Wykład 4

Materiały dydaktyczne – Matematyka Dyskretna (Wykład 4)
Dwumianowy symbol Newtona. Podstawowe pojęcia kombinatoryczne: kombinacje,
kombinacje z powtórzeniami, wariacje, wariacje z powtórzeniami, rozmieszczenia.
Definicja 1. Współczynnikiem dwumianowym lub symbolem Newtona nazywamy symbol
czający liczbę obliczaną według wzoru
r
k
=
[r]k
r(r − 1)(r − 2) · · · (r − k + 1)
=
,
k!
1 · 2 · ... · k
r
k
ozna-
(1)
gdzie r liczbą rzeczywistą i k jest liczbą całkowitą nieujemną. Dla kompletności przyjmiemy, że dla
dowolnej liczby rzeczywistej r, 0r = 1 oraz kr = 0, gdy k < 0. Bezpośrednio z definicji wynika, że
Twierdzenie 1. Niech r będzie dowolną liczbą rzeczywistą i k liczbą całkowitą, k > 0. Wówczas
r
r−1
r−1
=
+
(2)
k
k−1
k .
Dowód. Dowód tej równości sprowadza się do łatwego porównania dwóch algebraicznych wyrażeń
otrzymanych bezpośrednio z definicji:
r−1
r−1
= (r−1)(r−2)...(r−(k−1))
+ (r−1)(r−2)...(r−(k−1))(r−k)
k!
k−1 +
k
(k−1)!
(r−1)(r−2)...(r−k+1)
r−k
=
· 1+ k
(k−1)!
r(r−1)(r−2)...(r−(k−1))
=
= kr
k!
Dalsze własności symbolu Newtona opiszemy przede wszystkim dla przypadku, gdy r = n jest
liczbą całkowitą nieujemną. Mamy wówczas
n
k
=
n!
k!(n − k)!
(3)
i symbol ten ma konkretne interpretacje kombinatoryczne. Jego nazwa bierze się stąd, że występuje
on w rozwinięciu wyrażenia na n-tą potęgę sumy (x + y) (dwumianu Newtona).
Twierdzenie 2. Dla dowolnej liczby naturalnej n
(x + y)n =
n
X
n
k
xn−k y k .
(4)
k=0
Powszechnie wiadomo, że współczynniki dwumianowe są wyrazami nieskończonej trójkątnej tablicy liczb zwanej Trójkątem Pascala. Jest on zdefiniowany jako układ liczb naturalnych zapisanych
w wierszach tak, że w pierwszym wierszu stoi liczba 1, a poczynając od drugiego, każda liczba jest
sumą dwóch najbliższych liczb stojących w wierszu bezpośrednio nad nią:
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
1
1
3
6
10
1
4
10
1
5
1
1
6
15
20
15
6
1
.................................................
1
Materiały dydaktyczne – Matematyka Dyskretna (Wykład 4)
Ten sam trójkąt przepiszmy jeszcze raz zastępując liczby odpowiednimi symolami Newtona.
0
0
1
0
2
0
0
5
0
1
5
1
6
1
3
1
5
2
3
2
3
3
4
2
4
5
4
5
5
6
3
4
4
3
5
3
6
2
2
2
4
6
0
3
0
2
1
4
1
1
6
4
6
5
6
6
...................................................................
Dowód tego, że obie tablice są identyczne można przeprowadzić korzystając z indukcji matematycznej i wzoru (2). Pozostawiamy to czytelnikowi.
Jak widać z powyższej tabeli położenie symbolu nk w trójkącie Pascala jest jednoznacznie
określone przez parametry n i k. Pierwszy z nich określa numer wiersza, w którym leży nk , a drugi
wskazuje numer ukośnej kolumny. Numeracja zarówno wiersza, jak i kolumny zaczyna się od zera.
Interpretacje kombinatoryczne symbolu Newtona wiążą się przede wszystkim z pojęciem kombinacji.
Definicja 2. Kombinacją k-elementową w zbiorze n elementowym X nazywamy dowolny k-elementowy
podzbiór zbioru X.
Twierdzenie 3. Liczba k-elementowych kombinacji zbioru n-elementowego jest równa nk .
Istnieje ogromna liczba różnorodnych tożsamości wyrażających zależności między współczynnikami Newtona. Wiele z nich ma przejrzyste i łatwe interpretacje kombinatoryczne.
Twierdzenie 4. Zachodzą następujące tożsamości:
n
n
P
P
n
n
n;
a) nk = n−k
;
b)
=
2
c)
(−1)k nk = 0;
k
d)
n
P
g)
k=0
k
P
r=0
r+k
k
n
r
=
m
k−r
r+n+1
n
=
;
e)
k=0
n
P
r=0
m+n
k
k=0
r
k
=
n+1
k+1
;
f)
n
m
m
k
=
n
k
n−k
m−k
.
;
Przykład. 1. Udowodnić, że iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych dzieli się przez 6, a
iloczyn czterech kolejnych liczb naturalnych dzieli się przez 24. Ogólnie, udowodnić, że dla dowolnej
liczby naturalnej m iloczyn dowolnych m kolejnych liczb naturalnych dzieli się przez m!
2. Iloma różnymi możliwie najkrotszymi drogami wieża szachowa może przejść z pola a1 do
pola h8 szachownicy?
Definicja 3. Funkcją określoną na niepustym zbiorze X o wartościach w niepustym zbiorze Y
def
nazywamy podzbiór F iloczynu kartezjańskiego X × Y = {(x, y) : x ∈ X, y ∈ Y } spełniający
następujące warunki:
1) ∀x∈X ∃y∈Y (x, y) ∈ F,
2) ∀x∈X ∀y1 ,y2 ∈Y ((x, y1 ), (x, y2 ) ∈ F =⇒ y1 = y2 )) .
Piszemy F : X → Y . Dla oznaczenia funkcji używamy również małych liter. Jeżeli (x, y) ∈ F , to
mówimy, że y jest obrazem elementu x. W tradycyjnej notacji zamiast (x, y) ∈ F piszemy F (x) = y.
Jeżeli X i Y są zbiorami skończonymi zawierającymi odpowiednio n i m elementów, a głównie
2
Materiały dydaktyczne – Matematyka Dyskretna (Wykład 4)
takimi przypadkami będziemy się zajmować, to mówiąc mniej ściśle funkcję można zinterpretować
jako dwuwierszową macierz
!
x1
x2
...
xn
F =
.
F (x1 ) F (x2 ) . . . F (xn )
W pierwszym wierszu tej macierzy występuje każdy element zbioru X dokładnie raz. Pod każdym
elementem zbioru X stoi obraz tego elementu przy działaniu funkcji F , zatem w drugim wierszu
występują pewne elementy zbioru Y , przy czym mogą się one powtarzać, jak również nie wszystkie
elementy zbioru Y muszą w drugim wierszu wystąpić.
Przykład 1. Niech X = {1, 2, 3, 4, 5, 6} i Y = {0, 1, 2, 3, 4} i F : X → Y jest funkcją określoną
wzorem F (x) = b x2 c, tzn. każdej liczbie ze zbioru x jest przyporządkowana część całkowita ilorazu
tej liczby przez 2. Wówczas
F (1) = 0, F (2) = 1, F (3) = 1, F (4) = 2, F (5) = 2, F (6) = 3,
co można zapisać w postaci:
F =
1 2 3 4 5 6
0 1 1 2 2 3
!
,
Jest rzeczą oczywistą, że jeśli w tej macierzy zmienimy kolejność kolumn, to sens zapisu nie
ulegnie zmianie, zatem każda z poniższych macierzy jest także zapisem funkcji F .
!
!
!
2 1 4 3 6 5
6 3 4 5 2 1
5 6 1 3 2 4
F =
=
=
.
1 0 2 1 3 2
3 1 2 2 1 0
2 3 0 1 1 2
Z oczywistych powodów będziemy jednak funkcję zapisywać ustalając porządek kolumn według naturalnej kolejności elementów pierwszego wiersza, wynikającej z charakteru rozważanych elementów.
Jeżeli w drugim wierszu elementy zbioru Y nie powtarzają się, to F nazywamy funkcją różnowartościową albo injekcją. Dokładniej F jest różnowartościowa, jeśli
∀x1 ,x2 ∈X F (x1 ) = F (x2 ) =⇒ x1 = x2 .
Jeżeli w drugim wierszu występują wszystkie elementy zbioru Y , to F nazywamy funkcją “na”
lub surjekcją. Dokładniej, mówimy, że F : X → Y jest funkcją “na” jeżeli
∀y∈Y ∃x∈X y = F (x).
Funkcja, która jest jednocześnie różnowartościowa i “na” nazywa się funkcją wzajemnie jednoznaczną. Wzajemnie jednoznaczna funkcja określona na zbiorze X o wartościach w tym samym
zbiorze X nazywa się permutacją zbioru X.
Twierdzenie 5. Jeżeli |X| = n i |Y | = m, to liczba funkcji f : X → Y określonych na zbiorze X
o wartościach w zbiorze Y jest równa mn .
Dowód. Ze względu na to, że w naszych rozważaniach nie jest ważny charakter elementów rozważanych zbiorów, a jedynie pewne związki ilościowe, przyjmijmy, że X = {1, 2, 3, . . . , n} i Y =
{1, 2, 3, . . . , m}1 . Naszym celem jest zatem wyznaczenie liczby wszystkich dwuwierszowych macie1
W dalszej części na ogół będziemy przyjmować również takie założenie
3
Materiały dydaktyczne – Matematyka Dyskretna (Wykład 4)
rzy postaci
F =
1
2
3
...
n
F (1) F (2) F (3) . . . F (n)
!
.
(5)
Wszystkie te macierze różnią się drugim wierszem. Ich liczba jest zatem równa liczbie różnych
ciągów n-wyrazowych postaci (F (1), F (2), F (3), . . . , F (n)) które mogą pełnić rolę drugiego wiersza.
Kolejne wyrazy F (1), F (2), itd. mogą przyjąć dowolną wartość ze zbioru Y . I tak, F (1) może
przyjąć jedną z m wartości. Niezależnie od wartości F (1), wyraz F (2) może również przyjąć
dowolną wartość ze zbioru Y , a więc także mamy m możliwości dla f (2). To samo można powiedzieć
o kolejnych elementach F (3), F (4) itd., aż do F (n). Mamy zatem
m · · · · · m} = mn
|m · m · m ·{z
n razy
możliwości wyboru drugiego wiersza, co kończy dowód.
Ze względu na właśnie dowiedziony fakt, zbiór wszystkich funkcji określonych na zbiorze X o
wartościach w zbiorze Y oznaczamy symbolem Y X
Twierdzenie 6. Jeżeli |X| = n i |Y | = m, to liczba funkcji różnowartościowych f : X → Y
określonych na zbiorze X o wartościach w zbiorze Y jest równa
m(m − 1)(m − 2) · · · (m − n + 1).
(6)
Dowód. Podobnie, jak w dowodzie poprzedniego twierdzenia, liczba wszystkich funkcji różnowartościowych określonych na zbiorze {1, 2, 3, . . . , n} o wartościach w zbiorze {1, 2, 3, . . . , m} jest równa
liczbie dwuwierszowych macierzy postaci (5), gdzie wszystkie wyrazy stojące w drugim wierszu są
różne. Wartość F (1) możemy ustalić na m sposobów. W następstwie, F (2) może przyjąć dowolną
spośród m − 1 pozostałych wartości (oprócz równej F (1)). Dla F (3) mamy już tylko m − 2 możliwości (wszystkie elementy z Y = {1, 2, 3, . . . , m}, oprócz równych F (1) lub F (2), itd. Ostatni
wyraz w drugim wierszu macierzy może być jednym z tych elementów zbioru Y , które nie wystąpiły na wszystkich poprzednich miejscach, tzn. jednym spośród m − (n − 1) elementów. W
konsekwencji, liczba wszyskich możliwości do wyboru drugiego wiersza macierzy (5) jest równa
m(m − 1)(m − 2) · · · (m − n + 1).
Zauważmy, że liczba określona wyrażeniem (6) jest różna od zera wtedy i tylko wtedy, gdy
m > n. Jest to akurat zgodne z oczywistą obserwacją, że na to, aby wszystkie wyrazy drugiego
wiersza macierzy (5) mogły być różne, potrzeba i wystarcza, by w zbiorze Y było co najmniej n
elementów. W przypadku granicznym tj., gdy m = n, mamy następujący bezpośredni wniosek z
poprzedniego twierdzenia.
Twierdzenie 7. Jeżeli |X| = n i |Y | = n, to liczba funkcji wzajemnie jednoznacznych f : X → Y
jest równa
n! = n(n − 1)(n − 2) · · · 1.
W szczególności, liczba wszystkich permutacji zbioru n-elementowego jest równa n!.
W klasycznym, szkolnym nazewnictwie, funkcje z n-elementowego zbioru X do m-elementowego
zbioru Y nazywano wariacjami n-elementowymi z powtórzeniami ze zbioru m-elementowego, a
funkcje różnowartościowe, wariacjami bez powtórzeń.
4
Materiały dydaktyczne – Matematyka Dyskretna (Wykład 4)
Definicja 4. Kombinacją z powtórzeniami (zbiorem z powtórzeniami) o elementach z ustalonego
skończonego zbioru X = {x1 , x2 , . . . , xn } nazywamy dowolną funkcję F określoną na zbiorze X
o wartościach w zbiorze N ∪ {0}. Taką funcję można reprezentować zapisem F = {s1 ? x1 , s2 ?
x2 , . . . , sn ? xn }, gdzie si = F (xi ), przyjmujemy przy tym, że jeżeli si = 0 to w tym zapisie funkcji
F możemy pominąć si ? xi . Wartość si = F (xi ) nazywamy współczynnikiem repetycji elementu
xi . Powiemy, że F jest zbiorem k-elementowym z powtórzeniami (kombinacją k-elementową z
k
P
powtórzeniami) jeżeli
si = k. Załóżmy, że G = {t1 ? x1 , t2 ? x2 , . . . , tn ? xn } jest także zbiorem
i=1
z powtórzeniami o elementach ze zbioru X. Wówczas powiemy, że G jest podzbiorem zbioru F ,
jeżeli dla dowolnego i (i = 1, 2, . . . , n) zachodzi nierówność ti ≤ si .
Twierdzenie 8. Liczba k-elementowych zbiorów z powtórzeniami o elementach ze zbioru n-elementowego jest równa
[n]k
n+k−1
.
=
k
k!
mk
1 m2
Twierdzenie 9. Niech m będzie ustaloną liczbą naturalną i m = pm
1 p2 · · · pk . Istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość między zbiorem wszystkich dzielników liczby naturalnej m oraz
zbiorem wszystkim zbiorów z powtórzeniami o elementach ze zbioru {p1 , p2 , . . . , pk }, dla których
współczynniki repetycji każdej z liczb pierwszych pi nie przekracza mi .
Opracował: Cz. Bagiński
5