)12( − − + ≈ I I II

Napisz wzór na złożone formuły trapezów
x1
∫
xo
Wyprowadź prosty wzór na błąd
przybliżenia całki na odcinku h z funkcji f(x)
za pomocą pola prostokąta o wysokości
f(h/2)
Obliczmy błąd przybliżenia prostokątnego (
h=b-a )
rozwińmy f(x) w szereg Taylora:
f ( x) = f ( xo ) + f / ( xo )( x − xo ) + 1 / 2 f // ( µ )( x − xo ) 2
po scałkowaniu pierwszy wyraz daje wartość
całki przybliżoną wzorem prostokąta, drugi
wyraz znika, a trzeci daje ”resztę”
R=
h3
24
f // (ξ )
Najprostsze trójpunktowe przybliżenie
(liniowe) do pochodnej pierwszego rzędu w
punkcie r na siatce równoodległej z krokiem
h ma postać:
f ( x0 + h) − f ( x0 − h)
f / ( x0 ) ≈
2h
Kryterium wyboru wielomianu
interpolacyjnego Pn(x) przybliżającego
funkcję f(x) zadaną przez wartości f na
siatce węzłów xi, i=0,1,2, …,n
Pn(xi) = fi
Błąd metody trapezów (numerycznego
całkowania funkcji jednej zmiennej) w jedny
m kroku:
x1
∫
xo
f // (ξ )
h3
( x − xo )( x − x1 )dx = − f // (ξ )
2!
12
Błąd interpolacji funkcji f(x) wielomianem
Pn(x), na węzłach x, i=0,1,2,3…,n
∀
∃
x∈[ a ,b ] ξ ( x )∈( a ,b )
f
h
h
f i +1 = f i + hg ( xi + , f i + g ( xi , f i ))
2
2
w postaci różóżniczkowej :
f // (ξ )
h3
( x − xo )( x − x1 ) dx = − f // (ξ )
2!
12
f ( x) − P( x) =
(ξ ( x ))
( x − x0 )( x − x1 )...( x − xn )
(n + 1)!
( n +1)
Ekstrapolacja Richardsona (wzór)
Ie ≈ Ih/ 2 +
Ih/ 2 − Ih
(2 n − 1)
Pokaż, że dla macierzy Hauseholdera P
zachodzi:
Px = |x|ei jeśli wektor u budujący P
wybrano jako u = x + |x|ei
korzystamy z faktu, że
|u|2 = uTu = 2|x|(|x|+xi)
oraz, że uT|x|ei = |x|(|x|+xi) ,
zatem
Px = Ix – 2uuTx /(uTu) =
x – 2uuT(u-|x|ei) /(uTu) =
x – 2u + 2u(|x|(|x|+xi)) / (2|x|(|x|+xi)) =
x – 2u +u = - |x|ei
Przybliżenie drugiej pochodnej funkcji f(x) w
x0 na siatce 3 węzłów x0, x0 +h, x0 – h
f / / ( x) =
1
1
[ f ( x + h) − 2 f ( x ) + f ( x − h)] − 12 h 2 f ( 4 ) (ξ )
h2
x0=x
Przybliżenie pochodnej funkcji f(x) w x0, na
siatce 2 węzłów x0 + h, x0 – h
f ( x0 +h) − f ( x0 −h )
f / ( x0 ) ≈
2h
Wzór zmodyfikowanej metody Eulera
fi+1=fi + h*g(xi+h/2, fi + h/2*g(xi, fi))
Podaj zależność pomiędzy (k-1)-wszym a ktym przybliżeniem do pierwiastka równania
jednej zmiennej w metodzie NewtonaRapsona
xk = xk-1 – f(xk-1)/f ‘(xk-1)
Przybliżona wartość fi w punkcie xi, funkcji
f(x) będącej rozwiązaniem równania
różniczkowego zwyczajnego 1 rzędu df/dx =
g(x,f(x)) wyraża się wzorem w
zmodyfikowanej metodzie Eulera przez
fi+1= fi + hg(xi+h/2, fi+h/2g(xi,fi))
Podaj wzór metody Eulera dla i-tego kroku
rozwiązywania układu N zwyczajnych
równań różniczkowych:
fi+1 = fi + h g(xi, fi )
Błąd trójwęzłowej, liniowej metody
numerycznego różniczkowania wynosi (opisać
oznaczenia):
− h2
f ' ' ' (ξ )
6
h – krok; f – 3 pochodna
funkcji
Jakie warunki musi spełniać funkcja g(x) by
w [a,b] miała dokładnie jeden punkt stały
g(x0)=x0?
1° g ( x ) ∈ C1[a, b]
2° ∀ x∈[ a ,b ] | g ' ( x ) | < 1
Wzór iteracyjny w metodzie siecznych


x n − x n −1
x n +1 = x n − f ( x n )

 f ( x n ) − f ( x n −1 ) 
x n +1 − pierwszy pierwiastek
Wzór
x n − począocz przedziałr
x n −1 − koniecprzedziałz
f ( x n ) − funkcja w zmiennej x n
f ( x n −1 ) − funkcja wzmiennej x n −1
zmodyfikowanej metody Eulera (opisać
oznaczenia):
h
f i +1 = f i + hf ' ( xi + )
2
d
h
h
f '=
f = g ( xi + , f i + ( g ( xi , f i ))
dx
2
2
k − krok
f − funkcja dana
i − iteracja
W metodzie potęgowej postępowanie jest
iteracyjne: y(i)=Ax(i-1), gdzie A to zadana
macierz. Jaka relacja wiąże x(i) z y(i)?
x (i ) =
lub
y (i)
(i )
, y ( i ) = max{| y j |}
y (i)
x (m) =
Am x ( 0)
∏
m
k =1
y ( k ) pk