Rachunek prawdopodobieństwa, ćwiczenia 2: prawdopodobieństwo

Rachunek prawdopodobieństwa, ćwiczenia 2: prawdopodobieństwo

Rachunek prawdopodobieństwa, ćwiczenia 2:
prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń
14 listopad 2011
Zadanie 1. Pokazać, że w przestrzeni dyskretnej, dla żadnego 0 < ε < 21 , nie istnieje
nieskończony ciąg zdarzeń niezależnych, z których każde ma prawdopodobieństwo w
przedziale (ε, 1 − ε).
Zadanie 2. Załóżmy, że B1 , B2 , . . . , Bn jest rozbiciem Ω oraz dla pewnego zdarzenia C
wszystkie prawdopodobieństwa P(C ∩ Bi ) sa̧ dodatnie. Wykaż, że
P(A ∩ C) =
n
X
P(A|Bi ∩ C)P(Bi ∩ C).
i=1
Zadanie 3. Test na pewna̧ chorobȩ, na która̧ cierpi średnio 1 osoba na 1000, daje zawsze
odpowiedź dodatnia̧ u chorego, a tzw. fałszywa̧ odpowiedź dodatnia̧ u 5% zdrowych.
Jaka jest szansa, że losowo wybrana osoba, u której test dał odpowiedź pozytywna̧, jest
faktycznie chora?
Zadanie 4. Konkurs składa siȩ z etapów. W każdym etapie szansa wygranej wynosi p
(i kończymy grać), szansa odpadniȩcia z konkursu bez nagrody wynosi q (p + q < 1), a
jeśli nie wygramy i nie odpadniemy, to gramy dalej, tzn. przechodzimy do nastȩpnego
etapu. Jakie jest prawdopodobieństwo wygranej?
Zadanie 5. Dla zdarzeń A1 , A2 , . . . , An , udowodnij że
P(A1 ∩ A2 ∩ . . . An ) = P(A1 )P(A2 |A1 )P(A3 |A1 ∩ A2 ) . . . P(An |A1 ∩ · · · ∩ An−1 )
o ile P(A1 ∩ · · · ∩ An ) > 0.
Zadanie 6. Niech Ω = {1, 2, . . . , p}, F niech bȩdzie rodzina̧ wszystkich podzbiorów Ω,
i niech P(A) = |A|/p dla każdego A ∈ F. Przyjmijmy, że p jest liczba̧ pierwsza̧. Pokaż,
że jeżeli A i B sa̧ niezależne, to przynajmniej jeden ze zbiorów A i B jest albo ∅, albo
Ω.
Zadanie 7. Sa̧ dwie drogi z A do B i dwie drogi z B do C. Prawdopodobieństwo zasypania śniegiem dowolnej z tych dróg wynosi p i sa̧ to zdarzenia niezależne. Znajdź
prawdopodobieństwo, że jest wolny przejadz a A do B pod warunkiem, że nie ma przejazdu z A do C.
Znajdź również prawdopodobieństwo, jeżeli założymy dodatkowo, że istnieje droga bezpośrednia z A do C, zasypana z prawdopodobieństwem p niezależnie od pozostałych.
Zadanie 8. Czworo świadków A, B, C i D, w trakcie procesu mówi prawdȩ z prawdopodobieństwem 1/3 niezależnie od siebie nawzajem. W zeznaniach A stwierdził, że B zaprzeczył jakoby C zadeklarował, że D skłamał. Jakie jest prawdopodobieństwo (warunkowe), że D powiedział prawdȩ?
k
Zadanie 9. Owad składa k jajeczek z prawdopodobieństwem λk! e−λ , λ > 0. Potomek
wylȩga siȩ z jaja z prawdopodobieństwem p, niezależnie od innych. Znaleźć prawdopodobieństwo, że liczba potomków bȩdzie równa l.
Zadanie 10. Z talii 8 - czterech króli i czterech asów - wybieramy losowo dwie karty.
Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że wybrano 2 króle, przy założeniu że:
a) wybrano co najmniej jednego króla,
b) wśród wybranych kart jest czarny król,
c) wśród wybranych kart jest król pik.
Zadanie 11. Rzucamy wielokrotnie symetryczna̧ moneta̧. Pokaż, że nastȩpuja̧ce zdania
sa̧ równoważne:
I) wyniki poszczególnych rzutów sa̧ od siebie niezależne, II) dla dowolnego skończonego
cia̧gu orłów i reszek szansa, że ten cia̧g pojawi siȩ w pierwszych m rzutach wynosi 2−m ,
gdzie m jest długościa̧ tego cia̧gu.
1
2
Zadanie 12. Talia składa siȩ z czterech kart - asów. Rozdajemy dwie z nich koszulka̧
do góry przed naszym prawdomównym przyjacielem. On ogla̧da je i mówi nam, że jedna
z nich jest asem kier. Jaka jest szansa, że druga karta jest asem karo? Może 1/3?
Przypuśćmy, że protokół przyjaciela był nastȩpuja̧cy:
a) jeżeli nie było czerwonych asów mówi ”brak czerwonych asów”,
b) jeżeli był as kier mówi ”jest as kier”,
c) jeżeli był as caro, ale nie było asa kier mówi ”jest as karo”.
Pokaż, że prawdopodobieństwo w tym przypadku jest 1/3.
Wymyśl protokół dla któregoprawdopodobieństwo w tym przypadku bȩdzie 0.
Zadanie 13 (Zadanie o ruinie gracza). Rzucamy symetryczna̧ moneta̧. Jeżeli wypadnie
orzeł gracz A dostaje złotówkȩ, jeżeli reszka traci złotówkȩ. A zaczyna grȩ z kapitałem a
zł, a kończy gdy wszystko straci, lub gdy bȩdzie miał c zł(a < c). Oblicz prawdopodobieństwo ruiny gracza A.
Zadanie 14. Gracz A ma nieograniczony kapitał i gra aż do momentu w którym wygra
b zł. Znajdź prawdopodobieństwo wygranej gracza A.
Zadanie 15. Król Artur urza̧dza turniej rycerski, w którym rycerze spotykaja̧ siȩ (jakże
by inaczej?) systemem turniejowym. Obaj uczestnicy każdego pojedynku maja̧ równe
szanse na zwyciȩstwo. Wśród 2n uczestników jest dwóch braci. Jakie jest prawdopodobieństwo, że spotkaja̧ siȩ w pojedynku?
Zadanie 16 (Idź na Całość). W teleturnieju ”Idź na Całość” można było wygrać samochód. Stawiano uczestnika przed trzema zasłoniȩtymi bramkami. Za jedna̧ z nich krył siȩ
upragniony samochód, za pozostałymi zaś przysłowiowy zonk. Gracz wskazywał jedna̧
z bramek po czym prezenter odsłaniał jedna̧ z pozostałych bramek, za która̧ nie krył
siȩ samochód. Wówczas pojawiał siȩ wybór. Uczestnik mógł jeszcze zmienić wybrana̧
bramkȩ na tȩ druga̧ nieodsłoniȩta̧. Rozpoczȩły siȩ liczne dyskusje. Jedni twierdzili, że
ta możliwość nic nie daje, prawdopodobieństwo wygranej pozostaje takie samo. Inni
twierdzili, że siȩ opłaca. Która strona miała racjȩ?
Zadanie 17. A wysyła do B informacje, koduja̧c je kropkami i kreskami. Prawdopodobieństwo błȩdu w odbiorze w przypadku nadania kropki wynosi 0,2, a w przypadku
kreski 0,1. Czȩstość nadawania kropek w stosunku do nadawania kresek wynosi 4:1. W
pewnym momencie B odebrał kropkȩ. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ten sygnał nie
jest przekłamany?
Zadanie 18. Jest n osób: A1 , A2 , . . . , An . Osoba A1 dostaje kartkȩ ze znakiem +. Z
prawdopodobieństwem p, 0 < p < 1, zmienia znak na przeciwny i podaje kartkȩ osobie
A2 , która z prawdopodobieństwem p zmienia znak na przeciwny i podaje kartkȩ osobie
A3 , itd. Na zakończenie, po oddaniu kartki przez osobȩ An , zaobserwowano znak +.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że osoba A1 nie zmieniła znaku?
Zadanie 19. Pijak (i to pijany) znajduje siȩ 3 kroki od przepaści. Szansa wykonania
kroku w kierunku przepaści wynosi 1/3, w przeciwnym 2/3, kroki sa̧ niezależne. Jaka
jest szansa ocalenia? Zakładamy, że pijak spada, gdy znajdzie siȩ na krawȩdzi przepaści.
Zadanie 20. Symetryczny losowy spacer odbywa siȩ na liczbach od 0 do N , z pocza̧tkiem
w k. Spacer przerywamy, jeżeli dojdziemy do któregoś z krańców. Pokaż, że prawdopodobieństwo, że spacer nigdy nie zostanie przerwany, wynosi 0.