5. lista

Analiza wypukła, Matematyka, 2. st.
semestr zimowy 2015/2016
V lista zadań
1. Udowodnij, że jeśli C jest podprzestrzenią liniową, to z jest rzutem x na C wtedy
i tylko wtedy, gdy (x − z)T y = 0 dla każdego y ∈ C.
2. Pokaż, że jeśli macierz AAT jest odwracalna, to x∗ = −(I − AT (AAT )−1 A)c jest
rozwiązaniem problemu
2
znajdź min 21 kxk + cT x przy ograniczeniu Ax = 0.
Wskazówka: Najpierw udowodnij, że problem ten jest równoważny rzutowaniu wektora −c na przestrzeń {x : Ax = 0}.
3. Niech C1 będzie domkniętą kulą jednostkową w normie euklidesowej w R2 , a C2 =
(x, y) ∈ R2 : y = (x − 2)2 . Znajdź elementy zbiorów C1 i C2 , które są położone najbliżej siebie. Następnie, korzystając z uzyskanych wyników oraz własności
zbiorów wypukłych, zapisz równanie płaszczyzny rozdzielającej zbiory C1 i C2 .
4. Udowodnij następujące własności stożków:
(a) Jeśli C1 ⊂ C2 są stożkami, to C2⊥ ⊂ C1⊥ .
(b) Jeśli C jest stożkiem (niekoniecznie wypukłym), to C ⊥ = (convC)⊥ = (C)⊥ .
(c) Każdy domknięty wypukły stożek w R2 jest polihedralny. W R3 to już nie jest
prawda.
5. Niech C = {x ∈ Rn : x1 ­ x2 ­ . . . ­ xn ­ 0}.
(a) Pokaż że C jest stożkiem wypukłym.
(b) Znajdż C ⊥ .
Wskazówka: Skorzystaj z równości
n
X
xi yi
=
(x1 − x2 )y1 + (x2 − x3 )(y1 + y2 ) + (x3 − x4 )(y1 + y2 + y3 ) + . . .
i=1
+(xn−1 − xn )(y1 + . . . + yn−1 ) + xn (y1 + . . . + yn ).
6. Jeśli stożek wypukły C ⊂ Rn nie zawiera podprzestrzeni, można przy jego pomocy
zdefiniować w następujący sposób porządek w Rn :
x C y ⇐⇒ y − x ∈ C.
Pokaż, że zdefiniowana powyżej relacja jest rzeczywiście porządkiem. Dlaczego założenie, że C nie zawiera podprzestrzeni, jest istotne?
7. Udowodnij następujące twierdzenie Carathéodory’ego:
Niech A ⊂ Rn . Jeśli x ∈ convA, to x jest kombinacją liniową co najwyżej n + 1
elementów A.