Matematyczne obrazy - Poradnia Psychologiczno

mgr Robert Fuławka
pedagog
PPP – 2 Wrocław
Matematyczne obrazy
( możliwości wizualno – przestrzennych form pracy terapeutycznej z dzieckiem z trudnościami w matematyce )
Matematyka to ( w pewnym uproszczeniu ) nauka o różnych wielkościach i wielorakich
relacjach między nimi. Chodzi oczywiście nie tylko o relacje wyrażone liczbami, ale i o
relacje przestrzenne; nie tylko w obszarze rzeczywistym, ale także abstrakcyjnym.
Warunki pomyślnego uczenia się i uzyskiwania osiągnięć w matematyce są proste:
• aktywny i pozytywny stosunek dziecka do matematyki, przejawiający się w wyraźnym
zainteresowaniu ta dziedziną wiedzy i chęcią zajmowania się nią;
• zdolność dziecka do skupienia uwagi;
• zdolność dziecka do sformalizowanego postrzegania rzeczywistości i logicznego
myślenia w sferze stosunków ilościowych, przestrzennych, symboli liczbowych i
znakowych;
• zdolność dziecka do myślenia zredukowanymi strukturami i intuicje do szerszego
uogólniania matematycznych obiektów;
• zdolność dziecka do rozwiązań jasnych, prostych i ekonomicznych.
Większość niepowodzeń w nauce matematyki nie wiąże się bezpośrednio z brakiem
powyższych zdolności matematycznych u dzieci, lecz dotyczy niekorzystnych doświadczeń w
nauce tego przedmiotu oraz niewłaściwych struktur spostrzegania matematycznych obiektów.
Dziecko często nie potrafi zaplanować sposobu rozwiązania danego problemu, ponieważ go
„nie widzi” i „nie czuje”. Prosty przykład:
Czy 1000 jest już dla kilkuletniego dziecka dużą liczbą ?
Ile potrzeba czasu, aby policzyć do 1000 ? Ile to może być 1000 sekund ?
Co się stanie, gdy do tysiąca dopiszemy na końcu jeszcze trzy zera ?
Jaka powstanie nowa liczba ?
Ta liczba składa się z jedynki i sześciu zer – to milion
Ile potrzeba czasu, aby policzyć do miliona ?
A co się stanie, gdy do 1 000 000 dopiszemy na końcu kolejne trzy zera?
Ta liczba składa się z jedynki i dziewięciu zer – to miliard
Ile potrzeba czasu, aby policzyć do miliarda ?
Większość dzieci zupełnie nie zdaje sobie sprawy, że:
1000 sekund, to trochę więcej niż 16 minut.
Potrzeba więcej niż 11 dni, aby policzyć do miliona i ponad 31 lat, aby policzyć do miliarda.
Jeżeli człowiek chciałby jeść, spać i liczyć tylko po 10 godzin dziennie, to policzenie do
miliona zajęłoby mu prawie 28 dni ( niemal cały miesiąc ) a policzenie do miliarda – prawie
80 lat ( niemal całe życie ).
Na kartce 1 000 000 000 zajmuje niewiele miejsca, może kilka centymetrów, ale żeby poczuć
jego prawdziwą wielkość, potrzeba „całego życia”. W nauce matematyki dziecko szybko i
bez głębszej refleksji przechodzi do kolejnych wielkości ( dopisując np. kolejne zera ), ale czy
zdaje sobie sprawę z rzeczywistych relacji między liczbami ?
Przykład kolejny:
W jednym z wycofanych już testów psychologicznych pytano dziecko, dlaczego na ziemskim
niebie Księżyc jest większy od gwiazd ( choć prawie wszyscy wiedzą, że gwiazdy są większe
od Księżyca ) ? Wiele dzieci odpowiadało, że Księżyc jest bliżej Ziemi, więc widzimy go
jako coś większego ( jest po prostu niżej od gwiazd ). Odpowiedź prawidłowa – punkt dla
dziecka. Ale na pomocnicze pytanie: czy wiesz, jak daleko od Ziemi jest Księżyc a jak daleko
są gwiazdy, wprawiało dzieci w poważne zakłopotanie. Wyobraźmy sobie zatem, że
wyruszamy w podróż. Podróże bywają krótkie i długie – zależy to od odległości, jaką
zamierzamy pokonać i prędkości, z jaką będziemy się poruszać. Wybieramy się bardzo
daleko – potrzebujemy zatem bardzo szybkiego wehikułu. W przyrodzie istnieje taki sprinter,
jest nim światło. Światło pokonuje aż 300 000 kilometrów w ciągu każdej sekundy; co to
oznacza ? Oznacza to, że światło:
• w ciągu jednej sekundy przewiezie nas prawie 8 razy dookoła Ziemi
• w ciągu jednej sekundy dowiezie nas na Księżyc
• w ciągu 500 sekund ( trochę ponad 8 minut ) dowiezie nas do Słońca
• w ciągu 135 milionów sekund ( 4,3 lata ) dowiezie nas do Proxima Centauri,
najbliższej nam gwiazdy ( nie licząc Słońca ).
Są jeszcze takie odległości, których boi się nawet światło – do środka naszej Galaktyki musi
podróżować 30 000 lat, do Mgławicy w Andromedzie ponad 2 miliony lat, do najdalszych
zakątków Wszechświata ponad 10 miliardów lat !
Tymczasem większość dzieci, gdy dowiadywało się, że na Księżyc wystarczy niewiele więcej
niż jedna sekunda lotu, proponowało od dwóch do dziesięciu sekund na podróż do gwiazd.
Czy to są właściwe proporcje ?
Tak więc rozumowanie, przewidywanie, wnioskowanie, uzasadnianie problemów
matematycznych oraz wyczucie matematyczne w danej sytuacji zadaniowej, zależą w
znacznej mierze od wyobraźni i reprezentacji świata w umyśle dziecka. Same dzieci
niejednokrotnie twierdzą, że nie rozumieją matematyki, ponieważ są w sytuacji człowieka
słuchającego transmisji zawodów sportowych w telewizji. Tylko słuchają – nie widzą – a
sprawozdawca ( w tym przypadku nauczyciel ) widząc to, co się dzieje na zawodach,
komentuje dla tych, którzy także widzą. Komentator telewizyjny nie dopuszcza w ogóle
innego sposobu komunikowania się z widzem, nie rozumie zatem tych, którzy nie widzą.
Pewną szansą są transmisje radiowe. Tu komentator zdaje sobie sprawę, że tylko on widzi
rzeczywisty przebieg zawodów. Aby właściwie oddać ich przebieg i atmosferę, musi znacznie
częściej poruszać wyobraźnię i nawiązać bliższy kontakt ze słuchaczem. To tak, jak
nauczyciel – terapeuta, który powinien rozładować i wyciszyć negatywne emocje dziecka,
wyzwolić potencjalne możliwości i zainteresowania, pomóc odzyskać wiarę we własne siły i
zwiększyć jego motywację do pracy.
W terapii dzieci z poważnymi trudności w nauce matematyki warto zwrócić szczególną
uwagę na:
• błędy nieuwagi;
• zapominanie następnego etapu jakiejś operacji;
• brak sprawdzenia pracy bądź sprawdzanie, które nie jest skuteczne;
• wrażenie rozumienia problemu na zajęciach, ale nie w samodzielnej pracy domowej;
• trudności w operacjonalizacjach ( zastosowaniach ) matematycznych;
• niechęć do gier związanych z liczbami lub przestrzennym kojarzeniem;
•
•
•
•
•
•
•
pomoc w odczytywaniu dłuższych poleceń, upewnienie się czy dziecko dobrze je
zrozumiało ( konieczne dodatkowe wyjaśnienia );
wydłużenie czasu przewidzianego na wykonywanie zadań związanych z czytaniem,
pisaniem i liczeniem;
graficzne przedstawianie treści zadań;
zezwalanie na wykonywanie obliczeń „wybranym” przez dziecko sposobem np.
mnożenie na palcach, posługiwanie się tablicą mnożenia;
przeznaczanie większej ilości czasu na obliczenia pamięciowe;
podpowiadanie brakujących słów podczas wypowiedzi ustnych;
budowanie na tym, co dziecko potrafi i robi względnie dobrze.
W sytuacji kiedy utrudnione jest gromadzenie, przechowywanie i odtwarzanie treści
matematycznych, kiedy sekwencje, algorytmy i bardziej skomplikowane techniki rachunkowe
obarczone są u dziecka – mimo wielu powtórzeń – błędami, kiedy utrzymują się trudności w
werbalizowaniu swoich myśli ( dziecko rozwiąże zadanie, ale nie będzie potrafiło precyzyjnie
opisać sposobu, w jaki to zrobiło ), warto posługiwać się matematycznym obrazem.
Jak można np. uważniej „przyjrzeć się” przemienności mnożenia i porównywaniu ułamków
zwykłych ? Oto przykłady z działań terapeutycznych z dziećmi prowadzonymi w Poradni
Psychologiczno – Pedagogicznej nr 2 we Wrocławiu:
Pierwszy układ graficzny przedstawia pewien porządek w ułożeniu kółek.
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
Drugi układ graficzny również pokazuje pewne uporządkowanie:
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
Czy pierwszy układ kółek jest podobny do drugiego układu ?
Raczej nie, są one wyraźnie różne. Jeden jest szerszy, drugi jest dłuższy – tak powiedzą
dzieci. Z pierwszego wynika, że 5x3=15, z drugiego, że 3x5=15. Coś tu się nie zgadza.
Można jednak wyobrazić sobie trzeci układ, który jest bardziej podobny do pierwszego
( trzeba go tylko odwrócić ) i trochę już widać, że 3 x 5 = 5 x 3
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
Inne ciekawe przykłady:
•
•
pojemnik na jajka
tabliczka czekolady
Pole powierzchni prostokąta jest iloczynem dwóch boków tego prostokąta; kolejność nie
odgrywa żadnej roli. Ta ważna właściwość, że iloczyn dwóch dowolnych liczb nie zależy od
ich kolejności, nazywa się prawem przemienności. Jest więc prawdą, że:
a x b = b x a ( dla dowolnych liczb a i b )
Ponieważ ludzie postanowili pomijać znak mnożenia pomiędzy literami, można to zapisać:
ab = ba
Ale pomijanie znaku mnożenia między liczbami nie jest dobrym pomysłem, bo 3 x 5 i 35 to
zupełnie różne rzeczy. Powinno się zatem pamiętać o pełnym zapisie ( tam, gdzie jest on
konieczny ).
Jeżeli weźmiemy pod uwagę prawo przemienności i uwzględnimy fakt, że mnożenie przez 1
i przez 10 jest bardzo łatwe ( pamiętamy je bez wysiłku ), to wystarczy nauczyć się 36
iloczynów. Wśród nich są łatwiejsze do zapamiętania, jak choćby kwadraty liczb ( 2 x 2; 3 x
3; 4 x 4 ), trochę trudniejsze ( często myli nam się 6 x 9 = 54 i 7 x 8 = 56 ).
Oto tabela mnożenia, ciekawe, jak wiele pól jest pustych. Są puste, bo wyniki mnożenia
łatwo zapamiętać. Można wskazać kolejne łatwe mnożenia. Tabela mnożenia przypomina
trochę grę w statki.
X
1
2
3
4
5
6
7
8
9
4
6
8
10
12
14
16
18
9
12
15
18
21
24
27
16
20
24
28
32
36
25
30
35
40
45
36
42
48
54
49
56
63
64
72
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
81
10
Czy podobnie można mnożyć ułamki, czy ½ x ¾ = ¾ x ½ ?
Oczywiście, wystarczy popatrzeć na nasze prostokąty.
W ułamkach bardzo trudne jest ich porównywanie, który z nich jest większy, który mniejszy.
Czasem – choć ułamki wyglądają zupełnie inaczej – są takie same: 1/2 = 2/4 = 3/6 = 4/8
Przyjrzyjmy się tablicy ułamkowej. Można, patrząc na nią, bez trudu porównywać ułamki:
1/2 jest mniejsze od 1/3+1/3, czyli od 2/3
2/3 jest mniejsze od 1/4+1/4+1/4, czyli od 3/4
Tablicę ułamkową można oczywiście przedłużać i obserwować ciekawe zachowania wielu
ułamków.
1
1/2
1/2
1/3
1/3
1/4
1/4
1/5
1/10
1/6
1/7
1/7
1/8
1/9
1/10
1/8
1/9
1/10
1/4
1/5
1/6
1/7
1/9
1/4
1/5
1/6
1/8
1/3
1/6
1/7
1/8
1/9
1/10
1/5
1/6
1/7
1/8
1/9
1/10
1/5
1/7
1/8
1/9
1/10
1/6
1/10
1/7
1/8
1/9
1/10
1/9
1/10
1/8
1/9
1/10
Dla każdego dziecka powinien być opracowany indywidualny program pracy, choć nie
powinno się unikać dobrych, sprawdzonych sposobów. Wiele nauczyć się można od samych
dzieci – warto to robić. Poza tym, aby skutecznie radzić sobie z matematycznymi
problemami, należy przestrzegać jeszcze kilku zasad:
•
•
•
•
•
zajęcia powinny się rozpoczynać od zadań łatwiejszych, nawet nieco poniżej
możliwości dziecka ( spokojnie należy stopniować trudności );
należy przestrzegać przyjętej kolejności ćwiczeń;
każda praca wykonana przez dziecko powinna być sprawdzona, a ewentualne błędy
poprawione;
uwzględnić należy w czasie pracy zmęczenie dziecka, które musi intensywnie
angażować funkcje percepcyjno - motoryczne.
zajęcia kończyć tak, aby dziecko było zadowolone.