Wyznaczanie sprawności grzejnika elektrycznego

Elektryczność
ĆWICZENIE 66
BADANIE SPRAWNOŚCI GRZEJNIKA ELEKTRYCZNEGO
Wprowadzenie
Uporządkowany ruch ładunków nazywamy prądem elektrycznym.
Warunkiem koniecznym przepływu prądu jest obecność nośników (ładunków
elektrycznych) w środowisku, oraz istnienie różnicy potencjałów. Natężenie
pola elektrycznego wewnątrz przewodnika E ≠ 0, innymi słowy wnętrze
przewodnika nie stanowi obszaru ekwipotencjalnego. Przyjmuje się, że prąd
płynie od punktu o potencjale wyższym do punktu o potencjale niższym.
Odpowiada to ruchowi nośników dodatnich. Tak określony kierunek nazywamy
umownym. W przewodnikach metalicznych, często w próżni, nośnikami są
elektrony (jak wiemy obdarzone ładunkiem ujemnym). Ruch jest możliwy od
potencjału niższego (np. ujemnego ), do wyższego, jest to kierunek rzeczywisty.
Kierunek przepływu nośników i rzeczywisty kierunek prądu pokrywają się
jedynie w przypadku nośników dodatnich. Wielkością charakteryzującą prąd
elektryczny jest natężenie I. Mierzymy je szybkością przepływu ładunku Q
przez określony przekrój przewodnika.
W przypadku prądu stałego.
Q
I= ,
(1)
t
gdzie: t jest czasem przepływu ładunku Q przez przekrój przewodnika S.
Jeżeli ładunek jest funkcją czasu, wówczas miarą natężenia jest pochodna
ładunku względem czasu
dQ
I=
.
(2)
dt
Jednostką natężenia jest amper, przy czym
[1C ]
[1A] =
[1s]
( C - kulomb, s - sekunda).
Natężenie mierzymy amperomierzem włączonym do obwodu szeregowo (patrz
rys. 1).
Rys. 1
Ćwiczenie 62
1
Elektryczność
Duże znaczenie teoretyczne przy badaniu prądu elektrycznego ma wektorowa
wielkość fizyczna zwana gęstością prądu.
r
r dI
Miarą gęstości jest j =
dS n
(3)
lub
r dI r
j=
vo
dS n
(4)
r
gdzie: Sn jest przekrojem normalnym, a v o wektorem jednostkowym
skierowanym zgodnie z kierunkiem płynącego prądu.
Rys. 2
Zakładając, że gęstość nośników dodatnich i ujemnych wynosi n ich
prędkość jest jednakowa i równa v a bezwzględna wartość ładunku
elementarnego e, wówczas natężenie obliczymy ze wzoru
I = e ⋅ n ⋅ v ⋅ S cos α.
(5)
Jeżeli nośniki poruszają się równolegle do ścian przewodnika, to
r r
S o v = S ⋅ v cos α
i
r r
I = e⋅n⋅S o v .
(5’)
Różniczkując wyrażenie względem przekroju S dostajemy
j = e ⋅ n ⋅ v cos α ,
lub uwzględniając
v ⋅ cos α = v n ,
j = e ⋅ n ⋅ vn .
Ostatni związek można zapisać wektorowo
Ćwiczenie 62
2
Elektryczność
r
r
j = e ⋅ n ⋅ vn .
(6)
Zależności (5’) i (6) opisują natężenie prądu oraz jego gęstość przy pomocy
wielkości mikroskopowych.
Łatwo zauważyć, ze natężenie prądu.
r r
r r
I = ∫ jdS = ∫ e ⋅ n ⋅vdS .
S
S
(7)
Jeżeli założymy, że ładunek jest funkcją wielu zmiennych i wypływa z pewnej
objętości przewodnika, to (korzystając z (7) )
−
r r
∂Q
= ∫ jdS .
∂t S
(8)
Ale
Q = ∫ ρdV ,
(9)
V
(gdzie, ρ - gęstość ładunku, V objętość przewodnika, w której znajduje się
ładunek Q) i na mocy twierdzenia Gaussa
r
r
jdS
=
divjdV
∫
∫
,
S
(10)
V
(gdzie powierzchnia S zamyka objętość V), równanie (8) da się zapisać
następująco:
−∫
V
r
∂ρ
dV = ∫ divjdV .
∂t
V
Ponieważ objętości po obu stronach równania są identyczne, a całki są równe,
to i funkcje podcałkowe są równe.
Zatem
−
lub
r
∂ρ
= divj ,
∂t
r ∂ρ
divj +
=0 .
∂t
(11)
jest to tzw. równanie ciągłości.
Jeżeli ubytek ładunków z objętości V przewodnika przez powierzchnię S2
Ćwiczenie 62
3
Elektryczność
Rys. 3.
jest skompensowany dopływem ładunków przez powierzchnię S1 (rys. 3.),
wówczas mamy stan stacjonarny. Gęstość ładunków w objętości V nie ulega
zmianie
ρ = const,
a
∂ρ
=0 .
∂t
(12)
r
divj = 0 ,
(13)
Stąd wynika, że równanie
Zatem w objętości V przewodnika nie ma źródeł prądu.
Zarówno wyrażenia (12) jak i (13) są równaniami ciągłości w stanach
stacjonarnych.
Załóżmy, że do pewnego punktu obwodu wpływa N1 prądów i wypływa z
niego N2 prądów odpowiednio o natężeniach I1, I2, ...IN1 oraz I1’, I2’, ...IN2’.
Suma prądów wpływających i wypływających wynosi N=N1+N2
Rys. 4.
Ćwiczenie 62
4
Elektryczność
Równanie ciągłości (13) z uwzględnieniem twierdzenia (10) zapisujemy w
postaci
r r
∫ jdS = 0 .
(14)
S
W naszym przypadku na powierzchnię S składają się powierzchnie przekrojów
N - przewodników, zatem wzór (14) możemy zastąpić sumą
r r
N
∑jS
i
i
= 0,
i =1
ale
r r
ji ⋅ Si = I i ,
więc
N
∑I
i =1
i
=0 .
(15)
Otrzymaliśmy prawo Kirchhoffa, które mówi, że suma natężeń prądów
wpływających do węzła sieci elektrycznej jest równa sumie prądów
wypływających. Co można zapisać bardziej przejrzyście
N1
N2
∑ I = ∑ I '.
i
i =1
i
(16)
i =1
Patrząc na wzór 5’ wydawać by się mogło, że natężenie prądu można
byłoby zwiększać dowolnie zwiększając prędkość przepływu nośników v przez
przyłożenie odpowiedniej różnicy potencjałów U. W rzeczywistości prędkość ta
jest prędkością dryfu. Ruch nośników nie jest swobodny odbywa się w
środowisku wypełnionym drgającymi atomami środowiska. Dochodzi do
licznych zderzeń, nośniki przemieszczają się we wszystkich kierunkach, z tym
że przemieszczanie w kierunku wyznaczonym przez różnicę potencjałów jest
nieco większe. Prędkość v jest tą prędkością przemieszczania. Zatem nośniki
doznają oporu ruchu. Natężenie prądu I jest funkcją przyłożonego napięcia
I=f(U).
Ćwiczenie 62
5
Elektryczność
W ustalonej temperaturze
U
= const .
I
Stała ta zależna jest od środowiska, od cech geometrycznych przewodnika;
nazywamy ją oporem elektrycznym
U
=R
I
(17)
Opór elektryczny nie zależy ani od płynącego prądu (I) ani od przyłożonego
napięcia (U).
Funkcja I= f(U) znana jest jako prawo Ohma. W postaci jawnej dla prądu
stałego możemy ją zapisać:
I ∼U ,
(18)
lub
I=kU,
gdzie k =
Zatem
1
= const, (ze wzoru 17)
R
I=
U
.
R
(19)
Rys. 5
Przewodniki, dla których spełniony jest warunek (18), nazywamy
omowymi lub liniowymi ( patrz wykres 5).
Prawo Ohma możemy sformułować inaczej wiążąc je ze środowiskiem,
wówczas
dl
l
R = ρw
; R = ρw
,
(20)
S
dS
Ćwiczenie 62
6
Elektryczność
gdzie:
ρ w − opór właściwy zależny od cech przewodnika, od jego struktury;
l - długość przewodnika, S - przekrój.
Zróżniczkujmy (19), wówczas
dI =
Z wyrażenia (3) wynika, że
1
dU .
R
(21)
r r
dI = jdS .
r r
Wiadomo, że dU = E ⋅ dl (l - długość przewodnika, E - natężenie pola
elektrycznego wewnątrz przewodnika). W naszym przypadku
r
r
j ↑ ↑ dl .
Podstawiając otrzymane związki do wyrażenia (21) otrzymamy
r r 1 r r
jdS = Edl .
R
r
r
Ponieważ dl  dS , to
r
1 r
jdS = Edl .
R
Uwzględniając (20) dostaniemy
r
1 dS r
jdS =
Edl .
ρ w dl
Ostatecznie
r
r
j = σ wE
(22)
1
jest przewodnością właściwą. Jest to tzw. „różniczkowa”
ρw
postać prawa Ohma.
Jednostką oporu elektrycznego w układzie SI jest om [ 1 Ω ], jego
wymiar określamy ze wzoru (17)
 1V 
[1 Ω ]=   .
 1A 
gdzie :
σw =
Opór elektryczny zależny jest od temperatury. Dla przewodników metalicznych
można w przybliżeniu napisać wzór:
ρ w = ρ wo ( 1 + α∆T ) ,
(23)
Ćwiczenie 62
7
Elektryczność
gdzie: ρ wo - opór właściwy w temperaturze To =273oK, α - współczynnik
temperaturowy oporu. Dla temperatur zbliżonych do temperatury pokojowej
temperaturowy współczynnik oporu
α=
ρ w − ρ wo
.
∆Tρ wo
(24)
Weźmy pod uwagę (22), stąd
r
1 r
E=
j.
σw
Rozpatrzmy przewodnik zamknięty o długości L.
Obliczamy całkę po konturze L,
r r
1 r r
Edl
=
jdl .
∫L
σ w ∫L
Niech
r r
r
r
Edl
=0 ,
j  dl , jeżeli ∫
L
1
σw
to
∫ jdl = 0
j=
ale
,
L
I
,
S
więc
dl
=0 .
σ wS
L
I∫
Łatwo zauważyć, że
dl
=R .
(25)
L
wS
Więc U = I ⋅ R = 0 , stąd I = 0 , ponieważ R ≠ 0 .
W obwodzie nie płynie prąd ponieważ
elektromotorycznej.
Założyliśmy na początku, że
∫σ
Ćwiczenie 62
8
brak
w
nim
siły
Elektryczność
r r
Edl
=0 ,
∫
L
co oznacza brak czynnika podtrzymującego ruch ładunków elektrycznych.
Jeżeli istnieje czynnik zewnętrzny podtrzymujący przepływ ładunków,
wówczas
r r
r
j = σ w (E + E z ) ,
r
gdzie E z - natężenie pola elektrycznego pochodzącego od zewnątrz.
Wtedy
r r
∫ jdl ≠ 0 .
L
Zatem
r r r
1 r r
jdl = ∫ E + E z dl = IR .
∫
σw L
L
(
Ponieważ
)
r r
∫ jdl = 0 ,
L
to
r r
E
∫ z dl = IR ≠ 0 .
L
Jest to siła elektromotoryczna, którą oznaczymy przez E
E =
r r
E
∫ z dl = IR
L
R - oznacza całkowity opór obwodu
Jeżeli obwód zawiera K sił elektromotorycznych i N oporów
elektrycznych,
Rys. 6
Ćwiczenie 62
9
Elektryczność
wówczas
K
∑
i =1
E i=
N
∑I R
i
i =1
i
,
(27)
jest równaniem zapisanym dla komórki elektrycznej przedstawionej na rysunku
6,
gdzie K =2, a N = 6.
Wzór (27) jest matematyczną postacią drugiego prawa Kirchhoffa.
Formułujemy je następująco:
W zamkniętym oczku sieci elektrycznej suma wszystkich sił
elektromotorycznych tam występujących jest równa sumie spadków napięć
na wszystkich oporach oczka.
Zapisując to prawo dla obwodu zamkniętego przedstawionego na
schemacie 7 otrzymamy:
Rys. 7
gdzie Rz = R1 + R2 ,
stąd
E = IRw + IR1 + IR2 = I ( Rw + Rz ) ,
I = E / (Rz + Rw )
(28)
Ostatni wzór przedstawia prawo Ohma dla obwodu zamkniętego.
Zauważmy, że IRz = U jest spadkiem napięcia na oporze zewnętrznym. Napięcie
mierzymy w woltach. Woltomierz włączamy równolegle do obwodu w punktach
między którymi chcemy zmierzyć różnicę potencjałów (napięcie).
Ćwiczenie 62
10
Elektryczność
Rys. 8
Miarą pracy przy przesunięciu ładunku między punktami o różnicy
potencjałów U, jest iloczyn
W = Q ⋅ U , (29’)
lub
W = U ⋅ I ⋅ t = I 2R ⋅ t .
(29)
Dla dowolnego przypadku nieskończenie mała praca
(30)
dW = U ⋅ Idt = I 2 Rdt .
Zależności (29) i (30) przedstawiają prawo Joule’a. Opisuje ono skutki
energetyczne przepływu prądu elektrycznego, (np. wydzielanie się ciepła na
oporniku R w wyniku przepływu prądu o natężeniu I w czasie t ).
Pracę mierzymy w dżulach.
Miarą mocy jest iloraz
dW
P=
.
dt
Różniczkując wyrażenie (29’) otrzymamy
dQ
dU dW
⋅U + Q⋅
=
=P.
dt
dt
dt
W stanie ustalonym U = const i
P=
dQ
⋅U = I ⋅U ,
dt
(31)
lub
P = I 2R .
(32)
W układzie SI jednostką mocy jest wat.
Uwzględniając (7) oraz (26), wzór (31) zapiszemy w postaci
P = ∫ jE ⋅ ldS ,
ponieważ l ⋅ dS = dV jest elementem objętościowym, to
Ćwiczenie 62
11
Elektryczność
ale z prawa Ohma
zatem
stąd
j = σ wE ,
P = ∫ jEdV ,
P = σ w ∫ E 2 dV ,
dP
= σ wE 2 .
dV
(33)
dP
- jest gęstością mocy. Łatwo zauważyć, że gęstość mocy silnie zależy od
dV
natężenia pola elektrycznego wewnątrz przewodnika.
Korzystając z prawa Ohma i praw Kirchhoffa otrzymamy zależności na
łączenie oporów. W przypadku łączenia szeregowego n oporników
n
Rzast . = R1 + R2 +...+ Rn = ∑ Ri .
i =1
(34)
Jeżeli wszystkie opory są jednakowe, wówczas
Rzast . = nR .
Przy łączeniach równoległych opór całkowity jest mniejszy od najmniejszego
oporu połączonego równolegle
n
1
1
1
1
1
=
+
+...+
=∑
.
(35)
Rzast . R1 R2
Rn i = 1 Ri
Gdy
R1 = R2 =.... = Rn = R , to
R
.
n
Jeżeli łączymy k oporników szeregowo z tak utworzonych szeregów
tworzymy n połączeń równoległych a wszystkie oporniki są jednakowe, to
opór zastępczy układu obliczamy ze wzoru:
Rzast . =
Rzast . =
Ćwiczenie 62
12
k
R .
n
Elektryczność
Badanie sprawności grzejnika elektrycznego.
Miarą sprawności jest stosunek energii wykorzystanej użytecznie do
energii włożonej
η=
Energia użyteczna jest energią
kalorymetrycznej i kalorymetru.
Q
100% .
W
cieplną
zużytą
na
ogrzanie
cieczy
Q = ( mk ck + mc cc ) ∆T ,
gdzie: mk - masa kalorymetru, ck - ciepło właściwe materiału kalorymetru,
mc - masa cieczy, cc - ciepło właściwe cieczy, ∆T - przyrost temperatury.
Miarą energii włożonej jest praca wykonana przez prąd elektryczny
W = U ⋅ I ⋅τ ,
gdzie τ - oznacza czas ogrzewania, U - napięcie przyłożone do grzejnika oraz I
- natężenie płynącego przez grzejnik prądu. Uwzględniając oba wzory
sprawność
η=
Ćwiczenie 62
( mk ck
+ mc cc ) ∆T
UIτ
13
100% .
Elektryczność
Przebieg pomiarów
1. Zestawiamy obwód według schematu (rys. 12 ).
Rys. 12
Uwaga! W punktach C i D podłączamy obwód do zacisków zasilacza.
2. Zamykamy obwód kluczem W, suwakiem opornika ustawiamy wartości
natężenia (napięcia) wskazane przez prowadzącego. Otwieramy wyłącznik
W.
3. Odczytujemy wskazania termometru.
4. Zamykamy wyłącznik W jednocześnie włączamy stoper. Przepuszczamy
prąd przez grzejnik w czasie wskazanym przez prowadzącego.
5. Przez cały czas pomiaru staramy się utrzymać jednakowe napięcie.
Odczytujemy wskazania termometru, amperomierza i woltomierza co 30 sek.
6. Po upływie czasu τ otwieramy obwód i zatrzymujemy stoper.
7. Mierzymy masy kalorymetru i cieczy kalorymetrycznej.
8. Uśredniamy wartości napięcia i natężenia.
9. Sporządzamy wykres funkcji t = f( τ ). Dzielmy ∆t na 3 równe części i
∆t
oznaczamy dla nich czas τ w jakim nastąpił przyrost temperatury .
3
10. Korzystając ze wzoru (38) obliczamy sprawność w wyznaczonych
przedziałach czasowych i sprawność w czasie całego pomiaru.
11. Obliczamy błąd, przeprowadzamy dyskusję błędów i wyników, formułujemy
wnioski.
12.Oziębiamy naczynie z cieczą i wykonujemy czynności z punktów 1 - 11 dla
kalorymetru pozbawionego osłony.
13. Porównujemy wyniki pomiarów pierwszej i drugiej serii i wyciągamy
wnioski.
Ćwiczenie 62
14
Elektryczność
Literatura:
1. Jay Orear
2. Jaworski, Dietław, Pinski
3. Imre Tarian
4. S. Przestalski
(Biologia, Rolnictwo )
5. T. Dryński
6. H. Szydłowski
7. J. Kuczera
8. A. Murkowski
Ćwiczenie 62
- Fizyka t. 1
- Kurs fizyki t. 2
- Fizyka dla przyrodników (Biologia, Rolnictwo )
- Fizyka z elementami biofizyki i agrofizyki
- Ćwiczenia laboratoryjne z fizyki
- Pracownia fizyczna
- Laboratorium fizyki i biofizyki (Biologia,
Rolnictwo )
- Ćwiczenia laboratoryjne z fizyki i biofizyki
(Biologia, Rolnictwo )
15