Lista zadań nr 3

Wprowadzenie do logiki formalnej, cz. II
Lista zada« nr 3
2 czerwca 2011
Które z poni»szych równowa»no±ci s¡ prawdziwe? Udowodnij wszystkie te implikacje,
które zachodz¡.
Zadanie 1.
Variable A : Set.
Variables P Q : A -> Prop.
(forall
(exists
(forall
(exists
x:A,
x:A,
x:A,
x:A,
P
P
P
P
x
x
x
x
/\
/\
\/
\/
Q
Q
Q
Q
x)
x)
x)
x)
<->
<->
<->
<->
(forall
(exists
(forall
(exists
x:A,
x:A,
x:A,
x:A,
P
P
P
P
x)
x)
x)
x)
/\
/\
\/
\/
(forall
(exists
(forall
(exists
x:A,
x:A,
x:A,
x:A,
Q
Q
Q
Q
x).
x).
x).
x).
Czy kwantykatory uniwersalny i egzystencjalny s¡ wzajemnie deniowalne w logice
intuicjonistycznej? Udowodnij zachodz¡ce implikacje.
Zadanie 2.
W pewnym przedszkolu jest troje dzieci o imionach Zuzia, Bartek, Tymek. Ka»de z nich
jest w innym wieku (2, 3 i 4 lata), ka»de ma inn¡ zabawk¦ i inny kolor spodenek. Ponadto wiemy, »e:
Zadanie 3.
1. Bartek jest mªodszy ni» dziecko w zielonych spodenkach.
2. Trzylatek ma misia.
3. Tymek ma »óªte spodenki.
4. Zuzia ma cymbaªki.
5. Koparki nie ma dziecko w biaªych spodenkach.
Zapisz wszystkie dane zadania jako formuªy w logice pierwszego rz¦du nad sygnatur¡ opisan¡ w
Coqu poni»ej. Nast¦pnie udowodnij, »e Bartek ma misia.
Variables
Variables
Variables
Variables
dziecko kolor zabawka : Set.
zuzia bartek tymek : dziecko.
zielony bialy zolty : kolor.
mis cymbalki koparka : zabawka.
Variable wiek : dziecko -> nat.
Variable spodenki : dziecko -> kolor.
Variable ma : dziecko -> zabawka.
(To niejedyny sposób reprezentacji danych tego zadania. Jak mo»na to zrobi¢ inaczej?)
Zadanie 4.
Zapoznaj si¦ z taktykami auto, tauto, intuition, omega. Zapisz przykªadowe formuªy
A takie, »e A dowodzi:
• auto 3, ale nie auto 2
• tauto, ale nie auto
• omega, ale nie tauto
Zadanie 5.
Udowodnij przechodnio±¢ relacji <=.