Zastosowania całki Riemanna

Zastosowania ca÷
ki Riemanna
1. Zastosowania ca÷
ek wielokrotnych w geometrii
(a) Pole powierzchni obszaru p÷
askiego Jez·eli D R2 jest zbiorem
mierzalnym (w sensie Jordana), to pole powierzchni (miara dwuwymiarowa) zbioru D wynosi
ZZ
m (D) =
dxdy.
D
(b) Objetość
¾
bry÷
y Jez·eli V
R3 jest zbiorem mierzalnym (w sensie
Jordana), to objetość
¾
(miara trójwymiarowa) zbioru V wynosi
ZZZ
m (V ) =
dxdydz.
V
(c) Objetość
¾
bry÷
y obrotowej Jez·eli V jest bry÷a¾ powsta÷a¾ z obrotu
zbioru mierzalnego D [0; 1) R dooko÷
a osi OY , to objetość
¾
(miara
trójwymiarowa) zbioru V wynosi
ZZ
m (V ) = 2
xdxdy.
D
2. Zastosowania ca÷
ek wielokrotnych w …zyce
(a) Masa obszaru p÷
askiego D o rozk÷adzie gestości
¾
(x; y) wynosi
ZZ
mD =
(x; y)dxdy.
D
Masa bry÷
y V o rozk÷adzie gestości
¾
(x; y; z) wynosi
ZZZ
mV =
(x; y; z)dxdydz.
V
(b) Środek cie·
¾zkości obszaru p÷
askiego D o rozk÷adzie gestości
¾
(x; y)
ma wspó÷
rzedne
¾
ZZ
ZZ
1
1
x (x; y)dxdy ,
y0 =
y (x; y)dxdy.
x0 =
mD
mD
D
D
Środek cie·
¾zkości bry÷
y V o rozk÷adzie gestości
¾
(x; y; z) ma wspó÷rzedne
¾
ZZZ
ZZZ
1
1
x (x; y; z)dxdydz ,
y0 =
y (x; y; z)dxdydz ,
x0 =
mV
mV
V
V
ZZZ
1
z0 =
z (x; y; z)dxdydz.
mV
V
1
(c) Moment bezw÷
adności bry÷
y V o rozk÷adzie gestości
¾
(x; y; z)
wzgledem
¾
środka uk÷adu wspó÷rzednych
¾
wynosi
ZZZ
I0 =
x2 + y 2 + z 2 (x; y; z)dxdydz,
V
wzgledem
¾
osi OX wynosi IX =
RRR
y2 + z2
(x; y; z)dxdydz,
x2 + z 2
(x; y; z)dxdydz,
V
wzgledem
¾
osi OY wynosi IY =
RRR
V
RRR
x2 + y 2 (x; y; z)dxdydz,
RRR 2
wzgledem
¾
p÷
aszczyzny OXY wynosi IXY =
z (x; y; z)dxdydz,
V
RRR 2
y (x; y; z)dxdydz,
wzgledem
¾
p÷
aszczyzny OXZ wynosi IXZ =
V
RRR
x2 (x; y; z)dxdydz.
wzgledem
¾
p÷
aszczyzny OY Z wynosi IY Z =
wzgledem
¾
osi OZ wynosi IZ =
V
V
Dyfeomor…zmy. Zamiana zmiennych w ca÷
ce Riemanna
Niech G Rk bedzie
¾
zbiorem otwartym, f : G ! Rl . Pochodna¾ mocna¾
odwzorowania f w punkcie p nazywamy odwzorowanie liniowe A : Rk ! Rl
takie, z·e
f (p + h) f (p) A (h)
= .
lim
h!
khk
0
Pochodna¾ mocna¾ oznaczamy f (p). Jez·eli odwzorowanie ma pochodna¾ mocna¾
w punkcie p, to mówimy, z·e jest ró·
zniczkowalne w tym punkcie. Macierz
h
i
fixj (p)
0
i l;j k
3
@f1
(p) : : : @x
(p)
k
5
::: :::
= 4 :::
@fl
@fl
@x1 (p) : : :
@xk (p)
2
@f1
@x1
nazywamy macierza¾ Jacobiego odwzorowania f . Jez·eli l = k, to wyznacznik macierzy Jacobiego
@ (f1 : : : fk )
Jf (p) =
(p) =
@ (x1 : : : xk )
@f1
@x1
@f1
(p) : : : @x
(p)
k
:::
::: :::
@fl
@fl
@x1 (p) : : :
@xk (p)
nazywamy jakobianem odwzorowania f .
Twierdzenie o zamianie zmiennych w ca÷
ce Riemanna
2
Twierdzenie: Niech U; V
Rk bed
¾ a¾ zbiorami otwartymi, ' : U ! V dyfeomor…zmem, D V zbiorem takim, z·e D i ' 1 (D) sa¾ mierzalne oraz jakobian
J' jest ograniczony na ' 1 (D). Dla dowolnej funkcji ciag÷
¾ ej f : D ! R
Z
Z
f=
(f ') jJ' j .
D
'
1 (D)
Zamiana zmiennych w ca÷
ce podwójnej i potrójnej
x = x0 + r cos ;
y = y0 + r sin :
Odwzorowanie ' (r; ) = (x0 + r cos ; y0 + r sin ) jest dyfeomor…zmem zbioru (0; 1) (0; 2 ) na swój obraz oraz J' (r; ) = r. Jez·eli
D jest ko÷
em o środku (x0 ; y0 ), to ' 1 (D) jest prostokatem.
¾
8
< x = x0 + r cos ;
y = y0 + r sin ;
(b) Wspó÷
rzedne
¾
cylindryczne (walcowe):
:
z = z:
Odwzorowanie ' (r; ; z) = (x0 + r cos ; y0 + r sin ; z) jest dyfeomor…zmem zbioru (0; 1) (0; 2 ) R na swój obraz oraz J' (r; ; z) =
x = x0
r. Jez·eli D jest walcem, którego oś jest zawarta w prostej
,
y = y0
to ' 1 (D) jest prostopad÷
ościanem.
8
< x = x0 + r cos cos ;
y = y0 + r sin cos ;
(c) Wspó÷
rzedne
¾
sferyczne:
:
z = z0 + r sin :
Odwzorowanie ' (r; ; ) = (x0 + r cos cos ; y0 + r sin cos ; z0 + r sin )
jest dyfeomor…zmem zbioru (0; 1) (0; 2 )
2 ; 2 na swój obraz
oraz J' (r; ; z) = r2 cos . Jez·eli D jest kula¾ o środku (x0 ; y0 ; z0 ), to
' 1 (D) jest prostopad÷
ościanem.
Uwaga: We wszystkich trzech przypadkach mo·zna zastapi´c
¾ przedzia÷
(0; 2 ) przedzia÷em ( ; ).
1. (a) Wspó÷
rzedne
¾
biegunowe:
3