04. Projektowanie elementów sprężonych metodą Magnela

PROJEKT MOSTY BETONOWE
Projektowanie elementów sprężonych metodą Magnela
1. Podstawy teoretyczne metody Magnela
1.1. Projektowanie przekroju poprzecznego dźwigarów statycznie wyznaczalnych
W projektowaniu przekroju belki sprężonej można wyodrębnić trzy podstawowe przypadki:
a) gdy wymiary geometryczne przekroju są znane, a poszukiwana jest siła i mimośród siły
sprężającej,
b) gdy wymiary geometryczne przekroju są określone w funkcji jego wysokości i poszukiwana
jest wysokość przekroju oraz siła i mimośród siły sprężającej,
c) gdy w pierwszym etapie poszukiwane są cechy przekroju uogólnionego (moment
bezwładności, wysokość, pole przekroju, względne położenie środka ciężkości) oraz siła
i mimośród siły sprężającej, a w drugim etapie wymiary geometryczne przekroju spełniające
cechy przekroju uogólnionego.
Mgr inż. Krzysztof Śledziewski ([email protected])
1
PROJEKT MOSTY BETONOWE
Najczęściej spotykany jest przypadek pierwszy. Dotyczy on przede wszystkim projektowania mostów
płytowych i skrzynkowych, zarówno prefabrykowanych jak i wykonywanych in-situ. Pozostałe dwa
podejścia obliczeniowe stosuje się głównie przy projektowaniu wieloprzęsłowych mostów belkowych
prefabrykowanych.
2. Trzy stadia obciążenia
Niezależnie od wybranego przypadku, w obliczeniach należy uwzględnić trzy stadia obciążenia:
 Stadium budowy obejmujące przede wszystkim stadium początkowe „0” (sprężenie), a także
stadium transportu, montażu itp.,
 Stadium bezużytkowe „1” obejmujące okres po zakończeniu budowy, w którym występują
tylko obciążenia stałe,
 Stadium użytkowe „2” obejmujące przypadek ekstremalnych obciążeń w czasie eksploatacji.
W stadium początkowym siła sprężająca ma największa wartość, a w stadiach bezużytkowym
użytkowym przyjmuje się, że działa już trwała siła sprężająca – zmniejszona o straty doraźne i
reologiczne.
Dla stadium początkowego obciążeniem będzie ciężar własny elementu:
G
Dla stadium bezużytkowego obciążenie stałe wzrośnie o ciężar betonu dodany po sprężeniu oraz
ciężar elementów wyposażenia:
G+∆G
W stadium użytkowym oprócz ciężaru stałego na ustrój będzie działało obciążenie użytkowe:
G+∆G+Q
3. Założenia metody
Dla znanych wymiarów przekroju poprzecznego można wyznaczyć wszystkie charakterystyki
geometryczne:
- pole przekroju
AC
- moment bezwładności
IC
- położenie środka ciężkości
 i'
- wskaźnik zginania
WC , W 'C
( Wc 
-granice rdzenia właściwego
rW , r 'W
( rw 
Mgr inż. Krzysztof Śledziewski ([email protected])
Ic
I
; Wc  c )
v
v
W
W
; rw 
)
Ac
Ac
2
PROJEKT MOSTY BETONOWE
Po przyjęciu siły sprężającej P i mimośrodu sprężającego zcp można wyznaczyć naprężenia
w skrajnych włóknach przekroju:
- w stadium początkowym „0”
M

P0 P0  zcp

  g   k '0
 g 
AC
IC
IC


P
z
M

P
 d  0  0 cp  ' g  '  k0

AC
IC
IC
- w stadium bezużytkowym „1”
M g  g

P P  zcp






  k '1
 g
AC
IC
IC


P  zcp
M
 d  P 
 ' g  g  '  k1

AC
IC
IC
- w stadium użytkowym „2”
M

P P  zcp

  g  g  q   k '2
 g 
AC
IC
IC


P
z
M

cp
 d  P 
 ' g  g  q  '  k2

AC
IC
IC
Dla naprężeń przyjmuje się następujące wartości graniczne:
k i – maksymalna dopuszczalna wartość naprężeń w danym stadium,
k'i – minimalna dopuszczalna wartość naprężeń w danym stadium.
UWAGA !!
W obliczeniach przyjmujemy k 'i ze znakiem „-”, który oznacza rozciąganie.
Wartości k związane są ze stanem granicznym nośności sprężystej, w związku, z czym siły
wewnętrzne wyznacza się dla obciążeń obliczeniowych, podstawiając:
k 0  f cd , 0
k1  k 2  f cd
Wartości k’ są natomiast związane ze stanem granicznym użytkowalności, w którym siły wewnętrzne
wyznacza się dla obciążeń charakterystycznych, podstawiając:
- dla mostów drogowych:
k ' 0  k '1  k ' 2  f ctk 0 , 05
- dla mostów kolejowych:
k '0  f ctk 0,05 k '1  k '2  0
- dla wszystkich rodzajów mostów wykonanych z segmentów:
Mgr inż. Krzysztof Śledziewski ([email protected])
k '0  k '1  k '2  0
.
3
PROJEKT MOSTY BETONOWE
4. Warunki na naprężenia w skrajnych włóknach przekroju
Dla pierwszego przypadku obliczeniowego, w którym poszukiwanymi były siła sprężająca i jej
mimośród, wyznaczamy te wartości przekształcając powyższe wzory, otrzymując:
- w stadium początkowym „0”
r 'w
1
 P    ( M  Wk ' )  y '0
0
g

z  r'
w
 cp
rw
1

 P  ( M  W ' k )  y0
0
g

 z  r
w
 cp
,
- w stadium bezużytkowym „1”
r 'w
1
 y '1
P   M
g  g  Wk '1

z  r'
w
 cp
rw
1
 y1
P  M
,
g  g  W ' k1

 z  r
w
 cp
- w stadium użytkowym „2”
rw
1
 y '2
P  M
g  g  q  W ' k ' 2

 z  r
w
 cp
r 'w
1
 y2
P   M
,
g g  q  Wk 2

z  r '
w
 cp
gdzie:

P
P0
- współczynnik strat reologicznych.
Mgr inż. Krzysztof Śledziewski ([email protected])
4
PROJEKT MOSTY BETONOWE
W płaskim układzie współrzędnych
zcp ,
1
obszarem rozwiązań każdej nierówności jest
P
półpłaszczyzna z ograniczającą ją prostą.
Rys. 1. Obszar dopuszczalnych rozwiązań wielkości siły sprężającej i mimośrodu siły sprężającej.
Rozwiązaniem metody Magnela jest wspólny obszar sześciu półpłaszczyzn (rys. 1), który należy
ograniczyć dodatkowymi warunkami.
Mgr inż. Krzysztof Śledziewski ([email protected])
5
PROJEKT MOSTY BETONOWE
4.1. Warunek konstrukcyjny
Ze względu na konieczność zapewnienia stali sprężającej odpowiedniej otuliny, należy powyższy
obszar dodatkowo ograniczyć warunkiem konstrukcyjnym:
zcp   ' a p min  zcp ,max
UWAGA !!
Przy doborze max. dopuszczalnego mimośrodu kabli sprężającego zcp max należy pamiętać, że
w obliczeniach posługujemy się położeniem cięgna wypadkowego. Cięgna rzeczywiste występują
także poniżej cięgna wypadkowego.
4.2. Warunek bezpieczeństwa zarysowania
Moment rysujący wywołuje w skrajnych włóknach naprężenia rozciągające f ctm . Po przyjęciu
uproszczonego liniowego rozkładu naprężeń rozciągających z ekstremalną wartością   f ctm ,
z warunku równowagi na naprężenia normalne dla skrajnego włókna rozciągającego otrzymuje się:
M cr  P 
W'
 P  z cp    f ctm  W '
Ac
gdzie:
  2 jest współczynnikiem uplastycznienia zwykle przyjmowanym 1,7, ale wg EC2 jest równy 1,0
1
Po przekształceniach, w układzie współrzędnych zcp , otrzymujemy kolejną półpłaszczyznę wraz z
P
ograniczającą ją prostą:
rw
1

 y2r
P s1  M g  g  q    f ctm  W '
z cp  rw
Mgr inż. Krzysztof Śledziewski ([email protected])
6
PROJEKT MOSTY BETONOWE
4.3. Warunek bezpieczeństwa na zniszczenie przekroju
Zniszczenie przekroju sprężonego może być spowodowane wyczerpaniem nośności strefy rozciąganej
lub wyczerpaniem nośności strefy ściskanej betonu. Przyjmuje się, że zniszczenie nastąpi po
zarysowaniu. Rozkład sił przedstawiony jest na rysunku, przy następujących założeniach:
- równomierny rozkład naprężeń w strefie ściskanej odpowiada wytrzymałości betonu,
- pominiecie betonu w strefie rozciąganej,
- naprężenia w stali sprężającej i zbrojeniowej w strefie rozciąganej odpowiadają wytrzymałości na
rozciąganie,
- naprężenia w stali zbrojeniowej w strefie ściskanej osiągają wytrzymałość na ściskanie.
Dla przypadku zniszczenia ze względu na stal, z warunku równowagi sił w przekroju:
- z sumy momentów względem wypadkowej strefy ściskanej betonu:
M R , p  c  f pk  A p1  h  a p  x 0   f yk 1  As1  h  a  x 0   f ' yk 2  As 2   x 0  a '
- z sumy rzutów sił:
Acc 
1
 c  f pk  A p1  f yk 1  As1  f ' yk 2  As 2   p 2  A p 2 
f ck
Przy pominięciu zbrojenia zwykłego oraz stali sprężającej w strefie ściskanej, otrzymujemy:
M R , p  c  f pk  S p
i
Acc 
1
 c  f pk  A p1
f ck
gdzie:
c
- współczynnik współpracy cięgna z betonem ( c  1 dla strunobetonu, c  0,75 przy braku
Sp
współpracy),
- moment statyczny przekroju stali sprężającej względem środka ciężkości strefy ściskanej
betonu,
Mgr inż. Krzysztof Śledziewski ([email protected])
7
PROJEKT MOSTY BETONOWE
Ss
- moment statyczny przekroju stali zbrojeniowej względem środka ciężkości strefy ściskanej
betonu.
Niespełnienie wymogu bezpieczeństwa na zniszczenie ze względu na stal nie wymaga ani zwiększenia
przekroju betonowego ani siły sprężającej- wystarczy zwiększyć przekrój stali sprężającej bądź
zwykłej. Nie ma zatem wpływu na dobór siły sprężającej i mimośrodu siły sprężającej.
Dla przypadku zniszczenia ze względu na beton z sumy momentów względem środka ciężkości
rozciąganej stali sprężającej, przy pominięciu zbrojenia zwykłego i braku stali sprężającej w strefie
ściskanej, otrzymujemy:
M R ,c  f ck  S c
Sc
- moment statyczny ściskanej strefy betonu względem środka ciężkości rozciąganej stali
sprężającej.
O ile w przypadku zniszczenia ze względu na stal wysokość strefy ściskanej wyznacza się z warunku
sumy rzutów sił, to w przypadku zniszczenia ze względu na beton mamy do czynienia z graniczną
wysokością strefy ściskanej. Uwzględniając to zjawisko, wzór na nośność ze względu na beton,
można, po kilku uproszczeniach przedstawić w następującej postaci:
M R ,c  f ck    S 0
Sp
i
 
Sc
S0
- moment statyczny użytecznego przekroju betonowego względem środka ciężkości
rozciąganej stali sprężającej.
A ostatecznie:
M R ,c    z cp  Ac  f ck '
(wartość  można w przybliżeniu przyjąć 0,75).
Po uwzględnieniu warunku bezpieczeństwa M R ,c  s 3  M g  g  q , otrzymujemy:
z cp 
s 2 M g  g  q
Ac f ck
 z cp,min
Po naniesieniu na wykres wszystkich powyższych warunków (stan nośności sprężystej, warunek
bezpieczeństwa na zarysowanie i na zniszczenie oraz warunek konstrukcyjny), uzyskuje się
ostatecznie pole pozwalające dobrać mimośród i siłę sprężającą .
Przy ostatecznym sprawdzeniu warunków stanu granicznego nośności sprężystej, w stadium
początkowym elementów kablobetonowych należy przyjąć przekrój netto (po potrąceniu otworów),
natomiast dla elementów strunobetonowych dla wszystkich stadiów oraz dla elementów
kablobetonowych po zainiektowaniu kanałów (w stadium bezużytkowym i użytkowym) należy
przyjąć przekrój sprowadzony tj. z uwzględnieniem stali sprężającej i zbrojenia.
Mgr inż. Krzysztof Śledziewski ([email protected])
8
PROJEKT MOSTY BETONOWE
5. Algorytm projektowania
Dla ustalonego przekroju elementu sprężonego w celu zaprojektowania siły sprężającej i mimośrodu
siły sprężającej należy:
1. Obliczyć ekstremalne momenty zginające:
 od obciążeń charakterystycznych,
 od obciążeń obliczeniowych.
2. Przyjąć wartości:
 wytrzymałości obliczeniowych k (0,1,2),
 wytrzymałości charakterystycznych k’ (0,1,2),
 wytrzymałości charakterystycznych f ck , f pk , f yk ,
 współczynnika strat reologicznych  ,
 globalnych współczynników bezpieczeństwa s1 , s 2 , s 3 ,
 minimalnej otuliny wypadkowego cięgna i stali zbrojeniowej,
 współczynnika uplastycznienia  ,
 współczynnika współodkształcalności c.
3. Wyznaczyć charakterystyki geometryczne przekroju:
 Pole przekroju Ac ,
 Położenie środka ciężkości, moment bezwładności I, wskaźniki zginania W ,W ' ,
 Granice rdzenia właściwego rw , r ' w .
4. Wyznaczyć obszar sześciu półpłaszczyzn, podstawiając odpowiednio momenty od obciążeń
charakterystycznych (k) i obliczeniowych dla każdej z faz pracy (k’).
5. Wyznaczyć półpłaszczyznę uwzględniającą warunek na zarysowanie (podstawiając moment
od obciążeni charakterystycznych).
6. Wyznaczyć półpłaszczyznę uwzględniającą warunek bezpieczeństwa na zniszczenie ze
względu na beton (podstawiając moment od obciążeń obliczeniowych).
7. Nanieść półpłaszczyznę ograniczającą minimalną otulinę betonu.
8. Dobrać siłę sprężającą i mimośród siły sprężającej z dopuszczalnego obszaru (zwykle dąży się
do przyjęcia maksymalnego mimośrodu przy minimalnej wartości siły sprężającej).
 przyjąć mimośród wypadkowej siły sprężającej ( zcp ,min  zcp ,max ),
1
, P – siła po stratach,
P

odczytać odpowiadającą przyjętemu mimośrodowi wartość

obliczyć siłę sprężającą (odwrotność odczytanej z wykresy wartości),

obliczyć początkową siłę sprężającą
P0 
P

.
9. Obliczyć potrzebną powierzchnię stali sprężającej A p 
P
, przyjąć rodzaj kabli
0.55 f pk
i liczbę kabli w przekroju z rozmieszczeniem spełniającym warunki konstrukcyjne.
10. Przyjąć zbrojenie konstrukcyjne ze stali zwykłej.
Mgr inż. Krzysztof Śledziewski ([email protected])
9