 
0
Eliminacja Gaussa: przykład
Dana

2
 1
3
niech będzie macierz uzupełniona:


1.25 1 0
3
1 3
−2 −2 0  −→  1.75 0 1
0
0 0
1 −1 3


1.5
1 0 1.25
1.5  −→  0 1 1.75
0
0 0
0
Pamiętajmy, że zmieniając pozycje kolumn zmieniamy kolejność
zmiennych!
Marek Skarupski
Macierze Lekcja III: Układy równań i ich związek z macierzami

1.5
1.5 
0
Eliminacja Gaussa: przykład
Dana

2
 1
3
niech będzie macierz uzupełniona:


1.25 1 0
3
1 3
−2 −2 0  −→  1.75 0 1
0
0 0
1 −1 3


1.5
1 0 1.25
1.5  −→  0 1 1.75
0
0 0
0
Pamiętajmy, że zmieniając pozycje kolumn zmieniamy kolejność
zmiennych! Wniosek: Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań postaci:
(x, 1.5 − 1.25x, 1.5 − 1.75x), x ∈ R.
Marek Skarupski
Macierze Lekcja III: Układy równań i ich związek z macierzami

1.5
1.5 
0
Eliminacja Gaussa: przykład
Dana niech będzie

2
 4
6
macierz uzupełniona:

3 1 3
−1 2 6 
2 3 10
Marek Skarupski
Macierze Lekcja III: Układy równań i ich związek z macierzami
Eliminacja Gaussa: przykład
Dana niech będzie

2
 4
6
macierz uzupełniona:


1
3 1 3
−1 2 6  −→  0
0
2 3 10
Marek Skarupski
Macierze Lekcja III: Układy równań i ich związek z macierzami
0
1
0
0.5
0
0

1.5
0 
1
Eliminacja Gaussa: przykład
Dana niech będzie

2
 4
6
macierz uzupełniona:


1
3 1 3
−1 2 6  −→  0
0
2 3 10
Wniosek: układ jest sprzeczny!.
Marek Skarupski
Macierze Lekcja III: Układy równań i ich związek z macierzami
0
1
0
0.5
0
0

1.5
0 
1
Podziękowania
Dziękuję za uwagę
Marek Skarupski
Macierze Lekcja III: Układy równań i ich związek z macierzami