84. Warunek istnienia stojącej funkcji falowej cząstki kwantowej o

Wydział Inżynierii Środowiska (IŚ); kierunek IŚ. List nr 13 do kursu Fizyka, r. ak. 2014/15.
Lista zawiera zadania przeznaczone do samodzielnego rozwiązania.
Studentka/student jest zobowiązana(y) do wydrukowania ww. kartę przedmiotu, tabelę wzorów, list zadań
i przynoszenia tabel i list na zajęcia w portfolio. Lista 13., ostatnia, ma na celu zdobycie przez studentów wiedzy
matematyczno-fizycznej oraz nabycie umiejętności rozwiązywania zadań dotyczących fizyki kwantowej oraz fizyki
jądra atomowego. Zadania nierozwiązane na zajęciach lub krótko omówione mogą być treściami sprawdzianów.
84. Warunek istnienia stojącej funkcji falowej cząstki kwantowej o masie m poruszającej się tam i z powrotem po okręgu o promieniu r ma postać 2πr = nλ. Oblicz pęd tej cząstki, jej energię ze wzoru E = p2/2m
oraz jej moment pędu. Wyniki porównaj z modelem Bohra atomu wodoru.
85. Warunek istnienia stojącej funkcji falowej cząstki kwantowej o masie m poruszającej się tam i z powrotem po odcinku <0, L> postać L = nλ/2. Oblicz pęd tej cząstki oraz jej energię ze wzoru E = p2/2m.
Wyniki porównaj z modelem cząstki kwantowej umieszczonej w nieskończenie głębokiej studni kwantowej,
dla której rozwiązane zostało równanie Schroedingera (patrz materiał z wykładów).
86. W fizyce kwantowej stan cząstki opisuje w pełni funkcja falowa
. Aby wyznaczyć energię cząstki
należy podziałać na
=−
operatorem energii mechanicznej
. Jeśli w wyniki otrzymamy
wyrażenie typu
⋅
, to liczbę nazywamy energią E cząstki w tym stanie kwantowym. Jak widzimy,
aby wyznaczyć energię E należy podziałać operatorem energii mechanicznej na funkcję falową:
=
−
=
. Innymi słowy: Jeśli w wyniku opisanego działania
na
otrzymujemy wyrażenie
będące iloczynem liczby i funkcji
, to tak otrzymaną liczbę nazywamy energią cząstki kwantowej w
stanie
, natomiast
określamy mianem funkcji własnej operatora . Stan kwantowy cząstki o masie
m zamkniętej na przedziale <0, L> o długości L (taka cząstka traktowana klasycznie porusza się tam i z
powrotem między sztywnymi masywnymi ścianami ustawionymi w odległości L) opisuje w pełni funkcja
falowa postaci
=
sin
. Oblicz energię cząstki kwantowej w tym stanie. Czy jest to stan własny
operatora ?
87. Laser emituje fotony o średniej energii 2⋅10-7 eV i średniej częstości 60 MHz. Czas życia wzbudzonego
stanu kwantowego elektronu w laserze wynosi ∆t = 10-8 s. Jaka jest minimalna nieoznaczoność energii i
częstotliwości emitowanych przez taki laser fotonów?
88. Pierwszy stan wzbudzony pewnego atomu ma energię 2,58 eV. Po wzbudzeniu, atom pozostaje w tym
stanie średnio przez czas 200 ns, a następnie emituje foton i wraca do stanu podstawowego. Ile wynosi energia
E i długość fali λ emitowanego fotonu? Ile wynoszą nieokreśloności energii ∆E oraz długości fali ∆λ
emitowanego fotonu? Pokaż, że |∆E/E| = |∆λ/λ|.
89. Pokaż, że funkcja
= sin
+ cos
jest funkcją własną i jest jednocześnie rozwiązaniem
bezczasowego równania Schroedingera
=−
=
, a energia cząstki kwantowej o masie
m w stanie kwantowym o podanej wyżej funkcji falowej wynosi
90. Operator pędu: '̂ = − ℏ
= )
. Pokaż, że funkcja
*$
=
#
$
=
%
ℏ$
%
jest funkcją własną operatora pędu. Ile
wynosi pęd cząstki będącej w stanie kwantowym, którego funkcja falowa ma podaną postać?
91. A) W krysztale odległość między płaszczyznami wynosi 0,3 nm. Wiązka neutronów pada na ten kryształ
prostopadle i pierwsze maksimum obrazu dyfrakcyjnego zaobserwowano dla kąta 42o. Jaka długość fali de
Broglie’a i jaką energię kinetyczna miały neutrony? B) Kąt rozpraszania elektronów o energii 50 eV dla
kryształu MgO wynosi 55o. Wyznacz odległość między płaszczyznami w tym krysztale.
92. Proton i kulka o masie 10 g poruszają się z prędkościami 500 m/s, których niepewność wynosi 0,05 m/s.
Mierzymy jednocześnie położenia i prędkości protonu i kulki. Jaka jest minimalna niepewność pomiarów
położeń?
1
93. Elektron jest uwięziony na odcinku <0, L> i znajduje się w stanie kwantowym
=
sin
.
Prawdopodobieństwo
znalezienia
elektronu
na
odcinku
<a,b>
definiuje
wzór
1
∗
∗
∗
0 , gdzie
+ , = -2
∙
oznacza zespolone sprzężenie. Jakie jest
prawdopodobieństwo znalezienia elektronu na przedziale <0, L/4> a jakie na przedziale <0, L>?
94. Dokonując wielokrotnie pomiaru położenia elektronu z zadania 92. otrzymano średnią wartość jego
położenia, która jest równa <x>= -3
∙ ∙ ∗ 0 . Ile wynosi w takich warunkach <x> elektronu?
95. Dokonując wielokrotnie pomiaru pędu elektronu z zadania 92. otrzymano średnią wartość jego pędu,
która jest równa <p>= -3
∙ −ℏ
∙ ∗ 0 . Ile wynosi w takich warunkach <p> elektronu?
96. Nietrwałe jądro rubidu 87Rb rozpada się na stabilne jądro stronu 87Sr. Ten proces jest podstawą do
określania wieku skał. Niech N0 oznacza początkową liczbę jąder 87Rb w próbce skały. Po czasie t w próbce
5
7
mamy N(Rb) i N(Sr) jąder. Pokaż, że z prawa rozpadu promieniotwórczego wynika zależność 4 = ln 8 =
;</
>?
7 AB
ln 1 + 7
9:
7 AB
, gdzie 7
9:
λ
7 9:
jest stosunkiem liczby jąder w próbce skalnej po czasie t; przy czym C Sr +
C Rb = C3 . Czas połowicznego rozpadu 87Rb wynosi 45/ = 4,88 ∙ 10L lat. W próbce skały
7 AB
7 9:
= 1/50.
Jaki jest wiek tej skały?
97. Promień jądra atomu określa w SI wzór N = 1,2 ∙ 10P5Q 5/R , gdzie A – liczba masowa. Oblicz gęstość
materii jądrowej.
98. Po wyjęciu radioaktywnego izotopu z reaktora stwierdzono, że jego aktywność wyniosła 120 Bq (120
rozpadów na sekundę). Po dwóch godzinach aktywność spadła do 85 Bq. Oblicz stałą rozpadu, czas
połowicznego rozpadu tego izotopu oraz początkową liczbę radioaktywnych jader. Ws-ka: Aktywność
promieniotwórcza: 4 = λC 4 .
99. Załóżmy, że odległość d między dwoma protonami w jądrze 12C jest równa w SI 0 = 2N = 2 ∙ 1,2 ∙
10P5Q 12 5/Rm. Siła oddziaływania jądrowego między nimi jest rzędu Fjądrowa ≅ 2,7 kN. Oblicz siłę
oddziaływania elektrostatycznego FC protonów, które dzieli odległość d. Ile razy siły jądrowe są większe od
elektrostatycznych?
100. Pokaż, że energia Q wydzielana w reakcji jądrowej 2H + 2H = 3H + 1H + Q wynosi około 4 MeV. Dane:
masa deuteru m(2H)=2,014102 u, masa trytu m(3H)=3,016049 u, m(1H)=1,007825 u.
101. W reaktorze o mocy 500 MW średnia energia rozszczepienia wynosi 200 MeV. Ile rozszczepień zachodzi
w tym reaktorze w czasie jednej sekundy?
102. Energia wiązania nukleonów w jądrze niklu 62Ni28 należy do największych. Jego masa spoczynkowa
61,928349u, Z =28, masa spoczynkowa neutronu 1,008665u, masa spoczynkowa protonu 1,007825u.
Wyznaczyć defekt masy, energię wiązania jądra, energię wiązania na jeden nukleon; u = 1,660540⋅10−27 kg.
Jaki jest sens fizyczny obliczonych energii wiązania?
103. Podczas rozpadu jądra 235U wydziela się średnio 200 MeV energii cieplnej. Jaką masę izotopu 235U
zużywa jednej doby elektrownia jądrowa o mocy 3GW? Masa jądra uranu wynosi 235u. Ile kg
wysokokalorycznego węgla o cieple spalania 33 MJ/kg spala elektrownia konwencjonalna o mocy 3GW w
ciągu jednej doby?
W. Salejda
Wrocław, 31 maja 2015.
2