Geometria — zadania przygotowawcze do egzaminu Okrąg 1

Geometria — zadania przygotowawcze do egzaminu
Okrąg
1. Napisać równanie okręgu
— a) o środku w punkcie (3, −4) i przechodzącego przez środek układu współrzędnych.
— b) przechodzącego przez punkty (−1, 2), (3, 0), (0, 1).
— c) mającego średnicę o końcach (2, −1) i (−4, 5).
— d) przechodzącego przez punkt(1, 2) i stycznego do obu osi układu.
2. Napisać równanie okręgu o środku w początku układu współrzędnych i stycznego
do prostej 6x − 8y + 10 = 0.
Elipsa
3. Dana jest elipsa o równaniu 5x2 + 9y 2 = 45 oraz punkt A(2, − 35 ). Napisać równania
prostych przechodzących przez punkt A i ogniska danej elipsy. Odp. x − 2 = 0, 5x +
12y + 10 = 0.
4. Na elipsie 36x2 + 45y 2 = 1620 znaleźć punkty, których odległość od lewego ogniska
jest dwa razy większa od odległości od prawego ogniska. Wsk. skorzystać ze wzorów
na promienie wodzące; Odp. A(5, 4), B(5, −4).
5. Orbita Ziemi jest elipsa o półosi wielkiej a = 150 mln km i mimośrodzie e = 0, 017.
Wiedząc, że Słońce znajduje się w ognisku tej elipsy obliczyć o ile najkrótsza odległość
Ziemi od Słońca (ok. 2 stycznia) jest krótsza od najdłuższej (ok. 2 lipca).
2
2
6. Wykazać, że jeśli punkt P (x0 , y0 ) leży na elipsie xa2 + yb2 = 1, to równanie stycznej
do elipsy w punkcie P ma postać xa02x + yb02y = 1.
Hiperbola
7. Napisać równanie hiperboli o ogniskach położonych na osi odciętych, mając dane
5
1
równania asymptot y = ± 12
x i odległości między ogniskami 2c = 26. Odp. 144
x2 −
1 2
25 y = 1.
8. Napisać równania stycznych do hiperboli 4x2 − y 2 = 4 poprowadzonych z punktu
A(1, 4). Odp. x = 1, 5x − 2y + 3 = 0.
9. Napisać równanie hiperboli, mając dane jej asymptoty y = ± 21 x i równanie jednej
ze stycznych 5x − 6y − 8 = 0. Odp. 14 x2 − y 2 = 1.
Parabola
10. Napisać równanie paraboli o wierzchołku w początku układu, symetrycznej względem osi Ox i przechodzącej przez punkt A(−2, 4). Odp. y 2 = −8x.
11. Napisać równanie paraboli o ognisku F (−5, 0) i kierownicy x = 5. Odp. y 2 = −20x.
12. Na paraboli y 2 = 24x dany jest punkt odległy od ogniska o 14. Znaleźć odległość
tego punktu od wierzchołka paraboli. Odp. 16.
13. W parabolę y 2 = 2px wpisano trójkąt równoboczny w ten sposób, że jeden z
wierzchołków
znajduje się w wierzchołku paraboli. Znaleźć długość jego boków. Odp.
√
4p 3.
Iloczyn skalarny
14. Obliczyć iloczyn skalarny wektorów ~a = [1, −3, 2] i ~b = [2, 4, −3].
15. Obliczyć kąt między wektorami ~a = [2, 3, −1] i ~b = [13, −6, 8].
16. Znaleźć wektor jednostkowy prostopadły jednocześnie do wektora ~a = [3, 6, 8] i do
osi Ox.
Iloczyn wektorowy
17. Dane są trzy punkty A(2, 1, −2), B(−5, 1, 0) i C(3, 2, −2). Znaleźć współrzędne
−−→ −→
wektora AB × AC.
18. Obliczyć pole równoległoboku zbudowanego na wektorach ~a = 3~i + 2~j + ~k i ~b =
~i − ~j + 2~k.
19. Dane są wierzchołki trójkąta A(−3, 1, −1), B(6, −2, −5), C(1, −2, −1). Obliczyć
długość wysokości opuszczonej z wierzchołka B na bok AC.
−
20. Znaleźć wektor →
m leżący w płaszczyźnie xOy, prostopadły do wektora ~a = [5, −3, 4]
→ = √5 [3, 5, 0], −
→ = − √5 [3, 5, 0]
i mający długość równą długości wektora ~a. Odp. −
m
m
1
2
17
17
Iloczyn mieszany
21. Obliczyć objętość czworościanu zbudowanego na wektorach ~a = [1, 3, 0], ~b =
[3, 2, −1], ~c = [−4, 2, −3].
22. Obliczyć objętość czworościanu ABCD, gdy A(−2, 1, −3), B(4, −2, −5), C(1, −3, −1),
D(−1, 0, 4).
Płaszczyzna w przestrzeni
23. Napisać równania (ogólne i odcinkowe) płaszczyzn:
1. przechodzącej przez P0 = (1, −2, 3) i prostopadłej do ~n = [2, 3, −2];
2. przechodzącej przez P0 = (2, −2, 3) i równoległej do wektorów
~a = [2, 3, −1], ~b = [−3, 2, 0]
3. przechodzącej przez punkty P1 = (1, 0, 2), P2 = (3, −2, 1), P3 = (0, 4, −3).
24. Znaleźć równanie płaszczyzny odcinającej na osiach układu odcinki proporcjonalne
do liczb 1,2,3 i oddalonej od punktu M (3, 5, 7) o 4.
25. Znaleźć rzut punktu P = (1, 2, 4) na płaszczyznę x − 3y + 4z − 3 = 0.
26. Znaleźć punkt B symetryczny do punktu A(5, 2, −1) względem płaszczyzny 2x −
y + 3z + 23 = 0.
27. Obliczyć odległość między równoległymi płaszczyznami 30x − 32y + 24z − 75 = 0,
15x − 16y + 12z − 25 = 0. Odp. 32 .
28. Obliczyć odległość płaszczyzn 2x + 5y − z + 7 = 0, 2x + 5y − z + 12 = 0.
29. Znaleźć równanie płaszczyzny odcinającej na osiach układu odcinki proporcjonalne
do liczb 1,2,3 i oddalonej od punktu M (3, 5, 7) o 4.
Odp. 6x + 3y + 2z − 19 = 0, 6x + 3y + 2z − 75 = 0.
Prosta w przestrzeni
30. Napisać równania parametryczne prostej l przechodzącej przez punkty P0 =
(4, −2, −6), P1 = (2, −2, 3).
y+1
z−3
31. Znaleźć punkty, w których prosta x−2
−3 = 4 = 2 przecina płaszczyzny układu
współrzędnych.
32. Wyznaczyć rzut punktu P = (2, 0, −3) na prostą x = 1 + 2t, y = 2 − t, z = 1 + 4t.
9
Odp. P 0 = (− 87 , 18
7 , − 7 ).
33. Napisać równania prostych przechodzących przez punkty przecięcia płaszczyzny
3x − 2y + 6z − 6 = 0 z osiami układu współrzędnych.
34. Na prostej 2x + y + z + 8 = 0, x − 4y − 2z − 5 = 0 znaleźć punkt P oddalony o 5
od płaszczyzny 3x − 6y + 2z − 10 = 0.
35. Napisać równania prostych przechodzących przez punkty przecięcia płaszczyzny
3x − 2y + 6z − 6 = 0 z osiami układu współrzędnych.
36. Znaleźć rzut punktu A(1, −2, 1) na prostą
y+8
z−2
x+1
=
=
.
1
−1
2
37. Na prostej 2x + y + z + 8 = 0, x − 4y − 2z − 5 = 0 znaleźć punkt P oddalony o 5
od płaszczyzny 3x − 6y + 2z − 10 = 0.