Wyznaczanie współczynnika temperaturowego

Wyznaczanie współczynnika temperaturowego

Elektryczność
ĆWICZENIE 62
WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA TEMPERATUROWEGO OPORU.
METODA MOSTKOWA.
Wprowadzenie
Uporządkowany ruch ładunków nazywamy prądem elektrycznym.
Warunkiem koniecznym przepływu prądu jest obecność nośników (ładunków
elektrycznych) w środowisku, oraz istnienie różnicy potencjałów. Natężenie
pola elektrycznego wewnątrz przewodnika E ≠ 0, innymi słowy wnętrze
przewodnika nie stanowi obszaru ekwipotencjalnego. Przyjmuje się, że prąd
płynie od punktu o potencjale wyższym do punktu o potencjale niższym.
Odpowiada to ruchowi nośników dodatnich. Tak określony kierunek nazywamy
umownym. W przewodnikach metalicznych, często w próżni, nośnikami są
elektrony (jak wiemy obdarzone ładunkiem ujemnym). Ruch jest możliwy od
potencjału niższego (np. ujemnego ), do wyższego, jest to kierunek rzeczywisty.
Kierunek przepływu nośników i rzeczywisty kierunek prądu pokrywają się
jedynie w przypadku nośników dodatnich. Wielkością charakteryzującą prąd
elektryczny jest natężenie I. Mierzymy je szybkością przepływu ładunku Q
przez określony przekrój przewodnika.
W przypadku prądu stałego.
Q
I= ,
(1)
t
gdzie: t jest czasem przepływu ładunku Q przez przekrój przewodnika S.
Jeżeli ładunek jest funkcją czasu, wówczas miarą natężenia jest pochodna
ładunku względem czasu
dQ
I=
.
(2)
dt
Jednostką natężenia jest amper, przy czym
[1C ]
[1A] =
[1s]
( C - kulomb, s - sekunda).
Natężenie mierzymy amperomierzem włączonym do obwodu szeregowo
(patrz rys. 1).
Rys. 1
Ćwiczenie 66
1
Elektryczność
Duże znaczenie teoretyczne przy badaniu prądu elektrycznego ma wektorowa
wielkość fizyczna zwana gęstością prądu.
r
r dI
Miarą gęstości jest j =
dS n
(3)
lub
r dI r
j=
vo
dS n
(4)
r
gdzie: Sn jest przekrojem normalnym, a v o wektorem jednostkowym
skierowanym zgodnie z kierunkiem płynącego prądu.
Rys. 2
Zakładając, że gęstość nośników dodatnich i ujemnych wynosi n ich
prędkość jest jednakowa i równa v a bezwzględna wartość ładunku
elementarnego e, wówczas natężenie obliczymy ze wzoru
I = e ⋅ n ⋅ v ⋅ S cos α.
(5)
Jeżeli nośniki poruszają się równolegle do ścian przewodnika, to
r r
S o v = S ⋅ v cos α
i
r r
I = e⋅n⋅S o v .
(5’)
Różniczkując wyrażenie względem przekroju S dostajemy
j = e ⋅ n ⋅ v cos α ,
lub uwzględniając
v ⋅ cos α = v n ,
j = e ⋅ n ⋅ vn .
Ostatni związek można zapisać wektorowo
Ćwiczenie 66
2
Elektryczność
r
r
j = e ⋅ n ⋅ vn .
(6)
Zależności (5’) i (6) opisują natężenie prądu oraz jego gęstość przy pomocy
wielkości mikroskopowych.
Łatwo zauważyć, ze natężenie prądu.
r r
r r
I = ∫ jdS = ∫ e ⋅ n ⋅vdS .
S
S
(7)
Jeżeli założymy, że ładunek jest funkcją wielu zmiennych i wypływa z pewnej
objętości przewodnika, to (korzystając z (7) )
−
r r
∂Q
= ∫ jdS .
∂t S
(8)
Ale
Q = ∫ ρdV ,
(9)
V
(gdzie, ρ - gęstość ładunku, V objętość przewodnika, w której znajduje się
ładunek Q) i na mocy twierdzenia Gaussa
r
r
jdS
=
divjdV
∫
∫
,
S
(10)
V
(gdzie powierzchnia S zamyka objętość V), równanie (8) da się zapisać
następująco:
−∫
V
r
∂ρ
dV = ∫ divjdV .
∂t
V
Ponieważ objętości po obu stronach równania są identyczne, a całki są równe,
to i funkcje podcałkowe są równe.
Zatem
−
lub
r
∂ρ
= divj ,
∂t
r ∂ρ
divj +
=0 .
∂t
(11)
jest to tzw. równanie ciągłości.
Jeżeli ubytek ładunków z objętości V przewodnika przez powierzchnię S2
Ćwiczenie 66
3
Elektryczność
Rys. 3.
jest skompensowany dopływem ładunków przez powierzchnię S1 (rys. 3.),
wówczas mamy stan stacjonarny. Gęstość ładunków w objętości V nie ulega
zmianie
ρ = const,
a
∂ρ
=0 .
∂t
(12)
r
divj = 0 ,
(13)
Stąd wynika, że równanie
Zatem w objętości V przewodnika nie ma źródeł prądu.
Zarówno wyrażenia (12) jak i (13) są równaniami ciągłości w stanach
stacjonarnych.
Załóżmy, że do pewnego punktu obwodu wpływa N1 prądów i wypływa z
niego N2 prądów odpowiednio o natężeniach I1, I2, ...IN1 oraz I1’, I2’, ...IN2’.
Suma prądów wpływających i wypływających wynosi N=N1+N2
Rys. 4.
Ćwiczenie 66
4
Elektryczność
Równanie ciągłości (13) z uwzględnieniem twierdzenia (10) zapisujemy w
postaci
r r
∫ jdS = 0 .
(14)
S
W naszym przypadku na powierzchnię S składają się powierzchnie przekrojów
N - przewodników, zatem wzór (14) możemy zastąpić sumą
r r
N
∑jS
i
i
= 0,
i =1
ale
r r
ji ⋅ Si = I i ,
więc
N
∑I
i =1
i
=0 .
(15)
Otrzymaliśmy prawo Kirchhoffa, które mówi, że suma natężeń prądów
wpływających do węzła sieci elektrycznej jest równa sumie prądów
wypływających. Co można zapisać bardziej przejrzyście
N1
N2
∑ I = ∑ I '.
i
i =1
i
(16)
i =1
Patrząc na wzór 5’ wydawać by się mogło, że natężenie prądu można
byłoby zwiększać dowolnie zwiększając prędkość przepływu nośników v przez
przyłożenie odpowiedniej różnicy potencjałów U. W rzeczywistości prędkość ta
jest prędkością dryfu. Ruch nośników nie jest swobodny odbywa się w
środowisku wypełnionym drgającymi atomami środowiska. Dochodzi do
licznych zderzeń, nośniki przemieszczają się we wszystkich kierunkach, z tym
że przemieszczanie w kierunku wyznaczonym przez różnicę potencjałów jest
nieco większe. Prędkość v jest tą prędkością przemieszczania. Zatem nośniki
doznają oporu ruchu. Natężenie prądu I jest funkcją przyłożonego napięcia
I=f(U).
W ustalonej temperaturze
U
= const .
I
Ćwiczenie 66
5
Elektryczność
Stała ta zależna jest od środowiska, od cech geometrycznych przewodnika;
nazywamy ją oporem elektrycznym
U
=R
I
(17)
Opór elektryczny nie zależy ani od płynącego prądu (I) ani od przyłożonego
napięcia (U).
Funkcja I= f(U) znana jest jako prawo Ohma. W postaci jawnej dla prądu
stałego możemy ją zapisać:
I ∼U ,
(18)
lub
I=kU,
gdzie k =
Zatem
1
= const, (ze wzoru 17)
R
I=
U
.
R
(19)
Rys. 5
Przewodniki, dla których spełniony jest warunek (18), nazywamy
omowymi lub liniowymi ( patrz wykres 5).
Prawo Ohma możemy sformułować inaczej wiążąc je ze środowiskiem,
wówczas
dl
l
R = ρw
; R = ρw
,
(20)
S
dS
gdzie:
ρ w − opór właściwy zależny od cech przewodnika, od jego struktury;
l - długość przewodnika, S - przekrój.
Ćwiczenie 66
6
Elektryczność
Zróżniczkujmy (19), wówczas
dI =
Z wyrażenia (3) wynika, że
1
dU .
R
(21)
r r
dI = jdS .
r r
Wiadomo, że dU = E ⋅ dl (l - długość przewodnika, E - natężenie pola
elektrycznego wewnątrz przewodnika). W naszym przypadku
r
r
j ↑ ↑ dl .
Podstawiając otrzymane związki do wyrażenia (21) otrzymamy
r r 1 r r
jdS = Edl .
R
r
r
Ponieważ dl  dS , to
r
1 r
jdS = Edl .
R
Uwzględniając (20) dostaniemy
r
1 dS r
jdS =
Edl .
ρ w dl
Ostatecznie
r
r
j = σ wE
(22)
1
jest przewodnością właściwą. Jest to tzw. „różniczkowa”
ρw
postać prawa Ohma.
Jednostką oporu elektrycznego w układzie SI jest om [ 1 Ω ], jego
wymiar określamy ze wzoru (17)
 1V 
[1 Ω ]=   .
 1A 
gdzie :
σw =
Opór elektryczny zależny jest od temperatury. Dla przewodników metalicznych
można w przybliżeniu napisać wzór:
ρ w = ρ wo ( 1 + α∆T ) ,
(23)
gdzie: ρ wo - opór właściwy w temperaturze To =273oK, α - współczynnik
temperaturowy oporu. Dla temperatur zbliżonych do temperatury pokojowej
temperaturowy współczynnik oporu
Ćwiczenie 66
7
Elektryczność
α=
ρ w − ρ wo
.
∆Tρ wo
Weźmy pod uwagę (22), stąd
(24)
r
1 r
E=
j.
σw
Rozpatrzmy przewodnik zamknięty o długości L.
Obliczamy całkę po konturze L,
r r
1 r r
Edl
=
jdl .
∫L
σ w ∫L
Niech
r r
r
r
Edl
=0 ,
j  dl , jeżeli ∫
L
1
σw
to
∫ jdl = 0
j=
ale
,
L
I
,
S
więc
dl
=0 .
σ wS
L
I∫
Łatwo zauważyć, że
dl
=R .
(25)
L
wS
Więc U = I ⋅ R = 0 , stąd I = 0 , ponieważ R ≠ 0 .
W obwodzie nie płynie prąd ponieważ
elektromotorycznej.
Założyliśmy na początku, że
∫σ
brak
w
nim
r r
Edl
=0 ,
∫
L
co oznacza brak czynnika podtrzymującego ruch ładunków elektrycznych.
Ćwiczenie 66
8
siły
Elektryczność
Jeżeli istnieje czynnik zewnętrzny podtrzymujący przepływ ładunków,
wówczas
r r
r
j = σ w (E + E z ) ,
r
gdzie E z - natężenie pola elektrycznego pochodzącego od zewnątrz.
Wtedy
r r
∫ jdl ≠ 0 .
L
Zatem
r r r
1 r r
jdl
=
E
∫L + E z dl = IR .
σ w ∫L
(
Ponieważ
)
r r
∫ jdl
=0 ,
L
to
r r
∫ E dl
z
L
= IR ≠ 0 .
Jest to siła elektromotoryczna, którą oznaczymy przez E
E =
r r
E
∫ z dl = IR
L
R - oznacza całkowity opór obwodu
Jeżeli obwód zawiera K sił elektromotorycznych i N oporów
elektrycznych,
Rys. 6
wówczas
K
∑
i =1
E i=
N
∑I R
i
i =1
i
,
(27)
jest równaniem zapisanym dla komórki elektrycznej przedstawionej na rys. 6,
gdzie K =2, a N = 6.
Ćwiczenie 66
9
Elektryczność
Wzór (27) jest matematyczną postacią drugiego prawa Kirchhoffa.
Formułujemy je następująco:
W zamkniętym oczku sieci elektrycznej suma wszystkich sił
elektromotorycznych tam występujących jest równa sumie spadków napięć
na wszystkich oporach oczka.
Zapisując to prawo dla obwodu zamkniętego przedstawionego na
schemacie 7 otrzymamy:
Rys. 7
gdzie Rz = R1 + R2 ,
stąd
E = IRw + IR1 + IR2 = I ( Rw + Rz ) ,
I = E / (Rz + Rw )
(28)
Ostatni wzór przedstawia prawo Ohma dla obwodu zamkniętego.
Zauważmy, że IRz = U jest spadkiem napięcia na oporze zewnętrznym. Napięcie
mierzymy w woltach. Woltomierz włączamy równolegle do obwodu w punktach
między którymi chcemy zmierzyć różnicę potencjałów (napięcie).
Rys. 8
Miarą pracy przy przesunięciu ładunku między punktami o różnicy
potencjałów U, jest iloczyn
W = Q ⋅ U , (29’)
Ćwiczenie 66
10
Elektryczność
lub
W = U ⋅ I ⋅ t = I 2R ⋅ t .
(29)
Dla dowolnego przypadku nieskończenie mała praca
(30)
dW = U ⋅ Idt = I 2 Rdt .
Zależności (29) i (30) przedstawiają prawo Joule’a. Opisuje ono skutki
energetyczne przepływu prądu elektrycznego, (np. wydzielanie się ciepła na
oporniku R w wyniku przepływu prądu o natężeniu I w czasie t ).
Pracę mierzymy w dżulach.
Miarą mocy jest iloraz
dW
P=
.
dt
Różnczkując wyrażenie (29’) otrzymamy
dQ
dU dW
⋅U + Q⋅
=
=P.
dt
dt
dt
W stanie ustalonym U = const i
dQ
⋅U = I ⋅U ,
dt
P=
(31)
lub
P = I 2R .
(32)
W układzie SI jednostką mocy jest wat.
Uwzględniając (7) oraz (26), wzór (31) zapiszemy w postaci
P = ∫ jE ⋅ ldS ,
ponieważ l ⋅ dS = dV jest elementem objętościowym, to
ale z prawa Ohma
zatem
stąd
j = σ wE ,
P = ∫ jEdV ,
P = σ w ∫ E 2 dV ,
dP
= σ wE 2 .
dV
(33)
dP
- jest gęstością mocy. Łatwo zauważyć, że gęstość mocy silnie zależy od
dV
natężenia pola elektrycznego wewnątrz przewodnika.
Korzystając z prawa Ohma i praw Kirchhoffa otrzymamy zależności na
łączenie oporów. W przypadku łączenia szeregowego n oporników
Ćwiczenie 66
11
Elektryczność
n
Rzast . = R1 + R2 +...+ Rn = ∑ Ri .
i =1
(34)
Jeżeli wszystkie opory są jednakowe, wówczas
Rzast . = nR .
Przy łączeniach równoległych opór całkowity jest mniejszy od najmniejszego
oporu połączonego równolegle
n
1
1
1
1
1
=
+
+...+
=∑
.
(35)
Rzast . R1 R2
Rn i = 1 Ri
Gdy
R1 = R2 =.... = Rn = R , to
R
.
n
Jeżeli łączymy k oporników szeregowo z tak utworzonych szeregów
tworzymy n połączeń równoległych a wszystkie oporniki są jednakowe, to
opór zastępczy układu obliczamy ze wzoru:
Rzast . =
Rzast . =
Ćwiczenie 66
12
k
R .
n
Elektryczność
Wyznaczanie współczynnika temperaturowego oporu.
Metoda mostkowa.
Do pomiaru oporu często wykorzystuje się mostek Wheatstone’a.
Schemat mostka przedstawiono na rysunku poniżej.
Rys. 10
Przed przystąpieniem do odczytu wskazań przyrządów - mostek zrównoważymy
tzn. przez galwanometr G nie może płynąć prąd elektryczny ( po zamknięciu
wyłączników B i G). W stanie równowagi potencjały punktu b d są identyczne
wtedy:
U ab = U ad ,
i
(34)
U bc = U cd .
Rozpływ prądów następuje w punktach a i c
I a = I ab + I ad ,
i
I c = I bc + I cd ,
ale
I ab = I bc oraz
I ad = I cd ,
a
U ab = I ab R x ; U ad = I ad R1
(35)
U bc = I ab R p ; U cd = I ad R 2 .
Podstawiając (35) do (34) i wykonując proste działania otrzymujemy
R x R1
=
,
R p R2
a stąd
Ćwiczenie 66
13
Elektryczność
Rx =
R1
Rp .
R2
(36)
Ostatni związek pozwala na obliczenie mierzonego oporu.
Ponieważ oporniki R 1 , R 2 oraz R p są wykonane z dużą dokładnością pomiar
oporu przy pomocy mostka Wheatstone’a charakteryzuje się dużą precyzją.
Teoria
Zależność oporu elektrycznego od temperatury w przybliżeniu możemy
obliczyć ze wzoru (23). Zastępując opór właściwy oporem możemy go zapisać
następująco:
R1 = R o ( 1 + αt 1 ) ,
gdzie: Ro - jest oporem mierzonym w temperaturze To =273o K, a R1 - oporem
zmierzonym w temperaturze t1.
Na ogół nie znamy Ro, a zmierzyć możemy R1 i t1. Równanie zawiera
dwie niewiadome (Ro i α ). Aby rozwiązanie było jednoznaczne musimy
posłużyć się jeszcze drugim równaniem.
R 2 = R o ( 1 + αt 2 ) .
w tym równaniu możemy zmierzyć R 2 i t2 . Dzieląc je stronami otrzymamy:
R1 1 + αt1
=
,
R 2 1 + αt 2
a stąd po prostych przekształceniach wyznaczamy współczynnik temperaturowy
oporu
α=
Ćwiczenie 66
R 2 − R1
R1 t 2 − R 2 t1 .
14
(37)
Elektryczność
Przebieg pomiarów
1. Do mostka Wheatstone’a podłączamy zasilanie z prostownika do zacisków
B.
Galwanometr włączamy do gniazda G oraz mierzony opór do zacisków Rx
(patrz schemat rys. 11).
Rys. 11
2. Zasilanie mostka włączamy przez wciśnięcie i przekręcenie wyłącznika B
( w lewym dolnym rogu ).
3. Wciskając wyłącznik galwanometru G01 sprawdzamy zerowanie (istnieje
możliwość zablokowania tego przycisku w taki sam sposób jak przycisku B).
Jeżeli wskazówka galwanometru wyraźnie się przesuwa należy dużymi
pokrętłami (Rp) doprowadzić ją do zera skali. Następnie naciskając
wyłącznik G (dający największą czułość) przepuszczamy prąd przez
galwanometr
i wyzerowujemy go przy pomocy pokręteł Rp.
4. Po wyzerowaniu odczytujemy wartość Rp oraz temperaturę początkową
opornika.
UWAGA! (Opornik zanurzamy w kąpieli olejowej, której temperaturę
mierzymy termometrem, podgrzewamy kuchenką elektryczną zasilaną
z autotransformatora).
5. Zmieniamy ustawienia pokręteł (Rp ) o wskazaną przez prowadzącego
wartość
oporu, podgrzewamy opornik i w momencie wyzerowania
galwanometru odczytujemy temperaturę.
6. Czynności z punktu 5 powtarzamy do momentu gdy temperatura (lub opór)
osiągnie wartość wskazaną przez prowadzącego zajęcia.
7. Czynności z punktów 2 - 6 powtarzamy dla przewodnika metalicznego.
8. Czynności z punktów 2 - 6 powtarzamy dla termistora.
Ćwiczenie 66
15
Elektryczność
9. Czynności z punktów 2 - 6 powtarzamy dla roztworu.
10. Sporządzamy wykres zależności R = f(t) dla każdego rodzaju opornika.
11. Dzielimy przedział temperatury na takie podprzedziały w których wykres
R = f(t) jest zbliżony do odcinka.
12. Obliczamy współczynnik temperaturowy oporu ze wzoru (37) biorąc z
wykresu wartości oporów i brzegi przedziału temperatury.
13. Przeprowadzamy rachunek błędów i analizę wyników.
14. Wyciągamy wnioski.
Ćwiczenie 66
16
Elektryczność
Literatura:
1. Jay Orear
2. Jaworski, Dietław, Pinski
3. Imre Tarian
4. S. Przestalski
(Biologia, Rolnictwo )
5. T. Dryński
6. H. Szydłowski
7. J. Kuczera
8. A. Murkowski
Ćwiczenie 66
- Fizyka t. 1
- Kurs fizyki t. 2
- Fizyka dla przyrodników (Biologia, Rolnictwo )
- Fizyka z elementami biofizyki i agrofizyki
- Ćwiczenia laboratoryjne z fizyki
- Pracownia fizyczna
- Laboratorium fizyki i biofizyki (Biologia,
Rolnictwo )
- Ćwiczenia laboratoryjne z fizyki i biofizyki
(Biologia, Rolnictwo )
17