Elementy teorii popytu *** II. Funkcja popytu konsumenta nxn cena

***
Elementy teorii popytu
***
II. Funkcja popytu konsumenta
x = (x1, x2, . . . , xn), p = (p1, p2, . . . , pn)
cena koszyka x
Zbiór wszystkich koszyków, na jakie sta¢ konsumenta o dochodzie I przy cenach p =
(p1, p2, . . . , pn): D(p, I) = {x ∈ Rn
+ : hp, xi 6 I}
hp, xi = p1x1 + p2x2 + · · · + pnxn
Lini¡ (pªaszczyzn¡) bud»etow¡ nazywamy zbiór wszystkich tych koszyków, których
kupno wymaga wydania caªego dochodu, tj.
Def. 1.
{x ∈ Rn
+ : hp, xi = I}
Tw. 1. Zbiór
D(p, I) = {x ∈ Rn
+ : hp, xi 6 I}
jest
ograniczony, domkni¦ty i wypukªy.
u : Rn
+ → R
∀I > 0, ∀p > 0
Tw. 2. Je»eli funkcja u»yteczno±ci
jest ci¡gªa i silnie wkl¦sªa, to
D(p, I) istnieje dokªadnie jeden opymalny koszyk x̄ speªniaj¡cy warunek u(x̄) >
u(x) ∀x ∈ D(p, I) x 6= x̄.
w zbiorze
Koszyk x̄ jest rozwi¡zaniem zadania maksymalizacji u»yteczno±ci konsumpcji:
max u(x);
hx, pi 6 I,
x > 0.
Tw. 3. Je»eli funkcja u»yteczno±ci
u : Rn
+ → R
jest rosn¡ca, ró»niczkowalna i silnie wkl¦sªa na
intRn
+,
to koszyk
x̄
jest rozwi¡zaniem optymal-
nym zadania maksymalizacji u»yteczno±ci konsumpcji
⇔
λ̄ > 0
para (x̄, λ̄)
istnieje taka liczba
mno»nikiem Lagrange'a), »e
nast¦puj¡cy ukªad
n+1
(zwana
speªnia
równa«:
∂u(x)
|x=x̄ = λ̄pi, i = 1, 2, . . . , n,
∂xi
hx, pi = I.
Funkcj¡ popytu konsumenta nazyn,
wamy odwzorowanie ϕ : intRn+1
→
int
R
+
+
która ka»dej parze (p, I) > 0 przyporz¡dkowuje
odpowiadaj¡ce jej rozwi¡zanie x̄ = ϕ(p, I) >
0 zadania maksymalizacji u»yteczno±ci konsumpcji.
Def.
2.
Tw. 4.Je»eli pewne dwie funkcje u»yteczno±ci
u1(x)
i
u2(x)
opisuj¡ t¦ sam¡ relacj¦ preferencji
konsumenta, to odpowiada im jedna i ta sama
funkcja popytu
ϕ(p, I)
Funkcja popytu konsumenta ϕ(p, I) jest
dodatnio jednorodna stopnia zero tzn. ∀p >
0, ∀I > 0, ∀λ > 0 ϕ(λp, λI) = ϕ(p, I).
Tw. 5.
Je»eli funkcja u»yteczno±ci jest rosn¡ca, silnie wkl¦sªa i ci¡gªa, to odpowiadaj¡ca jej funkcja popytu jest ci¡gªa. Je±li dodatkowo funkcja u»yteczno±ci jest dwukrotnie
ró»niczkowalna, a jej hesjan H(x) jest ujemnie
okre±lony, to odpowiadaj¡ca jej funkcja popytu
jest ró»niczkowalna.
Tw. 6.
Po±redni¡ funkcj¡ u»yteczno±ci nazywamy odwzorowanie v : intRn+1
→ R, które
+
ka»dej parze (p, I) > 0 przyporz¡dkowuje
u»yteczno±¢ u(x̄) optymalnego koszyka x̄ =
ϕ(p, I) > 0, b¦d¡cego rozwi¡zaniem zadania
maksymalizacji u»yteczno±ci konsumpcji.
Def. 3.
Tw. 7.
Je»eli funkcja u»yteczno±ci
ci¡gªa i silnie rosn¡ca na
Rn
+,
jest
to odpowiadaj¡ca
jej po±rednia funkcja u»yteczno±ci
a) ci¡gªa na
u(x)
v(p, I)
jest:
intRn=1
+ ,
b) dodatnio jednorodna stopnia 0,
I
i = 1, 2, . . . , n.
c) rosn¡ca wzgl¦dem dochodu
wzgl¦dem cen
pi,
oraz malej¡ca
(To»samo±¢ Roy'a) Je»eli po±rednia
funkcja u»yteczno±ci v(p, I) jest ró»niczkowalna
∂v(p,I)
na Rn+1
oraz
6= 0, to ∀(p, I) speªniona
+
∂I
jest równo±¢:
Tw. 8.
∂v(p, I)/∂pi
ϕi(p, I) = −
(i = 1, . . . , n).
∂v(p, I)/∂I
Pochodn¡ ∂v(∂Ip,I) nazywamy kra«cow¡
u»yteczno±ci¡ dochodu.
Def. 4.
Je»eli po±rednia funkcja u»yteczno±ci
v(p, I) jest ró»niczkowalna na intRn+1
oraz x̄ =
+
ϕ(p, I), to ∀(p, I) > 0 speªniona jest równo±¢:
Tw. 9.
∂u(x) 1
∂v(p, I)
=
·
= λ̄,
∂I
∂xi
pi
i = 1, . . . , n.
Popytem kra«cowym na i-ty towar wzgl¦dem ceny j -tego towaru nazywamy
pochodn¡:
Def.
5.
c (p, I) =
Pij
∂ϕi(p, I)
.
∂pj
Elastyczno±ci¡ popytu na i-ty towar
wzgl¦dem ceny j -tego towaru (elastyczno±ci¡
Def. 6.
cenow¡) nazywamy funkcj¦
postaci:
εcij : intRn+1
→ R
+
pj
∂ϕi(p, I)
c
εij (p, I) =
·
∂pj
ϕ(p, I)
Towar nazywamy normalnym, je»eli
popyt na ten towar maleje wraz ze wzrostem
jego ceny.
Def. 7.
Towar nazywamy towarem Giena, je»eli popyt na ten towar ro±nie wraz ze
wzrostem jego ceny.
Def.
8.
Towar i-ty nazywamy substytucyjnym
wzgl¦dem towaru j -tego, je±li wzrost ceny towaru j -tego powoduje wzrost popytu na towar
i-ty.
Def. 9.
Towar i-ty nazywamy komplementarnym wzgl¦dem towaru j -tego, je»eli wzrost
ceny towaru j -tego powoduje spadek popytu na
towar i-ty
Def. 10.
Popytem kra«cowym na i-ty towar wzgl¦dem dochodu konsumenta nazywamy
Def.
11.
pochodn¡
∂ϕi(p, I)
d
Pi (p, I) =
.
∂I
Elastyczno±ci¡ popytu na i-ty towar
wzgl¦dem dochodu konsumenta (elastyczno±ci¡
dochodow¡) nazywamy funkcj¦ εdi : intRn+1
→R
+
postaci
Def. 12.
εdi(p, I) =
I
∂ϕi(p, I)
·
.
∂I
ϕi(p, I)
Towarem wy»szego rz¦du nazywamy
towar, na który konsument zwi¦ksza popyt, gdy
wzrasta jego dochód.
Def. 13.
Towarem ni»szego rz¦du nazywamy
towar, na który konsument zmniejsza popyt, gdy
wzrasta jego dochód.
Def. 14.
Wzrost dochodu konsumenta
powoduje wzrost popytu na przynajmniej jeden
towar, tzn.
Twi.
10.
∂ϕj (p, I)
∀(p,I) ∃j
> 0.
∂I
Wzrost ceny jakiegokolwiek towaru
powoduje spadek popytu na przynajmniej jeden
towar, tzn.
Twi. 11.
∂ϕj (p, I)
∀(p,I) ∃j
< 0.
∂pi
Je»eli wraz ze wzrostem ceny popyt
na towar ro±nie, to wraz ze wzrostem dochodu
popyt na ten towar maleje, tzn.
Twi. 12.
!
∀(p,I) ∀i
∂ϕj (p, I)
∂ϕi(p, I)
<0 .
>0⇒
∂pi
∂I
III. Funkcja kompensacyjnego popytu
Twi. 13. Je»eli funkcja u»yteczno±ci
u : Rn
+→R
jest ci¡gªa, rosn¡ca i silnie wkl¦sªa, to wektor
x∗ > 0
jest
rozwi¡zaniem
optymalnym
⇔ gdy istnieje taka
(x∗, λ∗) speªnia ukªad
nia minimalizacji wydatków
liczba
λ∗ > 0,
»e para
zada-
warunków:
∂u(x)
= λ∗pi (i = 1, . . . , n)
∂xi |x=x∗
u(x∗) = u.
Funkcj¡ kompensacyjnego popyt konsumenta nazywamy odwzorowanie f : intRn+ ×
U → Rn
+ , które ka»demu wektorowi cen p > 0 i
ka»demu poziomowi u»yteczno±ci u > u(0) przyporz¡dkowuje odpowiadaj¡ce im rozwi¡zanie
x∗ = f (p, u) zadania minimalizacji wydatków.
Def. 15.
Funkcj¡ wydatków konsumenta nazywamy odwzorowanie e : intRn+ × R+, które
ka»dej parze (p, u) przyporz¡dkowuje minimalny
wydatek e(p, u) = hp, f (p, u)i, jaki musi ponie±¢
konsument, aby naby¢ koszyk o u»yteczno±ci
równej u.
Def. 16
Je»eli funkcja u»yteczno±ci u : Rn+ → R
jest ci¡gªa i rosn¡ca, to funkcja wydatków konsumenta e(p, u) ma nast¦puj¡ce wªasno±ci:
Twi. 14.
(a) e(p, u(0)) = 0,
(b) jest ci¡gªa i rosn¡ca,
(c) jest dodatnio jednorodna stopnia
dem cen p,
(d) jest wkl¦sªa wzgl¦dem cen p.
1
wzgl¦-
Je»eli funkcja u»yteczno±ci u :
Rn
+ → R jest ci¡gªa, rosn¡ca i silnie wkl¦sªa,
to funkcja wydatków konsumenta e(p, u) jest
ró»niczkowalna wzgl¦dem cen, przy czym ∀p >
0, ∀u > u(0) speªniona jest równo±¢:
Twi.
15.
∂e(p, u)
= fi(p, u),
∂pi
i = 1, . . . , n.
Je»eli funkcja u»yteczno±ci u :
Rn
+ → R jest rosn¡ca, silnie wkl¦sªa i dwukrotnie ró»niczkowalna, a jej hesjan H(x) jest ujemnie okre±lony na intRn+, to funkcja kompensacyjnego popytu f (p, u) jest ró»niczkowalna, a
jej pochodne cz¡stkowe speªniaj¡ nast¦puj¡ce
warunki:
Twi.
16.
(a) ∀p > 0, ∀u > u(0)
∂fi(p,u)
< 0,
∂pi
(b) ∀p > 0, ∀u > u(0)
∂fj (p,u)
∂fi(p,u)
=
∂pj
∂pi ,
1, . . . , n.
i = 1, . . . , n,
i, j =